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中考数学压轴题精编整理(详细解析版)

中考数学压轴题专题训练16地市压轴题精编整理(均付详细解析)

1、已知,在平行四边形OABC 中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位

的速度移动.设移动的时间为t 秒. (1)求直线AC 的解析式;

(2)试求出当t 为何值时,△OAC 与△PAQ 相似; (3)若⊙P 的半径为5

8,⊙Q 的半径为2

3;当⊙P 与对角

线AC 相切时,判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系,并求出Q 点坐标。

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解:(1)4203

3

y x =-+

(2)①当0≤t ≤2.5时,P 在OA 上,若∠OAQ=90°时, 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似.

当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ ∽△OCA ,

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∵t>2.5,∴

符合条件.

②若∠AQP=90°,则△APQ ∽△∠OAC ,

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∵t>2.5,∴

符合条件.

综上可知,当时,△OAC 与△APQ 相似.

(3)⊙Q 与直线AC 、BC 均相切,Q 点坐标为(10

9,531)。 2、如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x 轴,OC 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.已知OA =3,OC =2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处. (1)直接写出点E 、F 的坐标;

(2)设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴...

于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;

(3)在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE

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的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.

(第2题)

解:(1)(31)E ,;(12)F ,.

(2)在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=.

设点P 的坐标为(0)n ,,其中0n >,顶点(12)F ,, ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠.

①如图①,当EF PF =时,22EF PF =,221(2)5n ∴+-=.

解得10n =(舍去);24n =.(04)P ∴,.24(01)2a ∴=-+.解得2a =.

∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+

②如图②,当EP FP =时,22EP FP =,22(2)1(1)9n n ∴-+=-+. 解得52

n =-(舍去).

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③当EF EP =时,53EP =

<,这种情况不存在.

综上所述,符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+. (3)存在点M N ,,使得四边形MNFE 的周长最小. 如图③,作点E 关于x 轴的对称点E ',作点F 关于

y 轴的对称点F ',连接E F '',分别与x 轴、y 轴交于

点M N ,,则点M N ,就是所求点.

(31)E '∴-,,(12)F NF NF ME ME '''-==,,,. 43

BF BE ''∴==,.FN NM ME F N NM ME F E ''''

∴++=++=22345

=+=.又5EF =,∴55FN NM ME EF +++=+,此时四边形MNFE 的

周长最小值是55+.

3、如图,在边长为2的等边△ABC 中,AD ⊥BC,点P 为边AB

上一个动点,过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x .

(1)①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;

②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;

(2)记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;

(3)以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似?如果能相似,请求出BP 的长,如果不能,请说明理由。

解:(1)①在等边三角形ABC中,∠B=60°,∵PG⊥AB,

∴∠BGP=30°,∴BG=2BP. ②∵PF//AC,∴△PBF为等边三角形,∴BF=PF=PB=x .

G

E

F D

C

A

B

P

第3题

A

又∵BG=2x ,BD=1,∴DG=2x -1,∴0<2x -1≤1,∴112x <

?.

(2)S=12

DE ×DF=()()13

21123

x x ?

-- =2333

326

x x -

+-

当34

x =时,3

48

max S =

. (3)①如图1,若∠PFE=Rt ∠,则两三角形相似,

此时可得DF=DG 即121x x -=-

解得:23

x =.

②如图2,若∠PEF=Rt ∠,则两三角形相似, 此时可得DF=12

EF=14

BP,

即114x x -=

.解得:4

5

x =.

4、如图,二次函数c bx x y ++-=24

1的图像经过点()()4,4,0,4--B A ,

且与y 轴交于点C .

(1)试求此二次函数的解析式;

(2)试证明:CAO BAO ∠=∠(其中O 是原点);

(3)若P 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合),过P 作

y 轴的平行线,分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H

两点,试

问:是否存在这样的点P ,使QH PH 2=?若存在,请求出点P 的

G

E F D

C

A

B

P

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坐标;若不存在,请说明理由。

解:(1)∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上,

∴???+--=-++-=c b c b 444440,解得?????

==2

21c b , ∴二次函数解析式为22

14

12++-=x x y .

(2)过B 作x BD ⊥轴于点D ,由(1)得()2,0C ,则在AOC Rt ?中,

2142tan ===

∠AO CO CAO ,又在ABD Rt ?中,2

184tan ===∠AD BD BAD , ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ,∴BAO CAO ∠=∠.

(3)由()0,4A 与()4,4--B ,可得直线AB 的解析式为22

1-=x y ,

设()44,22

1, x x x P -??

? ??-,则??

?

?

?++-22

14

1,2x x x Q ,

∴22141,2122212++-=-=-=

x x QH x x PH .∴22

1

4122122++-=-x x x . 当42

12

122++-=-x x x ,解得 4,121=-=x x (舍去),∴??

?

?

?--25,1P

.

图 1 C Q → B

D

A

P

↓ 图2

G 2 4 6 8 10 12

10

8 6 4 2 y O

x

当42

12

122--=-x x x ,解得 4,321=-=x x (舍去),∴??

?

?

?--27,3P .

综上所述,存在满足条件的点,它们是??

? ?

?--25,1与??

? ?

?--27,3.

5、如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =8厘米,点D 在AC 上,CD =3厘米.点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发,点P 沿AC 方向向点C 匀速移动,速度为每秒k 厘米,行完AC 全程用时8秒;点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x 秒PCQ

()80<x<,△DCQ 的面积为y 1平方厘米,△的面积为y 2平方厘米.

(1)求y 1与x 的函数关系,并在图2中画出y 1的图象; (2)如图2,y 2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P 的速度及AC 的长;

(3)在图2中,点G 是x 轴正半轴上一点(0<OG <6=,过G 作EF 垂直于x 轴,分别交y 1、y 2于点E 、F . ①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义; ②当0<x <6时,求线段EF 长的最大值. 解:(1)∵CD CQ S DCQ

??=

?21,CD =3,CQ =x ,∴x y 2

3

1=. 图象如图所示.

(2)方法一:CP CQ S PCQ ??=?2

1,CP =8k -xk ,CQ =x ,

∴()kx kx x kx k y 42

182

122+-=?-?=.∵抛物线顶点坐标是(4,12),

∴124442

12=?+?-k k .解得2

3=k .则点P 的速度每秒2

3厘米,AC

=12厘米.

方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ 面积为12. 此时PC =AC -AP =8k -4k =4k ,CQ =4.∴由CP CQ S PCQ ??=?2

1,

得 122

44=?k .

解得2

3=k .则点P 的速度每秒2

3厘米,AC =12厘米.

方法三:设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2. ∵图象过(0,0),(4,12),(8,0),

∴?????=++=++=.0864124160c b a c b a c ,, 解得 ?

??

?

???

==-=.

0643c b a ,,∴x x y 64322+-=. ①

∵CP CQ S PCQ ??=?21,CP =8k -xk ,CQ =x ,∴kx kx y 42

122+-=. ②

比较①②得23=k .则点P 的速度每秒2

3厘米,AC =12厘米.

(3)①观察图象,知线段的长EF =y 2-y 1,表示△PCQ 与△

G

F

E

D

C

B

A DCQ 的面积差(或△PDQ 面积).②由⑵得 x x y 64

322+-=.(方

法二,x x x x y 64

3232

382122+-=??

?

? ?

?-??=) ∵EF =y 2-y 1,∴EF =x x x x x 2

94

32

364

322+-=-+-,

∵二次项系数小于0,∴在60<x<范围,当3=x 时,4

27=EF 最

大.

6、如图,在ABC ?中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、

AC

上的两个动点(D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .

(1)试求ABC ?的面积;

(2)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =,ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;

(4)当BDG ?是等腰三角形时,请直接写出AD 的长。

解:(1)过

A

BC

AH ⊥于

H

,∵

6

,5===BC AC AB ,∴

32

1

==

BC BH . 则在ABH Rt ?中,422=-=

BH AB AH ,∴122

1

=?=

?BC AH S ABC . (2)令此时正方形的边长为a ,则4

46a a -=,解得512=a .

(3)当20≤x 时,2

2

253656x x y =

??

? ??=. 当52 x 时,()225

245

2455

45

6x x x x y -=-?=.

(4)7

20,1125,73125=AD .

7、如图已知点 A (-2,4) 和点 B (1,0)都在抛物线

2

2y mx mx n

=++上. (1)求m 、n ;

(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为

A ′,点

B 的对应点为B ′,若四边形A A ′B ′B 为菱形,求

平移后抛物线的表达式;

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为点

C ,试在x 轴上找点

D ,使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形

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与ABC △相似.

解:(1)根据题意,得:???=++=+-02444n m m n m m 解得?????=-=4

3

4n m

(2)四边形A A ′B ′B 为菱形,则A A ′=B ′B= AB=5

∵43

8

3

42+--=x x y

=()3

164342

+--x

∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为

B A O 1 1 -

1 -1

x

y

A ′

B ′

()3

16434

2,+--

=x y

(3)设D (x ,0)根据题意,得:AB=5,

5',10,53===C B BC AC

∵∠A =∠B B ′A

ⅰ) △ABC ∽△B ′CD 时,∠ABC =∠B ′CD ,∴BD=6-x , 由

x

-=

65

35

5 解得x =3, ∴D (3,0)

ⅱ)△ABC ∽△B ′DC 时,

C

B AC

D B AB ''=

5

5

365=-x 解得3

13=x ∴)0,3

13(D

8、如 图,已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,A B ⊥BC ,AD =2,AB =8, CD =10.

(1)求梯形ABCD 的面积S ;

(2)动点P 从点B 出发,以1cm/s 的速度、沿B →A →D →C 方向,向点C 运动;动点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度、沿C →D →A 方向,向点A 运动,过点Q 作QE ⊥BC 于点E .若

y

B

A

O 1 1

-1 -1

x

C B ′ D

D

B A

C C

B AB ''=

P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t 秒.问:①当点P 在B →A 上运动时,是否存在这样的t ,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分?若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积;若不存在,请说明理由;

②在运动过程中,是否存在这样的t ,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.

解:

1D DH BC H ABHD DH AB 8BH AD 2⊥∴====()过作于点

显然四边形是矩形; 在Rt △DCH 中,2221086

DH -=-=2CH=

CD ABCD 11

S AD BC AB 28822∴=+=+?()()40=

(2)①

E Q

C D

A B P

C

D

A

B

E Q

C D

A

B P

(备用图)

A D

Q

P

10;8CQ BP -=-=∴==t

DQ t AP t

周长平分。将梯形秒时,当ABCD PQ 3=∴t 经计算,PQ

不平分梯形

ABCD 的面积 ②

2222208Q QI BC QH AB I H AP 8,2

(8)2t 166834CI ,55

34

8,5541

55

t t AD PD AP AD t t t QI t

QH BI t BH QI t

PH t t t

≤≤⊥⊥=-=∴=+=-+=-+==∴==-==∴=-=第一种情况:时

过点作,,垂足为、

2222231248

PQ QH PH 8-)()64

5555

10t t t t DQ t

∴=+=+=-+=-( DQ DP,10-1668t t t t ==-+,秒8=t -

2212248

DQ PQ,10-t -64,352180055

2623426234,833

t t t t t t ==+-+=-+=

=〉(舍去)

3

34

226-=

∴t 810DP DQ 10-t t ≤<==第二种情况:时,

B

C

D

A P

Q

I

H

恒成立。

为腰的等腰时,以当DPQ DQ 108?<≤∴t 1012DP DQ 10t t <≤==-第三种情况:时,

恒成立。

为腰的等腰时,以当DPQ DQ 1210?≤<∴t 26234

8101012DQ DPQ 3

t t t -=

≤<<≤?综上所述,或或时,以为腰的等腰成立。

9、如图,⊙O 的半径为1,等腰直角三角形ABC 的顶点B 的坐标为(

2,0)

,∠CAB=90°,AC =AB ,顶点A 在⊙O 上运动.

(1)当点A 在x 轴上时,求点C 的坐标;

(2)当点A 运动到x 轴的负半轴上时,试判断直线BC 与⊙

O 位置关系,并说明理由;

(3)设点A 的横坐标为x ,△ABC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值与最小值;

(4)当直线AB 与⊙O 相切时,求AB 所在直线对应的函数关系式.

解:(1)当点A 的坐标为(1,0)时,AB=AC=2-1,点C

的坐标为(1,

2-1);

当点A 的坐标为(-1,0)时,AB=AC=

2+1,点

C 的

A B C O

x

y

坐标为(-1,2+1)

; (2)直线BC 与⊙O 相切,过点O 作OM ⊥BC 于点M ,∴∠OBM =∠BOM =45°,

∴OM=OB ·sin45°=1,∴直线BC 与⊙O 相切 (3)过点A 作AE ⊥OB 于点E 在Rt △OAE 中,AE 2

=OA 2

-OE 2

=1-x 2

, 在Rt △BAE 中,AB 2

=AE 2

+BE 2

=(1-x 2

) +(2-x )

2

=3-22x

∴S=21AB ·AC=21 AB 2=2

1(3-2

2x)=

x 223

- 其中-1≤x ≤1,

当x=-1时,S 的最大值为22

3+

当x=1时,S 的最小值为22

3-

(4)①当点A 位于第一象限时(如右图): 连接OA ,并过点A 作AE ⊥OB 于点E ∵直线AB 与⊙O 相切,∴∠OAB=90°, 又∵∠CAB=90°,∴∠CAB +∠OAB=180°,

∴点O 、A 、C 在同一条直线上,∴∠AOB =∠C=45°,

在Rt △OAE 中,OE=AE=

2

2

.点A 的坐标为(

2

2,

2

2

) 过A 、B 两点的直线为y=-x+2.

②当点A 位于第四象限时(如右图) 点A 的坐标为(

2

2

,-

2

2

),过A 、B 两点的直线为y=x -2.

10、已知抛物线y =ax 2

+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y

A

B C

O

x

y

E A B (C ) O x

y

E

轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的表达式;

(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.

解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8

∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC

∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)

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