一轮单元训练金卷?高三?数学卷（A）
第二十一单元统计、统计案例、概率
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
2．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）
A．19B．20C．21.5D．23
3．总体由编号为00，01，02，…，48 ，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，
选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）
附：第6行至第9列的随机数表：
26357900337091601620388277574950
32114919730649167677873399746732
27486198716441487086288885191620
74770111163024042979799196835125
A．3B．16C．38D．49
4．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5
袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是（
）
A ．6，12，18，24，30
C ．2，12，23，35，48
B ．2，4，8，16，32
D ．7，17，27，37，47
5．某校高二（16）班共有 50 人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在
100,120
内的学生人数为（ ）
A ．36
B ．25
C ．22
D ．11
6．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验
产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品 中抽取（
）件．
A ．24
B ．18
C ．12
D ．6
7．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：
附表：
则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（
）
A ． 99%
B ． 97.5%
C ． 95%
D ． 90%
8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如 2
下表所示：
若 x ， y 线性相关，线性回归方程为 y 0.6 x a ，估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为（
）
A ． 7.2 万盒
B ． 7.6 万盒
C ． 7.8 万盒
D ． 8.6 万盒
9．现有大小形状完全相同的 4 个小球，其中红球有 2 个，白球与蓝球各 1 个，将这 4 个小球排成一 排，则中间 2 个小球不都是红球的概率为（
）
A ．
1 6
B ．
1 3
C ．
5 6
D ．
2 3
10．“ rand 0 ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次 rand 0 函数，就产生一个在区间
0,1内
的随机数．我们产生 n 个样本点 P
a ,
b ，其中a 2 rand 0 1 ，b 2 rand 0 1 ．在这 n 个样本点中，
满足 a 2
b 2
rand 0 的样本点的个数为 m ，当 n 足够大时，可估算圆周率 的近似值为（
）
A ．
4m n
B ．
m
4n
C ．
4n m
D ．
n
4m
11．下面给出的是某校高二（2）班 50 名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供 的信息，则下列结论正确的是（
）
A ．成绩是 50 分或 100 分的人数是 0 C ．成绩为 60 分的频率为 0.18
B ．成绩为 75 分的人数为 20
D ．成绩落在 60—80 分的人数为 29
12．如果一组数 x ， x ，…， x 的平均数是 x ，方差是 s
1
2
n
3x
2 的平均数和方差分别是（ ）
n
2
，则另一组数
3 x
2 ， 3x
2 ，，
1
2
A ． 3x ， s 2
B ． 3x 2 ， s 2
C ． 3x 2 ， 3s
2
D ． 3x
2 ， 3s 2
2 6s 2
二．填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横线上）
13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为 400 的样本进行检测，如图是检 测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间
25,30 的一为等品，在区间20,25
和
30,35
的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线 方程为 y 0.95 x 0.15 ．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．
天数 x (天)
繁殖个数 y (千个)
3
2
4
3
5
4
6
5
7
c
15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博 拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉
病毒感染的效果”．参考公式： K ＝
n ad bc 2
a b
c d
a c
b d
16．已知如图所示的矩形，长为 12，宽为 5，在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆，数得落在阴影部分 的黄豆为 600 颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．
2
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．
18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3
天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
）和使用了节水龙头50
日用水量0,0.10.1，0.20.2，
0.3
0.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7
频数13249265
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量0，
0.10.1，0.20.2，
0.3
0.3，0.40.4，0.50.5，0.6
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工
人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m
的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？6
附：K 2
n ad bc
a b c d a c
b d
P K 2k 0.0500.0100.001，
|
k 3.8416.63510.828
．
20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回
归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b
t t y y
i i
i 1
t t2
i
，a?y bt．
i 1
21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从
参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与
中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）
（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18
人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中
随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．
2
?
n
n
?
7
22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：
时间点甲游乐场乙游乐场8 点
10
13
10 点
3
4
12 点
12
3
14 点
6
2
16 点
12
6
18 点
20
19
（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为x，y（i 1，2，3，4，5，6），现从
i i
该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足x y的概率．
i i
一轮单元训练金卷?高三?数学卷答案（A）
第二十一单元统计、统计案例、概率
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】设2名男同学为A，A，3名女同学为B，B，B，从以上5名同学中任选2人总共有A A，
1 2 1 2 3 1 2
A B ，A B，A B，A B，A B，A B，B B，B B，B B共10种可能，选中的2人都是女同学 1
1 1
2 1
3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3
的情况共有B B，B B，B B共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P
1 2 1 3 2 3
3
10
0.3，故选D．
2．【答案】B
【解析】由题意的，这组数据是：08 ，09，12，15，18，20 ，20，23，23，28，31，32，根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B．
3．【答案】C
【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，
列举出选出来编号在0049的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4 个个体的编号为38，故选C．
4．【答案】D
【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D符合，故选D．
5．【答案】B
【解析】由频率分别直方图可知：0.015a 0.030a 0.0100.005101，
解得a 0.020，所以在100,120之间的概率为P 0.0300.020100.5，
所以在100,120之间人数为500.525人，故选B．
6．【答案】B
【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为3003，
20040030010010
根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取60 7．【答案】A
3
10
18，故选B．
【解析】∵K2168（6838-2042）2
888011058
11.377，且11.377＞6.635．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选
A．8．【答案】C
【解析】由题意，根据表格中的数据可知：x 1 2 34555 6 6 8
3，y
55
6，
即样本中心为3,6，代入回归直线y?0.6x a?，解得a? 4.2，即y?0.6x 4.2令x 6，
解得y?0.66 4.27.8万盒，故选C．
9．【答案】C
【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A，蓝球为B，红球为C C，则不同的排列情况为ABCC，ACBC，ACCB，B ACC，B CAC ，B CCA ，C ABC，C ACB，C BCA，CBAC，C CAB，C CBA共
12种情况，其中红球在中间的有ACCB，BCCA两种情况，所以红球都在中间的概率为
21
，126
所以中间两个小球不都是红球的概率为115
，故选C．66
10．【答案】A
【解析】 x 2
y 2
1 发生的概率为 12
1
，在这 n 个样本点中，满足 a
4 4
2
b 2
rand 0 的样本点的 个数为 m ，当 n 足够大时，可估算圆周率 的近似值为， m 4m ，即
n 4 n
，故选 A ． 11．【答案】D
【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故 A ，B ，C 选项是错误的，对于 D 选项，60—80 的人数为 50
0.018 0.04 1029 ，故选 D ．
12．【答案】C
2
【解析】∵ x ， x ，…， x 的平均数是 x ，方差是 s
1 2 n
∴ 3x
2 ， 3x
2 ，…， 3x
2 的平均数是 3x 2 ，方差是
1
2
n
3
2s
2
3s ，故选 C ．
二．填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100
【解析】由题意得，三等品的长度在区间
10,15，15,20和35,40内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为0.0125 0.0250 0.012550.25 ，
∴样本中三等品的件数为 400 0.25 100 ．
14．【答案】9
【解析】根据上表的数据，
根据平均数的公式可得： x
3 4 5 6 7 2 3 4 5 c 14 c
5 ， y
5 5 5
，
把
x ，y
代入回归直线方程，得 14 c 5
0.95 5 0.15
，解得 c 9 ．
15．【答案】 5%
【解析】由题意，计算观测值 K
2＝
100
103020 40 50 50 30 70
4.762 3.841 ，
参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5% 的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗 有关”．故答案为 5% ．
2
2
10
S600
【解析】，所以S 36．
601000
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；
（2）（i）{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，
{E，G}，{F，G}；（ii）P（M ）5
21
．
【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的
方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，
{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，
来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M ）5
21
．
18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）
47.45m 3．【解析】（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.20.110.1 2.60.120.050.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x 11
50
0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.48．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
x 21
50
0.0510.1550.25130.3510 0.4516 0.5550.35．
估计使用节水龙头后，一年可节省水0.480.3536547.45m 3．
19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．
【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分
钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二
种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种
生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎
8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7
大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用
第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知m 列联表如下：7981
2
80 ．
超过m不超过m
第一种生产方式 第二种生产方式
15
5
5
15
（3）由于 K
2
40 15155 52 10 6.635 ，所以有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异． 20 20 20 20
20．【答案】（1） y ?
10t 46 ；（2）预测该商城 8 月份的销售额为 126 万元．
【解析】（1）由所给数据计算得 t
1
7
1234 5 6 7 4
，
y
1 7
5866 72 88 96 104 118
86 ，
t t
i
i 1
2
9 4 1 0 1 4 9 28 ，
t t y y 328
22011402
110218332280i
i
i 1
b
t
t
i
i 1
t
i
y
y
i
t 2
280 28
10 ， a ?
y bt 86 10 4 46 ．
i 1
所求回归方程为 y ?
10t 46 ．
（2）由（1）知，b 10 0 ，故前 7 个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加 10 万．将 t 8 ，
代入（1）中的回归方程， y ?
10 8 46 126 ．
故预测该商城 8 月份的销售额为 126 万元．
21．【答案】（1） 0.752 万元， 0.76 万元；（2）
2 7
． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为
0.55 0.15 0.65 0.20 0.75 0.25 0.85 0.30 0.95 0.08 1.05 0.02 0.752 （万元），
设所求中位数为 x 万元，由 1.5 2.0 0.1x 0.7 2.50.5 ，解得 x 0.76 ，所以该 100 名会员上
半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752 万元， 0.76 万元．
n
n ?
n n
?
?
在前2组所选取的人中，第一组的记为x，y，z，第二组的记为a，b，c，d，所有情况有x,y，13
x,z ，x,a ，x,b ，x,c ，x,d ，y,z ，y,a ，y,b ，y,c ，y,d ，z,a ，z,b ，z,c
，z,d ，a,b ，a,c ，a,d ，b,c ，b,d ，c,d共21种．其中这2人都是来自第二组的情况
有a,b ，a,c ，a,d ，b,c ，b,d ，c,d共6种，故这2人都是来自第二组的概率P 62
．217
18
22．【答案】（1）；（2）．
315
【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个
时间点，一共有6 个时间点，所以所求概率为P 21
．63
（2）依题意，x y有4个时间点，记为A，B，C，D；x y有2个时间点，记为a，b；
i i i i
故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为A，B ，A，C ，A，D ，A，a ，A，b ，B，C ，B，D ，A，B ，B，b ，C，D ，C，a ，C，b ，D，a ，D，b ，a，b共15种，
其中满足条件的为A，a ，A，b ，A，B ，B，b ，C，a ，C，b ，D，a ，D，
b共8
种，故所求概率P
8
15
．
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高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
高三数学概率统计知识 点归纳 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
概率统计知识点归纳 平均数、众数和中位数 平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明． 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．
极差、方差、标准差 极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差 一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差 在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
中考数学统计和概率专题训练 1. （2012福建）“六?一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图； 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题： （1）分别补全上述统计表和统计图； （2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？ 【答案】解：（1）童车的数量是300×25%=75，童装的数量是300－75－90=135； 儿童玩具占得百分比是（90÷300）×100%=30%。童装占得百分比1－30%－25%=45%。 补全统计表和统计图如下： 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 75 135 （2）∵儿童玩具中合格的数量是90×90%=81，童车中合格的数量是75×85%=63.75，童装中 合格的数量是135×80%=108， ∴从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，购买到合格品的概率是 8163.75108 84.25% 300++=。
2.（2012湖北）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 【答案】解：（1）60÷10%=600（人）． 答：本次参加抽样调查的居民有600人。 （2）喜爱C粽的人数：600－180－60－240=120，频率：120÷600=20%； 喜爱A粽的频率：180÷600=30%。 据此补充两幅统计图如图： （3）8000×40%=3200（人）． 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人。 （4）画树状图如下：
高三数学《统计》知识总结 一、相关性检验（检验两个变量之间是否具有相关关系） 1．相关关系的分类 相关关系包括正相关和负相关。 2．线性相关关系 从散点图上看，如果两个变量对应的点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为?y ＝?b x ＋?a ，则，，其中，?b 是回归方程的回归系数，?a 是在y 轴上的截距，(x ，y )是样本点的中心． 4．样本相关系数 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． （1）由于相关系数r 的分子与线性回归方程中的斜率?b 的分子一样，因此，当时，两个变量正相关； 当时两个变量负相关． (3) 1r ≤， 当r 越接近１，表明两个变量的线性相关性越强；当r 越接近0，表明两个变量的线性相关性越弱． 二、独立性检验 1．2×2列联表 2.K 2统计量 K 2＝n (ad －bc )2 (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量) 。规定：,,,a b c d 都要大于5 3.两个临界值： 在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值：3.841和6.635．当K 2＞3.841时，有95%的把握说明两个 事件有关，当K 2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K 2≤3.841时，认为两个事件无关． 注：有95%（或99%）的把握说事件A 与B 有关，也可说推断犯错误的可能性为5%（或1%）. 12 1()()()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑$1221n i i i n i i x y nx y x nx ==-=-∑∑$a y bx =-$()()n i i x x y y r --=∑0r >0r <
一、选择题： 1.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田，这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，???，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A ．1x ，2x ，???，n x 的平均数 B ．1x ，2x ，???，n x 的标准差 C ．1x ，2x ，???，n x 的最大值 D ．1x ，2x ，???，n x 的中位数 2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ） A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 5.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（） A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 6.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 二、解答题： 7.（新课标1）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 经计算得 16 1 1 9.97 16i i x x = == ∑，1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 i i i i s x x x x == =-=-≈ ∑∑， 16 2 1 (8.5)18.439 i i = -≈ ∑，16 1 ()(8.5) 2.78 i i x x i = --=- ∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16 i=???． （1）求(,) i x i(1,2,,16) i=???的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25 r<，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式： 普查：对调查对象的全体进行调查； 抽样调查：对调查对象的部分进行调查； 总体：所要考察对象的全体； 个体：总体中每一个考察的对象； 样本：从总体中所抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（不带单位）； 平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数； 中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数； 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据； 方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数； 标准差：S ，即方差的算术平方根； 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差； 频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数； 频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1； 扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比； 会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图； 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、
二、概率的基础知识 必然事件：一定条件下必然会发生的事件； 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如 注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数 例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回 ．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 …………
§10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读
从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.
(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
高中数学统计与概率测试 题 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
高中数学统计与概率测试题一选择题 1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A． 1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 2．某班级在一次数学竞赛中为全班同学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（） A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中三等奖的总费用最高C．购买奖品的费用平均数为元 D．购买奖品的费用中位数为2元3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1,820]的人做问卷A，编号落入区间[821,1520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A． 23 B． 24 C． 25 D． 26
4．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取3名，则n＝( ) A． 13 B． 12 C． 10 D． 9 5 ,,, A B C D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车概率是 A．1 3 B． 1 2 C． 5 9 D． 2 3 6．如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 7．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p
课题统计课 时 3 教学目标知识与能力： 经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。在运用统计知识解决实际问题的过程中，发展统计观念。 过程与方法： 感受统计与现实生活实际的联系。 情感与态度： 在学习活动中形成解决问题的一些基本策略，获得成功的学习体验，树立学习数学的自信心 学习重难点 会收集、整理和分析数据。 重难点指引可以收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。 导案学习生成单 1、创设情境 分析上面的数据，，你能够得到到哪些信 息？ 2、平均数、中位数、众数 3、出示教材第83页第4题图， 4、下图是某地区6—12岁儿童平均体重情 况。 5、下图是某日部分城市空气质量日报， 6、学校气象小组测得上周星期一至星期五 的室外气温， 日期星 期 一 星 期 二 星 期 三 星 期 四 星 期 五 平 均 气 温 一.自主探索 我们班要和希望小学的六（1）班建立手拉手 班级。你准备怎样向他们介绍我们班的情况 呢？ （1）列出几个你想调查的问题，全班交流后， 选择3个问题开展调查。 （2）你需要收集哪些数据？与同伴交流收集 数据的方法。 （3）实际开展调查，把数据记录下来，并进 行整理。 二.合作交流 1、回想一下，什么是平均数、众数和中位数？ 2、回答下面的问题。 （1）怎样整理六（1）班家庭成员人数的调查 结果？ 可以画条形统计图，并提出一些问题。 （2）用折线统计图表示月平均气温变化有什 么好处？ （3）假如小芳买课外书用了20元钱，那么小 芳的零花钱共有多少元？ （4）除了上面的扇形统计图与折线统计图， 你还学了哪些统计图？举例说明集中统计图 各自的特点。 三.达标检测 1、看图回答下面的问题： （1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，
概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ，且 a,b,c 均为整数，求 2.从 10 位同学 (其中 6 女，4 男)中随机选出 3 位参加测验，每位女同学能通过测验的概率 43 均为，每位男同学能通过测验的概率均为，求55 (1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球， 4 个红球，甲首先从中取出 3 个球，乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币， 3 个 5 角硬币， 4 个 1 角硬币，从中任取 3 个，求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片，其号码分别位 1，2，3?，10，从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率； (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球 1 的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为, ，记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后，出现红球的概率为P n
(1)求P2的值； (2)当 n∈N,n ≥2 时，求用P n 1表示P n的表达式； (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ，三张写有数字 2 ；乙盒子中有 8 张卡片，其中三张写有数字 0，两张写有数字1，三张写有数字 2 ， (1) 如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少？ (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有 1 个白球， 3 个黑球， 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时，甲是正品；当 A， B 都是合格品或者 C 是合格品时，乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P，这里 A ，B，C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2 是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率； (2) 求第二次取出的是二等品的概率； (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学
《概率与统计》练习 求：(Ⅰ)年降雨量在) 200 , 100 [范围内的概率； (Ⅱ)年降雨量在) 150 , 100 [或) 300 , 250 [范围内的概率； (Ⅲ)年降雨量不在) 300 , 150 [范围内的概率； (Ⅳ)年降雨量在) 300 , 100 [范围内的概率． > · 2.高三某班40名学生的会考成绩全部在40分至100分 之间，现将成绩分成6段：) 50 , 40 [、) 60 , 50 [ 、) 70 , 60 [、 ) 80 , 70 [、) 90 , 80 [、] 100 , 90 [.据此绘制了如图所示的频率分布直方图。在这40名学生中， （Ⅰ）求成绩在区间) 90 , 80 [内的学生人数； （Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间] 100 , 90 [内的概率. " @
3.已知集合}1,1(},2,0,2{-=-=B A . ； （Ⅰ）若},|),{(B y A x y x M ∈∈=，用列举法表示集合M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合M 内，随机取出一个元素),(y x ，求以),(y x 为坐标的点位于区 域D ：?? ? ??-≥≤-+≥+-10202y y x y x 内的概率. . 4.某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%90，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如 A 组 B 组 C 组 ? 疫苗有效 673 x y 疫苗无效 77 90 z > 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是33.0． （Ⅰ）求x 的值； （Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问C 组应抽取几个？ （Ⅲ）已知465≥y ，30≥z ，求不能通过测试的概率．
2021年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 古典概型与几何概型 例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】 【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示： (1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同； (2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）20 11. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为5 2，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为 7564， ∵5 27564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高． 5 840155408 -=
2 (2) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和 )70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有 ) ,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P . 【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算． 【思维点拨】 1. 求复杂互斥事件概率的方法 一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和 公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()() 1P A P A ＝ －，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便． 2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二 统计与统计案例 例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[ 并整理得到如下频率分布直方图：
小学数学统计与概率 汇集同一范围内的若干事物，进行计算机比较以观察分析全体现象特 征，叫做统计 ．．，其中每一．．。统计工作中所要考察的对象的全体，叫做总体 个考察对象，叫做个体 ．．。从总体中取出的一部分个体，叫做总体的一个样． 本．，样本中个体的数目，叫做样本容量 ．．．．。将样本按一定的方法分成若干小 组，每个小组内的样本个数叫做频数 ．．，频数与样本容量的比值，叫做这个 小组的频率 ．．。 人们在实践活动中常常遇到两类现象，性质截然不同的事件，一类是 确定事件 ．．．．（必然现象），它在一定的条件下必然发生或必然不发生。另一 类是随机事件 ．．．．（偶然现象），它在一定条件下可能发生，也可能不发生。确定事件条件和结果存在必然联系，可由条件预知结果；随机事件，条件和结果之间不存在必然联系。虽然随机事件从个体上看，似乎没有什么规 律存在，但当它大量出现时，却呈现出一种总体规律性，这就是统计规律 ．．．．。 也就是说，随机事件发生 ．．的可能性在大量、多次重复的过程中发生的可能 性有一个比较稳定的比值，这种比较稳定的比值称做“概率 ．．”。根据统计 规律性可知，统计的基本思想 ．．．．是：从局部观测资料的统计特征来推断整个系统的状态。统计方法是由“局部到整体”科学方法。 统计作为一种社会实践活动，已有四、五千年的历史，而统计学作为这种社会活动经验总结和理论概括，作为研究统计原理和方法的科学也由三百多年的历史了。现在统计学本身也逐步发展为两大分支：一是应用统计学（属于有各自研究对象的应用科学）；二是数理统计学（是研究抽象数量关系的一个数学分支）。
统计学的内容大体可分为统计描述、统计推断和统计决策。统计描述 ．．．．是把实验、测试或调查获得的数据，通过整理、制表或绘图、分析和计算， 将数据资料的特征清晰地显示出来。统计推断 ．．．．是研究如何利用统计描述中 的信息作出尽可能精确和可靠的结论。统计决策 ．．．．是根据统计推断或预测制定适当的行动方案，以期望效益尽可能大或损失尽可能小。 1、小学数学统计的数学核心是渗透统计思想（见上述统计的基本思想），掌握简单统计的全过程，能从数据中提取信息并进行简单的判断。其主要内容有：收集、整理和描述数据（含全面调查、简单抽样、记录调查数据、描绘统计图表）；处理数据（含计算机平均数、中位数、众数等）；统计判断（从数据中提取信息进行简单的判断；统计决策（仅要求学生全能根据具体、简单的案例进行一些预测或提出一点建议）。小学数学概率的教学的核心是体验数据是随机的和有规律的，一方面同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。在概率的学习中，“所涉及的随机现象都基于简单事件，所有可能 发生的结果 ．．发生的可能性是相同 ．．的。”（摘自新课程标．．的，每个结果 ．．是有限 准） 2、统计表的结构及功能。统计表：把生产、工作和生活中所遇到的相互关联的数量按照一定标准加以分类整理，并按照一定的顺序排列起来，串成表格，这种表格叫做统计表。它的作用是把数量发生、变化情况或者相互间的差别情况显著地表示出来，以便于分析、比较。结构：总标题（统计内容及名称、时间）；表头（纵目与横目的内容类别）纵目（表的横行所列举的统计项目，在表的最上方）；横目（表的纵行所列举的统
高中数学必修三：概率与统计 1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，32 2．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A ．300克 B ．360千克 C ．36千克 D ．30千克 3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为 （ ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都分别相等，且值分别为s 与t ，那么下列说法正确的是( ). A ．直线l1和l2一定有公共点(s ，t)B ．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s ，t) C ．必有直线l1∥l2 D ．直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ， y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ， 则可断定其体重比为58.79kg 6．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．r 越大，相关程度越大 B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大 C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小 D ．以上说法都不对 7、.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标 准差分别为sA 和sB,则（ ） (A) A x ＞B x ，sA ＞sB(B) A x ＜B x ，sA ＞sB (C) A x ＞ B x ，sA ＜sB(D) A x ＜B x ，sA ＜sB 8.山东采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷
一．抽样方法： 1．简单随机抽样： 设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽样的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率都相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。 抽签法和随机数表法是实施简单随机抽样的两种常用的方法。 2。分层抽样： 当已知总体由差异明显的几部分组成时，常常总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样，其中所分成的各个部分叫做层。 二、利用样本频率估计总体分布： 由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布估计总体分布。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。 1、频率分布条形图： 当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取的样本的不同数值及相应的频率表示，其几何表示就是相应的条形图。 2、频率分布直方图： 当总体中的个体取不同数值很多时或者可以在实数区内取值时，用频率分布直方图表示相应样本的频率分布。 注：频率分布条形图和频率分布直方图不同。频率分布直方图的纵轴（矩形的高）表示频率，而频率分布直方图的纵轴（矩形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积。 三．期望与方差： 1．期望：123,,,n a a a a 的期望：12n a a a x n ++ +=； 2．方差: 123,,, n a a a a 的方差为：2222121[()()()]n S a x a x a x n =-+-++- 3．均方差：123,,, n a a a a 的均方差：????? ?-++-+-= )(...)()(122 221x a x a x a n n s 注：对于“已知123,,,n a a a a 的期望为多少，求12,,,n a a b a a b a a b ?+?+?+的期望和方差分别是多少？”问题，关键是利用 上述公式变形、整理得到所求的结果。 平均数、众数和中位数 这里说的“三数”是指平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．学习平均数、众数和中位数应注意以下几个问题： 一、正确理解平均数、众数和中位数的概念 1．平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． ２．众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． ３．中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的． 二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和我们要关注的问题． 三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题 由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．下面举几例说明．