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圆锥曲线的综合问题-分题型整理

圆锥曲线的综合问题-分题型整理
圆锥曲线的综合问题-分题型整理

圆锥曲线的综合问题

★知识梳理★

1.直线与圆锥曲线C 的位置关系

将直线l 的方程代入曲线C 的方程,消去y 或者消去x ,得到一个关于x (或y )的方程20ax bx c ++= (1)交点个数

①当 a=0或a ≠0,⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式:

2.对称问题:

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上 3.求动点轨迹方程

①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法

②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法 ★重难点突破★

重点:掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法; 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点:轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题

重难点:综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求

2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中运用

问题1:已知点1F 为椭圆22195

x y +=的左焦点,点()1,1A ,动点P 在椭圆上,则1PA PF +的最

小值为

点拨:设2F 为椭圆的右焦点,利用定义将1PF 转化为2PF ,在结合图形,用平面几何的知识解决。

126PA PF PA PF +=+-,当2,,P A F 共线时最小,最小值为62-

★热点考点题型探析★

考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1:交点个数问题

[例1 ] 设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l

4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=

的斜率的取值范围是( )

A .11.22??-????

B .[-2,2]

C .[-1,1]

D .[-4,4]

【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线28y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (-2 , 0), 于是,可设过点Q (-2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+,

联立222228,

(48)40.(2),

y x k x k x k y k x ?=?+-+=?

=+? 其判别式为2242(48)1664640k k k ?=--=-+≥,可解得 11k -≤≤,应选C. 【名师指引】(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:一是判别式法;二是几何法

(2)直线与圆锥曲线有唯一交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)

(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对?进行讨论,还要对二次项系数是否为0进行讨论 【新题导练】

1已知圆22

1

04

x y mx ++-

=与抛物线214y x =的准线相切,则m 的值等于( )

A .2±

B .3

C .2

D .3± 2.已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的

1

2

,对应的横坐标不变,得到曲线C ;设()2,1M ,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点.

(1)求曲线C 的方程;(2)求m 的取值范围.

3. 求过点()0,1的直线,使它与抛物线22y x =仅有一个交点.

题型2:与弦中点有关的问题

[例2]已知点A 、B 的坐标分别是()1,0-,()1,0.直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为-2.

(Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;

(Ⅱ)若过点1,12N ?? ???

的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点,求直线l 的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y , 因为2AM BM k k ?=-,所以

()2111

y y x x x ?=-≠±+-化简得:()22221x y x +=≠± (Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =

,则1616(,),(,)2222

C D -,其中点不是N,不合题意 设直线l 的方程为1

1()2

y k x -=-

将1122(,),(,)C x y D x y 代入()2

2

221x y x +=≠±得

221122x y +=…………(1) 22

2222x y += (2)

(1)-(2)整理得:121212121

22()12()212

y y x x k x x y y ?

-+==-=-=--+?

直线l 的方程为11

1()22

y x -=-

- 即所求直线l 的方程为230x y +-= 解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则1616

(,),(,)2222

C D -, 其中点不是N,不合题意.

故设直线l 的方程为1

1()2

y k x -=-,将其代入()2

2

221x y x +=≠±化简得

222(2)2(1)(1)2022

k k

k x k x ++-+--=

由韦达定理得222

2122

2122

4(1)4(2)[(1)2]0(1)

222(1)

2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ?--+-->??

?-?+=-?+?

?

--??=?+?

,

又由已知N 为线段CD 的中点,得122

(1)222k

k x x k -+=-+1

2

=,解得12k =-, 将1k =-代入(1)式中可知满足条件. 此时直线l 的方程为11

1()22

y x -=-

-,即所求直线l 的方程为230x y +-= 【名师指引】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ 的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】

1. 椭圆22

1164

x y +=的弦被点()2,1P 所平分,求此弦所在直线的方程

2. 已知直线y=-x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线L :

x -2y=0上,求此椭圆的离心率

题型3:与弦长有关的问题

[例3]已知直线2y x k =+被抛物线24x y =截得的弦长AB 为20,O 为坐标原点. (1)求实数k 的值;

(2)问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时,△ABC 面积最大? 【解题思路】用“韦达定理”求弦长;考虑△ABC 面积的最大值取得的条件

[解析](1)将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x , 由△01664>+=k 可知4->k ,

x

y

O

A

B

另一方面,弦长AB 2016645=+?=k ,解得1=k ; (2)当1=k 时,直线为12+=x y ,要使得内接△ABC 面积最大,

则只须使得224

1

=?='C C

x y , 即4=C x ,即C 位于(4,4)点处.

【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 【新题导练】

1. 已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、.

(1)当椭圆的半焦距1c =,且222,,a b c 成等差数列时,求椭圆的方程; (2)在(1)的条件下,求弦AB 的长度||AB ;

2.已知点()

3,0A -和(

)

3,0B

,动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2,点C 的轨迹与直

线2y x =-交于D 、E 两点,求线段DE 的长.

考点2:对称问题

题型:对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线,轨迹法为基本方法)

[例4 ] 若直线l 过圆2

2

420x y x y ++-=的圆心M 交椭圆4

9:2

2y x C +

=1于A 、B 两点,若A 、B 关于点M 对称,求直线L 的方程.

[解析] )1,2(-M ,设),(),,(2211y x B y x A ,则2,42121=+-=+y y x x

又1492121=+y x ,1492222=+y x ,两式相减得:04

922

12

2212=-+-y y x x ,

化简得0))((9))((421212121=-++-+y y y y x x x x , 把2,42121=+-=+y y x x 代入得9

8

2

112=

--=

x x y y k AB 故所求的直线方程为)2(2

11--=-x y ,即042=-+y x 所以直线l 的方程为 :8x-9y+25=0. 【名师指引】要抓住对称包含的三个条件: (1)中点在对称轴上

(2)两个对称点的连线与轴垂直

(3)两点连线与曲线有两个交点(0>?),通过该不等式求范围 【新题导练】

1. 已知抛物线22y px =上有一内接正△AOB ,O 为坐标原点.求证:点A 、B 关于x 轴对称;

2在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称,求k 的取值范围.

2. 若抛物线21y ax =-,总存在不同的两点A 、B 关于直线y+x=0对称,求实数a 的范围.

考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型:求某些变量的范围或最值

[例5]已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、.当椭圆的离心

率e 满足

32

32

e ≤≤

,且0OA OB ?=(O 为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围. 【解题思路】通过“韦达定理”沟通a 与e 的关系

[解析]由222222

10

b x a y a b x y ?+=?+-=?,得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-=

由22222(1)0a b a b =+->,得221a b +>

此时2221212222

2

2(1)

,a a b x x x x a b a b

-+==++

由0OA OB ?=,得12120x x y y +=,∴12122()10x x x x -++=

即2

2

22

20a b a b +-=,故2

2

221

a b a =-

由222

2

22

c a b e a a

-==,得2222b a a e =- ∴2

2

1

211a e =+

- 由

3232

e ≤≤

得253

42a ≤≤,∴526a ≤≤ 所以椭圆长轴长的取值范围为[5,6]

【名师指引】求范围和最值的方法:

几何方法:充分利用图形的几何特征及意义,考虑几何性质解决问题 代数方法:建立目标函数,再求目标函数的最值. 【新题导练】

1. 已知P 是椭圆C :12

42

2=+y x 的动点,点)0,21(A 关于原点O 的对称点是B ,若|PB|的最小值为

2

3

,求点P 的横坐标的取值范围。

2. 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动,记线段AB 的中点为M ,求点M 到y 轴

的最短距离,并求此时点M 的坐标.

3直线m :y=kx+1和双曲线221x y -=的左支交于A ,B 两点,直线l 过点P (-2,0)和线段AB 的中点M ,求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.

4已知椭圆22

1259

x y +=,A (4,0)

,B (2,2)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点, 求:(1)求5

||||4

PA PB +的最小值;(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值.

5.定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2

上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x 1,x 2,从而形成y 0关于x 0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A 、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB 是否能经过焦点F ,而且点M 的坐标也不能直接得出。 考点4 定点,定值的问题

题型:论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量

[例6] 已知P 、Q 是椭圆C :12422=+y x 上的两个动点,)2

6

,1(M 是椭圆上一定点,F 是其左焦

点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证:线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ;

【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系

证明:设12

4),,(),,(2

22211=+y x y x Q y x P 由椭圆的标准方程为知

.

2

2222)2()2(||1212

12

1

2

1x x x y x PF +=-++=++=

同理.2

2

2||,222||2+=+

=MF x OF

.2),(2

2

4)222(2|,|||||22121=+∴++=+

∴+=x x x x QF PF MF ①当0)(2)(,

42,42,2

22122212

2222

12121=-+-?????=+=+≠y y x x y x y x x x 得由时, 从而有

.212

1212121y y x x x x y y ++?-=--

设线段PQ 的中点为n

x x y y k n N PQ 21

),,1(2121-=--=

由,

得线段PQ 的中垂线方程为).1(2-=-x n n y

).0,2

1

(,0)12(A y n x 该直线恒过一定点=--∴

②当).2

6,1(),26,1(),26,1(),26,1(,21P Q Q P x x --

=或时 线段PQ 的中垂线是x 轴,也过点).0,2

1(),0,2

1

(A PQ A 的中垂线过点线段∴ 【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法:

(1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关;

(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值). 【新题导练】

1.已知抛物线C 的方程为()

222

221y x m x m =--+,则抛物线C 恒过定点________________

2 试证明双曲线22

a

x -22b y =1(a >0,b >0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.

3. 设抛物线y 2

=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,C 在抛物线上,且

BC//x 轴。证明直线AC 经过原点O 。

考点5 曲线与方程

题型:用几种基本方法求方程

[例1]已知抛物线C :24y x =,若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合,试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程; 【解题思路】探求动点满足的几何关系,在转化为方程 [解析]由抛物线24y x =,得焦点()1,0F ,准线:l 1x =- (1)设(),P x y ,则()21,2B x y -, 椭圆中心'O ,则'FO ∶BF =e , 又设点B 到l 的距离为d ,BF ∶d =e ,

∴'FO ∶BF =BF ∶d ,即()()()22

222222x y x x -+=-, 化简得P 点轨迹方程为21(1)y x x =->

[名师指引] 求曲线方程的方法主要有:直接法、定义法、代入法、参数法,本题用到直接法,但题目条件需要转化 【新题导练】

1.点P 为双曲线2

214

x y -=上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 中点,则点M 的轨迹方程是

_____________.

2. 过双曲线C:2

2

13

y x -=的右焦点F 作直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,OM OP OQ =+,求点

M 的轨迹方程.

3 已知动点P 与双曲线13

22

2=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值,且

21cos PF F ∠的最小

值为9

1

-.求动点P 的轨迹方程;

4.已知抛物线C 的对称轴与y 轴平行,顶点到原点的距离为

5.若将抛物线C 向上平移3个单位,则在x 轴上截得的线段长为原抛物线C 在x 轴上截得的线段长的一半;若将抛物线C 向左平移1个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线C 的方程.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在x 轴上的方程如下: 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ (a>b>0) 1b y a x 2 22 2=- (a>0,b>0) y 2=2px (p>0) 顶 点 (±a ,0) (0,±b ) (±a ,0) (0,0) 焦 点 (±c ,0) ( 2 p ,0) 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 (0,0) 焦半径 P(x 0,y 0)为圆锥曲线上一点,F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时: |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时: |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

圆锥曲线常见题型与答案

圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程,求顶点或焦点坐标,求与有关的值,求与焦半径或长(短)轴或实(虚)轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见,解此类题应注意: (1)熟练掌握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题;注意离心率与曲线形状的关系; (2)如未指明焦点位置,应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种(或四种)情况; (3)注意2,2,a a a ,2,2,b b b ,2,2,c c c ,2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同,椭圆中 222b a c -=,双曲线中222b a c +=,离心率a c e =,准线方程a x 2±=; 例题: (1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 ( ) A .421=+PF PF B .6 21=+PF PF C .1021=+PF PF D .122 2 2 1 =+PF PF (答:C ); (2) 方程8=表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支) (3)已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____ (答:2) (4)已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆,则k 的取值围为____ (答:11(3,)(,2)22---U ); (5)双曲线的离心率等于25 ,且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:2 214x y -=); (6)设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为 _______(答:226x y -=) 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离(焦半径)和动点到定直线(准线)的距离有关,有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的(两个)定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有:中垂线、角平分线的性质,勾股定理,圆的性质,解三角形(正弦余弦定理、三角形面积公式),当条件是用向量的形式给出时,应由向量的几何形式而用平面几何知识;涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理; 圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例): ①围:,a x a b y b -≤≤-≤≤; ②焦点:两个焦点(,0)c ±; ③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为 2a ,短轴长为2b ; ④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 p e c b a ,,,,

最新圆锥曲线题型总结

圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识: 1、中点坐标公式:1212,y 22 x x y y x ++= =,其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 2、弦长公式:若点 1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上, 则 1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =- 两条直线垂直,则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理:若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点,求m 的取值范围 解:根据直线:1l y kx =+的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠(,且,如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠,且,即14m m ≤≠且。 规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点: :101l y kx =+?过定点(,) :(1)1l y k x =+?-过定点(,0) :2(1)1l y k x -=+?-过定点(,2)

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题08解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)证明: 由题意设直线的方程为, 由消去y整理得, 设,,

要使其为定值,需满足, 解得 . 故定点的坐标为 . 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =(0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时,弦MN 的长为15(1)求抛物线C 的标准方程; (2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)24y x =;(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+, 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将(1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=,即可得出直线NQ 过定点.

圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练 1.如图,曲线G 的方程为22(0)y x y =≥.以原点为圆心.以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C . (Ⅰ)求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 (Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为2a +, 求证:直线CD 的斜率为定值. 1.解: (Ⅰ)由题意知,(A a . 因为OA t =,所以2 2 2a a t +=.由于0t > 由点(0)(0)B t C c ,,,的坐标知,直线BC 的方程为 1c t +=. 又因点A 在直线BC 上,故有 1a c +=,将(1)代入上式,得1a c =, 解得2c a =+ (Ⅱ)因为(2D a +,所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-. 所以直线CD 的斜率为定值. 2.设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点. (I )过点(04)P -,作抛物线G 的切线,求切线方程; (II )设A B ,为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0FA FB =u u u r u u u r g ,延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ,,求 四边形ABCD 面积的最小值. 2.解:(I )设切点2 004x Q x ?? ???,.由2x y '=,知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ,故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-. 即2 04 24x x y x =-. 因为点(0)P -4,在切线上. 所以2 044 x -=-,2 016x =,04x =±.所求切线方程为24y x =±-. (II )设11()A x y ,,22()C x y ,. 由题意知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设0k >.

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:

(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像;

二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。 (3)抛物线:开口向右时2 2(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时 22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 (2)双曲线:由x 2,y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两 个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<, e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线 ?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以2 2(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学,用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题,如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等,在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分:基础知识 1.概念 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中,a 最大,222 a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以122 22=+b y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0), 四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2 a x c =±; ⑤离心率:c e a =,椭圆?01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 (2)双曲线(以22221x y a b -=(0,0a b >>)为例):①范围:x a ≤-或,x a y R ≥∈;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线,其方程可设为22,0x y k k -=≠;④准线:两条准线2a x c =±; ⑤离 心率:c e a =,双曲线?1e >,等轴双曲线?e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线:b y x a =±。 (3)抛物线(以22(0)y px p =>为例):①范围:0,x y R ≥∈;②焦点:一个焦 点(,0)2 p ,其中p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线2p x =-; ⑤离心率:c e a =,抛物线?1e =。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<

二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于 12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 (1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==? (1)动点N 的轨迹方程; (2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图,椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积 相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;

(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围; (Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。 6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程; (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3 MON π∠= ,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 (II )若0OM MN ?=(O 为坐标原点),1 3 FA AN =,求椭圆的离心率e 。

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

圆锥曲线知识点总结(供参考)

圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴 上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中2 2 2 b a c =-; ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -, 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

圆锥曲线大题题型归纳3

圆锥曲线大题题型归纳 基本方法: 1. 待定系数法:求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等; 2. 齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题; 3. 韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根; 4. 点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式; 5. 距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题; 基本思想: 1.“常规求值”问题需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3.证明“过定点”或“定值”,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与此变量无关; 4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决; 5.有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。 题型一:求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1,F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点,P 在椭圆上,且∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积为多少? 点评:常规求值问题的方法:待定系数法,先设后求,关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点,P 是双曲线右支上的一点,且

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论:常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法(点参数、K 参数、角参数) 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 (1)中点弦问题 (2)焦点三角形问题 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 (5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 (7)两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是:把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中,得到型如ax bx c 2 0++=的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结:提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题:

4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1. 定义法求标准方程: (1)由题目条件判断是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点,|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2| 是椭圆,2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D£+_9 = 1 y z 0) 【注:检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时,P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线

D. 双曲线一支或一条射线【注:2av|F1 F2|是双曲线,2a=|F1 F2|是射线,注意一支与两支的判断】

(完整版)高三圆锥曲线知识点总结

第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义: 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2.椭圆的方程形式: ①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在x 轴上: ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上: )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程: 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θππ). 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3.椭圆的性质: ①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距:2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线:c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率:)10(ππe a c e =.⑦焦半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则: 证明:由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则: ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径: 2 22b d a =;坐标:22(,),(,)b b c c a a - 4.共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5.若P 是椭圆: 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理 1.圆锥曲线的定义: (1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|); (2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容,在解题中有广泛的应用,在理解时 要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12 222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时22 22b x a y +=1(0a b >>)。 (2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:22 22b x a y -=1(0,0a b >>)。 (3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时2 2(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。 注意:1.圆锥曲线中求基本量,必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 椭圆:由x 2 ,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线:由x 2 ,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中,a 最大,2 2 2 a b c =+,在双曲线中,c 最大,2 2 2 c a b =+。 3.与双曲线x 2a 2- y 2 b 2 =1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2- y 2 b 2 =λ(λ≠0), 渐近线方程为y =±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2- y 2 b 2 =λ(λ≠0).要求双曲线x 2a 2- y 2b 2 =λ(λ≠0)的渐近线,只需令λ=0即可. 4.直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法,即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系. 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标. (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程. (3)应用韦达定理及判别式. (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 5.若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且直线P 1P 2的斜率为 k ,则弦长|P 1P 2|=1+k 2|x 1-x 2|= 1+1 k 2|y 1-y 2|(k ≠0).|x 1-x 2|,|y 1-y 2|

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