目录
本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。
注：有(*)标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：
第一讲实数（一）
第二讲实数（二）
第三讲平面直角坐标系、函数
第四讲一次函数（一）
第五讲一次函数（二）
第六讲全等三角形
第七讲直角三角形与勾股定理
第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）
第九讲竞赛中整数性质的运用
第十讲不定方程与应用
第十一讲因式分解的方法
第十二讲因式分解的应用
第十三讲考试（未装订在内，另发）
第十四讲试卷讲评
第1讲 实数（一）
【知识梳理】
一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数
（1）实数的绝对值是非负数，即|a |≥0
在数轴上，表示实数a 的点到原点的距离叫做实数a 的绝对值，用|a |来表示
设a 为实数，则??
?
??<-=>=0)0(0)0(||a a a a a a 绝对值的性质：
①绝对值最小的实数是0
②若a 与b 互为相反数，则|a |＝|b |；若|a |＝|b |，则a ＝±b ③对任意实数a ，则|a |≥a ， |a |≥－a ④|a 2b |＝|a |2|b |，|
||
|||
b a b a =
(b ≠0) ⑤||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |
（2）实数的偶次幂是非负数
如果a 为任意实数，则n a 2≥0（n 为自然数），当n ＝1时，2a ≥0
（3）算术平方根是非负数，即
a ≥0，其中a ≥0.
算术平方根的性质：
()
a a =2
（a ≥0）
||2a a =＝??
?
??<-=>0)0(0)0(a a a a a
2、非负数的性质
（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3
4
a =
5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
【例题精讲】
◆专题一：利用非负数的性质解题： 【例1】已知实数x 、y 、z 满足024
1
||212=+++-+-z y z z y x ，求x ＋y ＋z 的平方根。 【巩固】
1、已知2
(6)0x y ++=，则x y -的值为______________；
2、若0)2(12=-+-ab a ，
)
2007)(2007(1
)2)(2(1)1)(1(11+++
+++++++b a b a b a ab 求
的值
【拓展】
设a 、b 、c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求a 、b 、c 的值
0)a ≥ 的应用 【例2】已知x 、y 是实数，且=+-+-=y x x x y 则,32112 ；
【例3】
已知x 、y 、z 适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20022002223，
求x y z ++的值。 【巩固】
1、已知b ＝31315153+-+-a a ，且11+a 的算术平方根是m ，14+b 的立方根是n ，试求
)43)(2(+-mn mn 的平方根和立方根。
2、已知1
41122++-+-=x x x y ，则
=+y
x ）（32 ；
【拓展】在实数范围内，设a ＝201041
(1
x x ++，求a 的个位数字。
a =a =的化简及应用
常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【例4】化简：961222+-++-=x x x x y
【例5】若实数x 满足方程11x x -=+ = ；
【巩固】
1、若92=a ，42=b ，且a b b a -=-2)(，则=+2
)(b a ；
2、已知实数a 满足a ＋332a a +＝0，那么11a a -++= ；
3、设449612222++++-++-=
x x x x x x y
（1）求y 的最小值
（2）求使6＜y ＜7的x 的取值范围。
【拓展】若01)13(22
2
=--++-x x a x
x ，求2)2(-a 的值。
【课后练习】
1、如果a < 0
2、已知32-m 和12-m 是数p 的平方根，则求p 的值 。
3、设a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，则2
2)()(c b a c b a -++--＝ 。
4、已知x 、y 是实数，且,111+-+- 121 1 2+--y y y ＝ 。 5、若0< a <1 ，且16a a + =，则的值a a 1-为 。 6、代数式21-+-+x x x 的最小值是 。 7、已知实数a 满足20001999-+-a a ＝a ，则21999-a ＝ 。 8、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足04412 =+-+-b b a ，求c 的取值范围。 9、已知)(2 1 21z y x z y x ++= -+-+，求x 、y 、z 的值。 10、实数a 、b 、x 、y 满足213a x y -=-+，213b y x --=-，求b a y x +++22 的值。 第2讲 实数（二） 【知识梳理】 一、实数的性质 1、设x 为有理数，y 为无理数，则x ＋y ，x －y 都为无理数；当x ≠0时，xy ， y x x y ,都是无理数；当x ＝0时，xy ， y x 就是有理数了； 2、若x 、y 都是有理数，m 是无理数，则要使m y x +＝0成立，须使x ＝y ＝0; 3、若x 、y 、m 、n 都是有理数，n m ,都是无理数，则要使n y m x ±=±成立，须使x ＝y ，m ＝n 二、实数大小的比较 常用方法：直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法 三、证明一个数是有理数的方法： 证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。 【例题精讲】 ◆例1：比较下列两数的大小： （1 （2）323 （3）3662-- （4）a a --213 （5） 103102 252253++++ （6） a a a a ++++1 22 3 【巩固】设a b c a b c =、、的大小？ ◆例2：若53+ 的小数部分为a ，53-的小数部分为b ，则b a +的值为 。 【巩固】 1、已知a 为217- 的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-，求b a +的值。 2x ，小数部分为y ，试求y y x 1 ++的值。 m ，小数部分为n a ，小数部分为b ， 试计算：2()()m a b n ---的值。 ◆例3：已知m 、n 是有理数，且m ）25(+ 07)523(=+-+n ，求m 、n 的值。 【巩固】 1、已知a 、b 是有理数，且 032091412123412331=--??? ? ??-+???? ??+b a ，求a 、b 的值 2、已知x 、y 是有理数，并且x 、y 满足23232322-=++y y x ，求y x +的值。 ◆例4：设a =3，b =30，试用a 、b 的代数式表示9.0 【巩固】：已知a =3，b =21，试用a 、b 的代数式表示28.0 ◆例5 (*) ◆例6：a 与b (*) 【拓展】： (*) ◆例5：若a 、b 满足||32,7||53b a s b a -==+求的取值范围。 【巩固】：已知122 2 =+y x ，求x 和y 的取值范围； 【课后练习】 1、比较大小：511610 ++ 2、设a 、b 是正有理数，且满足03252)23()23(=---++b b a a ，求ab 的值。 3x ，小数部分为y ，试求(x y y ++的值。 4、已知139+与139-的小数部分分别是a 、b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值。 5、已知a 、b 为有理数，x 、y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且12 =+by axy ，求a ＋b 的值。 6(*) 第3讲 平面直角坐标系、函数 【知识梳理】 1、平面直角坐标系：是在数轴的基础上，为了实际问题的需要而建立起来的。是学习函数的基础，数形结合是本节最显著的特点。 2、坐标平面内任意一点P ，都有唯一的一对有序实数（x ，y ）和它对应；反过来，对于任何一对有序实数（x ，y ），在平面内都有唯一的点P 和它对应。与点P 相对应的有序实数对（x ，y ）叫做点P 的坐标。 3、平面直角坐标系内的点的特征 （1）若点P （x ，y ）在第一象限内?? ?>>?→←00y x ；（2）若点P （x ，y ）在第二象限内???> y x （3）若点P （x ，y ）在第三象限内???< ? ?<>?→←00 y x （5）若点P （x ，y ）在x 轴上???=?→← 0y x 为任意实数 ；（6）若点P （x ，y ）在y 轴上???=?→←为任意实数 y x 0 4、对称点的坐标特征 （1）点P （x ，y ）关于x 轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P （x ，－y ） （2）点P （x ，y ）关于y 轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P （－x ，y ） （3）点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标为P （－x ，－y ） 5、函数的有关定义 （1）函数的定义、在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于每一个x 确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 是自变量，y 是的函数。 （2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。 6、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以 （1）使分母不为零； （2）开平方时被开方数为非负数； （3）为整式时其自变量的范围是全体实数； 另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。 【例题精讲】 ◆例1：若点M （1＋a ，2b －1）在第二象限，则点N(a －1，1－2b )在第 象限； 【巩固】 1、点Q （3－a ，5－a ）在第二象限，则25104422+-++-a a a a ＝ ； 2、若点P （2a ＋4，3－a ）关于y 的对称点在第三象限，求a 的取值范围为 ； ◆例2：方程组???=+=-3 2 y mx y x 的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内，求m 的取值范围 【巩固】已知点M （a 、b ）在第四象限，且a 、b 是二元一次方程组???-=-=+32 671 34y x y x 的解，求点M 关于坐标原点的对称点'M 的坐标。 ◆例3：在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【拓展】在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A （10，0）、B(0，10)、 C(－10，0)、D(0，－10)，则该正方形内及边界上共有_______个整点（即横纵坐标都是整数的点） ◆例4：求下列函数中自变量的取值范围、 2 3 (1)235(2) 4 (3)(4) (5)(6) x y x x y x y y y y =-+= - == == ◆例5：如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，求鸡场的一边长y（m）与另一边长x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围。 【巩固】 1、求下列函数中，自变量x的取值范围： ① x y - = 1 1 ；② 2 | | x 1 - - = x y；③ 2 6 + - - = x x x y 2、周长为10cm的等腰三角形，腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围为_________________． 【拓展】若函数y＝ c x x+ +2 1 2 的自变量x的取值范围为一切实数，求c的取值范围。 y x ◆例6：已知函数23--=x y 的图像如图所示，求点A 、B 的坐标。 【巩固】若点P （x ，y ）在函数x x y -+= 21 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 ◆例7：一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一定的．已知水池的容积为800 升，又知单开进水管20分钟可把空水池注满；若同时打开进、出水管，20分钟可把满水池的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管3分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把水池中的水放完，则能确定反映这一过程中水池的水量Q （升）随时间t （分钟）变化的函数图象是（ ） 【巩固】 如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M A B M →→→的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M 的距离 y 与时间x ） A ． B ． C ． D ． 【课后练习】 1、汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，?则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（ ? ） A 、S ＝120－30t （0≤t ≤4） B 、S ＝30t （0≤t ≤4） C 、S ＝120－30t （t >0） D 、S ＝30t （t ＝4） 2、图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离．．()y 与时间()x 之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ） 3、函数3 12---= x x y 自变量x 的取值范围为___________________； 4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下图的四种底面积相同的容器中， 下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度h 和时间t 的函数关系图象： A ．（1）～甲，（2）～乙，（3）～丁，（4）～丙 B ．（1）～乙，（2）～甲，（3）～丁，（4）～丙 C ．（1）～乙，（2）～甲，（3）～丙，（4）～丁 D ．（1）～丁，（2）～甲，（3）～乙，（4）～丙 5、平面直角坐标系内，点A （n ，1－n ）一定不在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6、若P(a ＋b ，－5)与Q(1，3a －b )关于原点对称，则（a ＋b ）(a －b )的值为 ； 6、已知点P （3p －15，3－p ）在第三象限，如果其坐标为整数点，求点M 的坐标。 A B C D 甲． 乙． 丙． 丁． （1） （2） （3） （4） 第4讲 一次函数（一） 姓名： 【知识梳理】 一、一次函数和正比例函数的概念： 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数. 二、一次函数的图象： 由于一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y ＝kx ＋b 的图象也称为直线y ＝kx ＋b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（－ k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y ＝kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 三、一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质： （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小． （2）|k |大小决定直线的倾斜程度，即|k |越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k |越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b ＝0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①如图11－18（1）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k |决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y ＝x ＋1可以看作是正比例函数y ＝x 向上平移一个单位得到的． 四、正比例函数y ＝kx （k ≠0）的性质： （1）正比例函数y ＝kx 的图象必经过原点； （2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 五、用函数的观点看方程与不等式： （1）方程2x ＋20＝0与函数y ＝2x ＋20观察思考、二者之间有什么联系？ 从数上看：方程2x ＋20＝0的解，是函数y ＝2x ＋20的值为0时，对应 自变量的值 从形上看：函数y ＝2x ＋20与x 轴交点的横坐标即为方程2x ＋20＝0的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kx ＋b ＝0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx ＋b 确定它与x 轴交点的横坐标值． （2）解关于x 、y 的方程组y kx b y mx n =+?? =+?，从“数”的角度看，?相当于考虑当自变量为何值时两个函 数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的交点坐标。两条直线的交点坐标，?就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。 （3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围． 解关于x 的不等式kx ＋b >mx ＋n 可以转化为： 当自变量x 取何值时，直线y ＝（k －m ）x ＋b －n 上的点在x 轴的上方，或（2）求当x 取何值时，直线y ＝kx ＋b 上的点在直线y ＝mx ＋n 上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 【例题精讲】 ◆例1：已知一次函数,0y kx b kb =+<，则这样的一次函数的图象必经过第 象限. 【巩固】 1、一次函数n mx y -=的图象如图，则下面结论正确的是（ ） A 、0,0< B 、0,0> C 、0,0>>n m D 、0,0<>n m 2、若直线b kx y +=经过点A （m ，－1），B （1，m ）（其中1- 限。 【拓展】已知abc ≠0，并且 a b b c c a p c a b +++===，那么y px p =+一定经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限 ◆例2：若直线y ＝kx ＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k 的值是多少？ 【巩固】过点P （1-，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作几条？ 【拓展】设直线1)1(=++y k kx （k 是正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为1S 、2S 、3S 、…、 2000S 则=+???++200021S S S ； ◆例3：如图所示，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，直线y ＝－2x ＋6与x 轴交于点B ，且两条直线的交点为P ，试求出△P AB 的面积？ 【巩固】 y = 1、如图，在直角坐标系中，长方形OABC 的顶点B 的坐标为(15，6)，直线1 3 y x b =+恰好将长方形OABC 分成面积相等的两部分，那么b = 2、如图所示，已知直线y ＝x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式． 【拓展】若直线1y kx k =+-和直线(1)y k x k =++（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为k S ，则1232008S S S S ++++?值为___________. ◆例4：一次函数1y k x b =+与一次函数2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列结论：①k 1＞0，b ＜0；②k 2＞0；③关于x 的不等式12k x b k x +>的解集是1x <-；④关于x 、y 的 二元一次方程组12y k x b y k x =+??=?的解为12x y =-??=-? ；其中正确的结论有 【巩固】 x b + x
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