上海应用技术学院2015 —2016 学年第 二 学期 《高等数学（工）2》测试卷（线、面、多元函数微分）答案
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试卷共 6 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设平面方程为0=++D Cz Ax ，其中D ,C ,A 均不为零，则平面 （ B ）： A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．经过x 轴 D ．经过y 轴 分析：方程0=++D Cz Ax 中0=B 而0≠D 故平面平行于y 轴
2. 直线
3
7423z
y x =-+=-+和平面3224=--z y x 的位置关系为（ C ）： A ．斜交 B ． 垂直 C ． 平行 D ．直线在平面上 分析：{}{}02,2,43,7,2=--?--=?→
→n s ()0,4,30--M 不在平面3224=--z y x 上 3. 曲面z y x 2422=+与平面01=+-z x 的交线在xoy 面上投影曲线方程为( A )．
A ．???=+=+0)1(2422z x y x
B ．?
??=+=+0)
1(2422x x y x
C ．???=+-=+0
12422z x z y x D ． )1(242
2+=+x y x
4. 函数x
y
z arctan =在)1,1(处的全微分为 （ D ）． A ．dy dx dz
+=)
1,1( B ． dy dx dz +-=)
1,1(
C ．dy dx dz 2
1
21)1,1(+=
D ． dy dx dz 2121)1,1(+-=
5. 设函数z x yz xz u ---=3，则函数u 在点()1,2,1-处方向导数的最大值是（ B ） A ．2 B ．17 C ．7 D ．3 二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 原点到平面229x y z +-=的距离为 3 。
3)
2(2190202012
2
2
=-++-?-?+?=
d
7. 双曲线??
???==-
015
42
2y z x 绕z 轴旋转而成的旋转曲面方程为222
145
x y z +-=。
分析：绕z 轴旋转 z 不变，将另一个变量用除旋转轴外22y x +±代替
8. 设??? ?
?
=x y y e f z x
,
sin ，其中()v u f ,可微，则=??x z 122sin x
y f e y f x ??+- ???
。 9. 函数xz y x u ++=2
2
在点（1，0，1）处沿方向(2,2,1)l =-
的方向导数为
7
3
。
分析：
32)1,0,1()1,0,1(=+=??z x x
u
02)1,0,1(==??y y
u
1)
1,0,1()
1,0,1(==??x
z
u
{}1,2,231
-=
→l 37311320323)
1,0,1(=?+??
?
??-?+?=??l
u 10. 设0),,(=z y x F 满足隐函数存在定理的条件，则
=????????x
z
z y y x -1 。 分析： x
y F F y x
-=??
y z F F z y -=?? z x F F x z -=?? 故原式是1-
三．计算题（每小题7分，共70分）
11. 设)sin(),(223y x e y x y x f xy --+=，求(1,1)y f '。
解： ())cos(2,223y x y xe x y x f xy y -++=………………………………..5分 e f y +=3)1,1(……………………………………………………………..2分
12. 设)ln(2
2
y x y z ++=，求
)
1,1(2x
y z
???
解：
1z y ??
?=
+
?………………….……3分
=
…………………………………………………1分
2
3222)
(y x x x
y z
+-
=???………………...……………………….…2分
4
2
)
1,1(2-
=???x
y z
……………………….……………………..…1分 13. 设()y
x xy z ++=21， 求
x
z ??。 )
1ln()(2xy y x e
z ++= ………………………..………………………..…（1分）
?????
?++++=??++xy y x y xy x e x z xy y x 1)()1ln(22)1ln()(2……………………..（3+3分 14. 设)3sin(z xy u +=，其中),(y x z z =由方程132=-xz yz 所确定，求)
1,1,0(x
u
??．
解：
cos(3)cos(3)3u z
xy z y xy z x x
??=+?++????…………………………………..…3分 1),,(3
2
--=xz yz z y x F ， 2
3
32xz
yz z F F x z z x -=-=??…….……….…....…3分
)
1,1,0(x
u
??3
(0,1,1)23c o s (3)23z y xy z yz xz ??=++= ?-?
?3c o s 25………………..…1分
15. 求函数x y x z 6223-+=的极值．
解：由?????===-=020662
y z x z y
x 得驻点 )0,1(),0,1(-………………..……………………..3分
对于驻点)0,1( 1212)0,1()
0,1(===x
z A xx 0)0,1(==xy z B 2)0,1(==yy z C
02
>-B AC ，0>A ， 在)0,1(点取得极小值，极小值为 (1,0)4z =-………..…5分 对于驻点)0,1(-1212)0,1()
0,1(-==-=-x
z A xx 0)0,1(=-=xy z B
2)0,1(=-=yy z C 02<-B AC 故)0,1(-非极值点。…………………..7分
16. 求曲线3
3
t x =，2y t =-，t z =上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面
1=++z y x ，并求该点处的切线方程。
解：设所求的点对应于0t t =，对应的切线方向向量为()
2
00,2,1s t t →
=-………..…3分
{}1,1,1=→n 0s n →→
?= 2
00210t t -+= 01t =…………………….…….2分
所求的点为：()
1,1,13
-………………………………………..1分
该点处的切线方程为：111
3111
x y z -+-==………………………..1分 17. 求椭球面163222=++z y x 上点()3,2,1--处的切平面，并求该切平面与平面1=z 的
夹角。
解：（1）163),,(222-++=z y x z y x F
切平面的法向量
(1,2,3)(1,2,3)
(,,)
(6,2,2)(6,4,6)2(3,2,3)x y z F F F x y z ----==--=-?-
取(3,2,3)n =-
…………….……………………………………..4分 切平面方程3(1)2(2)3(3)0x y z +++--=………………………………..1分
（2）又0(0,0,1)n =
∴00||cos ||||n n n n θ?===?
∴夹角22
3arccos
=θ …………………………………………………..2分
18. 已知两直线方程1302111--=-=-z y x :L ，2:22
1x t L y t z t
=-??
=+??=?
，求通过1L 且平行2L 的平面方程。
解：直线21L ,L 的方向向量分别为：{}1,0,11-=s ，{}1,1,22=s
，
因为平面过1L 且平行于2L ，所以平面的法向量可取为：
=n k j i k
j i
s s
+-=-=?31
1
2101
21，…………………………..…………..5分
由于平面过直线1L ，所以点)3,2,1(在平面上，故平面方程为
0)3()2(3)1(=-+---z y x ，即为：023=++-z y x ……………………..2分
19. 求点(1,2,9)A -关于平面3260x y z +--=的对称点。 解：过A 垂直于平面π的直线为129
:
321
x y z L +--∴==- …………………….......3分 将L 的参数方程13229x t
y t z t =-+??
=+??=-?
，代入平面π得到1t = …………………………………2分
再代入到参数方程中，得垂足坐标(2,4,8)N ……………………………………..1分
假设对称点坐标是 ),,(z y x P 用中点公式 2(1
)/254(2
8)/268(9)/27x x y z z =-+=????
=+?=????=+=
?? 对称点坐标是()5,6,7P ………………………………………………….. 1分 20. 求（1）直线10:10x y z L x y z +--=??
-++=?在平面10
:10
x y z L x y z +--=??-++=?上的投影直线0L 方程，
（2）求投影直线0L 绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面方程。 解：（1）过直线10
:10x y z L x y z +--=??
-++=?
的平面束方程是0)1(1=++-+--+z y x z y x λ
{
}λλλ+--+=→
1,1,1n {}1,1,10=→
n 00=?→
→n n 解得 1-=λ 0L ：?
?
?=--=++010
z y z y x …………………………………………………….…….5分 （2） 将0L 改写成??
?--=+=1
21
z x z y ，
绕z 轴旋转的旋转曲面方程为
265)1()12(22222++=++--=+z z z z y x ………………………2分
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π， 则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -
答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的 一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可 导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。 答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1- 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）多元函数微分学习题
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