4（（2011巢湖一检）已知直线1l y kx =+：，椭圆E ：22
21(0)9x y m m
+=>．（Ⅰ）若不论k
取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式；
（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =uuu r uuu r ,求
椭圆E 方程． 解：(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0，1)，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E 上或
其内部，得()22
201109m m
+≤>，解得13m m ≥≠，且.(联立方程组，用判别式法也可)当13
m ≤<时，椭圆的焦点在x
轴上，e =
；当3m >时，椭圆的焦点在y
轴上，e =.
∴
)()133.m e m ≤<=?
?>??
， (Ⅱ)
由22
2
119y x y m ?=
+????+=??，消去y
得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，
，则12x x +=，21229(1)
10
m x x m -=+②.
∵M(0，1)，∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得
2x =④.
将③④代入②得，
2
229(1)
210m m --=+??
，解得26m =(215m =-不合题意，舍去). ∴椭圆E 的方程为22
196
x y +=.
5 (2011承德期末)椭圆C 的方程为)01222
2>>=+b a b
y a x （，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于),(),,(2211y x B y x A 两点.Ⅰ）若椭圆的离心率2
3=e ，直线l 过点)0,(b M ，且
5
12
-=?，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 过椭圆的右焦点F ，设向量
)0((>+=λλOB ，若点P 在椭圆C 上，求λ 的取值范围.
解：（Ⅰ）∵23=e ， ∴b c b a 3,2==.???=+-=2
2
2
44b
y x b
x y ∴
),0(),5
3,58(b B b
b A -.
∵512
-=? ∴5
125
32
-
=-
b 42=b 162
=a . ∴椭圆C 的方程为14162
2=+y x . …… 5分
（Ⅱ）???=+-=2
22222b
a y a x
b
c x y 得()()022
222222=-+-+b c a cx a x a b 22
2212b a c a x x +=+ ，2
22212b
a c
b y y +-=+. +=（2222b
a c
a +，2
2
22b a c b +-）, ???
??+-+=2
22
22222b a c b b a c a λλ. ∵点P 在椭圆C 上 ，将点P 坐标代入椭圆方程中得2
222
4c
b a +=λ. ∵2
22a c b =+ 10<= c e , ∴4 141214242 22 22222 >-=-=+=e c c a c b a λ ,21>λ. …………… 12分 6．（2011佛山一检）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为e =心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点， 若 OP OM λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切， ∴d b = =， 即b = 又c e a ==， 即a ， 222 a b c =+ ，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132 x y +=． （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠， (A ，B ，则2200132 x y +=，即2 200223y x =-， 则1k = 2k =222 00012222000 222(3)2333333x x y k k x x x --?====----， ∴12k k 为定值2 3 - ． （Ⅲ）设(,)M x y ，其中[x ∈． 由已知222 OP OM λ=及点P 在椭圆C 上可得2 222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+= ，其中[x ∈． ①当λ=时，化简得26y =，所以点M 的轨迹方程为y x =，轨迹是两条平行于x 轴的线段； ②当3 λ≠时，方程变形为 2222 166313x y λλ+=- ，其中[x ∈， 当0λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足x ≤部分； 1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足x ≤分； 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． 7．（2011福州期末） 如图， ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD AB ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点，若1212 ,,:EM MB EN NB λλλλ==+ 求证为定值。 解：（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P 在曲线C 上运动 且保持|PA |+|PB |的值不变．且点Q 在曲线C 上, ∴|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4．∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1．∴曲线C 的方程为5 2x +y 2=1 （Ⅱ）证法1：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 又易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相 交．∵1EM MB λ= ，∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴ 11 112λλ+=x ，1 011λ+=y y ． 7 分 将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12( 5121 02 11=+++λλλy ，去分母整理，得 055102 0121=-++y λλ． 10分同理，由2EN NB λ= 可得：055102 0222=-++y λλ． ∴ 1λ，2λ是方程055102 02=-++y x x 的两个根，∴ 1021-=+λλ． 12分 （Ⅱ）证法2：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，又易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交．显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 )2(-=x k y ．将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中， 消去 y 并整理得052020)51(2 2 2 2 =-+-+k x k x k ． 8分∴ 2 2 215120k k x x +=+，2221515 20k k x x +-=．又 ∵1 EM MB λ= ，则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1112x x -=λ，同理，由2EN NB λ= ，∴2 2 22x x -=λ10分 ∴10)(242)(2222 1212 121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ． 12分 8（ 2011广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2 (a x a c =为长半轴，c 为半焦距）上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以 OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点， 过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值。 【解析】（1）又由点M 在2(a x a c =为长半轴，c 为半焦距）上，得2 2a c = 故212c c +=，1c ∴= 从而a =…2分所以椭圆方程为22 12x y += 或 2212 y x += 4分 （2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=即2 2 2(1)()124 t t x y -+-=+ 其圆心为(1,)2t ,半径r =6分因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得 的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=的距离d =2 t =…8分所以 32552 t t --=，解得4t =所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=…10分 （3）方法一：由平几知：2 ON OK OM =直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t =--… 12分由2 2(1) t y x y x t ?=????=--?? 得2 44K x t =+ 2 224(1)22 44 ON t t ∴==+??=+所以线段ON 14分 方法二、设00(,)N x y ，则 000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--= 0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+= ………12分 又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+= 所以，ON == 为定值 …14分 9（2011哈尔滨期末）椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点?? ? ??23,1P 且离 心率为 2 1 ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交B A ,两点（B A ,不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并 求出该定点的坐标． 解：（1）椭圆的标准方程为 13 42 2=+y x （2）设()()2211,,,y x B y x A ，?? ? ??=+ +=1342 2y x m kx y 得:()() 034824322=-+++m kmx x k 043,02 2>-+∴>?m k ， () 2 2212214334,438k m x x k mk x x +-=+-=+ () 2 22214343k k m y y +-=∴ 以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，1-=?∴BD AD k k ， ()042212121=++-+∴x x x x y y ，0416722=++∴k mk m k m 21-=∴，7 2 2-=m ，且均满足04322>-+m k ， 当k m 21-=时，l 的方程为()2-=x k y ，则直线过定点()0,2与已知矛盾 当k m 721- =时，l 的方程为??? ??-=72x k y ，则直线过定点?? ? ??0,72 ∴直线l 过定点，定点坐标为?? ? ??0,72 10．(2011湖北八校一联) 已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为A 1、A 2，动直线 :l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,).P x y P x y （I ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （II ）记直线11122212,,P A k P A k k k ?的斜率为直线的斜率为那么是定值吗？证明你的结 论。 解： （Ⅰ）l 与圆相切 ,1∴= 22 1m k ∴=+ ………… ① 由22 1 y kx m x y =+?? -=? , 得 222 (1)2(1)0k x mkx m ---+=, 22222222 1221044(1)(1)4(1)8010 1k m k k m m k m x x k ??-≠?? ∴?=+-+=+-=>??+??= , 21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-. 由于1221222 2111mk x x x x k k k += ∴-===---， 201k ≤< ∴当20k =时，21x x - 取最小值. 6分 （Ⅱ）由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-， 121212,11 y y k k x x ∴= =+-， 121212(1)(1)y y k k x x ∴?= +-1212()() (1)(1) kx m kx m x x ++=+- 22 12121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+- -22 22212m mk k mk m +?-?+= 22222222= 22 =， 由①，得 22 1m k -=， 12(3k k ∴?==-+为定值. 12分 11．（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分12分）已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点001x y ≠，直线l 的方程为0012 x x y y += （I ）判断直线l 与椭圆E 交点的个数； （II ）直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一 定点G ，求点G 的坐标。 解：（1）由2 200 12 1 2x y x x y y ?+=????+=??消去y 并整理得 222200002104x y x x x y +-+-=……2分 220012x y += ，220022 x y -∴=220020x x x x ∴-+=…………4分 2200440x x ∴?=-=故直线l 与椭圆E 只有一个交点…………5分 （2）直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-即000020y x x y x y --=………………6分 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 2120 22x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=?? 解得3200020432 00002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ……8分 ∴ 直线PN 的斜率为432000003200004288 2(34)n y x x x x k m x y x x -++--= =---+ 从而直线PN 的方程为43200000032 0004288 ()2(34) x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34) 14288 y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G …………12分 12. (2011·惠州三调)（本题满分14分）已知椭圆C ：)0( 122 22>>=+b a b y a x 的离心率 为2 3 ，过坐标原点O 且斜率为21的直线 l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．⑴求a 、b 的值；⑵若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围． 解：⑴依题意， l ：2 x y =……1分，不妨设设) , 2(t t A 、) , 2(t t B --（0>t ） 由102||=AB 得40202=t ，2=t ……3分，所以???????=-==+23 1282 222a b a a c b a ……5分， 解得4=a ，2=b ……6分． ⑵由?? ???=+-=+1)( 14 16222 2y m x y x 消去y 得0124832 2=++-m mx x ……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当014416)124(34)8(222<-=+??--=?m m m 或5||>m ……9分，解 得3|| x y =没有公共点当且仅当 15| |>m ，即5||>m ……12分。解???><5||3||m m 或???>>5 ||5||m m ……13分，得m 的取值范围为{} 553535|-<-<<->< M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足 N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程； （II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线 E 于不同的两点,G H （点G 在点, F H 之间），且满足 λ=，求λ的取值范围. 【解】（Ⅰ）.0,2=?= ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点 N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分 ∴曲线E 的方程为.12 22 =+y x ………6分 （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12 ,22 2=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2 30.034)21(2 22>>?=+++k kx x k 得由 设22122122112 13 ,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G += +-=+则……………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又 λ λλλλ212 2221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ2 222 22) 1()121(316,213) 1()214(+=++=++-∴k k k k 整理得………10分 .331 .316214.316323164,232 2<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.3 1 ,31,0===λx )1,3 1 [,131的取值范围是即所求λλ<≤∴… 14．（2011·金华十二校一联）（本题满分15分）已知椭圆 2 2 2 2 1(0)x y a b a b + =>>的两个焦 点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点P 在椭圆上，且满足12122,30PF PF PF F =∠= ，直线y kx m =+与圆226 5 x y += 相切，与椭圆相交于,A B 两点．（I ）求椭圆的方程； （II ） 证明AOB ∠为定值（O 为坐标原点）． 解：（I ）由题意，1212122,30,2PF PF PFF FF =∠== ， 解三角形得122PF PF == ，由椭圆定义得122a PF PF =+=， 从而a 又1c = ，则b =22 132 x y += （6分） （II ）设交点1122(,),(,)A x y B x y ，联立2213 2 y kx m x y =++=?? ??? 消去y 得 222(23)6360k x kmx m +++-= 由韦达定理得2121222 636 ,2323km m x x x x k k --+==++ （9分）又直线y kx m =+与圆2 2 65 x y += 相切， 22566m k = ?=+ （11分） 从而22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++ 22222 2 222 366(566)(1)0232323m km m m k k km m k k k ----=+++==+++ （14分） 所以0OA OB = ，即90AOB ∠= 为定值． （15分） 15．（2011·九江七校二月联考）（本小题满分13分）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它 的一个顶点，且其离心率e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物 线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥；（3） 椭圆E 上是否存在一 点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线MA ''、MB ''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线MA ''、MB ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由． 解：（1）设椭圆E 的方程为 22 221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c .由已知条件，得)1,0(F ， ∴??? ?? ??+===222231c b a a c b 解得 1,2==b a .所以椭圆E 的方程为：1422=+y x .……4分 （2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线 l 的方程为 1+=kx y ，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠， 由???=+=y x kx y 41 2 消去y 并整理得 2440x kx --=， ∴ 421-=x x .…5分∵抛物线C 的方程为24 1 x y =，求导得 12y x '=，∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是)(2 1 111x x x y y -=-， )(21222x x x y y -=-，即 2114121x x x y -= ， 2 224 121x x x y -=，解得两条切线1l 、2 l 的交点M 的坐标为)4,2(2121 x x x x +，即)1,2 (2 1-+x x M ， ∴122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +?=-?-- 0)4 141(2)(212 1222122=---=x x x x ∴MF AB ⊥. （3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1-=y 上，又直线1-=y 与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为)1,0(-'M ，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为： )(2 1000x x x y y -=-，其中点),(00y x 为切点.令1,0-==y x 得，)0(21 4110020 x x x -=--， 解得20=x 或20-=x ……10分 故不妨取)1,2(),1,2(B A '-'，即直线B A ''过点F . 综上所 述，椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M '' （A '、B '为切点），能使直线B A ''过点F . 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y . ……11分 抛物线C 与切线A M ''、B M ''所围成图形的面积为 2 22320 01114 2(1)2() 41223 S x x dx x x x ?? =--=-+=???? ? . 16. (2011·南昌期末)（本小题满分13分）从椭圆22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点1,F M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且 (0)MN OP λλ=> .(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为1A ，直线1A B 与x 轴交于点(4,0)R ，求椭圆C 的方程. 解：（1）令x c =-，得2 b y a =，所以点P 的坐标为2(,)b c a -，……2分 由()0MN OP λλ=> 2b b a c a =，…4分所以22,2b c a c ==， 即离心率2e =………5分 （2）设直线l 的方程为：()0x my c m =+≠，与椭圆方程22 2212x y c c += 联立得到：()22222222m y mcy c y c +++=即：()222 220m y mcy c ++-=…6分 记11,A x y （），22,B x y （），则2 121222 2,22 mc c y y y y m m --+==++…7分 由A 关于x 轴的对称点为1A ，得111(,)A x y -， 则直线1 A B 的方程是：11 2121 y y x x y y x x +-=+-，过点()4,0R 得到： ()()()()121211214y my my y y my c y y -=+-++ ……9分 即：()()121224my y c y y =-+所以：()222 22422 mc mc c m m --=-++………11分 得到：4c c =-，所以：2,c =……12分所以所求椭圆方程为：22 184x y +=……13分 17、 （2011·三明三校二月联考）（本题满分14分） 已知椭圆) 0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线x y C 4:22=的焦点，M 是C 1与C 2在第一象 限的交点，且.3 5 ||2=MF （I ）求椭圆C 1的方程； （II ）已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭 圆C 1上，顶点B 、D 在直线0177=+-y x 上，求直线AC 的方程。 解：（I ）设.35||),0,1(),,(2211=MF F y x M 由抛物线定义，,3 2 ,35111=∴=+x x .362,41121=∴=y x y …………3分， ),3 6 2,32(M ∴M 点C 1上， 1,138 942222-==+∴a b b a 又4293740,a a ∴-+=222149a a c ∴==<或舍去. 3,42 2==∴b a ∴椭圆C 1的方程为.13 422=+ y x …………6分 （II ）ABCD y x BD ,0177=+-的方程直线 为菱形，BD AC ⊥∴，设直线AC 的方程 为m x y +-= ,012487134 222 2=-+-???? ??=++-=m mx x y x m x y C A , 在椭圆C 1上，.77,7,02<<-∴<∴>?∴m m 设),(),,(2211y x C y x A ，则.7 821m x x =+ …………10分 .7 62782)()()(212121m m m m x x m x m x y y =+- =++-=+-++-=+AC ∴的中点坐标为)73,74( m m ，由ABCD 为菱形可知，点)73,74(m m 在直线BD ：0177=+-y x 上，,1,017 37747-==+?-?∴m m m ),7,7(1-∈-=m ∴直线AC 的方程为.01,1=++--=y x x y 即…………14分 18. （2011·泰安高三期末）（本小题满分12分） 已知椭圆22 221(0)x y a b a b += 的离 心率为e=2 12）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=kx+m(k ≠0，m ＞0)与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积 的最大值及此时直线l 的方程. .解：（Ⅰ）∵∴∴b 2=a 2-c 2=14 a 2 故所求椭圆为：222241x y a a +=12） ∴22311a a += ∴a 2 =4. b 2 =1 ∴ 2 214 x y += (Ⅱ)设P （x 1,y 1）, Q （x 2,y 2）,PQ 的中点为（x 0,y 0） 将直线y=kx+m 与2 214 x y +=联立得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2-4=0 2222 16(41)0,41k m k m ?=+-+ 即 ①又 x 0=12120 22 4,214214x x km y y m y k k +-+===++ 又点［-1，0）不在椭圆OE 上，依题意有0001 ,(1)y x k -=---整理得3km=4k 2+1 ②… 由①②可得k 2 ＞ 15，∵m ＞0, ∴k ＞0,∴k …分）设O 到直线l 的距离为d ，则 S △OPQ =1122d PQ ?= =分） 当211,2OPQ k =?时的面积取最大值1，此时k=2 m = ∴直线方程为 19. （2011苏北四市二调）（本小题满分16分）如图，椭圆22 2x a 3 (1,2 P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =， MN 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ?= ． （1）求椭圆的方程；（2）求MN 的最小值； （3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论． 解：（1） 12c e a ==，且过点3(1,)2P ，22222191, 42,,a b a c a b c ?+=??∴=??=+?? 解得2, a b =???=?? ∴椭圆方程为 22 143 x y +=。 (2)设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),F M y F N y == 1212150F M F N y y ?=+= ， 1215y y ∴=-， 又211111 1515 MN y y y y y y =-=-= －+≥ MN ∴的最小值 为 (3)圆心C 的坐标为12 (4, )2 y y +，半径 212y y r -=.圆C 的方程为2 221221() (4)()24 y y y y x y +--+-=， 整理得：2212128()160x y x y y y y y +--+++=. 1215y y =- ，22128()10x y x y y y ∴+--++= 令0y =，得2810x x -+= ，4x ∴=∴圆C 过定点(4.… 20 （2011苏北四市二调）（本小题满分10分）已知动圆P 过点1(0,) 4 F 且与直线1 4 y =- 相切.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于,A B 两点，轨迹C 在,A B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN x ⊥轴. 解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2 x y = (2)证明：设22 1122(,),(,)A x x B x x ， ∵2y x =， ∴ 2y x '=，∴ ,AN BN 的斜率分别为122,2x x ，故AN 的方程为 21112()y x x x x -=-，BN 的方程为22222()y x x x x -=-即211 2 22 22y x x x y x x x ?=-??=-??，两式相减，得122N x x x +=，又122M x x x +=， ∴ ,M N 的横坐标相等，于是MN x ⊥ 1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）已知定点(0,1)F 和直线1:1l y =-，过定点F 与直线1l 相切的动圆圆心为点C 。 （1）求动点C 的轨迹方程； （2）过点F 在直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP RQ ? 的最小值。 第22题 解：（1）由题设点C 到点F 的距离等于它到1l 的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，1l 为准线的抛物线 ∴所求轨迹的方程为24x y = ………………4分 （2）由题意直线2l 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立消去 2440.y x kx --=得 记11221212(,),(,),4, 4.P x y Q x y x x k x x +==-则 ……6分 因为直线PQ 的斜率0k ≠，易得点R 的坐标为2 (,1)k -- 112222 (,1)(,1)RP RQ x y x y k k ?=++?++ 121222 ()()(2)(2)x x kx kx k k =+++++……8分 212122222224 (1)(2)()4 241 4(1)4(2)44()8, k x x k x x k k k k k k k k k =++++++=-+++++=++ 221 2k k +≥ ，当且仅当21k =时取到等号。…11分 42816,RP RQ RP RQ ?≥?+=? 即的最小值为16 ……12分 2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）已知椭圆 22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4。 （1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的 圆与直线2y x =+相切，求椭圆焦点坐标； （2）若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线 PM ，PN 的斜率分别为,PM PN k k ，当1 4 PM PN k k ?=-时，求椭圆的方程。 解：（1 ）由b b = =2分2224,2,4,2a a a b ∴====又 ……4分 2222,c a b =-=∴两个焦点坐标为 ………………6分 （2）由于过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 交于坐标原点对称 不妨设：0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有 22220022221,1x y x y a b a b +=+=两式相减得：222 0220.y y b x x a 2-=--……8分 由题意它们的斜率存在，则00 00 ,PM PN y y y y k k x x x x -+== -+ …………10分 22 2200022220001,214 PM PN y y y y y y b b k k a b x x x x x x a a -+-?=?==--=-==-+-则由得 故所求椭圆的方程为2 214 x y += ………………12分 3. （山东省青岛市2010届高三一模理科）(本题满分14分) 已知椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且 在x 轴的上方，H 是1PF 上一点， 若12120,0F F PF ==?=?， ?? ? ???∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ) 中求得的最大值, 已知22 =b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的 直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM = , 求直线l 的方程. 解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥则有OH F 1?与21PF F ?相似所以 λ== P F PF OF OH 121 …2分 设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P 则有122 1 22=+b y a c ,解得a b y 21= 所以a b y PF 212==根据椭圆的定义得:a b a PF a P F 2 2122-=-=…4分 2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222a b 所以11212 2222 -+=-==λa b a c e ……6分 显然1122 -+= λ e 在]21 ,31[上是单调减函数当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是 2 2 …8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222 =-=-==a a b a c e ,解得42 =a 所以此时椭圆C 的方程为12 42 2=+y x ……10分由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为 k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于QM NQ 2=,所以有 ),1(2),(1111y x k y x ---=-3 ,3211k y x =-=∴……12分又Q 是椭圆C 上的一点,则 12 )3(4)32(2 2=+-k 解得4±=k 所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……14分 4．（山东省青岛市2010届高三一模文科）（本题满分12分）已知椭圆 )0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是23=e ,若点)23,0(P 到椭圆C 上的点的最远距离为 7.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过椭圆C 的左焦点1F 作直线l 交椭圆C 于点A 、B ,且AB 等 于椭圆的短轴长,求直线l 的方程. 解：(Ⅰ)因为23 122=-==a b a c e ,解得b a 2=……2分 则椭圆C 的方程化为2 224a y x =+设),(00y x Q 是椭圆C 上的一点,则有2 2204y a x -=，022 a a y - ≤≤所以220202 02202023)21(3)23(4)23(a y y y a y x PQ +++-=-+-=-+=… 4分 当122a -