线性代数模拟试题一
一、填空题（每小题2分，共50分）
1．=-===ij n ij n a D a a D 则若, (1) ；
2．()的系数是中在函数32
1
1
12x x
x x x
x
x f ---= (2) 3．对于方程??
?
??=-+-=-++-=+-.
,,013222321321321x x x x x x x x x ，其系数矩阵A = (3) ；
4．排列()()32121 --n n n 的逆序数等于 (4) ；
5．n 阶行列式共有 （5） 项，正负号由 （6） 决定. 6．对于行列式|A |，当i=j ，时，
=∑=n
k kj ki
A a
1
（7） .
7．用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0和 （8） .
8．若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 （9） 时，方程组有无穷多解．
9．矩阵与行列式有本质的区别，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是 （10） ，它的行数和列数可以不同.
10．只有当 （11） 时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律. 11．若A 方阵可逆，则|A -1|= （12） .
12．对于分块对角阵????
??
?
?
?=s A A A A
2
1
，|A |= （13） . 13．矩阵等价具有的三个性质为： 反身性 、 （14） 、 传递性 .
14. 矩阵的初等行变换包括 （15） 、k r i ?、 （16） 三种.
15．把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，非0行的行数就是矩阵的秩，可逆矩阵的秩等于 （17） ，故可逆矩阵又称为满秩矩阵 .
16．奇次线性方程组Ax =0，当 （18） 只有0解，非奇次线性方程组Ax=b ，当 （19） 有唯一解，当 （20） 没解.
17．用m 阶初等矩阵E m (i (k ))左乘矩阵A =(a ij )m x n ，相当于对A 实施 （21） 变换. 18．{
}
b x a x a x a x x x x n n n T
=+++==π 221121),,,(称为叫做n 维向量空间中 （22） . 19．向量组只包含一个向量a 时，当 （23） 时该向量组线性相关. 20．矩阵的秩与向量组的秩的关系为： （24） .
21．要证明某一向量组是方程组AX =0的基础解系，需要证明三个结论:（a ）该组向量都是方程组的解、（b ） （25） 、（c ）方程组的任何一个解都可以由该向量组线性表示. 二、计算题（每小题10分，共30分）
1．计算行列式的值.4
3
2
1
321
3213211
x
a a a a a a x a a a a a x
a a a a a x
D n n n n
=+ 2．求下述矩阵的逆矩阵???
?
? ??----=111211
120A . 3．研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321???
?
?
??-=????? ??-=????? ??-=ααα
三、证明题（第1题10分，第2题10分）
1．用数学归纳法证明
n
n
n n n n n
n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x x x x x D
3212
2322212
23222
13211111----=
()()
()2,121≥-∏+++=≤<≤n x x x x x j i n i j n
.
1 ,1,)3( .1,,,)2( ;
,,,)1( :. 0 ,,, 2111而且组合系数之和为个解的线性组合都可以表示为这的任一解方程组个线性无关的解的是方程组线性无关证明解系的一个基础是对应奇次方程组的一个解是非齐次线性方程组设+-=+-=++==-***-*-*r n X B AX r n B AX AX B AX . r n r n r n ηξηξξηηξηηξ
参考答案
一、填空题（每小题2分，共50分）
(1)a n )1(-; (2)-2;
(3)1
1
1
312
121
----; (4)
()2
1-n n ;
(5)!n ;
(6) 下标排列的逆序数;
(7) |A |;
(8)方程组中未知数个数与方程个数相等； (9)n r ≤； (10)数表；
(11) 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时； (12) 1
-A ； (13)s A A A 21； (14)对称性； (15)j i r r ?； (16) j i kr r +； (17)阶数； (18) ()n A R =； (19) ()n B R A R ==)(； (20)())(B R A R ≠；
(21) 第二种初等行变换k r i ?； (22)超平面； (23) 0=α； (24)相等；
(25)向量组线性无关；
二、计算题（每小题10分，共30分）
1．计算行列式的值.4
3
2
1
321
3213211
x
a a a a a a x a a a a a x a a a a a x
D n n n n
=+ 解：列都加到第一列，得将第1,,3,2+n ：
x
x x x x
x x a
a a a
a
a a a
a a a
a a D
n
i i
n
n i i
n
n i i
n
n
i i n
3
2
12
1
212
1
11
∑∑∑∑====+++++=
提取第一列的公因子，得：
.1
111)(3
2
2
2
211
1x
x
x x a
a a a a a a a a a D n
n n n
i i
n
∑=++=
加到最后一列，得
倍列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第２)(1,3)(12)(11a a a n ---
a x
a a a a a
x a a a x
a D
n
n
i i n x ------+=∑=+
231
22
1
2
1
1
1
1
01
001
0001)( .)()(1
1
∏∑==-+=n
i i n
i i a a x x
2．求下述矩阵的逆矩阵???
?
? ??----=111211
120A . 解：.),(施行初等行变换作分块矩阵E A
????? ??----100111010211001120????? ??----?100111001120010211~21r r ?????
??-+110100001120010211~13r r ?????
??+110100111020010211~32r r ???
?
? ??--?-+110100111020210011~31)2(r r ?????
??--?110100212121010210011~212r ????
? ??---?-+110100212121010252321001~21)1(r r .1102121212523211
????
?
??---=∴-A
3．研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321???
?? ??-=????? ??-=????? ??-=ααα
解1：???
?
? ??=????? ??-+????? ??-+????? ??-=++000201520321,0321332211k k k k k k 即令ααα
整理得到)(.
0253,
022,03212131
*???
?
???=+-=+-=-k k k k k k k
.
,,,)(,02
530221
01)(321线性相关从而
必有非零解线性方程组的系数行列式线性方程组ααα*∴=---* 解2：
,201,520,321321????? ??-=????? ??-=????? ??-=ααα ,253022101
),,(321????? ??---==∴αααA 矩阵
????
? ??--????? ??---=000220101253022101~初等行变换A .,,,32)(321线性相关故向量组ααα<=A R
线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开
11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===， 所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行
数一、数二、数三在高等数学、线性代 数、概统的区别 首先，我们大家都知道在数一中，高等数学、线性代数、概率与数理统计的比例为56%、22%、22%;数二不考察概率与数理统计，高等数学和线性代数的比例是78%、22%;数三中三者的比例和数一的相同，也是56%、22%、22%。而对于数一、数二、数三而言，每一门学科的重点也是不同的。下面，我将具体来和大家分析一下这其中的不同点，并且告诉各位考生在复习过程中，应该侧重于什么。 我们先来看一下高等数学。高等数学对于数一、数二、数三而言，区别是非常大，可以说在三门学科中，区别是最大的。我们先来看一下数一，对于数一的考生而言，复习的重点是下册，也就是说考试的重点是多元函数微分学，多元函数积分学，微分方程、级数，可以很负责的告诉大家，多元函数微分学，多元函数积分学几乎每年都会各出一道大题。那么，我想问一下大家，大家觉得是下册难啊，还是上册难?我相信，这个时候几乎所有的考生都会说，下册难。但是，我想告诉大家的是，事实上，上册是比较难的。下册的知识点往往是起点高，落点低。虽然说，每一道题目考查的都比较复杂，但是解题的方法和思路都是比较固定的，而且也是比较好掌握的，只要我们掌握了其中的思想，要想拿到这部分的分数还是没有什么压力的。对于数二的同学而言，与数一恰恰是相反的，数二同学的考试重点是上册，换句说话，对于数二的同学而言，考试的重点是极限、一元函数微分学、二元函数积分学。并且，数二的题目往往具有很高的灵活性，考察的也比较细致。这是因为，数二在高等数学方面的比例达到78%，也就是117分，然而数二考察的知识点也比较少，所以这就注定了数二的题目具有很高的灵活性。另一方面，高等数学的上册的综合性还要远远的高于下册。对于数三的同学而言，这一点和数一的区别并不是很大。但是，数三的题目更加注重应用。这是因为，数三的考生大都是经济类和管理类的考生。所以说，数三比较注重应用，这一点需要引起数三同学的重视。 其次，我们来看一下线性代数。对于线性代数而言，数一、数二、数三的差别并不是很大，所以在这里，我也就不区分了。在线性代数中，线性方程组和矩阵的相似是考察的重点，并且大家还要注意线性方程组和向量之间的相结合，矩阵的相似和二次型的相结合。每年线性代数要考察两道大题，而往往这两道大题都是这两个知识点各考察一道。 最后，我们来看一下概率与数理统计。对于概率和数理统计而言，数一、数二、数三之间的区别也是几乎没有，所以在这里，我也就不区分了。同样，我也给大家点出，考试的重难点，希望可以帮助大家。多维随机变量的边缘分布和条件分布、随机变量函数、数字特征、参数估计这些都是考试的重点，其中的重点优先级单调递减。尤其是多维随机变量的边缘分布和条件分布、随机变量函数是非常重要的。对于数字特征，单独出大题的可能性比较低，但是往往会和其他的知识点结合在一起作为一道大题的第一问。最后我们来看一下参数估计，这个知识点，我希望数一的同学多注意一下，数一在这一板块考察大题的可能性还是比较高的。 以上就是数一、数二、数三在各学科之中的区别，希望可以帮到大家。最后，祝各
《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） （1）若A 为4阶矩阵，则3A =（ ） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（ ） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 （3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 （4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（ ） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（ ） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（ ） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（ ） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 （9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（ ） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（ ） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）
线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0
解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为 ） （） （）（1-21341234 +=-1 2、 设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ） （A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf
（5）设均为3维列向量，记矩阵 ，， 如果，那么 .. （11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. 已知二次型的秩为2. （I）求a的值； （II）求正交变换，把化成标准形； （III）求方程=0的解. （21）（本题满分9分） 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.. （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 】 （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A）（B） （C）（D） 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. （7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（A）（B） （C）（D）
（8）设矩阵A=，B=，则A于B ( ) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 (15)设矩阵A＝，则的秩为________. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量； 求矩阵. （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ） 0. 1. 2. 3. （13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为. (20)（本题满分11分） ，为的转置，为的转置. （1）证；（2）若线性相关，则. （21）（本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基 的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). （6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . （13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为.
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.
2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单 （1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；
（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零； （）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。 三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且
所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。
例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数) 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A = 1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++ 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；线性代数行列式经典例题
高等数学线性代数公式大全
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