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【百强校】2017届江西省红色七校高三上学期联考一数学(理)试卷(带解析)

【百强校】2017届江西省红色七校高三上学期联考一数学(理)试

卷(带解析)

一、选择题

1.已知集合则()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析:,所以,故选A.

考点:1.集合的表示与集合的运算;2.二次不等式的解法;3.指数函数的性质.

2.把复数的共轭复数记作,已知,(其中i为虚数单位),则复数在坐标平面内对应的点在()

A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限

【答案】B

【解析】

试题分析:因为,所以,,所以复数在

坐标平面内对应的点在第三象限,故选B.

考点:1.复数的运算;2.复数的几何意义.

3.下列说法正确的是()

A.,“”是“”的必要不充分条件

B.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件

C.命题“,使得”的否定是:“,”

D.命题:“,”,则是真命题

【答案】A

【解析】

试题分析:当“”时,“”,而“”时,如,则“”不成立,所以,“”

是“”的必要不充分条件,即A正确;“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件,故B错;命题“,使得”的否定是:“,”,故C错;命题:“,”是真命题,所以是假命题,故D错,所以选A.

考点:1.逻辑词与命题;2.充分条件与必要条件;3.特称命题与全称命题.

4.《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织()尺布.

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析:每天织布数依次构成一等差数列,其中,设该等差数列的公差为,则一有织布总数为,解之得,故选D.

考点:等差数列的应用.

【名师点睛】本题考查等差数列的定义、性质的实际应用,属中档题;数学的价值就在于应用数学知识去解决实际问题,解决这类问题首先是认真阅读相关的题目,把实际问题转化为熟悉的数学问题,其次是应用数学知识解决数学问题,再把解决了的数学问题回归的实际问题进行回答即可.

5.已知是三角形的最大内角,且,则的值为()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析:是三角形的最大内角,且,所以,所以,,故选B.

考点:1.三角形内角性质;2.特殊三角函数值;3.同角三角函数关系;4.二倍角公式.

6.算法程序框图如下图所示,若,,,则输出的结果是()

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A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析:该程序框图所表示的算法功能为输出三个数中最大的一个数,

,且,所以最大,故选C.

考点:1.程序框图;2.指数、对数运算.

7.已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示,给定点,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点对称,则实数的取值范围是()

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A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析:由于封闭曲线关于轴对称,所以只需满足和

上仅各有一点关于点对称,所以,即

,故选D.

考点:函数与方程.

8.正方体的棱长为,半径为的圆在平面内,其圆心为正方形

的中心,为圆上有一个动点,则多面体的外接球的表面积为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析:因为为圆上,所以多面体的外接球就是圆与底面的外接圆构成的圆台的外接圆,设圆与相交于,则等腰梯形外接圆的半径即为多面体的外接球的半径,设等腰梯形外接圆的圆心为,外接球半径为,则

,即,解之得,所以

,所以外接球的表面积,故选A.

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考点:1.球的切接问题;2.球的表面积与体积.

9.直线分别与曲线,交于A,B,则的最小值为()

A.3 B.2 C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析:在同一坐标第内作出函数的图象,因为,所以过曲线上点的切线的斜率为,则得,这时,由得,由力可知,故选D.

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考点:1.导数的几何意义;2.数形结合思想.

10.设双曲线的右焦点为,过点与轴垂直的直线交两渐近线于,两点,与双曲线的其中一个交点为,设坐标原点为,若,且,则该双曲线的渐近线为()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析:点的坐标为,所以点的坐标分别为,点的坐标为,又因为,所以,解之得,所以,所以双曲线的渐近线方程为,故选C.

考点:1.双曲线的几何性质;2.向量的坐标运算.

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

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A.5 B.4 C.3 D.2

【答案】A

【解析】

试题分析:由三视图可知,该几何体为下图所示的多面体,其体积

,故选A.

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考点:1.三视图;2.多面体的表面积与体积.

【名师点睛】本题考查空间几何体的三视图及几何体的体积,意在考查学生的识图能力、空间想象能力以及技术能力;先根据三视图判断几何体的结构特征,再计算出该几何体各组成体各部的体积进行加减运算求之;本题属于中档题,是高考常考题型.

12.若函数有两个极值点,其中,且,则方程的实根个数为()

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【解析】

试题分析:因为函数有两个极值点,所以

在区间上有两个零点,即方程在区间

上有两个零点,所以由得或,又,所以在上,,函数单调递减,在上,,函数单调增,在

上,,函数单调递减,所以是的极小值点,是的极大值点,又,所以,结合函数的图象可知方程

有两个不同的实根,有三个不同的根,所以方程共有个不

同的根,故选C.

考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与方程.

【名师点睛】本题考查函数的单调性、极值、函数与方程相关的知识,属难题;利用导数求

函数的单调性与极值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③求方程的所有实数根;④列表格.证明函数仅有一个零点的步骤:①用零点存在性定理证

明函数零点的存在性;②用函数的单调性证明函数零点的唯一性.

二、填空题

1.过平面区域内一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,记

∠APB=α,当α最小时,此时点P坐标为.

【答案】

【解析】

试题分析:在直角坐标系内平面区域为如下图所示的三角形,由图可知,当

点与平面区域内的点重合时,角最小,所以角最小时点的坐标为.

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考点:1.线性规划;2.直线与圆的位置关系.

2.函数的图象在上恰有两个点的纵坐标为,则实数的取

值范围是.

【答案】

【解析】

试题分析:, 令得,所以或,即或,所以当时,使得的点的横坐依次为,所以在恰有两个点的纵坐标为时,的取值范围.

考点:三角函数的图象与性质.

3.已知展开式的常数项为15,则______.

【答案】

【解析】

试题分析:展开式的通项为,令得,所以展开式的常数项为,又因为,所以,则

,又,由积分的几何意

义可知表示所表示的圆的上半部分与轴所围成区域即半个圆的面积,所以,所以.

考点:1.二项式定理;2.积分运算;3.积分的几何意义.

【名师点睛】本题考查二项式定理、积分运算以及积分的几何意义,属中档题;积分的几何

意义是微积分的基础,定积分的几何意义体现数形结合的典型示范,既考查微积分的基本思

想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.

4.已知正实数满足,则的最小值为 .

【答案】

【解析】

试题分析:由得,所以,

,,当且仅当

,即时取等号,所以的最小值为.

考点:基本不等式.

【名师点睛】本题考查基本不等式的应用,属中档题;应用基本不等式求最值时要保证“”成立的条件,即要注意两个数是否均为正数,“积”或“和”是否为定值,两个数可否相等,只有这三个条件同时成立,才能用基本不等式求最大值或最小值.

三、解答题

1.如图,在△ABC 中,点D在边 AB上,且.记∠ACD=,∠BCD=.

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(Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)若,求BC 的长.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).

【解析】

试题分析:(Ⅰ)在中与中,分别利用正弦定理得,

,又得,因为,代入即可证出结果;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,设,在三角形中应用余弦定理列出方程求出,即可求得的长.

试题解析:(Ⅰ)在中,由正弦定理,有

在中,由正弦定理,有

因为,所以

因为,所以

(Ⅱ)因为,,由(Ⅰ)得

设,由余弦定理,

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代入,得到,

解得,所以.

考点:1.正弦定理与余弦定理;2.比例性质.

2.已知数列的前项和,,数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正实数,使得为等比数列?并说明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在,使得数列为等比数列.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由关系,由已知式再写出与已

知式作差可得,即数列成等差数列,即可求其通项公式;(Ⅱ)由题设,,两式相除可得,即这个数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列,且公比为,因为所以,只要即可得到数列

成等比数列,可求得.

试题解析:(Ⅰ)由题意知 (2)

两式相减可得,即,由于,可得,所以的公差为2,故

(Ⅱ)由题设,,两式相除可得,即和都是以4为公比的等比数列.因为所以,由及,可得,又,所以.

所以,即,则,

因此存在,使得数列为等比数列.

考点:1.与关系;2.等差数列的定义与性质;3.等比数列的定义与性质.

【名师点晴】本题考查与关系、等差数列的定义与性质、等比数列的定义与性质,属中档题;解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各自的特征,再进行求解.

3.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.

(Ⅰ)求在未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率;

(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系;

年入流量

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若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台发电

机年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

【答案】(Ⅰ)根据题意先分别计算的概率,再根据二项分布原理计算年、和年年入流量超过的概率即可;(Ⅱ)分别计算安装台、台、台发电机时水电站利润的均值,比较它们的大小,可得到应安装台发电机.

【解析】

试题分析:(Ⅰ);(Ⅱ)台.

试题解析:(Ⅰ)依题意,,

,由二项分布,在未来年中至少有年流入量超过的概率为:

.

(Ⅱ)记水电站总利润为(单位:万元),由于水库年入流量总大于,所以至少安装台.

①安装台发电机的情形:

由于水库处入流量总大于,所以一台发电机运行的概率为,

对应的年利润为,,

②安装台发电机的情形:

当时,一台发电机运算,此时,所以

当,两台发电机运行,此时,

因此,

此时的分布列如下:

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.

③②安装台发电机的情形:

当时,一台发电机运算,此时,所以

当时,两台发电机运行,此时,

此时;

当时,三台发电机运行,此时,

此时,所以的分布列如下:

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所以

综上,欲使水电站年利润的均值达到最大值,应安装台发电机.

考点:1.古典概型;2.二项分布;3.离散型随机变量的分布列与期望.

4.如图,已知长方形中,,为的中点.将沿折起,使得平面平面.

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(Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)若,当二面角大小为时,求的值.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).

【解析】

试题分析:(Ⅰ)欲证,只要证平面即可,由勾股定理及已知可知,又平面平面,由面面垂直的性质可证平面;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量与平面的法向量,由空间向量公式计算即可.

试题解析:(Ⅰ)由于,则,

又平面平面,平面平面=,

平面,故平面.

又平面,从而有.

(Ⅱ)(方法一)过点E作MB的平行线交DM于F,

由平面得平面ADM;

在平面ADM中过点F作AM的垂线,垂足为H,连接HE,

则即为二面角的平面角,大小为.

设,则在中,

由,则.

故当二面角大小为时,,即.

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(方法二)以为原点,所在直线为轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系,,,,,

且,

所以,,

设平面的法向量为,则

,,

所以,.

又平面的法向量为,

所以,,解得或(舍去).

所以,.

考点:1.线面垂直、面面垂直的判定与性质;2.空间向量的应用.

5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)当直线的斜率为1时,求的面积;

(3)在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在,的取值范围为.

【解析】

试题分析:(1)由短轴长为得,由两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点得,由此求出,即可求出椭圆方程;(2)先写出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,求出的坐标,从而求出,由点到直线的距离公式求出点到到直线的距离即可求三角形的面积;(3) 设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,设出直线方程,与椭圆方程联立,由韦达定理计算,即可求出的取值范围.

试题解析:(1)设椭圆方程为,

根据题意得所以,

所以椭圆方程为;

(2)根据题意得直线方程为,

解方程组得坐标为,计算,

点到直线的距离为,所以,;

(3)假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与轴不垂直,所以设直线的方程为.

坐标为,

由得,,

计算得:,其中,

由于以为邻边的平行四边形是菱形,所以,

计算得,即,,所以.

(可以设点,也可以设直线得到和的函数关系式)

考点:1.椭圆的标准方程与几何意义;2.直线与椭圆的位置关系.

【名师点晴】本题考查椭圆的标准方程、几何性质与直线与椭圆的位置关系,属中档题;求

椭圆标准方程的方法一般为待定系数法:根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线

方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.

6.已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)证明:当时,;

(3)若函数有两个零点,,比较与的大小,并证明你的结论。

【答案】(1)时,在上递增,上递减,上递增;时,在上递增;时,在上递增,上递减,上递增;时,)在上递增,在上递减;

(2)见解析;

(3),证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)求函数的导数得,分、、、分别讨论的符号,即可得到函数的单调性; (2)

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,构造函数,求函数的导数得

,所以在上单调递减,可证; (3) 由(1)知,函数要有两个

零点等价于即,则可设,由(2)证即可求得.

试题解析: (1)①时,f(x)在(0,1)上递增,在上递减;

②时,f’(x)=0的两根为

A. ,即时,在上递增;

B. ,即时,在上递增,上递减,上递增;

且,故此时在上有且只有一个零点.

C. ,即时,在上递增,上递减,上递增;且,故此时在上有且只有一个零点.

综上所述:时,在上递增,上递减,上递增;

时,在上递增;

时,在上递增,上递减,上递增;

时,)在上递增,在上递减;

(2)

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∴在上单调递减

∴得证.

(3)由(1)知,函数要有两个零点,则

∴又

不妨设

∴由(2)得,又因为所以∴,∴,∴.

(也可以证得到。还可以用点差法来求)

考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与不等式.