2
(2)
【例3】比较大小:
高一数学指数函数平移问题
x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象;向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象; 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象;向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数?经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪
1 . ⑵由2x+
2 — 1 >0,得定义域{x|x >— 2},值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是{x|x < 2},: 0<
3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 .
及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y
(2) y (|)|x|;
【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c),在x 轴上任取一点(x , 0),则得 b v a v 1 v d v c . J
y
y=c E
r
匪.6-2
及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」;「-,则它们的图象是().
(1) 2、3 2、5 4、8 8、
9
16的大小关系是:
(2)0.6
3
???0.6 5 > (3) 2
图像如图 2. 6-3,取 x = 3.6,得 4.53?6>3.73.6二 4.54*1 >3.73?6. 说明 如何比较两个幕的大小:若不同底先化为同底的幕,
再利用指数函数的单调性进行比较,如例
2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时,有两个技巧,其一借助 1作桥梁,如例2
中的(2).其二构造一个新的幕作桥梁,这个新的幕具有与 4.54」同底与3.73.6同指数的特点,即为
4.53.6(或 3.74.1),如例 2 中的(3).
1 【例5】 已知函数f(x) = a - 2*+ 1,若f(x)为奇函数,则a=
.
1 1 【解析】 解法
1: T f(x)的定义域为R ,又T f(x)为奇函数,? f(0) = 0,即a - 2+1 = 0.「. a = q 1 1 1 1 解法 2
:T
f(x)为奇函数,.?? f( 一 x) = 一 f(x),即 a — 2-x + 1 = 2%+ 1 一a ,解得 a = ^.【答
案】
2
3 2
【例6】求函数y = (3)x — 5x + 6的单调区间及值域.
4
3
解 令u = x 2 — 5x + 6,贝Uy =(2)u 是关于u 的减函数,而u = x 2 — 5x
5
5
+ 6在x € ( x,—]上是减函数,在x € [ — , 3 )上是增函数..?.函数
y =(3)"一5x + 6的单调增区间是(x, 5],单调减区间是 谆, x ).
(3)4.5 4" _______ 3.73?6 1
解(1) T . 2 2 2 , 3 2
2 > 1,该函数在 2 4 v — v
5 9 4 函数y = 2
1 3 又一 v - v 3 8 9
16 v ..2 ?
解(2) T 0.6 5 > 1,
3 (2)
2
3
,5 4 2 ? , 1 8 2 8 ,
9
16
)上是增函数,
解(3)借助数4.53?6打桥,利用指数函数的单调性,
4.54.1 >4.53?6,作函数 y 〔 = 4.5x , y 2= 3.7x 的
及时演练(1)1.72.5 与 1.73
( 2 ) 0.8 0.1 与 0.8 0.2
( 3 ) 1.703 与 0.93.1
(4)3.52.1 和
2.0
2.7
【例4】比较大小n1a n 与n a n 1 (a >0且a ^1, n >1).
1
? aE v 1,
n(n 1)
当a > 1 时,T n > 1,
1 n(n 1)
> 0,
当 01, ? n(n 1)
…a > 1,
5 1 i
又■「u = x 2 — 5x + 6 = (x )2 》 ,
2 4 4
3 1
函数y = (—)u ,在u € [ — , *)上是减函数,
4 4 所以函数y =(?)x2— 5x + 6的值域是(0, 也?
4 —
— —
【例7】求函数y = (-)x (2)x + 1(x > 0)的单调区间及它的最大值.
— — — — — —
解 y=£)x ]2 (-)x — [(2)x 2]2 4,令尸(2)x ,v x >o ,
— —
??? 0V U < —,又T U = g )x 是乂€ [0 ,+* )上的减函数,函数 y = (u
)2
— — — — — —
在u € (0,-]上为减函数,在 纭,—)上是增函数?但由0V (-)x < -
— — — —
得X 》—,由—w (—)x w —,得0= x W —,-函数y =(—广 (一)x + —单调增
2 2 3
4 2
区间是[—,+* ),单调减区间[0,—]
a x 2 — _ 2(a x| a x 2)
a x 2 — _ (a x| —)?2 —) (a x
2
+ —) > 0,? f(x —) V f(x 2),故f(x)在R 上为增函数.
当x = 0时, 函数y 有最大值为—?
【例8】已知f(x)= x
a x
a
—(a >—)
(—)判断f(x)的奇偶性; 解(—)定义域是R .
⑵求f(x)的值域;
⑶证明f(x)在区间(— 8,+^ )上是增函数.
a x
—
f(—x) =
x a x
a
—
-=—f(x),
??
f(x)为奇函数.
x
(2)
函数尸Oh ,
山 >0 — —V y V —,即 f(x)的值域为(—
—,—).
—y
(—)设任意取两个值x —
x?€ (— m ,+m )且 x —V x 2. f(x —) — f(x 2)
x l
—
a | =x | —
a 1
T a > —,x — V x 2,a x — V a x 2, (a x —
+ —)
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题(每题4分,共40分) 1、下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1,2}?A ?{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U (M ∪N )= ( ) A . {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中,错误的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 ( ) A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ,则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-,A={}2,b ,C U A={} 5,则a = ,b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A∩C=Φ,求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-,B=} { 2 20x x ax b -+=,若B ≠?,且A B A ?= 求实数 a , b 的值。
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.