离散型随机变量的期望与方差、正态分布
教学目标：１更好地理解并会求解简单问题的离散型随机变量的分布列，特别是要重点
把握二项分布；
２.理解正态分布的σ3原则；
３.掌握离散型随机变量的均值及方差的计算方法。
重、难点：实际问题中恰当定义随机变量，求离散型随机变量的分布列及其期望。
教学过程： [知识梳理] 一、均值：
一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下：
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i … p n
则称∑==+???+++=n
i i i
n n p x
p x p x p x p x X E 1
332211)(为离散型随机变量X 的均值．．或数学．．
期望．．
。数学期望简称为期望。 离散型随机变量X 的均值．．[E (X)]也称为X 的概率分布的均值，它反映了X 取值的平均水平，并且它与X 有相同的单位。
E (X)是一个常数，不依赖于样本的抽取。
样本平均值是一个随机变量，它随着抽取的样本的不同而不同。对随机抽取的样本，随着样本容量的增大，样本平均值越来越接近于总体的均值。
E (X)越大，说明总体的平均数越大，反之，就越小。 性质：
１. E (C)＝C （C 为常数） ２. E (aX)=a E (X) 3. E (aX+b)=a E (X)+b 4. E (X+η)= E (X)+ E (η) 5. E (X ·η)= E (X)·E (η) (X ，η相互独立时) 6.若X 服从二点分布，则E (X)＝p 7.若X ～B (n ，p )，则E (X)＝n p 8.若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则E (X)＝nM/N 。
（如果X ～B (n ，p )，则由1
1--=k n k n nC kC ，可得
np q
p C np q
p
npC
q
p kC
X E n k k
n k k n n
k k n k k n n k k
n k k n
===
=
∑∑∑-=---=------=-1
111
)
1(11
11
)(）
二、方差：
设离散型随机变量X 的分布列为：
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
则2)(EX x i -描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度。而
∑=-=
n
i i i
p EX x
DX 1
2
)(为这些偏离程度的加权平均数，刻画了随机变量X 与其均值
EX 的平均偏离程度，称DX 为随机变量X 的方差。
DX 称为X 的标准差，记作X σ。
DX 和DX 都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度。方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。变即随机变量取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越分散，稳定性越差，波动性越大。
性质：（a,b 为常数）
1. D(b)=0，
2. D(aX)=a 2DX
3. D(aX+b)=a 2
DX 4. 若X 服从参数为p 的二点分布，则DX ＝p (1-p ) 5. 若X ～B (n ，p )，则DX=n p (1-p )。 求D(X)的步骤： ①、求出X 的分布列；
②、求n n p x p x p x p x X E +???+++=332211)(；
③、求2
21
2)]([)(D(X))()(x E X E p EX x
X D n
i i i
--=∑=＝或。
【典型例题】
例１：某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。
（1）求第一天通过检查的概率；
(2）求前两天全部通过检查的概率；
（3）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望。
（解析：（I ）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品
∴第一天通过检查的概率为: P
C C
1
94
10
4
35
=
=
（II ）同（I ），第二天通过检查的概率为: P C C 284
10
4
13
==
因第一天，第二天是否通过检查相互独立
所以，两天全部通过检查的概率为：P P P
==
?
=
1
2
35
13
15
（II ）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2
∴==
?=P ()ξ02523415
P ()ξ
==
?
+
?
=
135
23
13
25
815
P ()ξ
==
?
=
235
13
15
因此，E ξ
=?
+?
+?
=
0415
1815
215
1415
例2：（书例）一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作答或答错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从四个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。（服从二项分布的随机变量的期望）
(解：设学生甲和学生乙在这次英语单元测验中选择了正确答案的选择题的个数分别为ξ和η，则:ξ～B （20，0.9），η～B （20，0.25）∴E ξ=20×0.9=18，E η=20×0.25=5
由于，选择正确答案得5分，学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩分别为5ξ和5η。∴学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望分别为
E （5ξ）=5E ξ=5×18=90， E （5η）=5E η=5×5=25)
例3：为了测试某射击运动员的射击水平，让他向目标靶射击10次，其中击中目标7次。若再让他向目标靶射击3次，求该运动员击中目标次数ξ的均值。
(解：射中0次概率C 0
37.0?×(1－0.7)3=0.027，射中一次概率C 7.01
3?×(1－0.7)2=0.189， 射中二次概率C 7.02
3?2×(1－0.7)2=0.441，射中三次概率C ?3
3(0.7)3=0.343， E ξ=1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1。）
例4：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数
（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率
[解：（1）ξ的可能取值为0，1，2 P （ξ=k ）=
36
34
2C
C C k
k -?，k =0，1，2
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
P
5
1
5
3 5
1
（2）由（1），可知E ξ=0×5
1+1×
5
3+2×5
1=1
（3）“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为:P （ξ≤1）=P （ξ=0）+P （ξ=1）=
5
4
]
例5： A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A 队队员胜的概率
A 队队员负的概率
A 1对
B 1 32 3
1 A 2对B
2 52 5
3 A 3对B 3
5
2
5
3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布； （2）求E ξ、E η
分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0
P （ξ=3）=32×52×52=
75
8，
P （ξ=2）=32×52×53+31×
52×52+
3
2×
53×52=7528，
P （ξ=1）=
3
2×
53×53+3
1
×5
2×
5
3+3
1
×
5
3×
5
2=
5
2，
P （ξ=0）=3
1
×
5
3×
5
3=
25
3；
根据题意知ξ+η=3，所以
P （η=0）=P （ξ=3）=758，P （η=1）=P （ξ=2）=7528， P （η=2）=P （ξ=1）=5
2，P （η=3）=P （ξ=0）=
25
3
（2）E ξ=3×
75
8+2×
75
28+1×
5
2+0×
25
3=
15
22；
因为ξ+η=3，所以E η=3－E ξ=
15
23
例6：金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW ，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min ，且开动与否是相互独立的现因当地电力供应
紧张，供电部门只提供50 kW 的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间大约是多少?
分析：由实际问题确定随机变量的取值，由独立重复试验求概率值
解：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因
此ξ～B （10，p ）其中p 是每台机床开动的概率，由题意p =
60
12=
5
1
从而P （ξ=k ）=C k
10（
51
）k （
5
4
）10－k ，k =0，1，2，…，10
50 k ．．．W ．电力同时供给．．．．．．5．台机床开动，因而．．．．．．．．10．．台机床同时开动的台数不超过．．．．．．．．．．．．．5．台时都可以正常工作．．．．．．．．．这一
事件的概率为P （ξ≤5），
P （ξ≤5）=C 0
10（
5
4）10+C 1
10·
5
1·（
5
4）9+C 2
10（
5
1）2·（
5
4）8+C 3
10（
5
1）3（
5
4）7+C 4
10（
5
1）4·（
5
4）
6
+C 5
10（
5
1）5·（
5
4）5≈0994
因此，在电力供应为50 kW 的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0006，从而在一个工作班的8
h 内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0006=288（min ），这说明，10台机床的工作基本上不受电力
供应紧张的影响
点评：分布列的实际应用，应结合题意给出答案
例7：如果ξ～B （20，3
1
），则使P （ξ=k ）取最大值的k 的值是________ （答案：6或7）
（解析：)()1(k P k P =+=ξξ=k k k
k k k ---++20201
201120)
3
2()31(C )
3
2()31(C =120+-k k ×21≥1，得k ≤6
所以当k ≤6时，P （ξ=k +1）≥P （ξ=k ）， 当k ＞6时，P （ξ=k +1）＜P （ξ=k ）， 其中k =6时，P （ξ=k +1）=P （ξ=k ）， 从而k =6或7时，P （ξ=k ）取得最大值）
例8：如图所示为某军训基地，一条坑道宽4m ，坑道中有3排等距离的木柱子，并且柱子上端与坑道面是水平的，士兵可以借助木柱子跳跃过坑道。已知士兵跳跃2m 的概率为3
1，
跳跃1m 的概率为3
2，假定士兵从起跳点越跳，落在坑道边的着脚点处（落在任一着脚点处
均可）。
（1）求士兵跳跃3次过坑道的概率；
（2）设士兵跳跃过坑道时跳跃的次数为X ，求X 的分布列及数学期望。
答案：
27
16
27
86
例9：某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响。已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88。用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积。
（1）记“函数f(x)=x 2
+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； 0.24 （2）求ξ的分布列和数学期望。 0.52
例10：（书例）有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X 1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P 1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P 2 0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
[简析：E(X 1)=1400=E(X 2), D(X 1)=40000 三、正态分布： 1、总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．．．．．． 。（由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质：①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为1） 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b ]内取值的概率等于总体密度曲线、直线x =a 、x =b 及x 轴所围图形的面积（图中阴影部分）： ?≈ ≤ a dx x b X a P )()(, σμ?。 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 ()2,1(),(,)2x x e x μσ μσ?πσ -- = ∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． ２、正态分布: 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ?= ≤ a dx x b X a P )()(, σμ?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数．．μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．σ是． 衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ２.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在 研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． ３．正态分布),(2 σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．．．．．．．．．．．．．．．．．.特别地，当 1,0==σμ时，2 ,2 21x e - = π ?σμ ，称X 服从标准正态分布．．．．．． ：X ～N （０，１）. 任何正态 分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题。 通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称。 3、正态曲线的性质： （1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 （2）曲线关于直线x=μ对称 （3）当x=μ时，曲线位于最高点 （4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 （5）μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。 ４、正态总体),(2σμN 取值的概率： 若X ～),(2σμN ，则对于任何实数a>0，概率： ?+-= +≤<-a a dx x a X a P μμ σμ?μμ)()(, 对于固定的μ和a 而言，σ越小，X 落在区间],(a a +-μμ的概率越大。特别有： 9974 .0)33(9544.0)22(6826 .0)(=+≤<-=+≤<-=+≤<-σμσμσμσμσμσμX P X P X P （*） 相应结果如下图： 从中可以看出，正态总体几乎总取值于区间（μ-3σ，μ+3σ）之内。而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。因此，在实际应用中，通常认为服从于正态分布),(2 σμN 的随机变量X 只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，并简称为３σ原则。 ５、标准正态总体N(0,1)取值的概率： x y 对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <.只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00 利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积 1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． （对于非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)( )(σ μ -Φ=x x F 转化成标准正态总体， 然后查标准正态分布表即可。在这里重点掌握如何转化，首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化 ） （小概率事件的含义：发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生。 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体； 二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判断 ） [范例：] 例11：给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(2 2 +∞-∞∈= - x e x f x π （２）),(,221)(8 )1(2 +∞-∞∈= -- x e x f x π （３）2 2(1) 2(),(,)2x f x e x π -+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 例12：某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π 21，求总体落 入区间（－1，2）之间的概率 解：由已知可知，这个正态分布就是标准正态分布。由)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{1 1)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p =1)1()2(-Φ+Φ =0.9772＋0.8413－1=0.8151．（此解法利用了正态分布表） P(-1 1[ P(-2 1[0.9544-0.6826]=0.8185 (此解法是借用（*）及正态分布曲线的对称性来求的，可画个图。掌握此法！) 【巩固练习】 １、抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数X 的均值为 。 2、一台机器在一天内发生故障的概率为0.1。若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利5万元；发生1次故障仍可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次或3次以上故障要亏1万元。这台机器一周内可能获利的均值是多少？ ３、甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在７、８、９、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下： 运动员 甲运动员 乙运动员 射击环数 频数 频率 频数 频率 7 10 0.1 8 0.1 8 10 0.1 12 0.15 9 x 0.45 r 10 35 y 0.35 合 计 100 1 80 1 若将频率视为概率，回答下列问题： （1）求甲运动员击中10环的概率； （2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率； （3）若甲运动员射击２次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及E ξ。 ４、若X ～N （５，１），求P （６ 常见分布的期望和方差 x n (0,1) N() 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布： 即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服 从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关） 13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差 一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ． 解：(1) )4.22 1 3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤ -=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950 .09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12 1 78.2(1)56.4(1)56.4(<-< --=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=-- 二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ） 之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ． 而)26 .0100 2()6.02.16.01006.02.1( )2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-?= 故0456.09544.01=-=p ． 三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度 3200 )20(22401)(-- = x e x f π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为 }30{}30{}30{>?>?>=ξξξD 第三次第二次第一次 因为)40,20(~2 N ξ，所以由事件的相互独立性，有 31,01,033)]25 .0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(3 3 ≈=--= 于是有 86975.013025.01)(1}30{=-=-= 2.5随机变量的均值和方差 扬州市新华中学查宝才 教学目标： 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学方法： 问题链导学． 教学过程： 一、问题情境 1．情景． 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下． 2．问题． 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二、学生活动 1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大， 似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三、建构数学 1．定义． 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n 计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值． 类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下： X x1x2…x n P p1p2…p n 其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ． 2．性质． （1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数） 四、数学应用 1．例题． 例1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)． 例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)． 说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np． 例3设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场, 那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ，试求需要比赛 场数的期望． 离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案） 一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =． 考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验. 【题型】选择题 【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ） 第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差 离散型随机变量的期望值和方差 一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、 方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ） A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 解：选C 说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。 （2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。 解：含红球个数ξ的E ξ=0× 101+1×106+2×10 3=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本 题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。 例2、设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ 剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ。 解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以??? ? ???≤≤-≤=+-+11 2101212122 q q q q §12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑n i ＝ 1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D ?X ?为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －?x －μ?22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我 们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． (3)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a 随机变量的均值与方差 一、填空题 1．已知离散型随机变量X 的概率分布为 则其方差V (X )＝解析 由0.5＋m ＋0.2＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案 2.44 2．(优质试题·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 解析 设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B (1 000,0.1)，且X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案 200 3．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________． 解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6,0.4 4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1 5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则????? 15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1， 解得????? a ＝3 5，b ＝1 5， 所以V(ξ)＝(0－1)2×1 5＋(1－1) 2× 3 5＋(2－1) 2× 1 5＝ 2 5. 答案2 5 5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2.4 6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________． 解析由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝1 C35＝ 1 10， P(X＝4)＝C23 C35＝ 3 10，P(X＝5)＝ C24 C35＝ 6 10＝ 3 5， 所以E(X)＝3×1 10＋4× 3 10＋5× 3 5＝4.5. 答案 4.5 7．(优质试题·扬州期末)已知X的概率分布为 设Y＝2X＋1，则 解析由概率分布的性质，a＝1－1 2－ 1 6＝ 1 3， ∴E(X)＝－1×1 2＋0× 1 6＋1× 1 3＝－ 1 6， 因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2 3. 答案2 3 8．(优质试题·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分 期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾： 1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x 1 x 2 … x n … P p 1 p 2 … p n … 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒： 1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np 4.方差:ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…． 5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒： 1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； 2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度； 3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾： 1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(2 22)(∈=--x e x f x σμσ π的图象，则其分布叫正态分布， 常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线． 三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示： 随机变量的均值与方差的计算公式的证明 姜堰市励才实验学校 姜近芳 组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。 预备知识: 1. ()()()()11!!1!1! !!--=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 2. k k n C 2=()1111111-------+=k n k n k n C k n nC nkC =()22111-----+k n k n C n n nC 3.N 个球中有M 个红色的,其余均为白色的,从中取出n 个球,不同的取法有: n N l n M N l M n M N M n M N M n M N M C C C C C C C C C =++++------- 22110 ()()M n l ,m i n =. 公式证明: 1.X ～()p n B , ()()X E 1.np =()()X V 2().1p np -= 证明:()n n p x p x p x p x X E ++++= 332211 ()()()n n n n n n n n n p nC p p C p p C p p C ++-+-+-?=-- 222110012110 ()()[] n n n n n n n p C p p C p p C n 11221110111------++-+-= ()[] 11-+-=n p p np .np = ()()()()n n p x p x p x X V 2 222121μμμ-++-+-= n n p x p x p x p x 2323222121++++= ()n n p x p x p x p x ++++- 3322112μ ()n p p p p +++++ 3212μ ()() 2222222112121μμ+-++-+-=--n n n n n n n p C n p p C p p C ()()[]11121110111-------++-+-=n n n n n n n p C p p C p C np ()()()[] 22223122022111μ-++-+--+-------n n n n n n n p C p p C p C p n n 随机变量的均值和方 差 随机变量的均值和方差 自主梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 (1)均值 μ＝E (X )＝________________________________为随机变量X 的均值或______________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差 σ2＝V (X )＝_________________________________＝∑n i ＝1 x 2i p i －μ2为随机变量X 的方差， 它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差，即σ＝V (x ). 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝________. (2)V (aX ＋b )＝________(a ，b 为实数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，V (X )＝ ____________________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝____，V (X )＝________. 1．若η＝aξ＋b ，则E (η)＝aE (ξ)＋b ，V (η)＝a 2V (ξ)． 2．若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )． 自我检测 1．若随机变量X 2.已知随机变量X n ，p 的值分别为________和________． 3．(2010·课标全国改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简 历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三 个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1 12 ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.(完整word版)常见分布的期望和方差
正态分布的数学期望与方差
正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
2.5 随机变量的均值和方差
离散型随机变量的均值与方差(含答案)
独立随机变量期望和方差的性质
离散型随机变量的期望值和方差
均值方差正态分布学生用
随机变量的均值与方差
高二正态分布(期望、方差)讲义
随机变量的均值与方差的计算公式的证明
随机变量的均值和方差学习资料
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