7 概率与统计(文)
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·重庆理，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( ) A ．19 B ．20 C ．21.5 D ．23
[答案] B
[解析] 此题考查了茎叶图和中位数定义，属于简单题． 根据茎叶图易知中位数为20＋20
2
＝20.
2．(2015·陕西理，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A ．93
B ．123
C ．137
D ．167
[答案] C
[解析] 考查统计知识．
初中女教师：110×0.7＝77；高中女教师：150×(1－0.6)＝60，所以一共有77＋60＝137位女教师．故本题正确答案为C ．
3．(2014·湖北文，5)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )
A ．p 1
B ．p 2
C ．p 1
D ．p 3
[解析] 在表格中表示出两枚骰子向上的点数和的所有可能情况如下：
则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝18
36
.故p 1
4．(2015·潍坊市模拟)某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：
A ．90%
B ．95%
C ．99%
D ．99.9%
附：参考公式和临界值表χ2
＝n n 11n 22－n 12n 21 2
n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2
[答案] C
[解析] 因为χ2
＝30× 4×2－16×8 2
12×18×20×10
＝10,6.635<χ2
<10.828，所以有99%的把握
认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
5．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 内的概率为( )
A ．13
B ．23
C ．19
D ．29
[答案] D
[解析] 如图，作出两集合表示的平面区域．容易得出Ω所表示的平面区域为三角形
AOB 及其边界，A 表示的区域为三角形OCD 及其边界．
容易求得D (4,2)恰为直线x ＝4，x －2y ＝0，x ＋y ＝6三线的交点． 则可得S △AOB ＝12×6×6＝18，S △OCD ＝1
2×4×2＝4.
所以点P 落在区域A 的概率为P ＝418＝2
9
.
6．(2015·云南统考)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度和3位持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A ．36人
B ．30人
C ．24人
D ．18人
[答案] A
[解析] 设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别是为6x 、x 、3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6，∴持“喜欢”态度的有6x ＝36人．
7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )
[答案] A
[解析] 通过分析茎叶图可知在[0,5)和[5,10)内分别各有1个样本，故它们的频率
组距
对应的数值均为0.01，排除B ，C 与D 不符合人数分组(组距为5)的要求，故选A ．
8．已知x 、y 的取值如表所示：
如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋2，则b ^
＝( )
A ．－12
B ．12
C ．－110
D ．110
[答案] A
[解析] ∵线性回归方程为y ^＝b ^x ＋13
2，
线性回归方程过样本中心点， ∵x －＝2＋3＋43＝3，y －＝6＋4＋53＝5，
∴回归方程过点(3,5)，∴5＝3b ^＋13
2，
∴b ^
＝－12
，故选A ．
9．如图是一样本的频率分布直方图，由图形中的数据可以估计众数与中位数分别是( )
A ．12.5 12.5
B ．12.5 13
C ．13 12.5
D ．13 13
[答案] B
[解析] 在频率分布直方图中，最高矩形中点的横坐标为众数，中位数左右两边直方图的面积相等．
10．在一个正四面体玩具的四个面上分别标有数字－1、0、1、2，随机抛掷一次，记向下一面的数字为n ，则函数y ＝－13
x 3
＋nx 在[0，＋∞)上为减函数的概率为( )
A ．14
B ．12
C ．34
D ．1
[答案] A
[解析] 由y ′＝－x 2
＋n ≤0得，n ≤x 2
， ∵x ∈[0，＋∞)，∴n ≤0.∴所求概率P ＝1
4
.
11．(2014·山西省重点中学四校联考)向边长分别为5,6，13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )
A ．1－π18
B ．1－π12
C ．1－π9
D ．1－π4
[答案] A
[解析] 如图，设△ABC 三边AB ＝13，AC ＝5，BC ＝6，过A 作AD
⊥BC ，垂足为D ，设BD ＝x ，则CD ＝6－x ，由AB 2
－BD 2
＝AD 2
＝AC 2
－CD
2
得13－x 2＝25－(6－x )2
，∴x ＝2，AD ＝3，∴S ＝S △ABC ＝12BC ·AD ＝12
×6×3
＝9，分别以A 、B 、C 为圆心，1为半径画弧，当点M 落在以A 、B 、C 为顶点的三个扇形区域外时，符合题意，三个扇形面积的和S 1＝12×12×∠A ＋12×12×∠B ＋12×12
×∠C ＝12(∠A ＋
∠B ＋∠C )＝π2.∴所求概率P ＝9－
π
29＝1－π
18
.
12．甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲，X 乙，则下列结论正确的是( )
A ．X 甲>X 乙
B ．X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定
C ．X 甲 D ．X 甲 [解析] 由已知数据得X 甲＝68＋69＋70＋71＋725＝70，而X 乙＝63＋68＋69＋69＋71 5 ＝ 68，故X 甲>X 乙， 又s 2 甲＝2 乙＝7.2，故甲比乙稳定． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2015·福建文，13)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． [答案] 25 [解析] 由题意得抽样比例为45900＝120，故应抽取的男生人数为500×1 20＝25. 14．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值构成集合A ，则A ＝________. [答案] {－11,3,17} [解析] 设这个数为x ，则平均数为25＋x 7，众数为2，若x ≤2，则中位数为2，此时x ＝－11.若2 7＋2，x ＝3，若x ≥4，则中位数为4,2×4 ＝25＋x 7 ＋2，x ＝17，所有可能值为－11,3,17. 15．(2015·青岛市质检)在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20平方厘米的概率为P ＝________. [答案] 2 3 [解析] 不妨设长为x 厘米，则宽为(12－x )厘米，由x (12－x )>20，得2 3 . 16．(2014·哈三中二模)在区间[0,1]上任取两个实数a 、b ，则函数f (x )＝12x 3 ＋ax －b 在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为________． [答案] 7 8 [解析] ∵a ∈[0,1]，∴f ′(x )＝1.5x 2 ＋a ≥0， ∴f (x )是增函数．若在[－1,1]有且仅有一个零点， 则f (－1)·f (1)≤0， ∴(－0.5－a －b )(0.5＋a －b )≤0， 即(0.5＋a ＋b )(0.5＋a －b )≥0； 如图，点P (a ，b )所在平面区域为正方形OABC ，f (x )在[－1,1]上有且仅有一个零点?点P 落在阴影区域，阴影部分的面积S ＝1×1－12×12×12＝7 8 ， ∴所求概率P ＝7 8 . 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2015·湖南文，16)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由． [分析] (1)利用列举法列出所有可能的结果即可；(2)在(1)中得到摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率． [解析] (1)所有可能的摸出结果是： {A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2， a 1}，{A 2，a 2}，{A 2， b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}. (2)不正确，理由如下： 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝ 23＞1 3 ，故这种说法不正确． 18．(本题满分12分) (2015·昆明市质检)某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，记成绩不小于80分者为A 等，小于80分者为B 等． (1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数； (2)如果用分层抽样的方法从A 等和B 等中共抽取5人组成“创新团队”，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A 等的概率． [解析] (1)由题中茎叶图知，女生成绩的中位数是75.5. 男生成绩的平均值为x ＝1 6(69＋76＋78＋85＋87＋91) ＝81. (2)用分层抽样的方法从A 等和B 等学生中共抽取5人，每个人被抽中的概率是520＝14 . 根据茎叶图知，A 等有8人，B 等有12人， 所以抽取的A 等有8×1 4 ＝2(人)， B 等有12×14 ＝3(人) 记抽取的A 等2人分别为A 1，A 2，抽取的B 等3人分别为B 1，B 2，B 3，从这5人中抽取2人的所有可能的结果为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2， B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种． 其中至少有1人是A 等的结果为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2， B 2)，(A 2，B 3)共7种． 所以至少有1人是A 等的概率为7 10 . 19．(本题满分12分)(2015·唐山市一模)为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据： (1)求y 关于(2)利用(1)中的回归方程，预测t ＝8时，细菌繁殖个数． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^ ＝ ∑i ＝1 n t i －t y i －y ∑i ＝1 n t i －t 2 ，a ^＝y －b ^ t . [解析] (1)由表中数据计算得，t ＝5，y ＝4，∑i ＝1 n (t i －t )(y i －y )＝8.5，∑i ＝1 n (t i －t )2 ＝10， b ^ ＝ ∑i ＝1 n t i －t y i －y ∑i ＝1 n t i －t 2 ＝0.85，a ^＝y －b ^ t ＝－0.25. 所以，回归方程为y ^ ＝0.85t －0.25. (2)将t ＝8代入(1)的回归方程中得y ^ ＝0.85×8－0.25＝6.55. 故预测t ＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个． 20．(本题满分12分)(2015·云南统考)某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1200人的数学成绩中随机抽出200人的成绩绘制成如下的统计表．请根据表中提供的信息解决下列问题： (1)求a 、b 、c (2)如果从这1200名学生中随机取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率 P (注：60分及60分以上为及格)； (3)试估计这次数学测验的年级平均分． [解析] (1)b ＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05， a ＝200×0.05＝10，c ＝200×0.5＝100. (2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人． ∴P ＝162200＝81 100 ＝0.81. (3)这次数学测验样本的平均分为 x ＝ 16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62 200 ＝73， ∴这次数学测验年级平均分大约为73分． 21．(本题满分12分)(2015·新课标Ⅱ文，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表． A 地区用户满意度评分的频率分布直方图 B 地区用户满意度评分的频数分布表 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： [解析] (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而 A地区用户满意度评分比较分散．频率分布直方图如图所示． (2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大． 记C A表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．22．(本题满分12分)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量(单位：克)，重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图． 图1：乙流水线样本的频率分布直方图 (1)根据上面表1中的数据作出甲流水线样本的频率分布直方图； (2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少； (3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. 附：K 2 ＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . (2)由表1知甲流水线样本中合格品数为8＋14＋8＝30，故甲流水线样本中合格品的频率为30 40 ＝0.75， 由图1知乙流水线样本中合格品的频率为(0.06＋0.09＋0.03)×5＝0.9， 据此可估计从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75； 从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9. (3)由(2)知甲流水线样本中合格品数为30，乙流水线样本中合格品数为0.9×40＝36. 2×2列联表如下： ∵K 2 ＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d ＝80× 120－360 2 66×14×40×40 ≈3.117>2.706， ∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关． [点评] 掌握读图、读表的方法，从图表中得到相应的数据，在绘制频率分布直方图的时候，应注意纵轴的坐标并不是频率；第(2)问用相应的频率估计概率即可；进行独立性检验时，要注意公式的正确运用．
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