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2015年挑战中考专题_中考压轴题--圆含答案

中考压轴题（一）--------与圆有关压轴题

1.如图，在M 中，AB 所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系．（1）求圆心M 的坐标；（2）求经过A B C ，，三点的抛物线的解析式；

（3）点D 是弦AB 所对的优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积；

（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P ，使PAB △和ABC △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明

理由．

[解] （1）如图（1），连结MA MB ，．则120AMB ∠=60CMB ∴∠=，30OBM ∠=．

OM MB ∴==，(01)

M ∴，．（2）由A B C ，，三点的特殊性与对称性，知经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为2y ax c =+．

1OC MC MO =-=，OB =

(01)C B ∴-，，．

113c a ∴=-=，2113y x ∴=-．

（3）

ABC ABD ACBD S S S =+△△四边形，又ABC S △与AB ∴当ABD △边AB 上的高最大时，ABD S △最大，此时点D 为

M 与y 轴的交点，如图1．

2111

222

ABC ABD ACBD S S S AB OC AB OD AB CD ∴=+=

+==△△四边形···．（4）方法1：如图2，ABC △为等腰三角形，30AB

ABC BC

∠=，

ABC PAB ∴△∽△等价于306PAB PB AB PA ∠=====，．

设()P x y ，且0x >，则cos30x PA

AO =-==·sin303y PA ==·．又

(233)P ，的坐标满足2113y x =

-，∴在抛物线21

y x =-上，存在点P ，使ABC PAB △∽△．由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为或(-．方法2：

如图（3），当ABC PAB △∽△时，30PAB BAC ∠=∠=，又由（1）知30MAB ∠=，

y x

B C A M

P 图2

O x

∴点P 在直线AM 上．

设直线AM 的解析式为y kx b =+，

将((01)A M ，

代入，解得 1.

k b ?=

???=?

∴直线AM

的解析式为1y x =

+．

解方程组21113y x y x ?=+????=-??

，

得P ．

又tan PBx ∠=，60

PBx ∴∠=．30P ∴∠=，

ABC PAB ∴△∽△．

∴在抛物线21

y x =-

上，存在点P ，使ABC PAB △∽△．

由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．∴存在点P

，它的坐标为

或(-．方法3：

如图3，ABC △

为等腰三角形，且

，设()P x y ，则图3 ABC PAB △∽△

等价于PB AB ==

6PA ==．

当0x >

时，得 6.=

解得P ．

又

P 的坐标满足2113y x =

-，∴在抛物线21

y x =-

上，存在点P ，使ABC PAB △∽△．

由抛物线的对称性，知点(-也符合题意．∴存在点P

，它的坐标为

或(-． [点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

2.（06湖南湘潭卷）已知：如图，

抛物线233

y x x =-

-x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，

M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．

（1）求抛物线的顶点E 的坐标；

（2）求M 的面积；

（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与M 相切，并请

说明理由．

[解] （1

）抛物线2y x x =-+

)22133

x x =-+++

133x =-

++ E ∴

的坐标为1?- ??

（2）连AC ；M 过90A O C AOC =，，，∠AC ∴为O 的直径．

而3OA OC ==，

r ∴== 23M

r ∴=π=π

（3）当点D 运动到OA 的中点时，直线GA 与M 相切

理由：在Rt ACO △

中，3OA OC ==

，tan ACO ==∠．

6030ACO CAO ∴==∠，∠点D 是OA 的中点AD DO ∴=

30ACG DCO ∴==∠∠tan301OF OC ∴==，60CFO =∠

在GAF △中，22AF FG ==，60AFG CFO ==∠∠AGF ∴△为等边三角形60GAF ∴=∠

90CAG GAF CAO ∴=+=∠∠∠ 又AC 为直径，∴当D 为OA 的中点时，GA 为M 的切线

[点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D 点的位置。

3．（06湖南永州卷）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD 交小圆于M N ，两点，大圆的弦AB 切小圆于点C ，过点C 作直线CE AD ⊥，垂足为E ，交大圆于F H ，两点．（1）试判断线段AC 与BC 的大小关系，并说明理由．（2）求证：FC CH AE AO =．

（3）若FC CH ，

是方程2

40x -+=的两根（CH CF >），求图中阴影部分图形的周长． [解] （1）相等．

连结OC ，则CO AB ⊥，故AC BC =．

（2）由ACH FCB △∽△，得2

AC CB FC CH AC ==，

又由ACE AOC △∽△，得2

AC AE AO =． FC CH AE AO ∴=．（3

）解方程得：1CH =

，1CF =，

1)1CE ==，242AC AC ==，，

在Rt ACE △中，1

sin 2

CE A AC =

=，30A ∴=∠，60120AOC CON ∴==，∠∠．在ACO △

中，tan 2CO AC A ===

sin 60AC AO =

，AM AO OM =-==，

弧CN

长14239

?π=π

，2233AN AM OC =+=+?=，

阴影部分周长2

AC AN CN

=++=+π．

[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。

4. （06

辽宁卷）如图，已知(10)(0

A E

，，，，以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BF AE

∥交A于点F，直线FE交x轴于点C．

（1）求证：直线FC是A的切线；

（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；

（3）有一个半径与A的半径相等，且圆心在x轴上运动的P．若P与直线FC相交于M N

，两点，是否存在这样的点P，使PMN

△是直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）证明：连结AF

AE BF

∥1342

∴∠=∠∠=∠

，

又AB AF

=34

∴∠=∠12

∴∠=∠

又AO AF AE AE

，

AOE AFE

∴△≌△90

AFE AOE

∴∠=∠=

∴是O的切线．

（2）方法①由（1

）知EF OE

AE BF

∥，

AC CE

AB EF

∴

OC+

∴=

∴=①

又222

OE OC CE

，

CE CO

∴=+

②

由①②解得0

OC=（舍去）或2

OC=，

直线FC

经过0

，，(20)

C，两点设FC的解析式：y kx b

k b

∴?

解得

∴直线FC

的解析式为

y x

=-．

方法②：CF切A于点F，90

AFC EOC

∴∠=∠=

又ACF OCE

∠=∠，COE CFA

∴△∽△，

OE CO

AF CF

∴

∴=

CE①

又222

OE OC CE

，

CE CO

∴=+

②

由①②解得0

CO=（舍去）或2

CO=(20)

∴，（求FC的解析式同上）．

方法③AE BF

∥，

AC CE

AB EF

∴

OC+

∴

=CE

∴=+①

FC切A于点F，90

AFC COE

∴∠=∠=ACE OCE

∴∠=∠，COE CFA

∴△∽△

OE CO

AF CF

∴=

，21∴=

C E C ∴ ② 由①②解得：2CO =，（求FC 的解析式同上）．（3）存在；

当点P 在点C 左侧时，若90MPN ∠=，过点P 作PH MN ⊥于点H ， 90MPN ∠=，PM PN =，2cos45PH PM ∴=?=

AF FC ⊥，PH AF ∴∥，CPH CAF ∴△∽△PH CP

AF CA

∴=

，2

13CP ∴=

2CP ∴=

，22

PO ∴=-，20P ??∴- ? ???

当点P 在点C 右侧P '时，设90M P N '

''∠=，过点P '作P Q M N ''

'⊥于点Q ，则P Q '=P Q PH '∴=，可知P '与P 关于点

C 中心对称，

根据对称性得 2OP OC CP ''∴

=+=+

20P ??'∴+ ? ???

∴存在这样的点P ，使得PMN △

为直角三角形，

P 点坐标20?? ?

???或20?? ? ???

． [点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方

5. （06辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线1y x =+分别与x 轴，y 轴交于点A ，点B ．（1）以AB 为一边在第一象限内作等边ABC △及ABC △的外接圆M （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作

图痕迹）；

（2）若M 与x 轴的另一个交点为点D ，求A ，B ，C ，D 四点的坐标；

（3）求经过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P ，使A D P △的面积等于ADC △的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1

）如图，正确作出图形，保留作图痕迹（2）由直线1y x

=+，求得点A 的坐标为)

，点B 的坐标为()01，

∴在Rt AOB △中，OA =1OB =

2AB ∴=，tan OA

OBA OB

==∠x

O P F M

H N

P '

M '

1 2

60OBA ∴=∠

9030OAB OBA ∴=-=∠∠

ABC △是等边三角形2CA AB ∴==，60CAB =∠

90CAD CAB OAB ∴=+=∠∠∠∴点C

的坐标为

)

2，连结BM

ABC △是等边三角形1

302

MBA ABC ∴==∠∠90OBM OBA MBA ∴=+=∠∠∠

OB BM ∴⊥∴直线OB 是M 的切线2OB OD OA ∴=213OD

∴

=3OD ∴=

∴点D

的坐标为0?????

（3）设经过A ，B ，D

三点的抛物线的解析式是(y a x x ?= ?

把()01B ，代入上式得1a =∴

抛物线的解析式是2

1y x =+ 存在点P ，使ADP △的面积等于ADC △的面积点P

的坐标分别为123P ??

? ???

，223P ??

? ???

，． [点评]本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。

6.已知：抛物线2

:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，

，两点，且12x x <．（Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；（Ⅱ）若121

1x x <>，，求m 的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，，若存在，求出m 的值；若不存在，试说明理由；

（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使1

PF FQ =，求直线l 的解析式．

[解] （Ⅰ）解法一：由题意得， 1220x x m =-<．解得，2m <．

m 为正整数，1m ∴=．21y x ∴=-．

解法二：由题意知，当0x =时，2

0(1)0(2)0y m m =+-?+-<．以下同解法一）解法三：22(1)4(2)(3)m m m ?=---=-， 12(1)(3)

122

m m x x x m --±-∴=

∴=-=-，，．

又

122020x x x m <∴=->，． 2m ∴<．（以下同解法一．）

解法四：令0y =，即2

(1)(2)0x m x m +-+-=，12(1)(2)012x x m x x m

∴++-=∴=-=-，

，．（以下同解法三．）

（Ⅱ）解法一：

1212111010x x x x <>∴-<->，，，．12(1)(1)0x x ∴--<，

即1212()10x x x x -++<．

1212(1)2x x m x x m +=--=-

， (2)(1)10m m ∴-+-+<．解得 1m

解法二：由题意知，当1x =时，

1(1)(2)0y m m =+-+-<

．解得：1m <．m ∴的取值范围是1m <．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，121

x x m =-=-，．

121121x x m <>∴->，，， 1m ∴<．m ∴的取值范围是1m <．

（Ⅲ）存在．

解法一：因为过A B ，两点的圆与y 轴相切于点(02)C ，，所以A B ，两点在y 轴的同侧，120x x ∴>．由切割线定理知，2

OC OA OB =，即2122x x =．124x x ∴=，

12 4.x x ∴=2 4.6m m ∴-=∴=．

解法二：连接O B O C ''，．圆心所在直线11222

b m m

x a --=-

=-=

，设直线12

x -=

与x 轴交于点D ，圆心为O '，则122m O D OC O C OD -''====，．

2132

AB x x m BD =-==-=

，， 32m BD -∴=．

在Rt O DB '△中， 222

O D D B O B ''+=．即2

231222m m --????+= ? ?????

．解得 6m =．

（Ⅳ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则22

11221

1y x y x =-=-，．过P Q ，分别向x 轴引垂线，垂足分别为11

2(0)(0)P x Q x ，，，．则11PP FO QQ ∥∥．

所以由平行线分线段成比例定理知，

1PO PF OQ FQ

=．因此，

1201

x x -=-，即212x x =-．过P Q ，分别向y 轴引垂线，垂足分别为2122(0)(0)P y Q y ，，，，

则22PP QQ ∥．所以22FP P FQ Q △∽△．22P F FP

FQ FQ

∴

=． 127172y y -∴=-．12212y y ∴-=． 22

1222

11212(1) 1.2324 1.

x x x x ∴--=-∴-=- 2

1142x x ∴=∴=，，或12x =-．当12x =时，点(23)P ，．直线l 过(23)(07)P F ，，，， 7032.k b k b =?+?∴?

=?+?，解得72.

b k =??=-?，

当12x =-时，点(23)P -，．直线l 过(23)(07)P F -，，，，

703(2).k b k b =?+?∴?

=?-+?，解得72.

b k =??=?，

故所求直线l 的解析式为：27y x =+，或27y x =-+．

7. 如图，在平面直角坐标系中，

已知点(B -，(0)A m

，(0)m <，

以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ．

（1）求证：BF DO =；

（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

[解] （1）在ABF △和ADO △中，

四边形ABCD 是正方形，90AB AD BAF DAO ∴===，∠∠．又ABF ADO ABF ADO =∴∠∠，△≌△，

BF DO ∴=．（2）由（1），有ABF ADO △≌△，AO AF m ==．∴点

()F m m ，．

G 是BDO △的外心，∴点G 在DO 的垂直平分线上．∴点B 也

在DO 的垂直平分线上．DBO ∴△

为等腰三角形，BO BD ==

．

而BO AB m m ==-=，

，

)

2m m ∴=∴=-，．

(2F ∴--．

设经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式为()2

0y ax bx c a =++≠．

抛物线过点()00O ，，0c ∴=．2

y ax bx ∴=+． ·

············· ①

把点()

0B -

，点(2F --的坐标代入①中，得

(

(22

0222.a b a b ?=-+-???-=-+-?

，

即(02 1.b a b ?-+=??-+=??，

解得12a b ?=

???=?， ∴

抛物线的解析表达式为2

y x =

+． ··················· ②

（3）假定在抛物线上存在一点P ，使点P 关于直线BE 的对称点P '在x 轴上．BE 是OBD ∠的平分线， x ∴轴上的点P '关于直线BE 的对称点P 必在直线BD 上，即点P 是抛物线与直线BD 的交点．

设直线BD 的解析表达式为y kx b =+，并设直线BD 与y 轴交于点Q ，则由BOQ △是等腰直角三角形．

OQ OB ∴=

．(0Q ∴-，

．

把点()0B -

，点(0Q -，代入y kx b =+中，得

b b ?=-+??

-=??

，1k b =-??∴?=-??，

∴直线BD

的解析表达式为y x =--

设点()00P x y ，

，则有00y x =-- ···························· ③

把③代入②，得

00012

x x +=--

)2001102

x x ∴++=

，即

)

0210x x ++=．

(()00

20x x ∴++=

．解得0

=-02x =-．

当0x =-

00y x =--==；当02x =-

时，002y x =--=-．

∴

在抛物线上存在点(

)(1222P P ---，，，它们关于直线BE 的对称点都在x 轴上． 8.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1经过点A (-2，0)和点B (0

，直线l 2

的函数表达式为y =，l 1与l 2相交于点P ．⊙C 是一个动圆，圆心C 在直线l 1上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM ⊥x 轴，垂足是点M ．

(1) 填空：直线l 1的函数表达式是，交点P 的坐标是，∠FPB 的度数是；

(2) 当⊙C 和直线l 2相切时，请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R ，并写出R =223-时a 的值. (3) 当⊙C 和直线l 2不相离时，已知⊙C 的半径R =223-，记四边形NMOB 的面积为S (其中点N 是直线CM 与

l 2的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．

[解] (1) 33

233+=

x y P (1，3) 60o

(2) 设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示，D 是切点，连接CD ，则CD ⊥PD ．

过点P 作CM 的垂线PG ，垂足为G ，则Rt △CDP ≌Rt △PGC (∠PCD =∠CPG =30o，CP =PC )，所以PG =CD =R ．

当点C 在射线P A 上，⊙C 和直线l 2相切时，同理可证．取R =223-时，a=1+R =123-，或a=-(R -1)233-=

(第24题图甲)

图2

(3) 当⊙C 和直线l 2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论：

① 如图乙，当0≤a ≤123-时，a a S ?+-+=)]33433(332[21a a 36

+-=，

当3)6

(23=-

=a 时，（满足a ≤123-），S 有最大值．此时233)6

(43=

?-=

最大值S （或3

）． ② 当233-≤a ＜0时，显然⊙C 和直线l 2相切即233-=a 时，S 最大．此时 2

3233]334)233(33332[21=

-?+--=最大值S ．综合以上①和②，当3a =或233-=a 时，存在S 的最大值，其最大面积为

3 9. 如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；

（2）以点A 为圆心，AP 为半径作A ，试判断BE 与A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作A ；以点C 为圆心，R 为半径作C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A 和C 相切．．

，且使D 点在A 的内部，B 点在A 的外部，求r 和R 的变化范围．

[解] （1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==．

AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==．:3:4PA AC ∴=，31015

PA ?=

=．（2）BE 与

A 相切．

在Rt ABE △

中，AB =15AE =，

tan AE ABE AB ∴∠=

==60ABE ∴∠=．又

30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，BE ∴与A 相切．

（3

）因为5AD AB ==，，所以r

的变化范围为5r <<．当

A 与C 外切时，10R r +=，所以R

的变化范围为105R -<<；

Ｄ

图1 图2

当

A 与C 内切时，10R r -=，所以R

的变化范围为1510R <<+

[点评]本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解，第2小题也较基础，第3小题注意要分类，试题中只说明了“A 和C 相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。 8，（06江苏宿迁课改卷）设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．，点A 、O 间距离为d ．（1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：

所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有

个；

r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个；

（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝5

a ；

（4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有

个”的形式，至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．

[解] （1）

所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；

（2）

图①

图②

图③

图①

图②

所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）方法一：如图所示，连结

OC 则OE

＝OC ＝r

，OF ＝EF －OE ＝2a －r ．在Rt △OCF OF 2＋FC 2＝OC 2

即（2a －r ）2＋a 2＝r 2

4a 2－4ar ＋r 2＋a 2＝ 5a 2＝4ar

5a ＝4r ∴r ＝

a ．

方法二：如图，连结BD 、OE 、BE 、DE ． ∵四边形BCMN 为正方形 ∴∠C ＝∠M ＝∠N ＝90°

∴BD 为⊙O 的直径，∠BED ＝90° ∴∠BEN ＋∠DEM ＝90° ∵∠BEN ＋∠EBN ＝90° ∴∠DEM ＝∠EBN ∴△BNE ∽△EMD ∴

BN EM

NE MD

∴DM ＝12a 由OE 是梯形BDMN 的中位线得OE ＝12（BN ＋MD ）＝5

a ．

（4）①当a ＜r ＜54

a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；

②当r ＝54

a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；

③当54

a r <<时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；

④当r =时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个； ⑤当r >时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．

[点评]本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区

分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。

9. （06山东枣庄课改卷）半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 : 3，点P 在

AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O

（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；（2）当点P 运动AB 到的中点时，求CQ 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．

[解] （1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D.

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900. ∴AB=5,AC:CA=4:3,∴BC=4, AC=3. 又∵AC ·BC=A B ·CD

∴ 1224,.55

CD PC =

= 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，

∠ACB ＝∠PCQ=900, ∠CAB ＝∠CPQ ， Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴

432

,.35

AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ==== （2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC

于点E （如图）.∵P 是弧AB

的中点，∴0

45,PCB CE BE BC ∠===

= 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=

∴3tan 4BE PE BE CPB =

==∠

而从PC PE EC =+=

由（l

）得，433

CQ PC =

= （3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4

BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值．

当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为

[点评]本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。

10.如图，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交

P 于C ，

过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且

4AB =．

（1）求点B P C ，，的坐标；

（2）求证：CD 是P 的切线；

（3）若二次函数2

(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．

[解] （1）如图，连结CA OP AB ∵⊥ 2OB OA ==∴

222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1OP =

BC ∵是P 的直径90CAB ∠=∴（也可用勾股定理求得下面的结论）

CP BP =∵，OB OA = 22AC OP ==∴ (20)B ，

∴，(01)P ，，(22)C -，

（2）2y x b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴

∵当0

y =时，

x =-

(30)

D -，∴

∴

1OP =，

90CAD POB ∠=∠=DAC POB ∴△≌△ D C A ∠=∠∴ 90ACB CBA ∠+∠=∵

90DCA ACB ∠+∠=∴（也可用勾股定理逆定理证明） DC ∴是

P 的切线

（3）2

(1)6y x

a x =-+++∵过(20)B ，点

202(1)26a =-++?+∴ 2a =-∴ 26y x x =--+

∴因为函数2

6y x x =--+与26y x =+的图象交点是(06)，和点(30)D -，（画图可得此结论）

所以满足条件的x 的取值范围是3x <-或0x >

11. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B 。

（1）点P 在运动时，线段AB 的长度在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由；

（2）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由。

[解] （1）线段AB 长度的最小值为4

理由如下：连接OP

因为AB 切⊙O 于P ，所以OP ⊥AB 取AB 的中点C ，则OC AB 2=

当OP OC =时，OC 最短，即AB 最短，此时4=AB （2）设存在符合条件的点Q ，如图①，设四边形APOQ 为平行四边形，

因为四边形APOQ 为矩形又因为OQ OP =所以四边形APOQ 所以?=∠=45,QOA QA OQ ，

在Rt △OQA 中，根据?=∠=45,2AOQ OQ ，得Q 点坐标为（2,2-）。

如图②，设四边形APQO 为平行四边形因为OQ ∥PA ，?=∠90APO ，所以

?=∠90POq ，又因为OQ OP =所以?=∠45PQO ，

因为 PQ ∥OA ，所以 y PQ ⊥轴。设y PQ ⊥轴于点H ，在Rt △OHQ 中，根据?=∠=45,2HQO OQ ，得Q 点坐标为（2,2-

）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-

）。

12. 如图①，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的⊙O 的半径为12-，直线l ：2--=x y 与坐标轴分别

交于A 、C 两点，点B 的坐标为(4，1)，⊙B 与x 轴相切于点M 。

图①

图②

图10

图10－1（1）求点A 的坐标及∠CAO 的度数；

（2）⊙B 以每秒1各单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线l 绕点A 顺时针匀速旋转。当⊙B 第一次与

⊙O 相切时，直线l 也恰好与⊙B 第一次相切。问：直线AC 绕点A 每秒旋转多少度？

（3）如图②，过A 、O 、C 三点作⊙O 1，点E 为劣弧

上一点，连接EC 、EA 、EO ，当点E 在劣弧AO 上运动

时(不与A 、O 两点重合)，

EC -的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

13. （06广东深圳课改卷）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0）

，AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC

(3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PF OF

的比值是否发生

变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.

14.(06 安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与C D 是水平的，BC 与水平面的夹角为600，其中AB=60cm ，CD=40cm ，BC=40cm ，请你作出该小朋友将园盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

第25题图②

15. (07芜湖市)24. 已知圆P 的圆心在反比例函数k

y x

(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．

(1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．

解: (1)连结PC 、P A 、PB ，过P 点作PH ⊥x 轴，垂足为H ． ∵⊙P 与y 轴相切于点C (0，1)，∴PC ⊥y 轴． ∵P 点在反比例函数k

y x

的图象上， ∴P 点坐标为（k ，1）． ∴P A=PC=k ．

在Rt △APH 中，AH

，

∴OA=OH —AH =k

∴A （k

0）．

∵由⊙P 交x 轴于A 、B 两点，且PH ⊥AB ，由垂径定理可知， PH 垂直平分AB ．

∴OB=OA +2AH = k

，∴B (k

，0)．故过A 、B 两点的抛物线的对称轴为PH 所在的直线解析式为x=k ．可设该抛物线解析式为y=a 2

()x k -+h ．

又抛物线过C (0，1)， B (k

，0)，得：

1;()0.

ak h a k k h ?+=?

?++=?? 解得a =1，h =1－2

k ．

∴抛物线解析式为y =2

()x k -+1－2

k ．

（2）由(1)知抛物线顶点D 坐标为（k ， 1－2

k ）∴DH =2

k －1．

若四边形ADBP 为菱形．则必有PH=DH ．∵PH =1，∴2

k －1=1．又∵k ＞1，∴k

∴当k

时，PD 与AB 互相垂直平分，则四边形ADBP 为菱形．

16. 26. 如图①，②，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(4，0)，以点A 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于O ，

B 两点，O

C 为弦，60AOC ∠=，P 是x 轴上的一动点，连结CP ．

（1）求OAC ∠的度数；（2分）（2）如图①，当CP 与A 相切时，求PO 的长；

（3分）（3）如图②，当点P 在直径OB 上时，CP 的延长线与

A 相交于点Q ，问PO 为何值时，OCQ △是等腰三角形？）

解：（1）∵60AOC ∠=，AO AC =，∴AOC △是等边三角形． ∴60OAC ∠=．（2）∵CP 与

A 相切，∴90ACP ∠=． ∴9030APC OAC ∠=-∠=．

又∵A （4，0），∴4AC AO ==．∴28PA AC ==． ∴844PO PA OA =-=-=．

（3）①过点C 作1CP OB ⊥，垂足为1P ，延长1CP 交

A 于1Q ，

∵OA 是半径， ∴1OC OQ =，∴1OC OQ =，∴1OCQ △是等腰三角形．又∵AOC △是等边三角形，∴11

PO OA ==2 ． ②解法一：过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交

A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ，

∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =．∴2OCQ △是等腰三角形，过点2Q 作2Q E x ⊥轴于E ，在2Rt AQ E △中，∵21302

Q AE OAD OAC ∠=∠=∠=，

∴221

Q E AQ AE =

==，2Q 的坐标（

4+2-）

．在1Rt COP △中，∵1260PO

AOC =∠=，

，∴1CP =．∴C 点坐标（2

，）．设直线2CQ 的关系式为：y kx b =+，则有

2(42k b k b ?-=++??=+??，．

解得：12k b =-???

=+??，

∴2y x =-++0y =

时，2x =+

22P O =+．解法二：过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交

A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ，

∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =．∴2OCQ △是等腰三角形．

∵60OAC ∠=，∴21

302

OQ C OAC ∠=∠=．∵2DQ 平分22,OQ C AC AQ ∠=，∴2215ACQ AQ C ∠=∠=．

∵AOC △是等边三角形，1CP OA ⊥， ∴11

302

PCA ACO ∠=∠=． ∴1212301545PCP PCA ACQ ∠=∠+∠=+=． ∴12CPP △

是等腰直角三角形．∴121PP

CP ==

21122P O PO PP =+=+

17. 26. 如图12-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．

（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．

（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证

明你的结论．

解：如图，

（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．

②BE CF ==

E 与A 重合，

F 是AC 的中点

（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，

FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BO

CO CF

∴． BE x =∵，CF y =

，OB OC ==

(12)y x x

=∴≤≤．（3）EF 与O 相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OE CO OF =∴．BE OE BO OF =∴．即BE BO

OE OF

．又45B EOF ∠=∠=∵°，BEO OEF ∴△∽△．BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径．EF ∴与O 相切．

18. (06武汉市) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2

经过点C 。(1)求抛物线的解析式；

图12-1

图12-2

O C B

A E

B （图12－1）（图12－2）

(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求点P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图②，E 为BC 延长线上一动点，过A 、B 、E 三点作⊙O ’，连结AE ，在⊙O ’上另有一点F ，且AF ＝AE ，AF 交BC 于点G ，连结BF 。下列结论：①BE ＋BF 的值不变；②AG

AF BF =

，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。

解：⑴由Rt △AOB ≌Rt △CDA 得OD=2+1=3,CD=1∴C 点坐标为(－3,1), ∵抛物线经过点C,∴1= (－3)2 a ＋(－3)ａ－2，∴21=

a 。∴抛物线的解析式为22

212-+=x x y . ⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。

以AB 边在AB 右侧作正方形ABPQ 。过P 作PE ⊥OB 于E ，QG ⊥x 轴于G ，可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO ， ∴PE ＝AG ＝BO ＝2，BE ＝QG ＝AO ＝1，∴∴P 点坐标为（2,1），Q 点坐标为（1,－1）。由（1）抛物线22

212-+=

x x y 。当x ＝2时，y ＝1，当x ＝,1时，y ＝－1。∴P 、Q 在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2,1）、Q （1,－1），使四边形ABPQ 是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。

延长CA 交抛物线于Q ，过B 作BP ∥CA 交抛物线于P ，连PQ ，设直线CA 、BP 的解析式分别为y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2, ∵A （－1,0），C （－3,1），∴CA 的解析式2121--

=x y ，同理BP 的解析式为2

21+-=x y ，解方程组???

????

-+=--=221212

1212x x y x y 得Q 点坐标为（1,－1），同理得P 点坐标为（2,1）。

由勾股定理得AQ ＝BP ＝AB ＝5，而∠BAQ ＝90°，

∴四边形ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2,1）、Q （1,－1），使四边形ABPQ 是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。如图，将线段CA 沿CA 方向平移至AQ ，∵C （－3,1）的对应点是A （－1,0），∴A （－1,0）的对应点是Q （1,－1），再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP ，同理可得P （2,1）

(第25题图②)

∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC

∴四边形ABPQ 是正方形。经验证P （2,1）、Q （1,－1）两点均在抛物线22

212-+=x x y 上。 ⑶结论②

AF BF =

成立，证明如下：连EF ，过F 作FM ∥BG 交AB 的延长线于M ，则△AMF ∽△ABG ，∴

AF MF =

。由⑴知△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°。∵AF ＝AE ，∴∠AEF ＝∠1＝45°。 ∴∠EAF ＝90°，EF 是⊙O ′的直径。∴∠EBF ＝90°。∵FM ∥BG ， ∴∠MFB ＝∠EBF ＝90°，∠M ＝∠2＝45°，∴BF ＝MF ，∴

AF BF =

24、如图12，形如三角板的?ABC 中，∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm ，形如矩形量角器的半圆O 的直径DE=12cm,矩形DEFG 的宽EF=6cm ，矩形量角器以2cm /s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上，设运动时间为x （s ），矩形量角器和?ABC 的重叠部分的面积为S(cm 2).当x=0(s)时，点E 与点C 重合.(图（3）、图（4）、图（5）供操作用). （1）当x=3时，如图（2），S= cm 2,

当x=6时，S= cm 2，当x=9时，S= cm 2；

（2）当3

（4）当x 为何值时，? ABC 的斜边所在的直线与半圆．．．．．．．．．．．O ．所在的圆．．．．相切？解：（1）36,54,18

（2）如图，设矩形DEFG 与斜边AB 的交点分别为N 、H ，与直角边AC 的交点为M. BE ＝12－2x ，AM ＝12－6＝6 ∴S ＝S ?ABC -S ?AMN -S ?BHE ＝

21×12×12－21×6×6－2

1×（12－2x ）2

＝－2x 2

+24x-18

所以，当3

+24x-18

（3）如图，设矩形DEFG 与斜边AB 的交点为M ，延长FG 交AC 于点H AH ＝12－6＝6,HG ＝2x －12 ∴S ＝S ?ABC -S ?AHM -S 矩形HCDG ＝

21×12×12－21×6×6－2

×6×（2x －12）＝－12x ＋126 所以，

当6

126

C 图（3）

2020年中考数学挑战压轴题(含答案)

2020 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。三、中点公式：四、已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。五、任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直

2020年版挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 上海市中考第24题例2 苏州市中考第29题例3 黄冈市中考第25题例4 义乌市中考第24题例5 临沂市中考第26题例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 上海市虹口区中考模拟第25题例2 扬州市中考第27题例3 临沂市中考第26题例4 湖州市中考第24题例5 盐城市中考第28题例6 南通市中考第27题例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 山西省中考第26题例2 广州市中考第24题例3 杭州市中考第22题例4 浙江省中考第23题例5 北京市中考第24题例6 嘉兴市中考第24题例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 上海市松江区中考模拟第24题例2 福州市中考第21题例3 烟台市中考第26题例4 上海市中考第24题例5 江西省中考第24题例6 山西省中考第26题例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题例1 上海市松江中考模拟第24题例2 衢州市中考第24题例4 义乌市中考第24题

例5 杭州市中考第24题例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题例1 苏州市中考第29题例2 菏泽市中考第21题例3 河南省中考第23题例4 南通市中考第28题例5 广州市中考第25题例6 扬州市中考第28题例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题例1 上海市杨浦区中考模拟第25题例2 河北省中考第25题例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题例2 滨州市中考第24题例3 山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 宁波市中考第26题例2 上海市徐汇区中考模拟第25题例3 连云港市中考第26题例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 菏泽市中考第21题例2 广东省中考第22题例3 河北省中考第26题例4 淮安市中考第28题例5 山西省中考第26题例6 重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 南京市中考第26题例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 上海市黄浦区中考模拟第24题例2 江西省中考第24题

备战中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=．

2016年中考数学压轴题70题精选(含答案及解析)

2016年中考数学压轴题70题精选（含答案）【001】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4 5。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。

【003】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。

2014挑战中考数学压轴题1.1因动点产生的相似三角形问题

第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A 和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1 动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小． 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，．所以AH＝1，OH A(1 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，

设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得 a = 图2 所以抛物线的表达式为2(2)333 y x x x x = -=-．（2）由221)y x x = =- 得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠= ．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1-、B (2,0)、M (1,)3 - ，得tan ABO ∠，AB =OM = 所以∠ABO ＝30°， OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当 BA OA BC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当 BC OA BA OM ==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4 考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．

2016年中考压轴题专题与圆有关的最值问题附答案

B y C x A O D B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧?AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C ．332 D ．33 一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.

中考数学压轴题100题精选【含答案】

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1因动点产生的相似三角形问题例1 2014 年衡阳市中考第 28 题例2 2014 年益阳市中考第 21 题例3 2015 年湘西州中考第 26 题例4 2015 年张家界市中考第 25 题例5 2016 年常德市中考第 26 题例6 2016 年岳阳市中考第 24 题例 72016年上海市崇明县中考模拟第25 题例 82016年上海市黄浦区中考模拟第26 题 §1．2因动点产生的等腰三角形问题例9 2014 年长沙市中考第 26 题例10 2014 年张家界市第 25 题例11 2014 年邵阳市中考第 26 题例12 2014 年娄底市中考第 27 题例13 2015 年怀化市中考第 22 题例14 2015 年长沙市中考第 26 题例15 2016 年娄底市中考第 26 题例 162016年上海市长宁区金山区中考模拟第25 题例 172016年河南省中考第 23 题

§1．3因动点产生的直角三角形问题例19 2015 年益阳市中考第 21 题例20 2015 年湘潭市中考第 26 题例21 2016 年郴州市中考第 26 题例22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题例23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4因动点产生的平行四边形问题例24 2014 年岳阳市中考第 24 题例25 2014 年益阳市中考第 20 题例26 2014 年邵阳市中考第 25 题例27 2015 年郴州市中考第 25 题例28 2015 年黄冈市中考第 24 题例29 2016 年衡阳市中考第 26 题例 302016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24 题例 312016年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5因动点产生的面积问题例32 2014 年常德市中考第 25 题例33 2014 年永州市中考第 25 题

中考数学圆经典压轴题带答案

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为 G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 4.

5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且E M＞MC，连结DE，DE=。（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点

中考数学压轴题100题精选(精选)

我选的中考数学压轴题 100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． x y M C D P Q O A B

【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着PQ 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QBBCCP 于点E ．点PQ 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点PQ 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． A C B P Q E D 图16

2017挑战中考数学压轴题(第七版精选)

k 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1 2.如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1

3.如图1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)() y x x m m =-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1 4.如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2

中考数学压轴题解题技巧及训练完整版

中考数学压轴题解题技巧及训练完整版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

中考数学压轴题解题技巧（完整版）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，

∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ；（3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32

近年来中考数学压轴题大集合

近年来中考数学压轴题大集合【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕〔本小题介绍二种方法，供参考〕方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①

挑战中考英语压轴题

挑战中考英语压轴题一、词汇。 A)从方框中选择单词并用其正确形式填空。 beat，India，achieve，pardon，quarter 1.To_achieve one’s purpose depends largely upon one’s effort. 2.More and more Indian products have been sold all over the world. 3.Three quarters of the workers in this factory come from the countryside. 4.The music has got strong beats. 5.I beg your pardon?I can’t follow you. B)根据句意及汉语提示填写单词。 6.She travelled some European countries，including(包括) Italy and Switzerland. 7.The secretary(秘书) masters all the business when he is out. 8.Roses(玫瑰) stand for love. 9.Your kindness(善良) made me feel at home. 10.He is very disappointed(失望)，because he didn’t find the best way to solve the problem. 二、语法填空。阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空。

2016年湖南省中考数学压轴题汇编,推荐文档

1.【2016?长沙市中考压轴题（第25题）】若抛物线L：y =ax2 +bx +c （a ，b ，c 是常数，且abc ≠ 0 ）与直线l 都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l 上，则称此直线l 与抛物线L具有“一带一路”关系，此时直线l 叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l 的“路线” ．（1）若直线y =mx +1与抛物线y =x2 - 2x +n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y =6 的图象上，它的“带线” x l 的解析式为 y = 2x - 4 ，求此“路线”L的解析式；（3）当常数k 满足1 ≤k ≤ 2 时，求抛物线y =ax2 + (3k 2 - 2k +1)x +k 的“带线”2 l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．

2.【2016?长沙市中考压轴题（第26题）】如图，直线l : y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l 上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠PO Q=135°．（1）求△AOQ的周长；（2）设AQ =t > 0 ，试用含t 的式子表示点P的坐标；（3）当动点PQ在直线l 上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m ．若过点A的二次函数y =ax2 +bx +c 同时满足以下两个条件： ① 6a + 3b + 2c = 0 ②当m ≤x ≤m + 2 时，函数的最大值等于2 ．求二次项系数a 的值． m

7 3. 【2016?株洲市中考压轴题（第25题）】已知AB 是半径为1的圆O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．（1）求证：△DFB 是等腰三角形；（2）若DA= AF ，求证：CF ⊥AB ． 4. 【2016?株洲市中考压轴题（第26题）】如图，已知二次函数 y = x 2 -(2k +1)x + k 2 + k (k > 0) ． 1 （1）当 k = 时，求这个二次函数的顶点坐标； 2 （2）求证：关于 x 的二次方程 x 2 - (2k +1)x + k 2 + k = 0(k > 0) 有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数图象与 x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与 y 轴交于C 1 1 1 点，P 是轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证： + = ． QA 2 AB 2 AQ 2

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