当前位置:文档之家› 运筹学第16讲 无约束最优化方法 (2)

运筹学第16讲 无约束最优化方法 (2)

最优化方法及其应用 - 更多gbj149 相关pdf电子书下载

最优化方法及其应用 作者:郭科 出版社:高等教育出版社 类别:不限 出版日期:20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

常用最优化方法评价准则

常用无约束最优化方法评价准则 方法算法特点适用条件 最速下降法属于间接法之一。方法简便,但要计算一阶偏导 数,可靠性较好,能稳定地使函数下降,但收敛 速度较慢,尤其在极点值附近更为严重 适用于精度要求不高或用于对 复杂函数寻找一个好的初始 点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵,准备工作量大,算法复杂,占用 内存量大。此法具有二次收敛性,在一定条件下 其收敛速度快,要求迭代点的Hesse矩阵必须非 奇异且定型(正定或负定)。对初始点要求较高, 可靠性较差。 目标函数存在一阶\二阶偏导 数,且维数不宜太高。 共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好,占用内存少, 收敛速度快的特点。 适用于维数较高的目标函数。 变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性,收敛速度快。 可靠性较好,只需计算一阶偏导数。对初始点要 求不高,优于Newton法。因此,目前认为此法是 最有效的方法之一,但需内存量大。对维数太高 的问题不太适宜。 适用维数较高的目标函数 (n=10~50)且具有一阶偏导 数。 坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值,无需求 导,使用时准备工作量少。占用内存少。但计算 效率低,可靠性差。 用于维数较低(n<5)或目标函 数不易求导的情况。 单纯形法此法简单,直观,属直接法之一。上机计算过程 中占用内存少,规则单纯形法终止条件简单,而 不规则单纯形法终止条件复杂,应注意选择,才 可能保证计算的可靠性。 可用于维数较高的目标函数。

常用约束最优化方法评价标准 方法算法特点适用条件 外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点可以任选,罚因子应取为单调递增数列。 初始罚因子及递增系数应取适当较大值。 可用于求解含有等式约束或不等 式约束的中等维数的约束最优化 问题。 内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点, 障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍 因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大 影响。 可用于求解只含有不等式约束的 中等维数约束优化问题。 混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题, 用内点形式的混合罚函数时,初始点及障碍因子 的取法同上;用外点形式的混合罚函数时,初始 点可任选,罚因子取法同外点法相同。 可用于求解既有等式约束又有不 等式约束的中等维数的约束化问 题。 约束坐标轮换法由可行点出发,分别沿各坐标轴方向以加步探索 法进行搜索,使每个搜索点在可行域内,且使目 标函数值下降。 可用于求解只含有不等式约束, 且维数较低(n<5),目标函数的 二次性较强的优化问题。 复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形,然 后对复合形进行映射变化,逐次去掉目标函数值 最大的顶点。 可用于求解含不等式约束和边界 约束的低维优化问题。

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授,曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是:最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10-11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”(每周两次,每次两节课),对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生,以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程,修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间:每周二及周四下午2:00开始,在闵行新校区第三教学楼326教室。(自10月11日至11月8日) 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注:这是一门约二十学时左右的短期课程,旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法,及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

无约束优化方法程序

无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发,先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索,得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索,得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向,称为新生方向。 接着,以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1,将第一环新生方向S1补在最后,构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1,依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include

#include #include #define MAXN 10 #define sqr(x) ((x)*(x)) double xkk[MAXN],xk[MAXN],sk[MAXN]; int N,type,nt,et; //N--变量个数,type=0,1,2,3 nt,et--不等式、等式约束个数 double rk; double funt(double *x,double *g,double *h) { g[0]=x[0]; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1]; return sqr(x[0]-8)+sqr(x[1]-8); } double F(double *x) { double f1,f2,ff,fx,g[MAXN],h[MAXN]; int i; fx=funt(x,g,h); f1=f2=0.0; if(type==0 || type==2)for(i=0; i1.0e-15)?1.0/g[i]:1.0e15;

常用无约束最优化方法(一)

项目三 常用无约束最优化方法(一) [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法(修正Newton 法)的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1.掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2.掌握Newton 法的思想及迭代步骤; 3.掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题:【选作一个】 1.用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==,,,. 2.用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-, 初始点 0[00]0.01T X ε==,,. 最速下降法 Matlab 程序: clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长

ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果:\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include #include #include #include float goldena(float x[2],float p[2]) {float a; a=-1*(x[0]*p[0]+4*x[1]*p[1])/(p[0]*p[0]+4*p[1]*p[1]); return a; } void main() {float a=0,x[2],p[2],g[2]={0,0},e=0.001,t; int i=0; x[0]=1.0; x[1]=1.0;

运筹学与最优化方法习题集

一.单纯性法 1.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分) 12 2121212max 2515 6224..5 ,0 z x x x x x s t x x x x =+≤??+≤??+≤??≥? 2.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分) 12 121212max 2322 ..2210 ,0 z x x x x s t x x x x =+-≥-??+≤??≥? 3.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分) 1234 123412341234max 24564282 ..2341 ,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤? ?-+++≤??≥ ? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分) 123 123123123123max 2360 210..20 ,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤??-+≤??+-≤??≥? 5.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分) 123 12312123max 224 ..26,,0 z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤??+≤??≥? 6.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 15 分)

12 121212 max 105349..528 ,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≤??≥? 7.用单纯形法求解下列线性规划问题(共 16 分) 12 121212max 254 212..3218 ,0 z x x x x s t x x x x =+≤??≤??+≤??≥?

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中,人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案,并通过各方面的论证,从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人,每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说,是考虑如何用最少的材料,最大的性能价格比,设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说,则是如何合理、充分使用现有的设备,减少库存,降低能耗,降低成本,以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在,目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域,如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等,并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术,它包含两个方面的内容: 1)建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2)数学求解。 数学模型建好以后,选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快,现在已经包含有多个分支,如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法(算法)浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里,对最优化算法做一个简单的分类,并对一些比较常用的典型算法进行解析,旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多,根据不同的分类依据可以得到不同的结果,这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度,可以将最优化算法进行一个系统分类:线性规划与整数规划;非线性规划;智能优化方法;变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如,在资源有限的情况下,如何合理使用人力、物力和资金等资源,以获取最大效益;如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等,使所消耗的资源(人力、设备台时、资金、原始材料等)为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期,随着计算机技术的发展,出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为: 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出: s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 (1) 无约束最优点,并求出最优值。 (2) 约束最优点,并求出其最优值。 (3) 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ,其约束最优解是什么? * 解 :(1)在无约束条件下, f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上,不难看出,当 x =(3,4) 时, f (x ) 取最小值,即,最优点为 x * =(3,4):且最优值为: f (x * ) =0 (2)在约束条件下, f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可 以看出,当 x * = 15 , 5 ) 时, f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中:点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点,令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到: ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) :最优值为: f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 (3).若增加一个等式约束,则由图可知,可行域为空集,即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优 化问题的数学模型,并回答这属于几维的优化问题. 解:列出这个优化问题的数学模型为: max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

运筹学课程设计-个人学习时间优化分配

个人学习时间优化分配 设计总说明(摘要) 合理的安排时间方案,采取最优化的时间组合,有利于我们充分发挥各个时间阶段的学习效益。同时可以使我们的学习符合日常行为及自身特点,不仅使时间得到有效安排,也使得我们的身心得到和谐。此次,研究分配一天中四个阶段四门课程的学习时间,就是根据学生的身心特点,和各阶段对各课程学习的收获程度,采取获得程度量化的方法,设计出一个最优的时间组合方案,从而获得最大的收获效益。即获得学习的最大价值。 在这个过程中要将运筹学的各种理论知识与具体实际情况相结合。首先是确 定所要研究的问题,考虑所需要的各种数据,根据实际需求确定所需要的数据和模拟量化的数据。将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。其次对已得模型利用计算机进行求解,得出方程的最优解。最后结合所研究问题的实际背景,对模型的解进行评价、分析以及调整,并对解的实施与控制提出合理化的建议。 关键词:时间优化,线性规化,最优解,获得效益最大 目录 1.绪论 1.1研究的背景 (3) 1.2研究的主要内容与目的 (3) 1.3研究的意义 (3) 1.4研究的主要方法与思路 (3) 2.理论方法的选择 2.1所研究的问题的特点 (4) 2.2拟采用的运筹学理论方法的特点 (4) 2.3理论方法的适用性及有效性论证 (5) 3.模型的建立 3.1 基础数据的确定 (5) 3.2变量的设定 (6) 3.3目标函数的建立 (6) 3.4限制条件的确定 (6) 3.5模型的建立 (7) 4.模型的求解及解的分析 4.1模型的求解 (7) 4.2解的分析与评价 (9) 5.结论与建议 5.1研究结论 (11)

运筹学与最优化方法线性规划案例分析报告

案例:连续投资的优化问题 一、题目: 某企业在今后五年内考虑对下列项目投资,已知:,从第一年到第四年每年年初需要投资,并于次年末收回本利115%。项目A,但规定最大投资额不超B,第三年年初需要投资,到第五年末能收回本利125%项目40万元。过,但规定最大投资额不超,第二年年初需要投资,到第五年末能收回本利140%项目C 30万元。过6%。项目D,五年内每年年初可购买公债,于当年末归还,并加利息问它应如何确定给这些项目的每年投100万元,该企业5年内可用于投资的资金总额为资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大? 二、建立上述问题的数学模型的投资额,它们都是待定的年初给项目A,B,C,D, X (i=1.2.3.4.5)为第i设X,X , X iDiB1AiC每年年初均可投资,年末收回本利,固每年的投资额应该等于手中拥未知量。由于项目D 有的资金额。建立该问题的线性规划模型如下: +1.06X+1.40X+1.25XMax Z=1.15X5D 2C4A3B X+X=1000000 (1) 1D1A X+X+X=1.06X (2) 1D2C2A2D X+X+X=1.15X+1.06X (3) 3A 3B 3D 1A 2D s.t. X+X=1.15X+1.06X(4) 3D 4A 4D 2A X=1.15X+1.06X (5)5D 3A4D X<=400000 (6) 3B X<=300000 (7) 2C X , X , X, X>=0 i=1,2,3,4,5 iD1AiCiB 经过整理后如下: Max Z=1.15X+1.40X+1.25X+1.06X5D 2C4A3B X+X=1000000 1D1A-1.06X+ X+X+X =0 2D2A2C1D-1.15X-1.06X+ X+X+X=0 3D3A1A3B2D s.t. -1.15X-1.06X +X+X=0 4D3D4A2A-1.15X-1.06X+ X=0 5D4D3A X<=400000 3B X<=300000 2C i=1,2,3,4,5 , X , X, X>=0 X iDiBiC1A 求解过程以及相应的结果三、Excel中进行布局并输入相应的公式)在Excel1 (

最优化方法在计算机专业的应用

动态规划方法在计算机专业的应用 科目:最优化方法 姓名:*** 专业:计算机科学与技术 学号:201320405 指导老师:*** 日期:2014/1/9

动态规划方法在计算机专业的应用 摘要:最优化方法是一门很有用的学科,本文结合计算机专业,讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程,并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词:动态规划,最优化,算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划(dynamic programming)是通过结合子问题的解而解决整个问题的。(此处“programming”是指一种规划,而不是指写计算机代码。)动态规划适用于子问题不是独立的情况,也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下,若用分治法则会做很多不必要的工作,即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次,将其结果保存在一张表中,从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。

运筹学最优化方法复习

第1章 最优化问题的基本概念 §1.1最优化的概念 最优化就是依据最优化原理和方法,在满足相关要求的前提下,以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。 §1.2最优化问题的数学模型 1.最优化问题的一般形式 ??? ????===≤q v x x x h p u x x x g t s x x x f x x x f i n d n v n u n n ,,2,10),,,(,,2,10),,,(..),,,(m i n ,,,21212121 2.最优化问题的向量表达式 ??? ? ???=≤0)(0)(..)(m i n X H X G t s X f X f i n d 式中:T n x x x X ],,,[21 = T p X g X g X g X G )](,),(),([)(21 = T p X h X h X h X H )](,),(),([)(21 = 3.优化模型的三要素 设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素! 设计空间:由设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。 §1.3优化问题的分类 按照优化模型中三要素的不同表现形式,优化问题有多种分类方法: 1按照模型中是否存在约束条件,分为约束优化和无约束优化问题 2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题 3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题 4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题 第2章 最优化问题的数学基础 §2.1 n 元函数的可微性与梯度

一、可微与梯度的定义 1.可微的定义 设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数,且D X ∈0。若存在n 维向量L ,对于任意n 维向量P ,都有 0)()(lim 000=--+→P P L X f P X f T P 则称)(X f 在0X 处可微。 2.梯度 设有函数)(X F ,T n x x x X ],,,[21 =,在其定义域内连续可导。我们把)(X F 在定义域内某点X 处的所有一阶偏导数构成的列向量,定义为)(X F 在点X 处的梯度。记为: T n k x F x F x F X F ????????????=?,,,)(21 梯度有3个性质: ⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向; ⑵函数值沿梯度方向增加最快,沿负梯度方向下降最快; ⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。 §2.2极小点及其判别条件 一、相关概念 1.极小点与最优解 设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数,若存在D X ∈*及实数 0>δ,使得)(),(**X X D X N X ≠?∈?δ都有)()(*X f X f ≤,则称*X 为)(X f 的局部极小点;若)()(*X f X f <,则称*X 为)(X f 的严格局部极小点。 若D X ∈?,都有)()(*X f X f ≤,则称*X 为)(X f 的全局极小点,若)()(*X f X f <,则称*X 为)(X f 的全局严格极小点。 对最优化问题??? ? ???=≤0)(0)(..)(min X H X G t s X f X find 而言 满足所有约束条件的向量T n x x x X ],,,[21 =称为上述最优化问题的一个可行解,全体可行解组成的集合称为可行解集。在可行解集中,满足: )(m i n )(*X f X f =的解称为优化问题的最优解。

运筹学与最优化理论教学大纲doc - 三峡大学计算机与信息学院

硕士研究生课程大纲 课程名称(中文):运筹学与最优化理论 课程名称(英文):Operations Research and Optimization Theory 课程编码:Y04020B 开课单位:电气信息学院 授课对象:管理科学与工程、控制理论与控制工程、电力系统及其自动化专业硕士研究生任课教师:游文霞 学时:48 学分: 3 学期:2 考核方式: 撰写论文 先修课程:线性代数、高等数学、概率论、数理统计 课程简介: 运筹学是以定量分析为主来研究经济管理与生产实践等问题。它将工程思想和管理思想相结合,应用系统的、科学的、数学分析的方法,通过建模、检验和求解数学模型获得最优决策方案。 一、教学目的与基本要求:(150字以内) 通过讲授和各种实践环节(作业、讨论),使学生掌握运筹学整体优化的思想和若干定量分析的优化技术,能正确应用各类模型分析、解决各种实际问题,培养和提高学生科学思维、科学方法、实践技能和创新能力。 二、课程内容与学时分配 1、课程主要内容:(200字以内) 主要讲授线性规划,单纯形法,线性规划的对偶理论及灵敏度分析,非线性规划,整数规划,目标规划,动态规划,网络模型,决策理论等与经济、管理、控制领域密切相关的运筹学分支的基本模型、方法和应用。 2、课程具体安排:(按教学章节编写,重点章节下划线)

三、实验、实践环节及习题内容与要求 针对每个章节的内容,结合实际应用,布置相应的习题作业,要求学生在大量做练习题的过程中,学习如何采用定量的分析方法来分析、求解相关的实际问题,掌握相关的优化方法的基本思想与求解算法。 四、教材及主要参考文献(顺序为:文献名,作者,出版时间,出版单位): 教材名称: Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman. Introduction to Operation Research (8e) (运筹学导论,第八版). McGraw-Hill Press, 2005. 参考书: [1]Wayne L. Winston.《运筹学:数学规划》(影印版)[M]. 北京:清华大学出版社,2004. [2]Wayne L. Winston.《运筹学:决策方法》(影印版)[M]. 北京:清华大学出版社,2004. [3]V.G..Kulkarni.《运筹学:应用数学模型》(影印版)[M]. 北京:清华大学出版社,2006. [4]胡运权,郭耀煌. 运筹学教程(第二版)[M]. 北京:清华大学出版社,2003. [5]运筹学教材组编. 运筹学(修订版) [M]. 北京:清华大学出版社,2004. [6]徐渝,贾涛. 运筹学[M]. 北京:清华大学出版社,2005. [7]熊伟.运筹学[M].北京:机械工业出版社,2005. [8]胡运权.运筹学习题集[M].北京:清华大学出版社,2002. 撰写人:游文霞 学位分委员会签字: 学院主管研究生教学院长签字:

运筹学与最优化MATLAB编程

运筹学与最优化MATLAB编程 实验报告 院系: 专业: 姓名: 学号: 指导老师: 完成日期: 割平面法求解整数规划问题 一、引言: 通过对MATLAB实践设计的学习,学会使用MATLAB解决现实生活中的问题。该设计是在MATLAB程序设计语言的基础上,对实际问题建立数学模型并设计程序,使用割平面法解决一个整数规

划问题。经实验,该算法可成功运行并求解出最优整数解。 二、 算法说明: 割平面法有许多种类型,本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划,再选择一个不是整数的基变量,定义新的约束,增加到原来的约束中,新的约束缩小了可行域,但是保留了原问题的全部整数可行解。 算法具体设计步骤如下: 1、首先,求解原整数规划对应的线性规划 ,*)(m i n x c x f =???≥≤0 ..x b Ax t s ,设最优解为x*。 2、如果最优解的分量均为整数,则x*为原整数规划的最优解;否则任选一个x*中不为整数的分量,设其对应的基变量为x p ,定义包含这个基变量的切割约束方程con j j ij p b x r x =+∑,其中x p 为非基变量。 3、令][ij ij ij r r r -=,][con con con b b b -=,其中[]为高斯函数符号,表示不大于某数的最大整数。将切割约束方程变换为 ∑∑-=-+j j ij con con j j ij p x r b b x r x ][][,由于0

第三章 无约束最优化方法

第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法,主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想:

所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长

3、如何确定最优点(终止迭代) 第二节 迭代终止准则 1)1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑() 2) 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3)(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发,以一定的步长沿某一个方向,可以找到一个新的迭代点,其公式如下: (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定,需要确定的是步长k α,就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中,当起步点和方向问题,变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见,最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α,使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α><

无约束最优化直接方法和间接方

无约束最优化直接方法和间接方法的异同

无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法(也称做运筹学方法)是近几十年形成的,它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题,约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题,而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中,大多数问题都是具有约束的优化问题,但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题,然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题,在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理,在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分,也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类:一类是使用导数的间接方法,即在计算过程中要用到目标函数的导数;另一类是直接方法,即只要用到目标函数值,不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题,利用负梯度作为搜索方向,故称

最优化方法及其应用

最优化方法及其应用

第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事,人们总希望以最少的代价取得最大的效益,也就是力求最好,这就是优化问题.最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科.例如,从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法,如果我们追求的目标是省钱,那么只要比较一下这四种走法的票价,从中选择最便宜的那一种走法就达到目标.这是最简单的最优化问题,实际优化问题一般都比较复杂. 概括地说,凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题.作为最优化问题,一般要有三个要素:第一是目标;第二是方案;第三是限制条件.而且目标应是方案的“函数”.如果方案与时间无关,则该问题属于静态最优化问题;否则称为动态最优化问题. §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到,这就是所谓函数极值,我们习惯上又称之为经典极值问题. 例1.1 对边长为a 的正方形铁板,在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 设剪去的正方形边长为x ,由题意易知,与此相应的水槽容积为 x x a x f 2 )2()(-=. 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2 =--=-+--=x a x a x a x x a x f , 得两个驻点: a x a x 6 121== ,.

第一个驻点不合实际,这是因为剪去4个边长为2 a 的正方形相当于将铁板全部剪去.现在来判断第二个驻点是否为极大点. ∵ a x f 824)(''-=, 4)6 (''<-=a a f , ∴ 6 a x = 是极大点. 因此,每个角剪去边长为6 a 的正方形可使所制成的水槽容积最大. 例 1.2 求侧面积为常数)0(62 >a a ,体积最大的长方体体积. 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,, 体积为v ,则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(,,, 条件为 06)(2)(2 =-++=a xy xz yz z y x ,,?. 由拉格朗日乘数法,考虑函数 )6222()(2 a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ,,, 2()02()02()0x y z F yz y z F xz z x F xy x y λλλ'=++='=++='=++=,, , 由题意可知z y x ,, 应是正数,由此0≠λ,将上面三个等式分别乘以z y x ,, 并利用条件2 3a xy zx yz =++,得到 22 22(3)02(3)02(3)0xyz a yz xyz a zx xyz a xy λλλ?+-=?+-=??+-=? ,,. 比较以上三式可得 xy a zx a yz a -=-=-222333, 从而a z y x ===.又侧面积固定的长方体的最大体积客观存在,因此侧面积固定的长方体中以正方

无约束最优化直接方法和间接方法的异同

无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法(也称做运筹学方法)是近几十年形成的,它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题,约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题,而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中,大多数问题都是具有约束的优化问题,但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题,然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题,在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理,在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分,也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类:一类是使用导数的间接方法,即在计算过程中要用到目标函数的导数;另一类是直接方法,即只要用到目标函数值,不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题,利用负梯度作为搜索方向,故称最

最优化理论与方法心得体会

最优化理论与方法心得体会 摘要:最优化方法作为研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。该文简单叙述了最优化方法及其处理问题的步骤和在各领域的应用,在一个学期的自学,讨论的课程之后,总结对最优化问题的理解和认识,思考优化理论在现实生活的应用,如何解决实际问题,以及自我学习过程的感想与实践。 关键字:优化;应用;感想

在生产过程、科学实验以及日常生活中,人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事,获得最大的效益,在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化,如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。在最优化的研究生教学中我们所说的最优化问题一般是在某些特定的“约束条件”下寻找某个“目标函数”的最大(或最小)值,其解法称为最优化方法。最优化方法(也称做运筹学方法)是近几十年形成的,它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统,求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案,发挥和提高系统的效能及效益,最终达到系统的最优目标。实践表明,随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展,最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法,被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域,发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点,以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解(线性规划问题的单纯形解法)及其应用――运输问题;以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。简单点,从数学意义上说从数学意义上说,最优化方法是一种求极值的方法,即在一组约束为等式或不等式的条件下,使系统的目标函数达到极值,即最大值或最小值。从经济意义上说,是在一定的人力、物力和财力资源条件下,使经济效果达到最大(如产值、利润),或者在完成规定的生产或经济任务下,使投入的人力、物力和财力等资源为最少。不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法,即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。 ①解析法:这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是:先求出最优的必要条件,得到一组方程或不等式,再求解这组方程或不等式,一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件,通过必要条件将问题简化,因此也称间接法。②直接法:当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时,无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题),主要用消去法或多项式插值法;对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。③数值计算法:这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础,所以是一种解析与数值计算相结合的方法。④其他方法:如网络最优化方法等。

相关主题
相关文档 最新文档