河北省衡水市衡水金卷20xx 届高三大联考
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合2
{|540}M x x x =-+≤，{|24}x
N x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<< B ．M N R = C ．{|24}M
N x x =<≤
D ．{|2}M
N x x =>
2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221
i
z i i =
--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．3
3. 已知曲线3
2()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则
222sin cos 2sin cos cos ααααα
-=+( ) A ．
12 B ．2 C ．35 D ． 3
8
- 4. 20xx 年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．
27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320
mm π
5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线经过圆E ：22
240x y x y +-+=的圆心，则
双曲线C 的离心率为( )
A ．
2
C.2 D 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2
234764a a a a =-=-，则46
tan(
)3
a a π?=( )
A ．．3
-7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填( )
A ．19?n <
B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥
8.已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，2
()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，
(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )
A ．b a c <<
B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<
9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )
A ．
23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23
π+ 10. 已知函数()2sin()(0,[,])2
f x x π
ω?ω?π=+<∈的部分图象如图所示，其中5
||2
MN =
.记命题p ：5()2sin(
)3
6f x x π
π=+
，命题q ：将()f x 的图象向右平移6
π
个单位，得到函数22sin(
)3
3
y x π
π
=+
的图象.则以下判断正确的是( ) A.p q ∧为真 B.p q ∨为假 C.()p q ?∨为真 D.()p q ∧?为真 11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2
4y x =的焦点为
F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ?的周长为 ( )
A
．
7112
．9
9 D
．83
12
12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，
1
2(21)(21)
n n
n a n a a b +=--，若*
,n n N k T ?∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．
71 B ．149 C. 49 D ．8441
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每题5分.
13.已知在ABC ?中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2n
x n N x
-
∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．
15. 已知x ，y 满足3,,60,
x y t x y π+≤???
≥??
≥??其中2t π>，若sin()x y
+的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．
16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑
M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和
为 ．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数2
1
()cos )cos()2
f x x x x ππ=-+-
，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）在锐角ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，
sin sin b C a A =，求ABC ?的面积.
18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面
ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=.
（1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.
19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？
（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率
②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2
F ，其离心率为1
2，短轴长
为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于
M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.
21. 已知函数，()(1)(,)x
f x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值；
（Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：
(1)3
24
b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,
sin x t y αα=??
=?
（0t >，α为参数）.以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin()34
π
θ+=.
（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；
（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2
3
13t t t
+≥+.
衡水金卷20xx 届全国高三大联考
理科参考答案及评分细则
一、选择题
1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB 二、填空题
13. 1 14. 16 15. 57[,]66
ππ
16. 24π- 三、解答题
17. 解：（1）原式可化为，
21()cos cos 2
f x x x =-
，
1cos 21
2222
x x +=
--， sin(2)sin(2)66
x x ππ
=-=--， 故其最小正周期22T π
π==， 令2()62x k k Z π
π
π-
=
+∈， 解得()23
k x k Z ππ
=
+∈， 即函数()f x 图象的对称轴方程为，
()23
k x k Z ππ
=
+∈.
（2）由（1），知()sin(2)6
f x x π
=--， 因为02
A π
<<
，所以526
6
6
A π
π
π
-
<-
<
. 又()sin(2)16
f A A π
=--=-，
故得26
2
A π
π
-
=
，解得3
A π
=
.
由正弦定理及sin sin b C a A =，得2
9bc a ==.
故1sin 24
ABC S bc A ?=
=
. 18.（1）当1
2
λ=
时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，
∴
1
2
CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴
1
2
EF CG FA GA ==. ∴//GF CE .
又∵CE ?平面BDF ，GF ?平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .
（2）取AB 的中点O ,连接EO . 则EO AB ⊥.
∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥，
∴EO ⊥平面ABCD .
∵//BO CD ，且1BO CD ==，
∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO . 又∵BC AB ⊥，∴//AB DO .
由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .
则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -
，E . 当1λ=时，有EF FA =，
∴可得1(0,,
22
F . ∴(1,1,0)BD =
，(1,1CE =-
，3(1,,22
BF =. 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则有0,0,n BD n BF ??=???=??
即0,30,2x y y z +=??
?=??
令z =1y =-，1x =.
即(1,1n =-.
设CE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin |cos |
CE n θ=
>=1
5=. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1
5
. 19.解：（1）由列联表可知2
K 的观测值，
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100?-?=≈
53100
?
=（人），
偶尔或不用网络外卖的有40
52100
?
=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为213
32333
557
10
C C C P C C =+=. ②由22?列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为11011
20020
=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120
. 由题意得11~(10,
)20X B ， 所以1111()10202E X =?
=； 11999
()10202040
D X =??=.
20. 解：（1）由已知，得1
2
c a =
，b =
又2
2
2
c a b =-， 故解得2
2
4,3a b ==，
所以椭圆C 的标准方程为
22
143
x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，
易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，
11(,)M x y ，22(,)N x y . 联立方程2234120,1,x y x my ?+-=?=-?
，
得22
(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，12
29
34y y m -=+.
此时MN =
同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，
33(,)P x y ，44(,)Q x y ，
此时342634m y y m -+=+，34
29
34
y y m -=+，
此时PQ =
.
故||||MN PQ =.
所以四边形MNPQ 是平行四边形.
若MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ?=， 于是有12120x x y y +=. 又1212(1)(1)x x my my =--，
21212()1m y y m y y =-++，
所以有2
1212(1)()10m y y m y y +-++=，
整理得到22
125
034
m m --=+， 即2
1250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.
21.解：（1）由题意得'()(1)x
f x e a =-+.
当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，
当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，
故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；
当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值. （2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，
当1a =-时，
(1)3
024
b a +=<成立. 当1a <-时，令
c 为1-和11b
a -+中较小的数，
所以1c ≤-，且11b
c a
-≤+.
则1
x
e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.
所以1
()(1)(1)0x
f c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.
当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，
所以2
2
(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令2
2
()ln (0)g x x x x x =->， 则'()(12ln )g x x x =-.
令'()0g x >，得0x <<
令'()0g x <，得x >
故()g x 在区间内单调递增，
在区间)+∞内单调递减.
故max ()ln 2
e g x g e e ==-=
，
即当11a a +==时，max ()2
e g x =. 所以2
2
(1)(1)(1)ln(1)2
e a b a a a +≤+-++≤. 所以
(1)24b a e
+≤. 而3e <， 所以
(1)3
24
b a +<. 22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离，
d =
=
|)3|
π
α+
-
当sin()14
π
α+
=-
时，max 22d +=
=
， 即曲线C 上的点到直线l
. （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对R α?∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立，
)3α?-<（其中1
tan t
?=）恒成立，
3<.
又0t >
，∴解得0t << ∴实数t
的取值范围为.
23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2
x x f x x x x x ?
?-≤-?
?
=--<
?≥??
于是得1,()333,x f x x ≤-?≤??
-≤?
或11,223,x x ?-<
x x ?
≥???≤? 解得11x -≤≤.
即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.
（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.
原不等式等价于2
3
31t t t
-+-
， 22233(3)(1)t t t t t t t
-+--+==.
∵t M ∈，∴30t -≥，2
10t +>.
∴
2(3)(1)
0t t t
-+≥. ∴2
3
13t t t
+≥
+.