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第4、5、7章要点总结

一、基本要求

1．理解表面吉布斯函数、表面张力的概念。

2．正确理解弯曲液面下的附加压力的概念，掌握拉普拉斯（Laplace ）方程及应用。 3.了解润湿现象，掌握接触角概念及杨氏（T.Young ）方程。

4.理解弯曲液面上的饱和蒸气压与平面液体饱和蒸气压的不同，掌握开尔文（Kelvin ）公式的意义及应用。

5.理解亚稳状态可能存在的原因。

6.理解物理吸附与化学吸附的区别。

7.掌握兰格谬尔（Langmuir ）单分子层吸附理论和吸附等温式及应用。 8．了解B.E.T 多分子层吸附等温式意义及其应用。

9．了解溶液表面上的吸附现象，理解正吸附和负吸附的热力学原因及有关计算。 10.了解表面活性剂的分类及临界胶束浓度（C.M.C ）概念。 11.了解表面活性剂的主要作用。

二、内容精要

1．表面与界面

密切接触的两相之间的过渡区称为界面，它包括气——液、气——固、液——液、液——固及固——固的界面。含有气相组成的界面如气——液、气——固称为表面。

2.分散度

分散度：物质分散成细小微粒的程度。通常用比表面来表示，即用单位体积或单位质量的物质所具有的表面积来表示分散度。

3．表面功、表面吉布斯函数与表面张力

（1）表面功：在温度、压力和组成恒定时，可逆地使表面积增加d A 所需要对体系作的功。可表示为

dA w σδ='

（2）表面吉布斯函数：广义地定义是指在相应的特征变量和组成不变的情况下，每增加单位表面积时其热力学函数的增值；

P T N V T N P S N V S A G A A A H A U ,,,,,,,,?

????=??? ????=??? ????=???

????=σ 狭义地定义是指在温度、压力和组成恒定时，可逆地增加单位表面积时体系吉布斯函数的增值。

（3）表面张力：指在液体表面的切线方向上垂直作用于单位长度上的紧缩力。它在数值上等于当温度、压力及组成恒定时，增加单位表面积时对体系所必须做的可逆非体积功，即

P T R dA

W ,,'

??? ??=δσ 或 I n P T A G ????? ????=σ 表面张力、表面功与表面吉氏函数是不同的概念，单位不同，但数值和量纲相同。

（4）注意事项：

①分子间力与表面张力：分子之间作用力是产生表面张力的微观原因，而表面张力则是界面层大量分子受到这种微观作用后在宏观上的反映。

②表面张力与物质本性有关，分子间作用力越大，表面张力也越大。 ③表面张力与接触相的性质有关，通常所说的液体表面张力是指它与其饱和蒸汽的空气相接触而言的。

④表面张力与温度有关，一般地，液体的表面张力随温度升高而降低。 ⑤表面张力是强度性质。

⑥高度分散的系统，表面积A 作为系统状态的参数，不可忽视。

4．润湿现象（1）润湿的分类 ①沾湿：液体直接与固体接触，变气----液界面和气----固界面为液----固界面的过程。沾湿能否自发进行，可用恒温恒压下表面吉氏函数判据来确定。

②浸湿：固体直接浸入液体中，气----液界面变为液----固界面的过程。浸湿能否自发进行，可用恒温恒压下表面吉氏函数判据来确定。

③铺展：液体在固体（或液体）表面上排除空气自动展开的过程。铺展能否自发进行，也可用恒温恒压下表面吉氏函数判据来确定

（2）润湿角（θ）与杨氏（T.Young ）方程

润湿角：液滴在固体表面平衡，三相交点为O ，沿气——液界面画切线，和液固（包括l ）的夹角θ称润湿角（或称接触角）,如图所示。

杨氏（T.Young ）方程：平衡时，三界面张力在O 点的合力为零，即

θσσσcos l g l s g s ---+=

上式谓杨氏方程，亦称润湿方程。

润湿程度习惯以润湿角大小判别，θ＜90o为润湿，θ＞90o为不润湿，θ=0o完全润湿，θ=180o为完全不润湿。

5．弯曲液面下的附加压力与毛细现象（1）弯曲液面下的附加压力：由于表面张力的作用，弯曲液面的两侧存在一压力差△p ，称为弯曲液面下的附加压力。可表示为

p σ2=

? 其中，r 为曲率半径，若为水平液面，r=∞ ， △p =0；若为凸液面 r 取正值，△p ＞0；若为凹液面，r 取负值，△p ＜0；若为空气中的气泡，因有两个气液界面，视内外r 相等，

r p σ

σ422=?=

? （2）毛细现象：将毛细管插入液体中，发生液面沿毛细管上升或下降的现象，称为毛

细现象。上升或下降的高度h 可由下式来求

)/(cos 2g r h ρθσ=

其中，ρ是液体的密度，σ为液体的表面张力，g 是重力加速度，r 是毛细管半径，θ为接触角。

6．弯曲液面上的饱和蒸汽压----开尔文（Kelvin ）方程曲率半径为r 的弯曲液面上的饱和蒸汽压p r 可由下式求得，

ρσRTr M

p r 2ln =

该式称为开尔文（Kelvin ）方程，恒温时，M （液体的摩尔质量）、p （水平液面的饱和蒸汽

压）、R 、ρ均为常数。

对于凸液面（如微小液滴），r ＞0，则p r ＞p ，r 越小、p r 越高（蒸气过饱和现象由此产生），凹液面（如液体中的小气泡），r ＜0，p r ＜p ，r 越小、p r 越低（毛细管冷凝，过热液体等现象由此产生）。

此方程适用于在一定温度下圆形液滴或固体粒子上的饱和蒸汽压p r 的计算。 7．亚稳状态

亚稳状态：能维持相当长时间但不能长期稳定的状态。如过饱和蒸汽、过饱和溶液、过热液体、过冷液体所处的状态，它们与热力学平衡状态不同。

亚稳状态之所以能够出现，从热力学上来说，是由于新相生成较困难，是非自发过程；从动力学上来说，晶核长大需克服一定的能垒。

8.物理吸附与化学吸附

所谓吸附，指的是固体或液体表面（或界面）从相邻的相中吸引分子（原子或离子）到表面上以降低表面自由能的现象。必须注意吸附与吸收的区别，后者指的是一种物质通过扩散从一相向另一相的本体内的渗透现象。吸附是表面化学研究中的一个重要课题。一般根据吸附键（吸附力）的不同，将吸附分为物理吸附与化学吸附。两者间的主要区别如下表给出。

7．兰格缪尔吸附

兰格缪尔吸附有四个基本假定（1）吸附是单分子层的（固表吸附力场仅1分子直径）；（2）被吸分子间无作用力；（3）吸附剂表面均匀、活性一致；（4）吸附←→解吸动态平衡。

兰格缪尔吸附等温式为：

bP bP +=

1θ 或 bP

+Γ=Γ∞1

式中 ∞

ΓΓ

θ ，θ——表面覆盖度 Γ——吸附量 Γ∞——饱和吸附量兰格缪尔吸附式是个理想吸附公式，单分子层吸附一定符合兰格缪尔公式，但符合该公式的不一定是单分子层吸附。

8．吉布斯吸附等温式

由于表面层很薄，表面层中浓度难以准确测定，但可借助热力学原理，导出恒温下溶液表面吸附量Γ与表面张力和溶液浓度的定量关系式：

d RT C σ

=Γ

此谓吉布斯等温式，式中Γ为溶质在表面的超出量。

9．表面活性剂

凡能显著降低表面张力的物质，称表面活性剂。表面活性剂分子一般是由具有亲水性的极性基因和具有憎水性的非极性基因组成的化合物，因而是“两亲分子”。

表面活性剂在溶液中超过一定浓度时可形成胶团或胶束，形成胶团或胶束时的浓度称为临界胶束浓度（CMC ）。胶束的形成，使表面活性剂溶液的某些性质发生突变。

表面活性剂在实际中有重要的多方面的应用，如润湿、洗涤、起泡、乳化、加溶等。

三训练题

（一）选择题：

1. 在影响物质表面张力的因素中，下面哪一个说法是不对的？B

A. 与相接触的另一相物质的性质有关

B. 与表面积的大小有关

C. 与压力有关

D. 与温度有关

2. 弯曲液面（非平面）所产生的附加压力b

A. 一定等于零

B. 一定不等于零

C. 一定大于零

D. 一定小于零 3. 憎液固体表面不为液体润湿，其接触角为b

A. θ=0°

B. θ>90°

C. θ<90°

D. θ为任意角 4.在相同温度下，同一液体被分散成具有不同曲率半径的系统时，它们将具有不同的饱和蒸汽压，若以凸凹、平、p p p 分别表示水平、凹液面、凸液面上的饱和蒸汽压，三者关系为c A. 凸凹平p p p >> B. 凸平凹p p p >> C. 凹平凸p p p >> D. 平凹凸p p p >>

5.液体在能被它完全润湿的毛细管中上升的高度反比于b

A. 空气的压力

B. 毛细管的半径

C. 液体的表面张力

D. 液体的粘度 6. 微小晶体与普通晶体相比，下面哪一个是不正确的？d

A. 微小晶体的蒸气压较大

B. 微小晶体的熔点较低

C. 微小晶体的溶解度较大

D. 微小晶体的溶解度较小

7.根据生产或生活的需要，有时需要破坏亚稳状态，下列措施中与破坏亚稳状态无关的是c A. 由飞机从高空中喷撒微小AgI 颗粒进行人工降雨 B. 在蒸馏时于液体中加入沸石或一端封闭的毛细玻璃管 C. 农药中加入表面活性剂 D. 结晶操作中延长陈化时间

8.下列现象中，与附加压力的存在无关的是b

A. 两块平板玻璃间沾有水滴后则难以分开

B. 在水蒸汽过饱和的空气中，提供凝结核心，以进行人工降雨

C. 湿的砖坯在干燥过程中体积会缩小

D. 纯液体在沸腾过程中总要过热

9.下列哪点不能用以衡量液体在固体表面上的润湿程度？b A. 固液两相接触后系统表面吉氏自由能降低的程度 B. 固体在液体中的分散程度

C. 测定接触角的大小（固体具有光滑表平面）

测定润湿热的大小（固体是粉末）

10.下面关于物理吸附的描述中，哪一条是不正确？d A. 吸附力来源于范德华力，其吸附一般不具选择性 B. 吸附层可以是单分子层或多分子层 C. 吸附热较小 D.

吸附速度较小

11. 下面关于固体表面吸附热的描述中，哪一条是正确的？d A. 物理吸附要比化学吸附有更显著的吸附热

B. 吸附过程可以吸热也可以放热，所以吸附热有正也有负

C. 吸附热的大小不能反映吸附作用的强弱

随着吸附作用的进行，吸附量增多，表面覆盖度越大，吸附热将减小

12.固体对溶液中的溶质的吸附要比对气体的吸附复杂得多，下列哪条与实验事实不符？c A. 能使固体表面吉氏自由能降低最多的溶质被吸附得最多 B. 极性的吸附剂易于吸附极性溶质

C. 吸附情况只涉及吸附剂与溶质的性质，与溶剂性质无关

D. 一般是随温度升高吸附量减少

13.弗兰德里希（Freundlich ）的吸附等温式n

kp m x /适用于b

A. 低压

B. 中压

C. 高压

D. 任何压力范围 14.下面对表面活性剂的描述，哪条是不正确的？b A. 表面活性剂是指能显著降低水的表面张力的一种物质

B. 表面活性剂都是由亲水的极性基团和亲油的非极性基团所组成的

C. 表面活性剂不能改变表面润湿性

表面活性剂超过了某一特定浓度后在溶液内部将形成胶团

15.两亲分子作为表面活性剂是因为d

A. 在界面上产生负吸附

B. 能形成胶束

C. 在界面上定向排列降低了表面能

D. 使溶液的表面张力增大 16.当表面活性物质加入溶剂后，所产生的结果是a

0dc d σ

负吸附 C. 0>dc d σ 正吸附 D. 0

d σ

负吸附 17.在一密闭容器中有大小不同的两水珠，长期放置后c

A. 大小均消失

B. 两个一样大

C. 小的消失而大的更大

D. 大的消失而小的变大 18.下列系统表面张力最大的是d

A. 雨水

B. 长江水

C. 普通井水

D. 海水

19.溶液中加入表面活性剂后，溶质在表面层中的浓度表C 与在本体中的浓度本C 的关系是a A.本表C C > B. 本表C C = C. 本表C C < D.不能确定 20.蒸馏时通常加沸石以防止暴沸，下列哪种最适合？c

A. 花岗岩

B.碎玻璃

C.素烧瓷

D.石灰石（二）.填空题

1.比表面功、比表面吉氏自由能、表面张力的数值相同，单位和意义不同。

2.两毛细管中各有部分液体，当在左端加热时，图a 中的液体向左移动；图b 中的液体将向右移动。

3.两细管a 、b 中都装有油和水，润湿情况如图，若在左端对水施加压力，能将管内油全部赶出的是管 a 。

4.将一玻璃毛细管插入汞槽中，常温常压下液面呈凸形，在常压下温度降低时液面将降低。

5.玻璃板下有一气泡，两种情形如图a 、b 所示。若玻璃板下面液体是水，则应如图 b 所示；若玻璃板下面液体是汞，则应如图 a 所示。

6.兰格缪尔（Langmuir ）等温吸附理论四个基本假设中最重要的是单分子层吸附。

7. 兰格缪尔（Langmuir ）等温吸附式仅适用于单分子层吸附。

8.BET 公式最主要的应用是测固体的比表面积。

9.活性炭自水溶液中吸附脂肪酸如乙酸、丙酸、丁酸和辛酸时，吸附量大小的顺序是；而硅胶自甲苯中吸附脂肪酸如乙酸、丙酸、丁酸和辛酸时，吸附量大小的顺序是。 10.一般地说，表面活性剂亲水性越强，其在水中的临界胶束浓度（CMC ）应当越小。 11.吸附法测固体比表面的实验一般在相对压力 0.05-0.35 之间进行。（三）计算题

1. 将正丁醇（M=74）蒸汽骤冷至273K ，发现其过饱和度（即**

p p r /）约达到4方能自行

凝结为液滴。若在273K 时，正丁醇的表面张力σ=0.0261 N ?m -1，密度ρ=1000kg ?m -3

,试计算

（1）在此过饱和度下开始凝结的液滴的半径。（2）每一液滴中所含正丁醇的分子数。

2. 293K 时，苯蒸汽凝结为雾，其液滴半径为1μm ，求液滴界面内外的压力差，并计算液滴饱和蒸汽压比平面液体饱和蒸汽压增加的百分数是多少？已知293K 时液体苯的密度为

0.879g ?cm -3，表面张力σ=28.9×10-3 N ?m -1

。

3. 设油酸钠稀溶液的表面张力与溶质活度呈线性关系σ=σ0-ba ，式中σ0为纯水表面张力，

已知298K 时σ0=0.072 N ?m -1

，b 为常数。实验测得表面吸附油酸钠的表面吸附量Г=4.33×10-6mol ?m -2

,计算溶液的表面张力？

4. 273K 时，用木炭吸附co 气体，当co 平衡分压分别为24.0kPa 、41.2kPa 时，对应的平

衡吸附量为5.567×10-3dm 3?kg -1、8.668×10-3 dm 3?kg -1

，设该吸附服从兰格缪尔吸附等温式，试计算当固体表面覆盖率达0.9时，co 的平衡分压是多少？

5.用活性炭吸附CHCl 3 ，符合兰格缪尔吸附等温式，在273K 时的饱和吸附量为93.8dm 3?kg -1

。

已知CHCl 3的分压为13.4kPa 时的平衡吸附量为82.5 dm 3?kg -1

。试计算：（1）兰格缪尔吸附等温式中的吸附平衡常数b 。（2） CHCl 3的分压为6.67kPa 时的平衡吸附量。

6. 在298K 时，用刀片刮下稀肥皂水的极薄表面层0.03m 2,得到2×10-3dm 3

溶液，发现其中

含肥皂为4.013×10-5mol ，而其同体积的本体溶液中含肥皂为4.000×10-5

mol ，试计算该溶

液的表面张力。已知298K 时，纯水的表面张力为0.072 N ?m -1

，设溶液的表面张力与肥皂活度呈线性关系，即σ=σ0-ba ，活度系数为1。

（三）计算题参考答案

1. 解（1）由开尔文公式

B r RTr M p p ρσ2ln =

** 得 m p p RT M r r 9

31023.14

ln 1000273314.810740261.02)/ln(2--*

*?=?????==ρσ （2）4.63107410023.61000)1023.1(14.334343

3903=???????==--M N r n ρπ

2. 解 kPa r p p g l 8.57101109.28226

=???==---σ

31011.210879.0293314.8108.5710782ln --**

?=??????=?==ρρσRT p M RTr M p

p r 002.1=**

p r

%2.0=-*

*p p p r 3.解 da d RT a σ

=Γ

b da d Γ-=-=σ ba =ГRT

σ=σ0-ba=σ0-ГRT=0.072-4.33×10-6×8.314×298=0.061 N ?m -1

4. 解由兰格缪尔吸附等温式 1

11bp bp +Γ=Γ∞

（1）

21bp bp +Γ=Γ∞

（2）

代入Г1、Г2、p 1、p 2可求出吸附平衡常数b

b=6.96×10-3kPa -1

当覆盖率θ=0.9时，代入兰格缪尔吸附等温式

1θ 得平衡分压p=1.293×103

kPa 5. 解（1）兰格缪尔吸附等温式为 bp

V V m +=

1θ 1545.04

.13)5.828.93(5

.82)(-=?-=-=

kPa p V V V b m

（2）CHCl 3的分压为6.67kPa 时的平衡吸附量 56.7367

.6545.0164

.6545.08.931=?+??=+=bp bp V V m

dm 3?kg -1

6. 解表面吸附量Г=（n 2-n 1）/A=(4.013×10-5

-4.000×10-5

)/0.03=4.333×10-6

mol ?m

-2

而 RT

RT ba b RT a da d RT a O σ

σσ-==-?-=-

=Γ)(

σ=σ0-ba=σ0-ГRT=0.072-4.333×10-6×8.314×298=0.0613 N?m-1

小学五年级数学知识点归纳整理

小学五年级数学知识点归纳五年级上册知识点概念总结 1.小数乘整数的意义：求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 2.小数乘法法则先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 3.小数除法小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 4.除数是整数的小数除法计算法则先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 5.除数是小数的除法计算法则先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 6.积的近似数：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同。但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分的与实际值差值不超过最后一位数量级的二分之一：假如0～9等概率出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的。 7.数的互化（1）小数化成分数原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。（2）分数化成小数用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

（3）化有限小数一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。（4）小数化成百分数只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。（5）百分数化成小数把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（6）分数化成百分数通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。（7）百分数化成小数先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8.小数的分类（1）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。（2）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 …… 3.1415926 ……（3）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。（4）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ”，0.5454 ……的循环节是“ 54 ”。 9. 循环节：如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。把循环小数写成个别项与一个无穷等比数列的和的形式后可以化成一个分数。 10.简易方程：方程ax±b=c（a,b,c是常数）叫做简易方程。 11.方程：含有未知数的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可）方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。 12.方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

小学五年级上学期数学知识点总结

五年级上册数学知识点一、小数的乘法（1）小数乘法计算法则： ①先按整数乘法算出积，再给积点上小数点。 ②看因数中一共有几位小数，就从积的右边起（或个位）数出几位，点上小数点。 ③当乘得的积的小数位数不够时，要在前面用0补足，再点小数点。（2）一个数（0除外）乘大于1的数时，积比原来的数大。一个数（0除外）乘小于1的数时，积比原来的数小。一个因数扩大多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）多少倍，积也扩大（缩小）多少倍。（3）四舍五入后的数字末尾的0不能去掉。小数4.7 “四舍五入”前的最大两位小数是4.74，最小是4.65 （4）简便运算：运算定律乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 25×4=100,125×8=1000 （5）小数的四则运算顺序跟整数是一样的。先乘除，后加减，有括号，先算括号里面的；连乘，连加按从左到右的顺序计算。二、小数的除法（1）小数除以整数的计算方法： ①按整数除法的方法去除。 ②商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果整数部分不够除，商0，点上小数点。 ③如果有余数，要添0再除。（2）一个数除以小数的算理一看---看除数中一共有几位小数。二移---把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的位数不足时，用“0”补足。三算---按照除数是整数的小数除法的方法计算。，（3）被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。被除数扩大（缩小）多少倍，除数不变，商扩大（缩小）多少倍。被除数不变，除数扩大（缩小）多少倍，商缩小（扩大）多少倍。（4）商的近似数小数除法所得的商可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求商的近似数。

1_最新人教版小学五年级数学上册知识点归纳总结

小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结第一单元小数乘法 1、小数乘整数： @意义——求几个相同加数的和的简便运算。如：1.5×3表示求3个1.5的和的简便运算（或1.5的3倍是多少）。 @计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 2、小数乘小数： @意义——就是求这个数的几分之几是多少。如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的0.8倍是多少）。 @计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。注意：按整数算出积后，小数末尾的0要去掉，也就是把小数化简；位数不够时，要用0占位。 3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 4、求近似数的方法一般有三种： ⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法 5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算到角。 6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。 7、运算定律和性质： @ 加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) @ 减法： a-b-c=a-(b+c) a-(b+c)=a-b-c @ 乘法：乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】 @ 除法： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c) =a÷b÷c 第二单元位置 1、数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右分别为列数和行数，即“先列后行”。 2、作用：一组数对确定唯一一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3，5）表示（第三列，第五行）。注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。

小学英语五年级知识点汇总_五年级英语知识点归纳总结

小学英语五年级知识点汇总_五年级英语知识点归纳总结五年级是小学学习的攻坚期，其中英语的语法也到了开始有点复杂的时期，同学们需要认真学习才能提高英语成绩。下面小编给大家分享小学英语五年级知识点汇总，希望对大家有所帮助。小学英语五年级知识点汇总在过去的时间里，两个动作中，发生在前的那个动作要用过去完成时。结构：had+过去分词 After she had finished her homework, she went shopping. They had sold the car before I asked the price. The train had left before I arrived at the station. After/before引导的时间状语从句放在句首要在句子后面加逗号，如果放在主句后则不用加。 1. 变疑问句将助动词移到句首. Had she finished her homework? 2. 变否定句在助动词后面加not. She hadn’t finished her homework. 3. 肯定回答及否定回答. Yes, she had. No, she hadn’t. 4. 特殊疑问句： What had she done? 构成：主语+助动词have, has+过去分词用法： 1) 表示过去发生的和现在有某种联系的动作，常和just, usually, already, since等时间副词连用 I have just had lunch. (饱了，不用再吃了) He has had a cup of tea.(不渴了，不用再喝) They have already had their holiday. (不能再度假了) The boy has already read the book. (已经知道书的内容了，不用再看了) 2) 询问别人是否做过某事一般用现在完成时： Have you finished your homework? Have you been to Beijing?

小学五年级语文知识点总结

小学五年级语文知识点总结字词一、成语大全1、ABCC式：喜气洋洋小心翼翼雪花飘飘白雪皑皑金光闪闪千里迢迢雷声隆隆白发苍苍人心惶惶波光粼粼杨柳依依秋雨绵绵饥肠辘辘 ABAB式：慌里慌张流里流气各种各样无影无踪如醉如痴不屈不挠又红又大又唱又跳又红又圆AABC式：依依不舍依依多情娓娓道来源源不断.滔滔不绝昏昏欲睡洋洋自得井井有条津津有味念念不忘喋喋不休 AABB式：端端正正高高兴兴许许多多星星点点形形色色虚虚实实漂漂亮亮明明白白仔仔细细来来往往红红火火日日夜夜恭恭敬敬干干净净规规矩矩 2、有反义的成语：天南海北古往今来七上八下瞻前顾后大同小异是非曲直异曲同工积少成多深入浅出辞旧迎新半信半疑转危为安苦尽甘来弄巧成拙大惊小怪出生入死悲欢离合声东击西 3、有成语故事的成语：掩耳盗铃刻舟求剑守株待兔愚公移山亡羊补牢塞翁失马焉知非福南辕北辙八仙过海各显其能 4、有动物的成语打草惊蛇九牛一毛守株待兔呆若木鸡杀鸡骇猴一马当先龙盘虎踞鸡鸣狗盗羊肠小道龙凤呈祥虎头蛇尾鼠目寸光 5、有比喻的成语：情深似海举重若轻心细如发势如破竹光阴似箭日月如梭 6、龙的成语：龙飞凤舞龙凤呈祥叶公好龙龙腾虎跃龙马精神降龙伏虎画龙点睛车水马龙龙争虎斗来龙去脉 7无字成语无影无踪无边无际无法无天无穷无尽无依无靠8带然的成语安然无恙庞然大物油然而生恍然大悟悄然而生肃然起敬黯然泪下蓦然回首勃然大怒 9多字成语：一波未平，一波又起一着不慎，满盘皆输一言既出驷马难追失之毫厘谬以千里近朱者赤近墨者黑三十六计走为上 10找出成语中的错别字：崭（斩）钉截铁玲珑赐（剔）透历（励）精图治咳（刻）不容缓骑（其乐无穷）鳖（别来无恙）明（一鸣惊人）蚊（默默无闻）带（无可替代）前扑（仆）后继中流抵（砥）柱愤(奋)发图强再接再厉（厉）万古长青——常兴高采烈——彩情不自禁——尽自作自受——做精兵简政——减攻无不克——刻神机妙算——计支支吾吾——知 11解释成语中加点的字：不言而喻．﹙明白﹚津．津有味﹙唾液﹚络绎不绝．—断．安然无恙．—毛病庞．然大物—大颇．负盛名—很风欺．雪压——欺压为．所欲为——做同仇敌忾．—仇恨前仆．后继——倒下励精图治．—治理再接再厉．——加倍努力排山倒．海----翻倒玲珑剔透．----穿透举世闻．名---有名望二、找出不同类的词：主板键盘鼠标（打印机）刻录机水果（小麦）蔬菜粮食点心三、多音字泊{ 停 tíng 泊 bó 水 shuǐ 泊 bó}挣{ 挣 zhèng 钱 qián 挣 zhēng 扎 zhá}着 { 着 zháo 火 huǒ 着 zhuó 陆 lù}埋{ 埋 mán 怨 yuàn 埋 mái 葬 zàng}间{ 间 jiàn 隔 gé 中 zhōng 间 jiān}刹 { 刹 chà 那 nà 间 jiān 刹 shā 车 chē }喷{ 喷 pēn 水 shuǐ 喷 pèn 香 xiāng }{ 颤 chàn 抖 dǒu 颤 chàn 动 dòng } { 只 zhǐ 是 shì 一 yī 只 zhī }{ 绿 lǜ 水 shuǐ 绿 lù 林 lín}{ 背 bèi 诵 sòng 背 bēi 着 zhe 转 zhuǎn 变转 zhuǎn 动 dòng} ( 喝 hē 水 shuǐ 喝 hè 彩 cǎi)( 挑 tiǎo 拨 bō 挑 tiāo 水 shuǐ){ 缝 feng 衣 yī 服 f u 缝 fèng 隙 xì} { 着 zhuó 陆 lù 走 zǒu 着 zhe}( 婀 ē 娜 nuó 小 xiǎo 娜 nà)( 下 xià 落 luò 丢 diū 三 sān 落 luò 四 sì) ( 夹 jiā 道 dào 夹 jiá 丝 sī 网 wǎng)( 消 xiāo 失 shī 削 xuē 弱 ruò)( 国 guó 子 zǐ 监 jiàn 监 jiān 狱 yù) ( 挑 tiāo 剔 tī 玲 líng 珑 lóng 剔 tī 透 tòu)( 供 gòng 提 tí 供 gōng 应 yìng)( 静 jìng 悄 qiāo 悄 qiāo 悄 qiāo 然 rán) ( 等 děng 待 dài 待 dài 会 huì 儿 er)( 趟 tàng 水 shuǐ 赶 gǎn 趟 tàng 儿 er)( 相 xiāng 似 sì 似 shì 的 d e) ( 差 chā 错 cuò 差 chà 不 b u 多 duō 差 chāi 事 shi)( 奔 bēn 跑 pǎo 投 tóu 奔 bèn)( 冠 guàn 军 jūn 皇 huáng 冠 guān)

(完整版)五年级数学知识点整理

第一单元小数除法 1.小数除法的意义：与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另个因数的运算。 2.小数除法的计算法则：（1）除数是整数：①按照整数除法的法则去除；②商的小数点要和被除数的小数点对齐（重点！） ③每一位商都要写在被除数相同数位的上面。④如果除到末尾仍有余数，在被除数的个位数的右边点上小数点，再在被除数的后面添上“0”继续除，直到除尽为止。 ⑤除得的商的哪一数位上不够商，就在那一位上写0占位。（2）除数是小数： ①先看除数中有几位小数，就把除数和被除数的小数点向右移动相同的位置，使除数变成整数，当被除数数位不够时，用0补足；②然后按照除数是整数的小数除法计算。 3、商不变的规律：被除数扩大a倍（或缩小），除数也扩大（或缩小）a倍，商不变。简言之，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。 4、被除数不变，除数扩大（或缩小）a倍，商缩小（或扩大）a倍。被除数扩大（或缩小）a倍，除数不变，商扩大（或缩小）a倍。 5、被除数比除数大的，商大于1。被除数比除数小的，商小于1。 6、一个数（0除外）除以1，商等于原来的数。（一个数除以1，还等于这个数）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大。 0除以一个非零的数还得0 。0不能作除数。 7、汉语表达A除以B A除B A去除B A被B除列式A÷B B÷A B÷A A÷B 8、近似值相关知识点：（1）求商的近似值：计算时要比保留的小数多一位。求积的近似值：计算出整个积的值后再去近似值。（2）取商的近似值的方法：“四舍五入”法、“进一法”和“去尾法” 在解决问题的时候，可以根据实际情况选择“进一法”和“去尾法” 取商的近似值。（3）保留商的近似值，小数末尾的0不能去掉。 9、循环小数相关知识点：（1）小数分类：可以分为无限小数和有限小数。小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分是无限的小数叫做无限小数。循环小数就是无限小数中的一种。（2）循环小数的定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几

最全面人教版数学五年级下册知识点归纳总结

一、图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。 1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。等腰三角形有 1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，学过的轴对称平面图形：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 ※圆有无数条对称轴。 ①对称点到对称轴的距离相等； ②对对称点的连线与对称轴垂直； ③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。对称图形包括轴对称图形中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。 2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O 叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转要明确绕点，角度和方向。（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。

（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。 3、旋转要注意：顺时针、逆时针、度数

因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。 3、大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。（1）数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中1，一个数的因数的求法：（用除法）成对地按顺序找。例如：求36的因数：从自然数一开始逐一往下除，不能整除的跳过一直除到商和除数有重复，其中除数和商都是被除数的因数，重复数保留一个按箭头方向把因数有序排列。

2017人教版小学五年级数学下册知识点归纳总结

人教版五年级下册数学第二单元知识点易错点汇总一、倍数与因数的关系【知识1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。例如：6是倍数、3和2是因数。（×）改正：6是3和2的倍数，3和2是6的因数。练习：（1）8×5=40，（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。（2）因为36÷9=4，所以（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数。（3）在18÷6=3中，18是6的（），3和6是（）的（）。（4）在14÷7=2中，（）能被（）整除，（）能整除（），（）是（）的倍数，（）是（）的因数。（5）若A÷B=C（A、B、C都是非零自然数），则A是B 的（）数，B是A的（）数。（6）如果A、B是两个整数（B≠0），且A÷B＝2，那么A 是B的（），B是A的( )。

（7）A,判断并改正：因为7×6=42，所以42是倍数，7是因数。（） B, 因为15÷5=3，所以15和5是3的因数，5和3是15的倍数。（） C, 5是因数，15是倍数。（） D, 甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。（）（8）甲数×3=乙数，乙数是甲数的（）。 A、倍数 B、因数 C、自然数【知识点2】倍数因数只考虑整数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例如：0.6×5=3，虽然可以表示0.6的5倍是3但是，0.6是小数是不讨论倍数因数问题。因此类似的：因为0.6×5=3，所以3是0.6和5的倍数。是错误的说法。练习：（1）有5÷2=2.5可知（） A、5能被2除尽 B、2能被5整除 C、5能被2整除 D、2是5的因数，5是2的倍数（2）36÷5=7……1可知（） A、5和7是36的因数 B、5能整除36 C、36能被5除尽 D、36是5的倍数

人教版五年级下册数学知识点归纳总结(最新版)

五年级（下）各单元重点知识归纳第二单元：因数与倍数一、因数和倍数（1）.因数和倍数的意义：如果a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。（2）.因数与倍数的关系：因数和倍数是两个不同的概念，但又是一对相互依存的概念，不能单独存在。（3）.找一个数的因数的方法： A．列乘法算式:根据因数的意义，有序地写出两个数的乘积是此数的所有乘法算式，乘法算式中每个因数就是该数的因数。 B．列除法算式：用此数除以大于（1）等于（1）而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。（4）.找一个数的倍数的方法：求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。二、（2）、（（3））、（5）的倍数的特征（1）. 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。（2）.奇数和偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，0也是偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。（3）.奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。（4）.5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数. （5）.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。三、质数和合数（1）.质数和合数的意义：

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（2）.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。（3）.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。（4）.分解质因数的方法： A：“树枝”图式分解法；B:短除法分解。第三单元：长方体和正方体一、长方体（正方体）的特征（1）.长方体的特征：有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点（2）.正方体的特征：正方体的6个面完全相同；12条棱的长度全相等；有8个顶点。（3）.长方体长、宽、高的意义：相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。二、长方体和正方体的表面积（1）.表面积的意义：长方体或正方体6个的总面积，叫做它的表面积。（2）.长方体表面积的计算方法：2个（3）.正方体表面积的计算方法：正方体的表面积=棱长×棱长×6 三、长方体和正方体的体积（1）.体积的意义：物体所占的空间的大小叫做体积。（2）.体积单位：立方米、立方分米、立方厘米；字母表示：m3,dm3,cm3。（3）.体积单位间的进率： 1 m3=1000dm31dm3 =1000cm3. （4）.容积的意义：箱子、油桶等所能装下物体的体积，叫做箱子等的容积。（5）.容积的单位和容积单位之间的进率：1L=1000ml （6）.容积单位和体积单位之间的换算：1L= 1dm 3 1ml = 1 cm3

五年级知识点归纳

第一单元一、字词注音＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿高歌绿毯柔美渲染勾勒低吟奇丽回味洒脱迂回＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿疾驰马蹄礼貌拘束羞涩摔跤天涯清晰插嘴分辨＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿抚摸介绍新疆陷入古朴典雅矗立戎装守候鸵鸟＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿匕首商贸芝麻妖娆机械开凿巍峨媒体狰狞逞凶＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿撕扯效率贯通热乎乎下马威一碧千里翠色欲流＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿浑黄一体精神饱满美仑美奂银妆素裹襟飘带舞＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿严阵以待始料不及杯水车薪废寝忘食二、知识点概括 1、如《草原》一文，按事情发展的顺序，描绘了三幅动人的画面：草原风光图、喜迎远客图、主客联欢图，突出了内蒙古草原的风光美、人情美和民俗美。 2、联系上下文，体会文章优美的语言和含义深刻的句子如：说说对“蒙汉情深何忍别，天涯碧草话斜阳”这句话的理解和体会。（惜别之情。作为文章结尾，点明了蒙汉两族团结情深的中心。） 3、以《白杨》一文为例，理解其表达上的特点

托物言志、借物喻人（托物言志就是通对物品的描写和叙述，表现自己的志向和意愿。采用托物言志法写的文章的特点是用某一物品来比拟或象征某种精神、品格、思想、感情等。）“高大的白杨树”暗喻老一辈的新疆建设者；“几棵小树”暗喻边疆建设者的后代。 4、写作（1）信封的写法（2）写书信三、课文内容 1《草原》： A作者老舍，全文按事情发展的顺序，描绘了三幅动人的画面：草原风光图.喜迎远客图.主客联欢图。读了让人深切地感受到内蒙古草原的风光美、人情美和民俗美【线索：草原美景、喜迎远客、亲切相见、热情款待、联欢话别（草原美景、迎客、待客、话别）（草原风光图、喜迎远客图、主客联欢图）】B说说对“蒙汉情深何任别,天涯碧草话斜阳”这句话的理解和体会答：蒙汉人民之间的情谊深厚，怎么忍心马上分别呢，直到夕阳西下，人们还在这遥远的一望无际的草原上互相倾诉着惜别之情。这句话作为全篇的结尾，点明了蒙汉两族团结情深的中心。 C中心思想：本文是作者第一次访问内蒙古大草原时的所见、所闻、所感，并通过这些所见、所闻、所感，赞美了草原的美丽风光和民族之间的团结。 2《丝绸之路》文化交流之路、经济交流之路、友谊交流之路、商贸交流之路。3《白杨》作者托物言志、借物喻人，歌颂了边疆建设者服从祖国需要，扎根边疆、建设边疆的远大志向和奉献精神。 A中心思想：文章写的是在通往新疆的火车上，一位父亲向孩子介绍白杨树的事。作者借白杨，热情歌颂了边疆建设者服扎根边疆、建设边疆的远大志向和

小学五年级语文上册全册知识点总结

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◆◆第一单元◆◆ 一、难读的字长喙(huì) 玻璃框(kuànɡ) 镜匣(xiá) 嗜好(shì) 榨油（zh à）半亩(mǔ) 茅亭(tínɡ) 爱慕(mù) 糕饼(bǐnɡ) 叶蔓(màn) 眼睑(jiǎn) 眸子(móu) 二、难写的字

匣：被包部分是“甲”，不要写成“田”。鹤：左边是“隺”，不要写成“隹”。浇：右边是“尧”，上面不要多写一点。慕：下面是“”，不要写成“小”。缠：右边不是“厘”，不要少写一点。三、形近字组词宜(适宜) 宣(宣传) 嫌(嫌弃)谦(谦虚) 框(画框) 眶(眼眶)浇(浇水) 烧(发烧) 吩(吩咐)纷(纷乱)慕(爱慕)幕(银幕)浸(沉浸) 侵(侵犯) 捡(捡起) 检(检查) 杭(杭州) 抗(反抗) 豪(文豪)毫(丝毫)享(享受) 亨(亨通)咂(咂嘴)砸(砸碎) 四、多音字组词散sǎn(散文诗) sàn(分散) 便pián(便宜) biàn(方便) 挨āi(挨近) ái(挨打) 笼lónɡ(鸟笼)lǒnɡ(笼罩) 五、重点词语精巧色素配合身段生硬寻常常见忘却结构青色清晨安稳悠然黄昏恩惠播种浇水收获食品吩咐天色好处榨油爱慕成熟体面桂花台风糕饼至少完整茶叶流线型散文诗木兰花美中不足

六、近义词精巧——精美寻常——平常忘却——忘记恩惠——恩泽爱慕——羡慕完整——完好七、反义词忘却——牢记寻常——特别安稳——危急成熟——幼稚完整——残缺美中不足——十全十美八、词语搭配 ( 精巧)的诗( 优美)的歌(细腻)的绒毛( 美好)的境界 ( 使劲)地摇( 仔细)地寻找(开辟)空地睡得(好熟) ( 摇落)桂花( 放开)胆子九、课文重点理解： 1.《白鹭》通过对白鹭的描写，突出了白鹭的平凡而美好、朴素而高洁的特点，赞颂了白鹭的美。 2.《落花生》采用了借物喻人的写法，赞美了花生不图名利，默默奉献的品格，说明做人要做有用的人，不要做只讲体面，而对别人没有好处的人。 3.《桂花雨》表现了儿时生活的乐趣，字里行间充满了对家乡、对童年生活的无比怀念。

五年级知识点总结

五年级下册知识点总结第一单元观察物体 1、长方体（或正方体）放在桌子上，从不同角度观察，一次最多能看到3个面（或说成：最多同时能看到3个面）。 2、给出一个（或两个）方向观察的图形无法确定立体图形的形状。由三个方向观察到的图形就可以确定立体图形的形状并还原立体图形。 3、从一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。 4、从多个角度观察立体图形先根据平面图分析出要拼搭的立体图形有几层；然后确定要拼搭的立体图形有几排；最后根据平面图形确定每层和每排的小正方体的个数。第二单元因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。找因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

2、自然数按能不能被2整除来分：奇数偶数奇数：不能被2整除的数偶数：能被2整除的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0。个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数，是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最小的三位数是120。 3、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1。质数：有且只有两个因数，1和它本身。合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数。 1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、 97

五年级语文知识归纳与总结(精华版)

五年级语文上册知识点总汇第一单元知识点 1、易读错目的（dì）地踮（diǎn）起脚尖暂(zàn)时某(mǒu) 奔(bèn)向那里沉甸甸(diān) 全班之冠(guàn) 分(fèn)外禁(jīn) 不住《水浒传》《济公传》(zhuàn)绿(lù)林好汉一百单八将(jiàng) 恰似、如饥似(sì)渴似(shì)的美差(chāi) 差(chà)不多《窃读记》1、作者：林海音。主题：表达了“我”对读书的热爱和对知识的渴望。林海音代表作《城南旧事》。课文以“窃读”为线索，以放学后急匆匆地赶到书店，到晚上依依不舍离开的时间顺序和藏身于众多顾客、借雨天读书两个场景的插入，描绘了“窃读”的独特感受与复杂滋味。2、我很快乐，也很惧怕－--这种窃读的滋味！这句话是课文的中心句。“我”在阅读中感受着书籍所带来的智慧与快乐，却时刻害怕被店员或老板发现受到训斥和驱赶。 3、作者用“咽了一口唾沫”这样一个动作，写出了此时的“我”尽管是腿酸脚麻、饥肠辘辘，却在两个多钟头的饱读之后有一种满足感、充实感。”“吃饭长大”指的是身体的物质需求，“读书长大”则是指精神的成长，心灵的成长。粮食哺育的是身体，而书籍哺育的是灵魂，一个只有知识与智慧不断增长的人，才是一个真正健康成长起来的人。《小苗与大树的对话》这是一篇小学生苗苗对季羡林老先生的访谈录。《走遍天下书为侣》1、作者：（英国）尤安·艾肯。2、只带一本书环球旅行的原因：你总能从一本书中发现新的东西，不管你看过多少遍。3．读书方法：静心思考、续编故事、品味欣赏、寻找新知（反复品读）、总结收获（列单子）、了解作者（产生共鸣） 4.我的“长生果”指的是书。 5、仿写句子：一本你最喜爱的书就是一位朋友，也是一处你随时想去就去的故地一本你喜爱的书就是打开智慧的钥匙，也是一盏明灯。第二单元知识点 1、易写错的字：慈祥、境遇、欺凌、衰老、惧怕、风欺雪压 2、易读错的字词：京口瓜洲一水间（jiàn ）钟山之隔数重（chóng ）山那畔（pàn）行聒（guō ）碎秉（bǐng ）性朦（méng）胧婀（ē）娜（nuó）多姿波光粼（lín）粼干涸（hé）点缀（zhuì）螃（páng）蟹（xiè）唱和（hè）潺（chán）潺流水分（fèn）外抹（mā）净低（dī）头折shé节酵jiào母 3 古诗词三首《泊船瓜洲》（借景抒情）、《秋思》（叙事抒情）、《长相思》（写景叙事结合）都表达了作者对家乡深深的思恋和热爱。 4、《秋思》借助日常生活中一个小小的片断──寄家书，表达了客居他乡之人，对家乡亲人的深切思念。改成小

人教版五年级下册数学知识点总结

五年级数学下册知识点汇总一图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。 1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。（2）圆有无数条对称轴。（3）对称点到对称轴的距离相等。 2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转要明确绕点，角度和方向。（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。 3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数二因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

人教版小学五年级知识点汇总

人教版小学五年级知识点汇总【第一单元：负数的初步认识】【基本知识点】 0既不是正数，也不是负数。也就是说整数被分成了三类：负数、0、正数。0是负数和正数的分界线，正数都大于0，负数都小于0。相对应的正数和负数可以表示一组相反意义的量。【友情提醒】在看温度计上的温度时，一定要看清楚每一小格是多少度，有时一小格表示2度，有时一小格表示1度。【经典例题】下面4个数中，最接近0的是( )。 A.-1.5 B.-2 C.+3 D.1.6 ☆☆☆最接近0的数不是挑其中最大的数，而是看哪个数在数轴上和“0”最接近，应该选“A”。【第二单元：多边形的面积】【基本知识点】 1.平行四边形的面积=底×高，即S=ah。这里的“底×高”是指对应的“底”和“高”。因为平行四边形有两种不同长度的高，分别对应两条不同长度的底，所以，在计算时一定要看清楚对应关系。例如：如图所示，底BC(或AD)与高AF是对应的，底CD(或AB)与高CE 是对应的。而底BC(或AD)与高CE、底CD(或AB)与高AF是根本没有关系的。

2.三角形的面积=底×高÷2。两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积是三角形的2倍，三角形的面积是拼成平行四边形的一半。注意：这里一定要用两个完全一样的三角形来拼，两个等底等高的三角形或面积相等的三角形都不一定能拼成平行四边形，等底等高只能保证面积相等，而面积相等又有无数种情形。另外，如图所示，直角三角形的两条直角边互为底和高。也就是说如果将AB看作底，那么BC就是高;如果将BC看作底，那么AB就是高。 3.梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。其实，我们只要知道梯形的两底的和就可以了，不一定非得要分别知道梯形的上底和下底的数据才可以求面积。例如：用50米长的篱笆，在靠墙的地方围一块菜地(如图所示)，这块菜地的面积是多少平方米?我们将50-15=35(米)，“35米”便是两底之和。【友情提醒】 1.计算三角形和梯形的面积时要特别注意除以2。反过来，在知道面积和底(高)，要求高(底)时，因为我们还没有学方程，更要注意先将面积乘2，再除以底(高)，求出高(底)。例如：梯形的面积是20，两底之和是8，求高。可以这样计算，20×2÷8=5。也可以这样写：8×高÷2=20，即8÷2×高=20 4×高=20 高=5，或者依次倒退还原也能得到结果：8×高÷2=20 8×高=40

小学五年级方程知识点归纳最新版

小学五年级数学上册方程知识点归纳总结 -最新版 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。如1：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。如2：χ表示χ的倍是多少或个χ的和的简便运算。 2、在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4. 乘法分配律：a×(b ± c) = a×b ± a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2，a2读作a的平方或a的二次方。 2a 表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。）

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。（方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式：加法：和=加数+加数一个加数=和-两一个加数减法：差=被减数-减数被减数=差+减数减数=被减数-差乘法：积=因数×因数一个因数=积÷另一个因数除法：商=被除数÷除数被除数=商×除数除数=被除数÷商 10、解方程的方法：方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程；方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式：路程＝(速度)×(时间) 速度＝(路程)÷(时间) 时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量) 单价＝(总价)÷(数量) 数量＝(总价)÷(单价)

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