第二十七章-相似-习题-含答案
专题总结及应用
一、知识性专题 专题1 比例线段
【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．
例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD 的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．
(1)求证
CD CE
AC CB
=
； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围． 分析 利用△CDE ∽△CAB ，可证明CD CE
AC CB
=
． 证明：(1)∵∠EDC ＝∠BAO ，∠C ＝∠C ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴
CD CE
AC CB
=
. 解：(2)∵AE ＝8，OC ＝12，
∴AC ＝12+4＝16，CE =12－4＝8．
又∵
CD CE
AC CB
=
， ∴CD ·CB ＝AC ·CE ＝16×8＝128． 连接OB ，在△OBC 中，OB ＝1
2
AE ＝4，OC =12， ∴8＜BC ＜16．
【解题策略】 将证
CD CE
AC CB
=
转化为证明△CDE ∽△CAB . 专题2 乘积式或比例式的证明
【专题解读】 证明形如22a c b d =，33a c
b d =或ab
c def =1的式子，常将其转化为若干个比例
式之积来解决．如要证22a c
b d
=，可设法证a c b x =，a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找
线段x 便是证题的关键。
例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC 中，过A 作AD ⊥BC ，过C 作CE ⊥AB ，
又作DF ⊥CE ，FG ⊥AD ，求证2
3
FG BD AG AD =
． 分析 欲证2
3
FG BD AG AD =
，可将其分成三个比例式BD FG AD x =，BD y AD AG =，BD x AD y =，再将三式相乘即可．不难得知x 就是CD ，而线段y 在原图中没有，由相似关系可延长FG 交
AB 于K ，则y 就是GK ，只要证明
BD GD
AD GK
=
就可以了． 证明：延长FG 交AB 于K ，连接DK ，
∵DF ⊥EC ，BE ⊥EC ，∴DF ∥BE ， ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝DC ，∴EF ＝C F ． ∵FG ∥BC ，∴∠1＝∠2，
∴Rt △FDC ≌Rt △E K F ，
∴K F ＝DC ，∠3＝∠4，
∴四边形K FCD 是平行四边形，∴∠2＝∠5， ∴∠EKD ＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°， ∴DK ⊥AB ，
∴DF ∥AB ，∴∠BAD ＝∠FDG ，
∴Rt △ADB ∽Rt △DGF ，∴
BD FG
AD GD
=
．① ∵GK ∥BD ，∴△AKG ∽△ABD ，∴BD KG
AD AG
=
．② 在△ABD 中，∠ADB ＝90°，DK ⊥AB ，∴△ADB ∽△AKD ． 又△AKD ∽△KGD ,△ADB ∽△KGD ，∴
BD CD
AD KG
=
．③ 由①×②×③，得33BD FG
AD AG
=
． 例3 如图27－98所示，在△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C =1：2：4，求证111
AB AC BC
+=
.
分析 原式等价于
BC BC AB AC +＝1，也就是BC AC BC
AB AC
-=
，在CA 上取一点D ，使CD ＝BC ，原式就变成
BC AD
AB AC
=
，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB 的平分线CE ，交AB 于点E ，连接DE ，显然有△BCE ≌△DCE ，从而易证AD ＝DE ＝CE ，于是只需证
BC CE
AB AC
=
即可． 证明：∵∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：4，
∴设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝4x 作CE 平分∠BCA ，交AB 于E ，
在AC 边上取一点D ，使CD ＝CB ，连接DE ， ∴△DCE ≌△BCE ，
∴∠CDE ＝∠B ＝2x ，∠DEC ＝∠BEC =3x ，
又∠CDE ＝∠A +∠DEA ，∴∠DEA ＝x ，∴AD ＝DE ， 又∵DE ＝EC ，∴AD ＝CE ．
在△ABC 和△ACE 中，∠CAB ＝∠CAE ，∠ACE ＝∠B ＝2x ，
∴△ABC ∽△ACE ，∴BC CE
AB AC
=
， 即BC AD AC CD AC BC
AB AC AC AC --===
， ∴BC AC BC
AB AC AC
=-
,∴BC BC AB AC +=1 即
111AB AC BC
+=
. 二、规律方法专题
专题3：相似三角形的性质
【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相
等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．
例4 如图27－99所不，在△ABC 中，看DE ∥BC ，
1
2
AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )
A ．8 cm
B ．12 cm
C ．11 cm
D ．10 cm 分析 由D
E ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，DE AD BC AB =．因为1
2
AD BD =，
所以
13AD AB =,所以1
3
DE BC =．因为DE =4 cm ，所以BC =12 cm 故选B.
例5 如图27－100所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12 cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC. (1)求∠EDB 的度数； (2)求DE 的长．
分析 (1)由DE ∥BC ，得∠EDB ＝∠DBC ＝1
2
∠ABC ，可求∠EDB ．(2)由DE ∥BC ，得△ADE △ACB ，则
DE AE
BC AB
=
，再证出BE ＝DE ，可求DE ． 解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC . ∵BD 平分∠ABC ，
∴ ∠DBC ＝12∠ABC ＝1
2
×80°＝40°，∴∠EDB ＝40°． (2)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，∴BE ＝DE ． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴
DE AE AB BE AB DE
BC AB AB AB
--===
. ∴
121212
DE DE
-=
，∴DE =6 cm 【解题策略】 将比例式中的AE 转化为AB －DE ，逐步由未知转化为已知，建立关于DE 的关系式来求解．
例6 如图27－101所示，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ，求证△ABC ∽△FDE ．
分析 由已知可证∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ，从而可证△ABC ∽△FDE ． 证明：∵FD ∥AB ，FE ∥AC ，
∴∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ， ∴△ABC ∽△FDE ．
例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．
分析 由矩形的性质可知∠BAD ＝∠D ＝90°，再由BF ⊥AE 可证∠AFB ＝∠D 和∠DAE ＝∠FBA ，从而证明△ABF ∽△EAD ．
证明：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝∠D =90°，
∵BF ⊥AE ，∴∠AF B ＝∠D ＝90°， ∴∠ABF +∠BAE ＝90°．
又∵∠DAE +∠BAE ＝∠BAD ＝90°， ∴∠ABF ＝∠EAD ， ∴△ABF ∽△EAD ，
三、思想方法专题 专题4 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．
例8 在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有 条．
分析 如图27－103所示，过点D 作AB 的平行线，或过点D 作DF ∥BC ，或作∠CDH ＝∠B ，或作∠ADG ＝∠B ，故填4． 专题5 建模思想 【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．
例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A ，B 间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A ，B 间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A ，B 两点的点O ，连接OA ，OB ，分别在OA ，OB 上取中点C ，D ，连接CD ，并测得CD ＝a ，由此他知道A ，B 间的距离是( ) A ．
1
2
a B ．2a C ．a D ．3a 分析 ∵D ，C 分别为OB ，OA 的中点，∴CD 是△ABO 的中位线，∴CD ＝1
2
AB ，∴AB ＝2CD ＝2a ．故选D ．
【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决． 例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆
测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．
分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长． 解：因为CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，所以CD ∥AB ，
所以△CGE ∽△AHE ，所以
CG EG
AH EH
=
， 即
CD EF FD
AH FD BD
-=
+， 所以
3 1.62
215
AH -=
+，解得AH ＝11．9， 所以AB ＝AH +HB ＝AH +EF ＝11.9+1.6＝13.5(m)． 故旗杆AB 的高度为13．5 m ． 专题6 转化思想
【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题． 例11 如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．
分析 要证BO 2＝OF ·OE ，只需证
OF OB
OB OE
=
，而OB ，OE ，OF 在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF ∽△COB 和△AOB ∽△COE ，即有OF AO OB OC =，OB AO
OE OC
=
，从而得证． 证明：在ABCD 中，AB ∥CE ，AD ∥BC ，
∴△AOF ∽△COB ，△AOB ∽△COE ，
∴AO OF OC OB =，AO OB
OC OE
=
， ∴
OF OB
OB OE
=
， ∴OB 2＝OF ·OE ．
例12 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )
A ．8，3
B ．8，6
C ．4，3
D ．4，6
分析 由AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，得△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，则41ABC DEF S S =△△，所以S △DEF ＝124＝3，△DEF 的周长为16
2＝8．故选A ． 例13 已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为 ．
分析 利用相似三角形的性质求解．故填2：5．
例14 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝ ．
分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，得AB ：A ′B ′＝1
故填1
2018中考真题精选
1. （2018广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的
2
1
，得到的图形是（ ）
考点：相似图形
分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案． 解答：解：∵图中的箭头要缩小到原来的错误！未找到引用源。，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的错误！未找到引用源。；
选项B 箭头大小不变；选项C 箭头扩大；选项D 的长缩小、而宽没变．故选A ．
点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2. （2018，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A 、舞蹈社不变，溜冰社减少
B 、舞蹈社不变，溜冰社不变
C 、舞蹈社增加，溜冰社减少
D 、舞蹈社增加，溜冰社不变 考点：比例的性质。 专题：计算题。
分析：若甲：乙：丙=a ：b ：c ，则甲占全部的错误！未找到引用源。，乙占全部的错误！未找到引用源。，丙占全部的错误！未找到引用源。．
故选D ．
点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积．
3. （2018，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为何？（ ）
A ．
B ． D ． 题3图
A、1：2
B、2：3
C、2：5
D、4：9
考点：相似多边形的性质。
分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．
解答：解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3
∴AD：EF=EF：BC=2：3?AD：EF：BC=4：6：9
∴AD：BC=4：9．
故选D．
点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．
4. （2018贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是16
:9，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )
A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm
考点：相似多边形的性质。
分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解答：解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．
点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
（2018福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。
①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA
于点M，交边DC的延长线于点N，试判断
11
DM DN
是否为定值，若是，请求出该定值；
若不是，请说明理由。
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心． 分析：（1）首先分别连接OE 、0F ，由四边形ABCD 是菱形，即可得AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AO =DC =BC ，又由E 、F 分别为DC 、CB 中点，即可证得0E =OF =OA ，则可得点O 即为△AEF 的外心；
（2）①首先分别连接PE 、P A ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，PJ ⊥AD 于J ，即可求得∠IPJ 的度数，又由点P 是等边△AEF 的外心，易证得△PIE ≌△PJA ，可得PI =PJ ，即点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上．
②当AE ⊥DC 时．△AEF 面积最小，此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点．连接B D 、AC 交于点P ，由（1）可得点P 即为△AEF 的外心．由△G BP ∽△M DP ，即可 为定值2． 解答：（1）证明：如图1，分别连接OE 、0F ，
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC ．AO=DC=BC ， ∴∠COD =∠COB =∠AOD =90°． ∠ADO = ∠ADC = ×60°=30°， 又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点，
∴OE = CD ，OF = BC ，AO = AD ， ∴0E=OF =OA ，
∴点O 即为△AE F 的外心．
（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上．
证明：如图
2，分别连接PE 、P A ，过点P 分别作PI ⊥CD 于I ，PJ
⊥AD 于J ，
∴∠PIE =∠PJD =90°，
第25题 图2
A
B
C D
第25题 图1
O
F
E
∵∠ADC=60°，
∴∠IP J=360°-∠PIE -∠PJD -∠JDI =120°， ∵点P 是等边△AEF 的外心， ∴∠EP A =120°，PE =P A ， ∴∠I PJ =∠EP A ， ∴∠IPE =∠JP A ， ∴△P IE ≌△PJA ， ∴PI =PJ ，
∴点P 在∠ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上． ② 为定值2．
当AE ⊥DC 时．△AEF 面积最小， 此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点． 连接BD 、AC 交于点P ，由（1） 可得点P 即为△AEF 的外心． 如图3．设MN 交BC 于点G ， 设DM =x ，DN =y （x ≠0．y ≠O ），则CN=y -1， ∵BC ∥DA ，
∴△GBP ∽△MDP ． ∴BG =DM =x ．
∴CG =1-x
∵BC ∥DA ，
∴△GBP ∽△NDM ， ∴ ， ∴ ，
∴x +y =2xy ， ∴ + =2， 即 =2
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应 （2018甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD >AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若AE =10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；
（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
第25题 图3
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.
分析：（1）通过证明△AOE ≌△COF ，可得四边形AFCE 是平行四边形；由折叠的性质，可得AE =EC ，即可证明；（2）由勾股定理得AB 2
+FB 2
=100，△ABF 的面积为24cm 2
可得，AB ×BF =48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，通过证明△AOE ∽△AEP ，即可证明；
解答：（1）证明：由题意可知OA =OC ，EF ⊥AO ， ∵AD ∥BC ，∴∠AEO =∠CFO ，∠EAO =∠FCO ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE =CF ，又AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形，
∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形；
（2）∵四边形AECF 是菱形，∴AF =AE =10cm ， 设AB =a ，BF =b ，∵△ABF 的面积为24cm 2
， ∴a 2+b 2=100，ab =48，∴（a +b ）2
=196， ∴a +b =14或a +b =﹣14（不合题意，舍去）， ∴△ABF 的周长为14+10=24cm ；
（3）存在，过点E 作AD 的垂线，交AC 于点P ，点P 就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP =∠AOE =90°，∠EAO =∠EAP ， ∴△A O E ∽△AEP ，∴
AE AP 错误！未找到引用源。=AO AE
错误！未找到引用源。，∴AE 2
=AO ?AP ， ∵四边形AECF 是菱形，∴AO =
12错误！未找到引用源。AC ，∴AE 2=1
2
错误！未找到引用源。AC ?AP ，∴2AE 2
=AC ?AP ．
点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
（2018湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角
A B C D
E
F
O
形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“S A S”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的结论得错误！未找到引用源。AN
CN
=错误！未找到引用源。
AB
CD
=2，即CN=
错误！未找到引用源。AC，同理，得AM=错误！未找到引用源。AC，可证AM=MN=NC；（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．
解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．（1分）
∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，
∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）
（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比为：错误！未找到引用源。AB
CD
=错误！未找到引用源。=2；（6分）
（3）由（2）得AN
CN
=错误！未找到引用源。
AB
CD
=2，
∴CN=错误！未找到引用源。AN=错误！未找到引用源。AC，（8分）
同理AM=错误！未找到引用源。AC，
∴AM=MN=NC．（9分）
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF=错误！未找到引用源。CD=错误！未找到引用源。，
∴DF错误！未找到引用源。=错误！未
找到引用源。；（11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，DF=错误！
∴BD==错误！
未找到引用源。．（12分）
点评：本题考查了相似三角形．全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用．关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题．
（2018?江西，25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在个、个、个大小不同的内接正方形．
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请
给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。 分析：（1）分别画一下即可得出答案；
（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=1
，则AC = （3）先判断，再举一个例子：设△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，不妨设a ＞b ＞c ，三条边上的对应高分别为h a ，h b ，h c ，内接正方形的边长分别为x a ，x b ，x c ． 解答：解：（1）1，2，3．（3分） （2）乙同学的结果不正确．（4分） 例如：在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=1
，则AC 如图①，四边形DEFB 是只有一个顶点在斜边上的内接正方形． 设它的边长为a ，则依题意可得：
111
a a
-=
，∴12a =， 如图②，四边形DEFH 两个顶点都在斜边上的内接正方形． 设它的边长为b
b
，∴b =． ∴a ＞b ．（7分）
（3）丙同学的结论正确．
设△ABC 的三条边分别为,,,a b c 不妨设a b c >>，三条边上的对应高分别为,,a b c h h h ，内接正方形的边长分别为,,a b c x x x . 依题意可得：a a a a x h x a h -=
， ∴a a a ah x a h =+.同理 b
b b
bh x b h =+.
()()
()22112()2a b a b a b a b a b
b a a b ah bh S S x x S a h b h a h b h a h b h S
b h a h a h b h -=
-=-=-++++++=+--++
=()()222a b S S S b a a h b h b a ?
?+-- ?++?? =()221()()a b S S b a a h b h ab ???-- ?++??
=
()21()()a
a b h S b a a h b h b ??
?-- ?++?? 又∵,a b a h b <<， ∴()10a h b a b ??
--< ??
?
， ∴a b x x <，即22a b x x <.
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. (10分)
点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键．
（2018年江西省，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．
①θ= 22.5度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）．
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且
A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
121 = ，=1+
56
=1+
=
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．
综合验收评估测试题
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题
1．要做甲、乙两个形状相同(相似)．的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．如图27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC 的长为( )
A. 15
4
B．7 C．
15
2
D.
24
5
3．如图27－108所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为( )
A．2 cm2B．3 cm2C．4 cm2D．6 cm2
4．厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如图27—109所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为( )
A．1：4 B．4：1 C．1：3 D．3：4
5．如图27－110所示，D是△ABC的边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，若AD：DB＝2：3，则S△ADE：S四边形BCED等于( )
A．2：3 B．4：9 C．4；5 D．4：21
6．如图27－111所示，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于( )
A．1：1 B．2：1 C．1D．3：2
7．△ABC2，△A′B′C′的两边长分别为1如果△ABC
∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为( )
A. B C. D
8．如图27－112所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE＝S四边形BDEC，则DE：BC等于( )
A．1:2 B 2 C．1：4 D．2：3
9．如图27－113所示，在ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB等于( )
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
10．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样条件的直线最多有( )
A．2条B．3条C．4条D．5条
二、填空题
11．如图27－114所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若
AD＝3.2，DB＝2.4，AE＝2.8，则AC＝．
12．一根2米长的竹竿直立在操场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17．6米，则旗杆高米．
13．若△ABC∽△A′B′C′，AC＝5，A′C′＝8，则S△ABC：S△A′B′C′= ．
14．已知两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和4 cm，如果它们的面积和为50 cm2，则较大多边形的面积为cm2．
15．若一个多边形在图上的面积为4 cm2，比例尺为1：1000，则该多边形的实际面积为m2．16．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，△ABC的周长为54 cm，若△DEF的三边长之比为2：3：4，则△DEF的最短边长为cm．
三、解答题
17．如图27－115所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，在AB 上找一点E，使得△ADE与原三角形相似，这样的点E有几个?求出AE的长．
18．如图27－116所示，已知在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝20，点M分BC为BM：MC ＝1：2，DE⊥AM于点E，求DE的长．
19．如图27－117所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E，求DE的长．
20．如图27－118所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，BC＝6，BD⊥AC于D，AE⊥BC 于E，求CD的长．
21．如图27－119所示，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若AD＝10，BD＝5，求CD的长．
22．如图27－120所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四边形BCED＝1：3，求AD：DB．23．在Rt△ABC中，CD为斜边上的高，试确定AC是哪两条线段的比例中项，用比例式或等积式写出你的结论，并加以证明．
24．如图27－121所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，EF⊥CE交AD于F．
(1)求证△AEF∽△BCE；
(2)求证AE AF CD BE
.
25．如图27－122所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．
(1)当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；
(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，试判断四边形
AEDC是什么四边形．
26．如图27－123所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上，点Q在BC上．
(1)当△PQ C的面积与四边形P ABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQ C的周长与四边形P ABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形?若存在，求出PQ的长；若不
存在，请说明理由．
参考答案
1．C[提示：由题意知两个三角形相似，三角形乙中20 cm 的边可以和三角形甲中的三边任何一边是对应边，所以符合条件的三角形共有3种．] 2．C[提示：∵∠A ＝∠A ，∠AED ＝∠B ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE AE BC AB =，∴68
10
BC =，
∴BC ＝
15
2
.故选C ．] 3．B[提示：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴△AED ∽△ACB ，∴2
A
D E ABC S AD S AB ??= ???
△△，
∴
1
124
ADE S =△．∴S △ADE ＝3．故选B.] 4．C[提示：由题意得被分割成的4个小三角形的面积相等，所以黑色大理石与白色大理石的面积比为1：3．] 5．D[提示：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴A
D E ABC S S △△=2
2
24525
AD AB ????== ? ?
????，∴421ADE BCED S S =△四边形.故选D.]
6.B[提示：∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△HFE ∽△HBC ，∴1
4
EF HE BC HC ==，∴
13HE EC =.∵AE =EC ，∴1
3
HE AE =,∴AH ：HE ＝2：1．] 7．A[
=
x
，∵
2
x
x
故选A ．] 8．B[提示：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∵S △ADE ＝S 四边形
BDEC ，∴
1
2
ADE ABC S S =△△
，∴DE BC ==] 9．B[提示：∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCE ＝∠BCE ．又∵DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴
∠CEB ＝∠BCE ，∴BE ＝BC ＝4，∴AE ＝2．∵AF ＝3，∴EF ＝1，又BF ＝3，∴AE ：EF ：FB ＝2：1：3．]
10．C[提示：过点P 的直线可以分别与AC ，BC 平行，也可以与AC ，BC 不平行．] 11．4．9[提示：∵DE ∥BC ,△ADE ∽△ABC ，∴
A E A D A C A
B =，∴2.83.2
3.22.4
AC =
+，∴AC =4．9．]
12．22[提示：在同一时刻物高与影长成正比，∴
2
17.6 1.6
x =
，x ＝22．] 13．25：64[提示：相似三角形的面积比等于相似比的平方．]
14．32[提示：设较大多边形的面积为x cm2，则
2
4
503
x
x
??
= ?
-??
，∴x=32．]
15．400[提示：
2
41
1000
x
??
= ?
??
，∴x=4000000 cm2，即400 m2．]
16．4[提示：△ABC的最短边长为54×2
9
＝12，∵相似比为3，∴△DEF的最短边长为4 cm．]
17．解：这样的点正有两个．若△AED∽△ABC，则AE AD
AB AC
=，∴
2
86
AE
=，∴A E =
8
3
；△
AED∽△ACB，则AE AD
AC AB
=，∴
2
68
AE
=，∴AE＝
3
2
.
18．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠E＝∠ABM＝90°，∴△ABM∽△DE A，
∴AB AM
DE AD
=．∵BM=
20
3
，AB=5，∴AM=
25
3
，∴
25
53
20
DE
=，∴DE＝12．
19．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△ABM∽△DEA，∴DE AD
AB AM
=．在Rt△
ABM中，AM
，∴
6
45
DE
=，∴DE=
24
5
．
20．解：∵AE⊥BC，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠BDC＝90°．又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△
ACE，∴BC AC
CD CE
=，∴
68
3
CD
=，∴CD＝
9
4
．
21．解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠DCB＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A
＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴CD BD
AD CD
=，∴CD2=AD·BD=50，∴CD
22．解：∵S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△ADE：S△ABC：1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：2，∴AD：DB＝1：1．
23．解：AC2＝AB·AD或AB AC
AC AD
=．证明过程如下．∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝
90°，∴∠B＝∠ACD．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴A B A C
A C A D
=，即AC2＝AB·AD．
24．证明：(1)∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠ECB＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，又∠A ＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BCE．
(2)∴△AEF∽△BCE，∴AE AF
BC BE
=，又CD=BC，∴
AE AF
CD BE
=.
25．解：(1)若△ABC∽△CDB，则AC BC
BC BD
=，∴BD＝
2
b
a
，∴当BD＝
2
b
a
时，△ABC∽△
CDB．(2)∵△ABC∽△CDB，∴∠ACD＝90°．又∵∠D＝∠E＝90°，∴四边形AEDC 为矩形．
26．解：(1)∵S△PQ C＝S四边形P ABQ，∴S△PQ C：S△ABC＝1：2．∵PQ∥AB，∴△PQ C∽△
ABC，∴
2
PQC
ABC
S PC
S AC
??
= ?
??
△
△
＝1：2，∴P C2＝
1
2
·AC2＝
1
2
×42＝8，∴PC＝
[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 2 2 c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F
最新初中数学九年级知识点汇总
第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0
代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类：
第二十六章反比例函数 17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x k y = （k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式 例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ 分析：反比例函数x k y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。 解得m ＝－2
22.1一元二次方程(教案） 教学内容 本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 知识技能 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方 程知识。 数学思考 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 解决问题 培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养。 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用． 难点：根的作用的理解． 关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、 情境引入 【问题情境】 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正 方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .根据方盒的底面积为3600cm2,得方程为 _______________ ,, 整理， 得 问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析:全部比赛共4×7=28场 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他 _____ 个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 ______________场. 得方程____________________________ 0350752 =+-x x 0350752=+-x x 56 2=-x x 56 2=-x x
第26章二次函数 1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a≠0)。 2．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式---待定系数法。 3．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h和函数的最值 y最值= k。 4．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式。 5. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： 6. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系： (1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下。 (2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过； c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过。 (3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧； b=0 <=> 对称轴是y轴。 (4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）； b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点。 7．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上。
第27章 相似形 2．比例的基本性质： a:b=c:d d c b a = ad=b c ；
【人教版】初中数学九年级知识点总结 概率 概率是初中数学的常考知识点，但考题难度不大。本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，利用所学知识解决问题，突现应用意识，进一步巩固所学知识。 一、目标与要求 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 二、知识框架 三、重点、难点 在具体情境中了解概率意义。 对频率与概率关系的初步理解。 四、知识点、概念总结 1. 随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件，简称事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。 2.特殊的事件 必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。 不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。 3.随机事件的关系和运算 （1）交换律：A∪B=B∪A、AB=BA （2）结合律：( A∪B )∪C=A∪( B∪C ) （3）分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C ) A( B∪C )=( AB )∪( AC )
（具体图表意义请参照初中数学九年级上册人教版课本P135页） 6.频率与概率的区别与联系 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.
第二十七章 相似全章测试 一、选择题 1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则 BC DE 的值为( ) 第1题图 A ． 32 B ．41 C ．3 1 D ．21 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) 第2题图 A ． 2 1 =BC DE B ． 2 1 =??的周长的周长ABC ADE C ． 的面积的面积ABC ADE ??3 1 = D ． 的周长的周长ABC ADE ??3 1 = 3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( ) 第3题图 A ．△AED ∽△AC B B ．△AEB ∽△ACD C ．△BAE ∽△ACE D ．△AEC ∽△DAC 4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6= BC ，AC ＝3， 则CD 长为( )
第4题图 A ．1 B ． 23 C ．2 D ．2 5 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( ) 第6题图 A ． BC DE DB AD = B ．AD EF B C BF = C ．FC BF EC AE = D ．BC DE AB EF = 7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( ) 第7题图 A ．P A ·A B ＝P C ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·P D C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件 第8题图
反比例函数 一.知识框架 二．知识概念 1.反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 1-=kx y x k y 1 = 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。对称中心是：原点 3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
一元二次方程 二.知识概念 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更 为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例 说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时， ?将a、b、c代入式子x= 24 2 b b ac a -±- 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰 好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案 一、选择题 1．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．(0,3) D ．(3,0) 3．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．80° 4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1 B ．k≥－1 C ．k ＜－1 D ．k≤－1 5．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜1 6．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝ 12 x B ．y ＝2x 2-1 C ．y ＝23x + D ．y ＝x 2＋ 1x ＋1 7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A ．5π B ．10π C ．20π D ．40π 8．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．180 9．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ） A ．3 B ．5 C ．4 D ．6 10．已知反比例函数k y x = 的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（ ）
2005～2006学年度上期目标检测题 九年级 数学 第一章 证明（Ⅱ） 班级 姓名 学号 成绩 一、判断题（每小题2分，共10分）下列各题正确的在括号内画“√”，错误 的在括号内画“×”. 1、两个全等三角形的对应边的比值为1 . （ ） 2、两个等腰三角形一定是全等的三角形. （ ） 3、等腰三角形的两条中线一定相等. （ ） 4、两个三角形若两角相等，则两角所对的边也相等. （ ） 5、在一个直角三角形中，若一边等于另一边的一半，那么，一个锐角一定等于30°.（ ） 二、选择题（每小题3分，共30分）每小题只有一个正确答案，请将正确答 案的番号填在括号内. 1、在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A 、∠A=∠D B 、∠C=∠F C 、∠B=∠E D 、∠C=∠D 2、下列命题中是假命题的是（ ） A 、两条中线相等的三角形是等腰三角形 B 、两条高相等的三角形是等腰三角形 C 、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形 D 、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形 3、如图(一)，已知AB=AC ，BE=CE ，D 是AE 上的一点， 则下列结论不一定成立的是（ ） A 、∠1=∠2 B 、AD=DE C 、BD=C D D 、∠BDE=∠CDE 4、如图（二），已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD=BC ，过O （一） 任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA=OC ②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD ，其中成立的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（ ） （二） A 、5，8 B 、6.5，6.5 C 、5，8或6.5，6.5 D 、8，6.5 6、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A 、543，， ； B 、6， 7， 8； C 、12， 25， 27； D 、245232，， 7、如图（三），AC=AD BC=BD ，则下列结果正确的是（ ） （三） A 、∠ABC=∠CA B B 、OA=OB C 、∠ACD=∠BDC D 、AB ⊥CD 8、如图（四），△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°AB 的垂直平分线 交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（ ） A 、AD=D B B 、DE=DC C 、BC=AE D 、AD=BC （四）
初中数学九年级旋转知识点总结 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 如下图所示： 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能 与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5．中心对称和中心对称图形的区别 区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。6.中心对称图形的判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 7.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 8.坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
最新人教版初中数学九年级上下册 名师精品说课稿 目录 第21章一元二次方程（13） (4) 21.1 一元二次方程说课稿（一） (4) 《一元二次方程》说课稿（二） (6) 21.2.1 配方法说课稿（一） (10) 配方法说课稿（二） (14) 21.2.2 公式法说课稿（一） (18) 21.2.3 因式分解法说课稿（一） (21) 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系说课稿（一） (25) 一元二次方程根与系数的关系说课稿（二） (28) 21.3 实际问题与一元二次方程说课稿（一） (31) 实际问题与一元二次方程说课稿（二） (35) 第22章二次函数（12） (38) 22.1 二次函数的图象和性质（6） (38) 22.1.1 二次函数说课稿（一） (38) 22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质说课稿（一） (41) 二次函数y＝ax2＋c的图像与性质说课稿（二） (45) 22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质说课稿（一） (49) 22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质说课稿（一） (52) 二次函数y=ax2+bx+c的图象说课稿（二） (57) 2.2 用函数观点看一元二次方程说课稿（一） (62) 22.2用函数观点看一元二次方程（二） (64) 22.3实际问题与二次函数说课稿（一） (71) 《实际问题与二次函数》说课稿（二） (73) 第23章旋转（9） (76) 23.1 图形的旋转说课稿（一） (76)
《图形的旋转》说课稿（二） (81) 《中心对称》说课材料 (85) 23.2.2 中心对称图形说课稿 (90) 23.2.3 关于原点对称的点的坐标说课稿 (93) 《23.3课题学习图案设计》说课材料 (97) 第24章圆（16） (100) 24.1.1 圆说课稿（一） (100) 《垂直于弦的直径》说课稿（一） (103) 《垂直于弦的直径》说课稿（二） (106) 24.1.3 弧、弦、圆心角说课稿（一） (110) 《弧、弦、圆心角》说课稿（二） (113) 24.1.4 圆周角说课稿（一） (118) 24.1.4 圆周角（说课稿）（二） (127) 24.2.1 点和圆的位置关系说课稿（一） (129) 24.2.2 直线和圆的位置关系说课稿（一） (132) 直线与圆的位置关系说课稿（二） (135) 24.3 正多边形和圆说课稿（一） (139) 24.4 弧长和扇形面积说课稿（一） (141) 《弧长和扇形的面积》说课稿（二） (144) 第25章概率初步（12） (147) 25.1.1 随机事件说课稿（一） (147) 《随机事件》说课稿（二） (149) 25.1.2 概率说课稿（一） (156) 《25.1.2概率》说课稿（二） (160) 《用列举法求概率》说课稿r (162) 3.3应用新知，深化拓展 (169) 25.3用频率估计概率（1）说课稿 (172) 九年级下册 (176) 第26章反比例函数（8） (176) 《26.1.1反比例函数》说课稿 (176)
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．． ： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即 的对边 的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
图 1 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当 角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系： 倒数关系：tg α·ctg α=1。 ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 ◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3
初三数学各章节重要知识点梳理 第21章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ； 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1） )0b ,0a (b a b a >≥= ；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被 开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次 根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内 的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有 时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关 问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 第23章 旋转 1、概念： 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质： （1） 旋转前后的两个图形是全等形； （2） 两个对应点到旋转中心的距离相等 （3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． （2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称 第24章 圆 1、（要求深刻理解、熟练运用）
初中数学中考模拟试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）： 1．（4分）﹣6的相反数是（） A．6 B．1 C．0 D．﹣6 2．（4分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（） A．75人B．100人C．125人D．200人 3．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（） A．B．C．D． 4．（4分）下列选项中的整数，与最接近的是（） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（4分）温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表： ） A．5个B．6个C．7个D．8个 6．（4分）已知点（﹣1，y 1），（4，y 2 ）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y 1 ， y 2 ，0的大小关系是（） A．0＜y 1＜y 2 B．y 1 ＜0＜y 2 C．y 1 ＜y 2 ＜0 D．y 2 ＜0＜y 1 7．（4分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，
则小车上升的高度是（ ） A ．5米 B ．6米 C ．6.5米 D ．12米 8．（4分）我们知道方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3） 2 +2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ） A ．x 1=1，x 2=3 B ．x 1=1，x 2=﹣3 C ．x 1=﹣1，x 2=3 D ．x 1=﹣1，x 2=﹣3 9．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=2 EF ，则正方形ABCD 的面积为（ ） A ．12S B ．10S C ．9S D ．8S 10．（4分）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列， 为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 ， ， ，…得 到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1（0，1），P 2（﹣1，0），P 3（0，﹣1），则该折线上的点P 9的坐标为（ ）
初三数学上册知识点总 结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
九年级数学上册知识点 （ 为重中之重） 第一章 二次根式 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 1 性质：a （0≥a ）是一个非负数； ()()02≥=a a a ； ()02≥=a a a 。 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a 。 3 4 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并。 5 二次根式的混合运算 第二章 一元二次方程 1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是2的方程。 2 一元二次方程的解法 ① 配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方； ② 公式法：a ac b b x 242-±-=（其中当△=ac b 42-＞0时，方程有两个不同的实数根：a ac b b a ac b b x x 24,242221---=-+-=；当△=ac b 42-=0时方程有两个相等的实数根：a b x x 221-= =；当△=ac b 42-＜0时，方程无实数根 ） ③ 因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。 3 一元二次方程在实际问题中的应用
4 韦达定理：设21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，那么有 a c x x a b x x =?-=+2121, 第三章 旋转 1 图形的旋转 旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图 形的旋转。 性质：①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角 ③旋转前后的图形全等。 会画出一个图形顺时针或逆时针旋转30°、60°、90°后的图形。 2 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°， 如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形中心对称。 中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对 称图形。 会画出一个图形关于原点对称得图形，也就是中心对称图形。 3 关于原点对称的点的坐标 已知点P 的坐标是（x ，y ）：关于原点对称的点的坐标是（-x,-y ） 关于x 轴对称的点的坐标是( x,-y ) 关于y 轴对称的点的坐标是( -x,y ) 第四章 圆 1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴； 垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧； 平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 3 弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等。 4 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是 直径。 5 点和圆的位置关系 点在圆外 r d >
第二十七章相似 27.1 图形的相似 1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点) 2．理解成比例线段的概念，会确定线段的比．(难点) 一、情境导入 如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状( 包括地图中所描绘的各个部分 )肯定是相同的． 日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形．像这样的图形有哪些性质？下面我们就一起探讨一下吧！ 二、合作探究 探究点一：相似图形 观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的？ 解析：通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，然后作出判断． 解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同． 方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同．变式训练：见《学练优》本课
时练习“课堂达标训练” 第1题 探究点二：比例线段 【类型一】 判断四条线段是否成比例 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm 解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D. 方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用成比例线段的定义，求线段的长 已知线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a ＝2m ，b ＝4m ，c ＝5m ，则d ＝( ) A ．1m B ．10m C.52m D.85 m 解析：∵线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a ∶b ＝c ∶d ，而a ＝2m ，b ＝4m ，c ＝5m ，∴d ＝b ·c a ＝4×52 ＝10(m)．故选B. 方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 利用比例尺求距离 若一张地图的比例尺是1∶150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm ，则甲、乙两地的实际距离是( ) A ．3000m B ．3500m C ．5000m D ．7500m 解析：设甲、乙两地的实际距离是x cm ，根据题意得1∶150000＝5∶x ，x ＝750000(cm)，750000cm ＝7500m.故选D. 方法总结：比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点三：相似多边形 【类型一】 利用相似多边形的性质求线段和角 如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a 、b 的长度及角α的值．