内蒙古自治区包头市青山区2019届中考二模试
数学
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）
A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱
2．下列计算错误的是（）
A．a?a=a2B．2a+a=3a C．（a3）2=a5D．a3÷a﹣1=a4
3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某批次手机的防水功能的调查
D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
4．满足不等式组的整数解是（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
5．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（）
A．B．C．D．
6．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）
A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3
D．y=（x﹣2）2﹣3
7．如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣）?的值是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）
A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n
mile
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM
和的长分别为（）
A．2，B．2，πC．，D．2，
10．已知下列命题：①若x=5，则|x|=5；②若a2≠b2，则a≠b；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形，其中原命题与逆命题均为真命题的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，在?ABC D中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE
12．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1= 度．
14．为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是小时．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为．
16．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2= ．
17．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= °．
18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，
AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．
19．如图，A，B是反比例函数y=图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为．
20．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD 于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC
其中正确的是（填序号）
三、解答题（共6小题，共60分）
21．（10分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措．二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩（生男生女机会均等，且与顺序有关）．
（1）该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好是1男1女的概率；
（2）该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中至少有1个女孩的概率．
22．（10分）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
23．（10分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、
B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M 为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
2．【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、a?a=a2，正确，不合题意；
B、2a+a=3a，正确，不合题意；
C、（a3）2=a6，故此选项错误，符合题意；
D、a3÷a﹣1=a4，正确，不合题意；
故选：C．
3．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，
故B错误；
C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错
误；
D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；故选：D．
4．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集
即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤0.5，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤0.5，
∴不等式组的整数解为0，
故选：C．
5．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，
∴两个数字都是正数的概率是： =．
故选：C．
6．【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．
故选：A．
7．【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a2+2a﹣1=0变形即可解答本题．
【解答】解：（a﹣）?
=
=
=a（a+2）
=a2+2a，
∵a2+2a﹣1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故选：C．
8．【分析】如图作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，求出PE，在Rt△PBE中，根据PB=2PE即可解决问题．
【解答】解：如图作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=×60=30n mile，
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=60n mile，
故选：B．
9．【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选：D．
10．【分析】根据正数的绝对值等于它本身；相反数和相等的数平方相等；直角三角形的性质；矩形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：①若x=5，则|x|=5，是真命题；
②若a2≠b2，则a≠b，是真命题；
③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；
④一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形，是假命题；
真命题的个数为3个，
故选：C．
11．【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，∵AD=BC，
∴DH=CG，故C正确，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故A正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，
∵DH=CG，
∴DF=CE，故B正确，
无法证明AE=AB，
故选：D．
12．【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出
OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x?（0≤x≤2），再根据
解析式对四个图形进行判断．
【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，
在Rt△AOC中，OA=1，OC===，
所以y=OC?AP=x?（0≤x≤2），
所以y与x的函数关系的图象为A选项．
故选：A．
排除法：
很显然，并非二次函数，排除B选项；
采用特殊位置法；
当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；
当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；
当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；
排除B、C、D选项，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．【分析】先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠1=∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵直线m∥n，
∴∠1=∠ABC=45°，
故答案为：45．
14．【分析】由统计图可知总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时．【解答】解：由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，
而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．
故答案为1．
15．【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF=AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案是：65°．
16．【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【解答】解：由根与系数的关系得：m+n=，mn=，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=﹣2×=，
故答案为：．
17．【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，
故答案为：27．
18．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，A B=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM=MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，
+或1．
故答案为：
19．【分析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
【解答】解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k=4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD=4a﹣a=3a，
∵△AOD的面积为3，
∴×3a×b=3，
∴ab=2，
∴k=4ab=4×2=8．
故答案为：8
20．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴=，
∴DP2=PH?PC，故④正确；
故答案是：①②④．
三、解答题（共6小题，共60分）
21．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）第一胎有男、女两种可能，第二胎由男男、男女、女男、女女四种可能，据此画出树状图，根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好是1男1女的有2种可能，
∴P（恰好是1男1女的）=．
（2）画树状图如下：
由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，这三个小孩中至少有1个女孩的有7种结果，
∴P（这三个小孩中至少有1个女孩）=．
22．【分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
【解答】解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA=AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC?tan60°=2米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴，
∴PA===10米，
∴AB=PA﹣PB=（10﹣4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10﹣4）米．
23．【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数；
（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之即可求解．【解答】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）
=0.8x﹣60（0≤x≤200）；
（2）根据题意得：
30（0.8x﹣60）≥2000，
解得x≥．
故小丁每天至少要卖159份报纸才能保证每月收入不低于2000元．
24．【分析】（1）连接OF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH∥BC，得O F⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF，由此得证；
（2）求BF=FD，可证两边的对角相等；易知∠DBF=∠DBC+∠FBC，∠BDF=∠BAD+∠ABD；观察上述两个式子，∠ABD、∠CBD是被角平分线平分∠ABC所得的两个等角，而∠CBF和∠DAB所对的是等弧，由此可证得∠DBF=∠BDF，即可得证；（3）由EF、DE的长可得出DF的长，进而可由（2）的结论得到BF的长；然后证△FBE∽△FAB，根据相似三角形得到的成比例线段，可求出AF的长，即可由AD=AF﹣DF求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH（1分）
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC（2分）
∴，
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC