2.7 二次根式
一．选择题
1．下列给出的式子是二次根式的是（）
A．±3B．C．D．
2．下列各式一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．若x、y都是实数，且y＝++24，则x+y的立方根是（）A．27B．0C．3D．±3
4．若x，y为实数，且++y＝6，则xy的值为（）
A．0B．C．2D．不能确定
5．下列化简错误的是（）
A．＝2B．＝C．＝﹣3D．（）0＝1
6．下列运算中，错误的有（）
①＝±，②＝2，③＝﹣＝﹣2，④＝+＝．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．下列各式是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
8．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
9．若等式＝（）2成立，则实数a的取值范围是（）
A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0
10．下列各式中，正确的是（）
A．＝±5B．＝π﹣3
C．＝4D．＝
11．已知a＝+，b＝﹣，那么a与b的关系为（）
A．互为相反数B．互为倒数
C．相等D．a是b的平方根
12．下列计算正确的是（）
A．（﹣）2＝9B．﹣＝6C．3÷×＝9D．×3＝13．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么3的值为（）A．B．±3C．3D．3
14．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．3
15．下列计算正确的是（）
A．＝B．﹣＝C．|﹣3|＝3﹣D．2+＝2二．填空题
16．若是整数，则自然数n的最小值是．
17．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是．
18．用“＞”、“＜”或“＝”填空：
①﹣；
②1；
③．
19．在①；②；③；④中，最简二次根式有个．20．计算×的结果是．
21．已知a＝，则的值为．
22．若两个最简二次根式与能够合并，则mn＝．
23．计算﹣的结果是．
24．求值：（2﹣3）2020?（3+2）2021＝．
25．已知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为．
三．解答题
26．已知a，b是有理数，若，求ab的平方根．
27．我们以前学过完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，你一定熟练掌握了吧!现在，又学
习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3＝（）2，5＝（）2，下面我们观察：
（﹣1）2＝（）2﹣2×1×+12＝2﹣2+1＝3﹣2．
反之，3﹣2＝2﹣2+1＝（﹣1）2．
∵3﹣2＝（﹣1）2，
∴＝﹣1．
仿上例，求：（1）；
（2）计算：++……+；
（3）已知y＝，求y的最小值．
28．计算：×4÷．
29．阅读下列材料并完成任务：
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．
如：﹣1；．知识运用：
（1）填空：﹣的有理化因式是．
（2）将下列各式分母有理化：
①；
②；
③．
参考答案
一．选择题
1．解：A．±3不是二次根式，故本选项不符合题意；
B.是二次根式，故本选项符合题意；
C．∵3﹣π＜0，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．∵的根指数是3，不是2，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：A、根指数不是2，不是二次根式，故本选项不合题意；
B、当a﹣2＜0时，该式子不是二次根式，故本选项不合题意；
C、x取任意实数，x2+1≥1，是二次根式，故本选项符合题意；
D、﹣（a2+1）2＜0，该式子不是二次根式，故本选项不合题意．
故选：C．
3．解：由题意可知：，
∴x＝3，
∴y＝24，
∴x+y＝27，
∴27的立方根为3，
故选：C．
4．解：由题意可知：，
∴x＝，
∴y＝6，
∴xy＝×6＝2，
故选：C．
5．解：A、原式＝2，所以A选项的计算正确；
B、原式＝，所以B选项的计算正确；
C、原式＝3，所以C选项的计算错误；
D、原式＝1，所以D选项的计算正确．
故选：C．
6．解：＝，所以①错误；
＝2，所以②正确；
没有意义，所以③错误；
＝＝，所以④错误．
故选：C．
7．解：＝2，＝2，＝a，为最简二次根式．故选：D．
8．解：A、＝，故此选项不合题意；
B、＝＝，故此选项不合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、＝|b|，故此选项不合题意；
故选：C．
9．解：∵等式＝（）2成立，
∴a≥0．
故选：C．
10．解：A、＝5，故此选项错误；
B、）2＝π﹣3，正确；
C、＝，故此选项错误；
D、，二次根式无意义，故此选项错误．
故选：B．
11．解：∵a＝+，b＝﹣，
∴ab＝（+）（﹣）＝1，
故a与b的关系为互为倒数．
故选：B．
12．解：∵＝3，
∴选项A不符合题意；
∵﹣＝﹣6，
∴选项B不符合题意；
∵3÷×＝9，
∴选项C符合题意；
∵×3＝3≠，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
13．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a+8＝12﹣a，
解得：a＝1，
故，
故选：D．
14．解：A、＝2，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
B、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
15．解：和不是同类二次根式，不能合并，因此选项A、B均不符合题意；
2+＝3≠2，因此选项D不符合题意；
因为﹣3＜0，所以|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3﹣，因此选项C符合题意；
故选：C．
二．填空题
16．解：若是整数，则自然数n的最小值是0．
故答案为：0．
17．解：∵2x﹣3≥0，
∴x≥，
故答案为：x≥．
18．解：①∵﹣＝﹣，＝﹣，
∴﹣＝，
故答案为：＝；
②＝＝＝1，
故答案为：＝；
③∵＝，＝3，＞3，
∴＞＝3，
∴＞，
故答案为：＞．
19．解：最简二次根式有①；②；④，共3个，故答案为：3．
20．解：原式＝＝＝2．
故答案为：2．
21．解：∵a＝＝﹣1，＝+1，
∴
＝
＝|a﹣|
＝﹣a
＝+1﹣（﹣1）
＝2．
故答案为：2．
22．解：∵最简二次根式与能够合并，
∴n＝2，2m﹣5＝5，
∴m＝5，
∴mn＝5×2＝10，
故答案为：10．
23．解：﹣＝﹣＝．
故答案为：．
24．解：原式＝（2﹣3）2020（2+3）2020（2+3）
＝（﹣1）2020（2+3）
＝2+3．
故答案为：2+3．
25．解：∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x﹣y＝﹣2，
则x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝（﹣2）2＝12，
故答案为：12．
三．解答题
26．解：若要使有意义，
则，
解得a＝﹣2，此时b＝﹣4，
则＝±＝．
27．解：（1）∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴＝|﹣1|＝﹣1；
（2）∵3﹣2＝（﹣1）2，5﹣2＝（﹣）2，7﹣2＝（﹣）2，……
19﹣2＝（﹣）2，
∴++……+
＝﹣1+﹣+﹣……+﹣，
＝﹣1，
（3）y＝
y＝|x﹣1|+|x+1|，
因此当﹣1≤x≤1时，|x﹣1|+|x+1|的最小值为2．28．解：原式＝2×4×÷4
＝8÷4
＝2．
29．解：（1）∵，﹣×＝5，∴﹣的有理化因式是或；
（2）①；
②；
③．