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【2015年高考数学(浙江专用,理科)二轮专题复习讲练:专题三 第1讲

【2015年高考数学(浙江专用,理科)二轮专题复习讲练:专题三  第1讲
【2015年高考数学(浙江专用,理科)二轮专题复习讲练:专题三  第1讲

第1讲 等差数列和等比数列

考情解读 (1)等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现. (2)数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.

1.a n 与S n 的关系S n =a 1+a 2+…+a n ,a n =?

????

S 1,n =1,

S n -S n -1,n ≥2.

2

1-q

热点一 等差数列

例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 6=12,则S 7的值是( ) A .21 B .24 C .28 D .7

(23)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若-1

解析 (1)由题意可知,a 2+a 6=2a 4,则3a 4=12,a 4=4,所以S 7=7×(a 1+a 7)

2=7a 4=28.

(2)S 9=9a 1+36d =3(a 1+2d )+6(a 1+5d ) 又-1

∴-3<3(a 1+2d )<3,0<6(a 1+5d )<18, 故-3

思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ,可利用方程思想; (2)等差数列的性质

①若m ,n ,p ,q ∈N *,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ; ②S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…,仍成等差数列;

③a m -a n =(m -n )d ?d =a m -a n

m -n

(m ,n ∈N *);

④a n b n =A 2n -1B 2n -1(A 2n -1

,B 2n -1分别为{a n },{b n }的前2n -1项的和).

(3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项,利用性质解决.

(1)已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,S 11=99

2,则a 12的值是( )

A .15

B .30

C .31

D .64

(2)在等差数列{a n }中,a 5<0,a 6>0且a 6>|a 5|,S n 是数列的前n 项的和,则下列说法正确的是( ) A .S 1,S 2,S 3均小于0,S 4,S 5,S 6…均大于0 B .S 1,S 2,…S 5均小于0,S 6,S 7,…均大于0 C .S 1,S 2,…S 9均小于0,S 10,S 11…均大于0 D .S 1,S 2,…S 11均小于0,S 12,S 13…均大于0 答案 (1)A (2)C

解析 (1)因为a 8是a 7,a 9的等差中项,所以2a 8=a 7+a 9=16?a 8=8,再由等差数列前n 项

和的计算公式可得S 11=11(a 1+a 11)2=11·2a 62=11a 6,又因为S 11=992,所以a 6=9

2,则d =

a 8-a 62

=7

4,所以a 12=a 8+4d =15,故选A. (2)由题意可知a 6+a 5>0,故

S 10=(a 1+a 10)×102=(a 5+a 6)×102>0,

而S 9=(a 1+a 9)×92=2a 5×9

2=9a 5<0,故选C.

热点二 等比数列

例2 (1)(2014·安徽)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =_______________________________________.

(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S n

a n 等于( )

A .4n -

1 B .4n -1

C .2n -

1 D .2n -1

思维启迪 (1)列方程求出d ,代入q 即可;(2)求出a 1,q ,代入化简. 答案 (1)1 (2)D

解析 (1)设等差数列的公差为d ,则a 3=a 1+2d , a 5=a 1+4d ,

∴(a 1+2d +3)2=(a 1+1)(a 1+4d +5),解得d =-1,

∴q =a 3+3a 1+1=a 1-2+3a 1+1

=1.

(2)∵???

a 1+a 3=52

a 2

+a 4

=5

4

,∴???

a 1+a 1q 2=5

2

,①

a 1

q +a 1q 3

=5

4

,②

由①②可得1+q 2q +q

3=2,∴q =1

2,代入①得a 1=2, ∴a n =2×(12)n -1=4

2

n ,

∴S n =2×(1-(1

2)n )

1-12=4(1-1

2n ),

∴S n

a n =4(1-12n )

4

2n =2n -1,故选D. 思维升华 (1){a n }为等比数列,其性质如下:

①若m 、n 、r 、s ∈N *,且m +n =r +s ,则a m ·a n =a r ·a s ; ②a n =a m q n -

m ;

③S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列(q ≠-1). (2)等比数列前n 项和公式 S n =?????

na 1

(q =1),a 1(1-q n )1-q

=a 1-a n q 1-q (q ≠1).

①能“知三求二”;②注意讨论公比q 是否为1;③a 1≠0.

(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4-2a 27+3a 8=0,数列{b n }是等比数列,

且b 7=a 7,则b 2b 8b 11等于( ) A .1 B .2 C .4 D .8

(2)在等比数列{a n }中,a 1+a n =34,a 2·a n -1=64,且前n 项和S n =62,则项数n 等于( ) A .4 B .5 C .6 D .7 答案 (1)D (2)B

解析 (1)∵a 4-2a 27+3a 8=0,∴2a 27=a 4+3a 8,即2a 2

7=4a 7,∴a 7=2,∴b 7=2,又∵b 2b 8b 11=b 1qb 1q 7b 1q 10=b 31q 18=(b 7)3=8,故选D.

(2)设等比数列{a n }的公比为q ,由a 2a n -1=a 1a n =64,又a 1+a n =34,解得a 1=2,a n =32或a 1

=32,a n =2.当a 1=2,a n =32时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q =2-32q

1-q

=62,解得q =2.又a n =a 1q n

-1

,所以2×2n -

1=2n =32,解得n =5.同理,当a 1=32,a n =2时,由S n =62,解得q =12

.由

a n =a 1q n -

1=32×(12)n -1=2,得(12)n -1=116=(12

)4,即n -1=4,n =5.综上,项数n 等于5,故选

B.

热点三 等差数列、等比数列的综合应用

例3 已知等差数列{a n }的公差为-1,且a 2+a 7+a 12=-6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ;

(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项,记{b n }的前n 项和为T n ,若存在m ∈N *,使对任意n ∈N *,总有S n

思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1,代入公式求出a n 和S n ;(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值.

解 (1)由a 2+a 7+a 12=-6得a 7=-2,∴a 1=4,

∴a n =5-n ,从而S n =n (9-n )

2.

(2)由题意知b 1=4,b 2=2,b 3=1, 设等比数列{b n }的公比为q ,

则q =b 2b 1=12

∴T m =4[1-(12)m ]

1-12

=8[1-(1

2)m ],

∵(1

2)m 随m 增加而递减, ∴{T m }为递增数列,得4≤T m <8.

又S n =n (9-n )2=-1

2(n 2-9n )

=-12[(n -92)2-814],

故(S n )max =S 4=S 5=10,

若存在m ∈N *,使对任意n ∈N *总有S n 6.即实数λ的取值范围为(6,+∞). 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法

(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便.

(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题,求解时用等差(比)数列的相关知

识,将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可.

已知数列{a n }前n 项和为S n ,首项为a 1,且1

2,a n ,S n 成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)数列{b n }满足b n =(log 2a 2n +1)×(log 2a 2n +3),求证:1b 1+1b 2+1b 3+…+1b n <1

2

.

(1)解 ∵12,a n ,S n 成等差数列,∴2a n =S n +1

2

当n =1时,2a 1=S 1+12,∴a 1=1

2,

当n ≥2时,S n =2a n -12,S n -1=2a n -1-1

2,

两式相减得a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1,

∴a n a n -1

=2, ∴数列{a n }是首项为1

2

,公比为2的等比数列,

∴a n =12

×2n -1=2n -

2.

(2)证明 b n =(log 2a 2n +1)×(log 2a 2n +3)=log 222n +1-

2×log 222n +3-

2=(2n -1)(2n +1), 1b n =12n -1×12n +1=12(12n -1-12n +1), 1b 1+1b 2+1b 3+…+1b n =12[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n +1)] =12(1-12n +1)<12(n ∈N *). 即1b 1+1b 2+1b 3+…+1b n <12

.

1.在等差(比)数列中,a 1,d (q ),n ,a n ,S n 五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.

3.等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性

d >0?{a n }为递增数列,S n 有最小值. d <0?{a n }为递减数列,S n 有最大值. d =0?{a n }为常数列. (2)等比数列的单调性

当????? a 1>0,q >1或????? a 1<0,00,0

????

a 1<0,q >1时,{a n }为递减数列. 4.常用结论

(1)若{a n },{b n }均是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,则{ma n +kb n },{S n

n }仍为等差数列,其

中m ,k 为常数.

(2)若{a n },{b n }均是等比数列,则{ca n }(c ≠0),{|a n |},{a n ·b n },{ma n b n }(m 为常数),{a 2n },{1

a n }仍为等比数列.

(3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a 2-a 1,a 3

-a 2,a 4-a 3,…,成等比数列,且公比为a 3-a 2a 2-a 1=(a 2-a 1)q

a 2-a 1=q .

(4)等比数列(q ≠-1)中连续k 项的和成等比数列,即S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…,成等比数列,其公差为q k .

等差数列中连续k 项的和成等差数列,即S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…,成等差数列,公差为k 2d . 5.易错提醒

(1)应用关系式a n =????

?

S 1,n =1,S n -S n -1

,n ≥2时,一定要注意分n =1,n ≥2两种情况,在求出结果后,

看看这两种情况能否整合在一起.

(2)三个数a ,b ,c 成等差数列的充要条件是b =a +c

2,但三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条

件是b 2=ac .

真题感悟

1.(2014·大纲全国)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4 D .3 答案 C

解析 数列{lg a n }的前8项和S 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 1·a 8)4 =lg(a 4·a 5)4=lg(2×5)4=4.

2.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8

解析 ∵a 7+a 8+a 9=3a 8>0,∴a 8>0.

∵a 7+a 10=a 8+a 9<0,∴a 9<-a 8<0. ∴数列的前8项和最大,即n =8. 押题精练

1.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列一定成立的是( ) A .若a 3>0,则a 2 013<0 B .若a 4>0,则a 2 014<0 C .若a 3>0,则a 2 013>0 D .若a 4>0,则a 2 014>0 答案 C

解析 因为a 3=a 1q 2,a 2 013=a 1q 2 012,而q 2与q 2 012均为正数,若a 3>0,则a 1>0,所以a 2 013>0,故选C.

2.已知数列{a n }是首项为a ,公差为1的等差数列,b n =1+a n

a n

.若对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围为________. 答案 (-8,-7)

解析 a n =a +(n -1)×1=n +a -1,所以b n =1+a n a n =n +a

n +a -1

,因为对任意的n ∈N *,都有

b n ≥b 8成立,即n +a n +a -1≥8+a 8+a -1(n ∈N *)恒成立,即n -8

(a +7)(n +a -1)

≤0(n ∈N *),则有

?

????

a +7<0,

1-a <9,解得-8

a 14恰好是等比数列{

b n }的前三项. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;

(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ,若对任意的n ∈N *,(T n +3

2)k ≥3n -6恒成立,求实数k 的取

值范围.

解 (1)当n ≥2时,由题设知4S n -1=a 2n -4(n -1)-1,

∴4a n =4S n -4S n -1=a 2n +1-a 2n -4,

∴a 2n +1=a 2n +4a n +4=(a n +2)2,∵a n >0,∴a n +1=a n +2.

∴当n ≥2时,{a n }是公差d =2的等差数列. ∵a 2,a 5,a 14构成等比数列,

∴a 25=a 2·a 14,(a 2+6)2=a 2·(a 2+24),解得a 2=3, 由条件可知,4a 1=a 22-5=4,∴a 1=1,

∵a 2-a 1=3-1=2,

∴{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列. ∴等差数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.

∵等比数列{b n }的公比q =a 5a 2=2×5-1

3

=3,

∴等比数列{b n }的通项公式为b n =3n .

(2)T n =b 1(1-q n )1-q =3(1-3n )1-3

=3n +

1-3

2,

∴(3n +

1-32+32)k ≥3n -6对任意的n ∈N *恒成立,

∴k ≥2n -4

3n 对任意的n ∈N *恒成立,

令c n =2n -43n ,c n -c n -1=2n -43n -2n -63n -1=-2(2n -7)

3n ,

当n ≤3时,c n >c n -1; 当n ≥4时,c n

∴(c n )max =c 3=227,∴k ≥2

27

.

(推荐时间:60分钟)

一、选择题

1.等比数列{a n }中a 1=3,a 4=24,则a 3+a 4+a 5等于( ) A .33 B .72 C .84 D .189 答案 C

解析 由题意可得q 3=8,所以q =2.所以a 3+a 4+a 5=a 1q 2(1+q +q 2)=84. 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=6+a 7,则S 9的值是( ) A .27 B .36 C .45 D .54 答案 D

解析 由2a 6=6+a 7得a 5=6,所以S 9=9a 5=54.故选D.

3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=5,S m =-11,S m +1=21,则m 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6

答案 C

解析 由已知得,S m -S m -1=a m =-16,S m +1-S m =a m +1=32,故公比q =-2,又S m =

a 1-a m q

1-q =-11,故a 1=-1,又a m =a 1·q m -

1=-16,代入可求得m =5.

4.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n +1-a n (n ∈N *),若b 3=-2,b 10=12,则a 8等于( ) A .0 B .3 C .8 D .11 答案 B

解析 ∵{b n }为等差数列,设其公差为d , 由b 3=-2,b 10=12,

∴7d =b 10-b 3=12-(-2)=14,∴d =2, ∵b 3=-2,∴b 1=b 3-2d =-2-4=-6,

∴b 1+b 2+…+b 7=7b 1+7×6

2·d

=7×(-6)+21×2=0,

又b 1+b 2+…+b 7=(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 8-a 7)=a 8-a 1=a 8-3, ∴a 8-3=0,a 8=3.故选B. 5.数列{a n }满足a 1=2,a n =a n +1-1

a n +1+1

,其前n 项积为T n ,则T 2 014等于( )

A.16 B .-16 C .6 D .-6 答案 D

解析 由a n =a n +1-1a n +1+1得a n +1=1+a n 1-a n ,而a 1=2,所以a 2=-3,a 3=-12,a 4=13,a 5=2,则数

列是以4为周期,且a 1a 2a 3a 4=1,所以T 2 014=(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2=1503×2×(-3)=-6,故选D.

6.已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,若S 21=S 4 000,O 为坐标原点,点P (1,a n ),Q (2 011,a 2 011),则OP →·OQ →

等于( )

A .2 011

B .-2 011

C .0

D .1 答案 A

解析 由S 21=S 4 000得a 22+a 23+…+a 4 000=0, 由于a 22+a 4 000=a 23+a 3 999=…=2a 2 011,

所以a 22+a 23+…+a 4 000=3 979a 2 011=0, 从而a 2 011=0,而OP →·OQ →

=2 011+a 2 011a n =2 011. 二、填空题

7.在等比数列{a n }中,已知a 1+a 3=8,a 5+a 7=4,则a 9+a 11+a 13+a 15=________. 答案 3

解析 设等比数列{a n }的公比为q ,

由已知,得?????

a 1+a 1q 2=8,a 1q 4+a 1

q 6=4,解得q 4=12. 又a 9+a 11=a 1q 8+a 3q 8=(a 1+a 3)q 8=8×(1

2)2=2,

a 13+a 15=a 1q 12+a 3q 12=(a 1+a 3)q 12=8×(1

2

)3=1,

所以a 9+a 11+a 13+a 15=2+1=3.

8.(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=______. 答案 50

解析 因为a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5, 所以a 10a 11=e 5.

所以ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)

=ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]=ln(a 10a 11)10=10ln(a 10a 11)=10ln e 5=50ln e =50.

9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n =________. 答案 6

解析 设等差数列的公差为d ,

则由a 4+a 6=-6得2a 5=-6,∴a 5=-3. 又∵a 1=-11,∴-3=-11+4d ,∴d =2,

∴S n =-11n +n (n -1)

2×2=n 2-12n =(n -6)2-36,

故当n =6时,S n 取最小值.

10.已知数列{a n }的首项为a 1=2,且a n +1=1

2(a 1+a 2+…+a n ) (n ∈N *),记S n 为数列{a n }的前

n 项和,则S n =________,a n =________.

答案 2×????32n -1

?????

2 (n =1),????32n -2 (n ≥2)

解析 由a n +1=12(a 1+a 2+…+a n ) (n ∈N *),可得a n +1=12S n ,所以S n +1-S n =12S n ,即S n +1=3

2

S n ,

由此可知数列{S n }是一个等比数列,其中首项S 1=a 1=2,公比为3

2,所以S n =2×????32n -1, 由此得a n =????

?

2 (n =1),????32n -2 (n ≥2).

三、解答题

11.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.

(1)求数列{b n }的通项公式;

(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列{S n +5

4}是等比数列.

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d . 依题意,得a -d +a +a +d =15. 解得a =5.

所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d . 依题意,有(7-d )(18+d )=100, 解得d =2或d =-13(舍去). 故{b n }的第3项为5,公比为2. 由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,

解得b 1=5

4

.

所以b n =b 1·q n -1=54·2n -1=5·2n -

3,

即数列{b n }的通项公式b n =5·2n -

3.

(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和

S n =5

4(1-2n )1-2

=5·2n -

2-54,

即S n +54

=5·2n -

2.

所以S 1+54=5

2,S n +1+54S n +

54

=5·2n -

15·2

n -2=2.

因此{S n +54}是以5

2

为首项,2为公比的等比数列.

12.若数列{b n }对于n ∈N *,都有b n +2-b n =d (常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列,

如数列{c n },若c n =?

????

4n -1,n 为奇数,

4n -9,n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列.设数列{a n }满

足a 1=a ,对于n ∈N *,都有a n +a n +1=2n .

(1)求证:{a n }为准等差数列; (2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20. (1)证明 ∵a n +1+a n =2n ,① ∴a n +2+a n +1=2n +2.②

由②-①得a n +2-a n =2(n ∈N *), ∴{a n }是公差为2的准等差数列. (2)解 已知a 1=a ,a n +1+a n =2n (n ∈N *), ∴a 1+a 2=2,即a 2=2-a .

∴由(1)可知a 1,a 3,a 5,…,成以a 为首项,2为公差的等差数列,a 2,a 4,a 6,…,成以2-a 为首项,2为公差的等差数列.

∴当n 为偶数时,a n =2-a +(n

2-1)×2=n -a ,

当n 为奇数时,a n =a +(n +1

2

-1)×2=n +a -1,

∴a n =?

???

?

n +a -1,n 为奇数,n -a ,n 为偶数.

S 20=a 1+a 2+…+a 19+a 20

=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)

=2×1+2×3+…+2×19=2×(1+19)×10

2

=200.

13.(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18.

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 则a 1≠0,q ≠0.由题意得 ?

????

S 2-S 4=S 3-S 2,a 2+a 3+a 4=-18. 即?

????

-a 1q 2-a 1q 3=a 1q 2

,a 1q (1+q +q 2

)=-18, 解得?

????

a 1=3,q =-2.

故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n -

1.

(2)由(1)有S n =3[1-(-2)n ]

1-(-2)=1-(-2)n .

假设存在n ,使得S n ≥2 013,

则1-(-2)n ≥2 013,即(-2)n ≤-2 012. 当n 为偶数时,(-2)n >0,上式不成立; 当n 为奇数时,(-2)n =-2n ≤-2 012, 即2n ≥2 012,得n ≥11.

综上,存在符合条件的正整数n ,且所有这样的n 的集合为{n |n =2k +1,k ∈N ,k ≥5}.

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值.

B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值;

中考数学第二轮复习专题个专题

2018年中考数学第二轮专题复习 专题一选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一,2017年各地命题设置上,选择题的数目稳定在8~14题,这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧,答案简明;适应性强,解法灵活;概念性强、知识覆盖面宽等特征,它有利于考核学生的基础知识,有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是:充分利用选择题的特点,小题小做,小题巧做,切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,又不要求写出解题过程. 因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略. 具体求解时,一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上,后者在解答选择题时更常用、更有效.

三、中考典例剖析 考点一:直接法 从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值,可得p的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 对应训练 1.若y=(a+1)x a2-2是反比例函数,则a的取值为() A.1 B.-l C.±l D.任意实数 考点二:筛选法(也叫排除法、淘汰法) 分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正确.

高三数学第二轮专题复习(4)三角函数

高三数学第二轮专题复习系列(4) 三角函数 一、本章知识结构: 二、高考要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2.掌握三角函数公式的运用(即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式) 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。 5. 会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势,主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,从1993年至2002年考查的内容看,大致可分为四类问题(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3)应用同角变换和诱导公式,求三角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期有关的问题。 3.基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算),寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧),分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.解题规律:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解;在最值问题和周期问题中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知,我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来,所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下,加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议 应用 同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用 应用 应用 应用

2015年浙江省高考数学试题(理科)与答案解析

2015年浙江省高考数学试题(理科)与答案解析 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科) 1.(5分)(2015?浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?R P)∩Q=() A .[0,1)B . (0,2]C . (1,2)D . [1,2] 2.(5分)(2015?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是() A .8cm3B . 12cm3C . D . 3.(5分)(2015?浙江)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则() A .a1d>0,dS4 >0 B . a1d<0,dS4 <0 C . a1d>0,dS4 <0 D . a1d<0,dS4 >0 4.(5分)(2015?浙江)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0 5.(5分)(2015?浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()

A .B . C . D . 6.(5分)(2015?浙江)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数() 命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立 7.(5分)(2015?浙江)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有() A .f(sin2x)=sinx B . f(sin2x) =x2+x C . f(x2+1)=|x+1| D . f(x2+2x) =|x+1| 8.(5分)(2015?浙江)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则() A .∠A′DB≤αB . ∠A′DB≥αC . ∠A′CB≤αD . ∠A′CB≥α 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 9.(6分)(2015?浙江)双曲线=1的焦距是,渐近线方程 是. 10.(6分)(2015?浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))=,f(x)的最小值是.

2019年中考数学二轮复习专题_1

2019年中考数学二轮复习专题 各位读友大家好,此文档由网络收集而来,欢迎您下载,谢谢 教育网小编为大家整理关于中考数学二轮复习专题-因式分解,希望考生在各科复习中,做好安排,冲刺中考。 中考数学二轮复习专题-因式分解 因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 公因式:一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式. 确定公因式的方法:公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的. 提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形

式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提出多项式的公因式以后,另一个因式的确定方法是:用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式. 如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的,在提出“-”号时,多项式的各项都要变号. 因式分解和整式乘法的关系:因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程,整式乘法的结果是整式,因式分解的结果是乘积式. 运用公式法:如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. 平方差公式:两数平方差,等于这两数的和乘以这两数的差,字母表达式:a2-b2= 具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式 ①系数能平方,

②字母指数要成双, ③两项符号相反. 用平方差公式分解因式的关键:把每一项写成平方的形式,并能正确地判断出a,b分别等于什么. 完全平方公式:两个数的平方和,加上这两个数的积的2倍,等于这两个数的和的平方.字母表达式:a2±2ab+b2=2 完全平方公式的特点: ①它是一个三项式. ②其中有两项是某两数的平方和. ③第三项是这两数积的正二倍或负二倍. ④具备以上三方面的特点以后,就等于这两数和的平方. 立方和与立方差公式:两个数的立方和等于这两个数的和乘以它们的平方和与它们积的差. 利用立方和与立方差分解因式的关键:能把这两项写成某两数立方的形式. 具备什么条件的多项式可以用分组

高三数学文科第二轮专题复习

大田职专11级1—5班数学专题复习 立体几何模块 1、如图,四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形,点E 是A A '的中点,'A A ⊥平面ABCD .。(I )计算:多面体A 'B 'BAC 的体积; (II )求证:C A '//平面BDE ; (Ⅲ) 求证:平面AC A '⊥平面BDE . 2、如图,已知四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是直角梯形,//AB DC ,ο45=∠ABC ,1DC =, 2=AB ,⊥PA 平面ABCD ,1=PA . (Ⅰ)求证://AB 平面PCD ; (Ⅱ)求证:⊥BC 平面PAC ; (Ⅲ)若M 是PC 的中点,求三棱锥M ACD -的体积. 3、如图,在三棱锥A —BCD 中,AB ⊥平面BCD ,它的正视图和俯视图都是直角三角形,图中尺寸单位为cm 。(I )在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求,画出三棱锥的侧(左)视图;(II )证明:CD ⊥平面ABD ;(III )按照图中给出的尺寸,求三棱锥A —BC D 的侧面积。 B ' ? D C A ' B A E M C A P

5、(11-3泉质) 6、如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形,60ABC ∠=?,点M 是棱PC 的中点,N 是棱PB 的中点,PA ⊥平面ABCD ,AC 、BD 交于点O 。 (1)求证:平面OMN//平面PAD ; (2)若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2,求三棱锥 P —BCD 的体积。

8、 9、已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,F 为棱BB 1的中点,M 为线段AC 1的中点. 求证:(Ⅰ)直线MF ∥平面ABCD ; (Ⅱ)平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1. A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M F

2019浙江省高考数学试卷(理科)

2015年浙江省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科) 1.(5分)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?R P)∩Q=()A.[0,1) B.(0,2]C.(1,2) D.[1,2] 2.(5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8cm3B.12cm3C.D. 3.(5分)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则() A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 4.(5分)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0 D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0 5.(5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是() A.B.C.D. 6.(5分)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数() 命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立 7.(5分)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有() A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1| 8.(5分)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则() A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专题复习

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. (6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则

1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注: ①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x x x y ??= ??| |,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时,1-=??x y ,故x y x ??→?0lim 不存在. 注: ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义:

(完整word版)2018届高三数学二轮复习计划

宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行,使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利,在校、年级领导指导下,结合年级2018届高考备考整体方案的基础上,经数学基组研究,制定本工作计划。 一、成员: 韦胜华(基组长)、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快,训练量较少,所以基础相对薄弱,数学的五大能力:计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差,处理常规问题的通解通法未能落实到位,常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想: 1、承上启下,使知识系统化、条理化,促进灵活应用。 2、强化基础夯实,重点突出,难点分解,各个击破,综合提高。 三、时间安排:2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施: (一)重视《考试大纲》(以2018年为准)与《考试说明》(参照2017年的考试说明)的学习,这两本书是高考命题的依据,是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 (二)重视课本的示范作用,虽然2018年高考是全新的命题模式,但教材的示范作用绝不能低估。 (三)注重主干知识的复习,对于支撑学科知识体系的重点知识,要占有较大的比例,构成数学试题的主体。 (四)注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时,要进一步强化基本数学思想和方法的复习,只有这样,在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 (五)注重数学能力的提高,数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 (六)注重数学新题型的练习。以高考试题为代表,构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页(共2页)

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共15小题,1-10每小题4分,11-15每小题5分,满分65分)1.(4分)设集合M={x|0≤x<2},集合N={x|x2﹣2x﹣3<0},集合M∩N=() A .{x|0≤x< 1} B . {x|0≤x< 2} C . {x|0≤x≤1}D . {x|0≤x≤2} 考点:交集及其运算. 分析:解出集合N中二次不等式,再求交集. 解答:解:N={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},∴M∩N={x|0≤x<2},故选B 点评:本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题,注意等号,较简单.2.(4分)如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,那么实数a等于() A .﹣6 B . ﹣3 C . D . 考点:直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:计算题. 分析: 根据它们的斜率相等,可得=3,解方程求a的值.解答:解:∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行, ∴它们的斜率相等,∴=3,∴a=﹣6. 故选A. 点评:本题考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等.3.(4分)函数y=tan()在一个周期内的图象是() A .B . C . D . 考点:正切函数的图象. 专题:综合题. 分析:先令tan()=0求得函数的图象的中心,排除C,D;再根据函数y=tan() 的最小正周期为2π,排除B. 解答:解:令tan()=0,解得x=kπ+,可知函数y=tan()与x轴的一个交点不是,排除C,D

∵y=tan()的周期T==2π,故排除B 故选A 点评:本题主要考查了正切函数的图象.要熟练掌握正切函数的周期,单调性,对称中心等性质.4.(4分)已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2.则二面角P﹣BC ﹣A的大小为() A .B . C . D . 考点:平面与平面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题. 专题:计算题. 分析:要求二面角P﹣BC﹣A的大小,我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角,将空间问题转化为平面问题,然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系,解三角形进行求解. 解答:解:如图所示,由三棱锥的三个侧面与底面全等, 且AB=AC=, 得PB=PC=,PA=BC=2, 取BC的中点E,连接AE,PE, 则∠AEP即为所求二面角的平面角. 且AE=EP=, ∵AP2=AE2+PE2, ∴∠AEP=, 故选C. 点评:求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角,通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP.其解题过 程为:作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP,简记为“作、证、算”.5.(4分)函数y=sin()+cos2x的最小正周期是() A .B . πC . 2πD . 4π 考点:三角函数的周期性及其求法. 分析:先将函数化简为:y=sin(2x+θ),即可得到答案. 解答: 解:∵f(x)=sin()+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=(+1)cos2x﹣sin2x =sin(2x+θ) ∴T==π

2020高考数学二轮专题复习 三角函数

三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;

2019中考数学第二轮复习专题(10个专题)

中考数学第二轮专题复习 专题一选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一,2013年各地命题设置上,选择题数目稳定在8~14题,这说明选择题有它不可替代重要性. 选择题具有题目小巧,答案简明;适应性强,解法灵活;概念性强、知识覆盖面宽等特征,它有利于考核学生的基础知识,有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是:充分利用选择题的特点,小题小做,小题巧做,切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,又不要求写出解题过程. 因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略. 具体求解时,一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上,后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一:直接法 从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. A.1 B.-1 C.3 D.-3 思路分析:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),再把x=-2,y=3;x=1时,y=0代入即可得出kb 的值,故可得出一次函数的解析式,再把x=0代入即可求出p的值. 解:一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), ∵x=-2时y=3;x=1时y=0, ∴ 23 k b k b -+= ? ? += ? , 解得 1 1 k b =- ? ? = ? , ∴一次函数的解析式为y=-x+1, ∴当x=0时,y=1,即p=1. 故选A. 点评:本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式. 对应训练 1.(2013?安顺)若y=(a+1)x a2-2是反比例函数,则a的取值为() A.1 B.-l C.±l D.任意实数 1.A

高三数学二轮复习试题

数学思想三(等价转化) 1.设M={y|y=x+1, x ∈R}, N={ y|y=x 2+1, x ∈R},则集合M ∩N 等于 ( ) A.{(0,1),(1,2)} B.{x|x ≥1} C.{y|y ∈R} D.{0,1} 2.三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为M,N,Q ,则体积为 ( ) A.32MNQ B.42MNQ C.62MNQ D.8 2MNQ 3.若3sin 2 +2sin 2 =2sin ,则y= sin 2 +sin 2 的最大值为 ( ) A. 21 B.32 C.94 D.9 2 4.对一切实数x ∈R ,不等式x 4+(a-1)x 2+1≥0恒成立,则a 的取值范 围为 ( ) A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 5.(1-x 3)(1+x)10的展开式中,x 5的系数是 ( ) A.-297 B.-252 C.297 D.207 6.方程|2|)1(3)1(32 ++=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 7.AB 是抛物线y=x 2的一条弦,若AB 的中点到x 轴的距离为1,则弦AB 长度的最大值 ( ) A. 45 B.2 5 C.2 D.4 8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9只路灯,为节约用电,可以把其中的3只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的2只或3只,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有___________________种。 9.正三棱锥A BCD 的底面边长为a ,侧棱长为2a ,过B 点作与侧棱AC,AD 都相交的截面BEF ,则截面⊿BEF 的周长的最小值为_______________ 10.已知方程x 2+mx+m+1=0的两个根为一个三角形两内角的正切值,则 m ∈________________________________________ 11.等差数列{a n }的前项和为S n , a 1=6,若S 1,S 2,S 3,···S n ,···中S 8最大,问数列{a n -4}的前多少项之和最大?

1992年全国统一高考数学试卷(理科)

1992年全国统一高考数学试卷(理科) 一、选择题(共18小题,每小题3分,满分54分) 1.(3分) 的值是( ) A . B . 1 C . D . 2 2.(3分)如果函数y=sin (ωx )cos (ωx )的最小正周期是4π,那么常数ω为( ) A . 4 B . 2 C . D . 3.(3分)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( ) A . 2 B . C . 1 D . 4.(3分)方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是( ) A . 10° B . 20° C . 50° D . 70° 5.(3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是( ) A . 6:5 B . 5:4 C . 4:3 D . 3:2 6.(3分)图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象.已知n 取±2,±四个值,则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为( ) A . ﹣2,﹣,,2 B . 2,,﹣,﹣2 C . ﹣,﹣2,2, D . 2 ,,﹣2,﹣ 7.(3分)若log a 2<log b 2<0,则( ) A . 0<a <b <1 B . 0<b <a <1 C . a > b >1 D . b >a >1 8.(3分)直线(t 为参数)的倾斜角是( )

A . 20° B . 70° C . 45° D . 135° 9.(3分)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 10.(3分)圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( ) A . x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B . x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C . x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D . x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11.(3分)在(x 2+3x+2)5的展开式中x 的系数为( ) A . 160 B . 240 C . 360 D . 800 12.(3分)若0<a <1,在[0,2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是( ) A . [0,arcsina ] B . [arcsina ,π﹣arcsina ] C . [π﹣arcsina ,π] D . [arcsina ,+arcsina ] 13.(3分)已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ,如果l 1的方程是ax+by+c=0,那么直线l 2的方程为( ) A . b x+ay+c=0 B . a x ﹣by+c=0 C . b x+ay ﹣c=0 D . b x ﹣ay+c=0 14.(3分)在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A . B . C . D . 15.(3分)已知复数z 的模为2,则|z ﹣i|的最大值为( ) A . 1 B . 2 C . D . 3 16.(3分)函数y=的反函数( ) A . 是奇函数,它在(0,+∞) 上是减函数 B . 是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数 C . 是奇函数,它在(0,+∞) 上是增函数 D . 是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数 17.(3分)如果函数f (x )=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f (2+t )=f (2﹣t ),那么( ) A . f (2)<f (1) B . f (1)<f (2) C . f (2)<f (4) D . f (4)<f (2)

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)

第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以填空题的形式出现.(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题. 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y =f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________.

(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=??? cos πx ,x ∈[0,1 2 ], 2x -1,x ∈(1 2 ,+∞),则不等式 f (x -1)≤1 2 的解集为________. 思维升华 (1)根据二分法原理,逐个判断;(2)画出函数图象,利用数形结合思想解决. 答案 (1)1 (2)[14,23]∪[43,7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性,再确定零点. 因为f ′(x )=2x ln 2+3x 2>0, 所以函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上递增, 且f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0, 所以有1个零点. (2)先画出y 轴右边的图象,如图所示. ∵f (x )是偶函数,∴图象关于y 轴对称,∴可画出y 轴左边的图象,再画直线y =1 2.设与曲线交 于点A ,B ,C ,D ,先分别求出A ,B 两点的横坐标. 令cos πx =12,∵x ∈[0,1 2], ∴πx =π3,∴x =1 3 . 令2x -1=12,∴x =34,∴x A =13,x B =34 . 根据对称性可知直线y =12与曲线另外两个交点的横坐标为x C =-34,x D =-1 3. ∵f (x -1)≤12,则在直线y =1 2上及其下方的图象满足, ∴13≤x -1≤34或-34≤x -1≤-1 3, ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同

中考数学二轮复习专题

中考数学二轮专题复习之一:配方法与换元法 把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法. 所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 【范例讲析】: 例1: 填空题: 1).将二次三项式x 2+2x -2进行配方,其结果为 。 2).方程x 2+y 2+4x -2y+5=0的解是 。 3).已知M=x 2-8x+22,N=-x 2+6x -3,则M 、N 的大小关系为 。 例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ,且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ,则△ABC 的形状为 。 例3.解方程:422740x x --= 【闯关夺冠】 1.已知13x x +=.则221x x +的值为__________. 2.若a 、b 、c 是三角形的三边长,则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 ( ) A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知:a 、b 为实数,且a 2+4b 2-2a+4b+2=0,求4a 2- b 1的值。 4. 解方程: 211( )65()11 x x +=--

中考数学专题复习之二:待定系数法 对于某些数学问题,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果.通过变形与比较.建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组),并求出相应字母系数(或参数)的值,进而使问题获解.这种方法称为待定系数法. 【范例讲析】: 【例1】二次函数的图象经过A(1,0)、B(3,0)、C(2,-1)三点. (1)求这个函数的解析式. (2)求函数与直线y=-x+1的交点坐标. 【例2】一次函数的图象经过反比例函数x y 8- =的图象上的A 、B 两点,且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。 (1)求这个一次函数的解析式; (2)若一条抛物线经过点A 、B 及点C (1,7),求抛物线的解析式。 【闯关夺冠】 1.已知:反比例函数和一次函数图象的一个交点为(-3,4),且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5,分别确定这两个函数的解析式。 2、如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,点A 、C 的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.

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