陕西省商洛市2014-2015学年高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．）
1．已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则角α在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：三角函数值的符号．
专题：三角函数的求值．
分析：点P（sinα，tanα）在第二象限，得到，即可得出．
解答：解：∵点P（sinα，tanα）在第二象限，
∴，
∴α在第三象限．
故选：C．
点评：本题考查了三角函数值的符号与角的关系，属于基础题．
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名．现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）
A． 6 B．8 C．10 D． 12
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．
解答：解：∵高一年级有50名，
在高一年级的学生中抽取了10名，
故每个个体被抽到的概率是=
∵高二年级有30名，
∴要抽取30×=6，
故选：A．
点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．
3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．
专题：图表型．
分析：根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．
解答：解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，
所以其中位数为=91.5，
平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，
故选A．
点评：本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A． 2 B． 4 C．8 D． 16
考点：循环结构．
专题：算法和程序框图．
分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．
解答：解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选C．
点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
5．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程y=bx+a必过点；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系．
其中错误的个数是（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；线性回归方程必过样本中心点．曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，得到结果．
解答：解：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；故①正确；
一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；故②不正确；
线性回归方程，y=bx+a必过样本中心点，故③正确；
曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故④不正确
综上，其中错误的个数是2个，
故选：B．
点评：本题考查线性回归方程，考查独立性检验，考查方差的变化特点，考查相关关系，是一个考查的知识点比较多的题目，注意分析，本题不需要计算，只要理解概念就可以得出结论
6．函数是（）
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：函数解析式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出函数的最小正周期，根据正弦函数为奇函数，即可得到正确的选项．
解答：解：y=﹣sin2xcos2x=﹣sin4x，
∵ω=4，∴T==，
又正弦函数为奇函数，
则函数为周期是的奇函数．
故选C
点评：此题考查了二倍角的正弦，正弦函数的奇偶性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（）
A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：由题意，本题是几何概型的考查，只要利用面积比可求概率．
解答：解：由题意，正方形的面积为4，其内切圆的面积为π，由几何概型的概率公式得到豆子落在正方形的内切圆的概率是：；
故选D．
点评：本题考查了几何概型概率的求法；解答本题的关键是明确概率模型，利用面积比求概率．
8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
考点：互斥事件与对立事件．
专题：概率与统计．
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题
9．已知向量，，向量满足，，则等于（）
A．（1，0）B．（2，1）C．（0，﹣1）D．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：由题设条件知，本题是求向量的坐标的题，题设中已经给出了与向量有关系的一平行一垂直的条件．故可设出向量的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量的坐标的方程求其坐标．
解答：解：设=（x，y），向量，，则+=（x+1，y+2），
又（），
∴﹣（y+2）+x+1=0．即x﹣y﹣1=0 ①
=（x﹣1，y+1）
又（），
∴y+1=2x﹣2．即2x﹣y﹣3=0 ②
解①②得x=2，y=1，=（2，1）
故选：B．
点评：本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的能力．
10．函数f（x）=Asin（ωx+?）（其中A＞0，|?|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x 的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：利用函数的图象求出A，T，求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合?的范围，求出?得到函数的解析式，然后推出平移的单位与方向，得到选项．
解答：解：由图象可知，从而，
将代入到f（x）=sin（2x+φ）中得，，
根据|?|＜得到，所以函数f（x）的解析式为．
将f（x）图象右移个长度单即可得到g（x）=sin2x的图象．
故选A．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．
11．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）
A．B．C．
D．
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
分析：把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
解答：解：∵由，
∴，
∴．
故选A
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
12．已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）
A．B．C．D．
或
考点：同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinαcosα的值小于0，得到sinα＞0，cosα＜0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．
解答：解：将已知等式sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）
2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，
∴2sinαcosα=﹣＜0，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，
∴sinα﹣cosα=②，
联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，
则tanα=﹣．
故选B
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．圆的半径为6cm，则圆心角为15°的圆弧与半径围成的扇形的面积为cm2．
考点：扇形面积公式．
专题：三角函数的求值．
分析：先求出圆心角的弧度数，利用扇形面积公式，即可求得结论．
解答：解：15°化为弧度为=
∴圆心角为15°的圆弧与半径围成的扇形的面积是==cm2
故答案为：
点评：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是
．
考点：随机事件；等可能事件的概率．
专题：计算题．
分析：列举出所有情况，看所求的所得点数之和为7情况数，最后利用概率计算公式求解即可．
解答：解：易得每个骰子掷一次都有6种情况，那么共有6×6=36种可能，点数之和为7的
有3，4；2，5；1，6；4，3；5，2；6，1共6种，所以概率是=．
故答案为：．
点评：本小题主要考查随机事件、等可能事件的概率等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．概率的求法，关键是找到所有存在的情况．
15．已知，则向量与向量的夹角是．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：计算题；压轴题．
分析：据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．
解答：解：设的夹角为θ则
∵
即
∵，
∴
∴=
∵θ∈
∴
故答案为：
点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．
16．关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；
③y=f（x）的图象关于点对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是②．（把你认为正确的命题序号都填上）
考点：三角函数的周期性及其求法；命题的真假判断与应用；运用诱导公式化简求值；正弦函数的对称性．
专题：计算题；压轴题．
分析：首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项．
解答：解：函数f（x）=4sin的最小正周期T=π，
由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．
利用诱导公式得f（x）=4cos
=4cos=4cos，知②正确．
由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，
将x=代入得f（x）=4sin≠0，
因此点（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，
故命题③错误．
曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=﹣时y=0，点
（﹣，0）不是最高点也不是最低点，
故直线x=﹣不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
故答案为：②
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的利用，以及正弦函数的对称性问题，属于基础题．
三、解答题（本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第17题图
17．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）规定次数在110以上（含110次）为达标，该校高一共有1050名学生，试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少？
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据频率直方图得出从左到右的频率之比为2：4：17：15：9：3，得出第二小组的频率是P2==，再利用=，可求解n，
（2）第﹣小组的频率是P1=p2=，第二小组的频率是P2=，利用对立事件的频率求解达
标的频率为：1﹣﹣=，很容易估计该学校全体高一学生达标的人数1050×．
解答：解：（1）根据题意得出：从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，
∴从左到右的频率之比为2：4：17：15：9：3，
∵2+4+17+15+9+3=50
∴第二小组的频率是P2==，
∵第二小组频数为12．
∴n=150，
（2）第﹣小组的频率是P1=p2=，
第二小组的频率是P2=，
∴规定次数在110以上（含110次）为达标，达标的频率为：1﹣﹣=，
∵该校高一共有1050名学生，
∴估计该学校全体高一学生达标的人数有：1050×=924
点评：本题考察了运用频率直方图分析解决统计问题，关键是确定每段上的频率，对立事件的频率的关系，属于中档题．
18．已知f（α）=．
（1）化简f（α）；
（2）已知角α为锐角，，求f（α）的值．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：（1）运用诱导公式及同角三角函数基本关系的运用即可化简得解．
（2）利用已知可得cos（）=且∈（，），根据同角三角函数基本关系的运用可求sin（）的值，从而利用两角差的余弦函数公式即可求得f（α）=cosα=cos （）的值．
解答：解：（1）f（α）=
=
=cosα．
（2）∵角α为锐角，，cos（）=
∴∈（，），
∴sin（）==，
∴f（α）=cosα=cos（）=cos（）cos+sin（）
sin==．
点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．
19．已知向量，．
（1）求||的最大值；
（2）当与共线时，求2cos2x﹣sin2x的值．
考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）先求出的坐标，从而得到||=，显然sin2x=1时，||取
到最大值；
（2）根据向量共线时向量坐标的关系即可得到sinx=，而根据sin2x+cos2x=1便能求出cos2x，这时候可求得2cos2x﹣sin2x=5cos2x，从而得出答案．
解答：解：（1）；
∴=；
∴sin2x=1时，取最大值；
（2），共线；
∴；
∴；
∵sin2x+cos2x=1；
∴；
∴；
∴2cos2x﹣sin2x=2cos2x﹣2sinxcosx=．
点评：考查向量加法的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的公式，以及共线向量的坐标的关系，二倍角的正弦公式．
20．有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B班5名学生得分为：6，7，8，9，10．
（Ⅰ）请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；
（Ⅱ）如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
分析：（I）由表中数据，我们易计算出A、B两个班的得分的方差S12与S22，然后比较S12与S22，根据谁的方差小谁的成绩稳定的原则进行判断．
（II）我们计算出从A、B两个班的5个得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数，然后再计算出其中样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的基本事件个数，代入古典概率计算公式，即可求解．
解答：解：（Ⅰ）∵A班的5名学生的平均得分为（5+8+9+9+9）÷5=8，（1分）
方差；（3
分）
B班的5名学生的平均得分为（6+7+8+9+10）÷5=8，（4分）
方差．（6
分）
∴S12＞S22，
∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．（8分）
（Ⅱ）从B班5名同学中任选2名同学的方法共有10种，（10分）
其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，
故所求概率为．（12分）．
点评：本题考查的知识点是方差的计算及应用，古典概型等知识点，解题的关键是根据茎叶图的茎是高位，叶是低位，列出茎叶图中所包含的数据，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算．
21．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，该图象与y
轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，且△MBC的面积为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，求的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：（1）由S△MBC=π可求得BC=T=π，从而可求得ω，再由f（0）=可求得φ，从
而可得函数f（x）的解析式；
（2）依题意，可求得sinα与cosα，从而可得sin2α与cos2α，于是可求cos（2α+）．
解答：解：（1）∵S△MBC=×2×BC=BC=π，
∴周期T=2π=，ω=1．
由f（0）=2sinφ=，得sinφ=，
∵0＜φ＜，
∴φ=．
∴f（x）=2sin（x+）．
（2）由f（α﹣）=2sinα=，得sinα=，
∵α∈（0，π），
∴cosα==，
∴cos2α=2cos2α﹣1=，sin2α=2sinαcosα=，
∴cos（2α+）
=cos2αcos﹣sin2αsin
=×﹣×
=﹣．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数间的基本关系与两角和与差的余弦函数，属于中档题．
22．设函数f（x）=，其中向量，，
，x∈R
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）当时，方程f（x）+m﹣2=0有且仅有一个根，求实数m的取值范围．
考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．
专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出；（2）当时，∈．可得f（x）在时单调递增，即可得出．
解答：解：（1）函数f（x）==sinx（sinx﹣cosx）﹣cosx（sinx﹣3cosx）
=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x
=﹣sin2x+cos2x+2
=﹣+2，
由≤2x+≤+2kπ，解得≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函数f（x）的单调减区间是（k∈Z）．
（2）当时，∈．
∴f（x）在时单调递增，
∵方程f（x）+m﹣2=0有且仅有一个根，
∴（2﹣m）∈．
点评：本题考查了向量数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．