第一章 行列式 习题一(A )
1. 计算下列二阶行列式: ⑴
13
14
【解】按二阶行列式定义得,原式=14131?-?=。 ⑵
21
12
-
【解】按二阶行列式定义得,原式=22(1)15?--?=。
⑶69812
【解】按二阶行列式定义得,原式=612890?-?=。 ⑷
22a b a b
【解】按二阶行列式定义得,原式=2
2
()ab a b ab b a -=-。 ⑸
2211
1
x x x x -++
【解】按二阶行列式定义得,原式=2
2
3
2
(1)(1)1x x x x x x -++-=--。
⑹
222
2
2
2
12112111t t t t t t t t -++--++ 【解】按二阶行列式定义得,原式=2222212()()11t t t t -+++222
22
(1)4(1)
t t t -+=+=1。 ⑺
1log log 1
b a a
b
【解】按二阶行列式定义得,
原式=1log log a b b a -?lg lg 1lg lg =-
?
b a
a b
110=-=。
2. 计算下列三阶行列式:
⑴123312231
【解】按三阶行列式定义得,
原式=(111222333)(123231312)??+??+??-??+??+??
361818=-=。
⑵111314895
【解】按三阶行列式定义得,
原式=(115148139)(149135118)??+??+??-??+??+??
64595=-=
⑶101350041
- 【解法一】按三阶行列式定义得,
原式=(151000134)(104031150)??+??-??-??+??-??
707=--=-
【解法二】用降阶法,得:
101350041-()() 31 +100
353041() 1 按展开53
141
?
=512=7-- ⑷00
000
a b
c d 【解法一】按三阶行列式定义得,
原式=(00000)(00000)a c b d c d a b ??+??+??-??+??+??=00=0- 【解法二】用降阶法,得:
原式() 1 按展开12
(1)00
b c
a +-?
=0=0a -?
3.证明下列等式:
1
11
2
22
22
2
2
221
113
33333
3
3
3
a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+ 【证法一】用定义法分别展开两边的行列式:
左边=1
11
2
223
3
3
a b c a b c a b c 123123123123123123()()a b c b c a c a b a c b b a c c b a =++-++ 右边=2222221
1
1
3
3
3
3
3
3
b c a c a b a b c b c a c a b -+
123231232312323()()()a b c c b b a c c a c a b b a =---+- 123123123123123123()()a b c b c a c a b a c b b a c c b a =++-++
左边=右边,知等式成立。
【证法二】用展开法,按第一行展开,
得左边三阶行列式第一行各元素的各代数余子式为:
2211
133(1)
b c A b c +=-22
33b c b c =
; 221223
3(1)a c A a c +=-2233
a c a c =- 2213
333(1)a b A a b +=-22
33
a b a b =
于是,按定理1.4得
111
2
22
22
2
2221112131
113
33333
3
3
3
a b c b c a c a b a b c a A b A c A a b c b c a c a b a b c =++=-+
证毕。
4.当k 为何值时,34
1000
1
k k k -=
【解】因为234
10430
1
k k k k k -=-+(3)(1)k k =--
可知,当3k =或1k =时,34
1000
1
k k k -=。
5.当x 为何值时,3140010x
x x
≠
【解】因为2231403410x
x x x x x
=--2(2)x x =-
可知,当0x ≠且2x ≠时,3140010x
x x
≠。
6.行列式11
01004
a a
a
->的充分必要条件是什么?
【解】因为211
01044
a a a a
-=-+
而2
40a -+>的充分必要条件是22a -<<,
即知,行列式11
01004
a a a
->的充分必要条件是22a -<<。
7.解方程 23
11
10031x
x = 【解】由于2
3
11
1031
x
x 2(303)(0)x x x =++-++
223=-++x x (3)(1)=--+x x
可见,该方程的解为3=x 和1x =-
8. 求下列排列的逆序数: ⑴ 41253
解:排列 41253 中,4在较小数1,2,3前面,其逆序数为3;
1,2后面均无较小数,无逆序; 5在较小数3前面,其逆序数为1; 3排末尾,无逆序, 从而N (41253) = 3+1= 4。 ⑵ 3712456
解:排列 3712456 中,3在较小数1,2前面,其逆序数为2;
7在较小数1,2,4,5,6前面,其逆序数为5; 1,2,4,5后面均无较小数,无逆序, 6排末尾,无逆序, 从而N (3712456) = 2+5= 7 。 ⑶ 36715284
解:排列 36715284 中,3在较小数1,2前面,其逆序数为2;
6在较小数1,5,2,4前面,其逆序数为4; 7在较小数1,5,2,4前面,其逆序数为4;
1为最小,无逆序;
5在较小数2,4前面,其逆序数为2; 2后面无较小数,无逆序;
8在较小数4前面,其逆序数为1; 4后面无较小数,无逆序, 从而N (36715284) = 2+4+4+2+1=13 。 ⑷ (1)21n n -
解:排列(1)21n n - 中,数字n 有1n -个逆序;
数字1n -有2n -个逆序; 数字2n -有3n -个逆序; ………
数字2有1个逆序,
于是,[(1)21]N n n -= (1)(2)21n n -+-+++
(1)[(1)1]
2n n --+=
(1)
2
n n -=
9.在六阶行列式ij a 中,下列各元素连乘积前面应冠以什么符号? ⑴152332445166a a a a a a
【解】由于乘积中元素的行序已按自然数顺序排列,故行标逆序数为0,而列标逆序数为
(532416)421108N =++++=,
可知连乘积152332445166a a a a a a 前面应冠以符号8
(1)-,即为“+”号。 ⑵112632445365a a a a a a
【解】由于乘积中元素的行序已按自然数顺序排列,故行标逆序数为0,而列标逆序数为
(162435)040105N =++++=,
可知连乘积112632445365a a a a a a 前面应冠以符号5
(1)-,即为“-”号。 ⑶215316426534a a a a a a
【解】由于乘积中元素的行序及列序均未按自然数顺序排列,故确定乘积前所冠符号的应
为行标逆序数与列标逆序数之和,
由于行标逆序数为(251463)130116N =++++=,
列标逆序数为(136254)013015N =++++=, 可知连乘积215316426534a a a a a a 前面应冠以符号65
(1)+-,即为“-”号。
⑷513213446526a a a a a a
【解】由于乘积中元素的行序未按自然数顺序排列,但列序已按自然数顺序排列,故确定乘积符号的只为行标逆序数:(531462)420118N =++++=,
可知连乘积513213446526a a a a a a 前面应冠以符号8(1)-,即为“+”号。 ⑸615243342516a a a a a a
【解】由于乘积中元素的行序未按自然数顺序排列,但列序已按自然数顺序排列,故确定乘积符号的只为行标逆序数:(654321)5432115N =++++=,可知连乘积
513213446526a a a a a a 前面应冠以符号15(1)-,即为“-”号。
10.选择k ,l 使13234425k l a a a a a 成为五阶行列式ij a (i ,j =1,2,…,5)中前面冠以负号的项。
【解】由于乘积13234425k l a a a a a 中元素的行序已按自然数顺序排列,而列标为3k 42l ,可见k ,l 只可以为1或5,下面分别进行分析:
①当1k =,5l =时,列标的逆序数为(31425)213N =+=,此时该项前面应冠以符号3
(1)-,即为“-”号;
②当5k =,1l =时,列标的逆序数为(35421)23218N =+++=,此时该项前面应冠以符号8
(1)-,即为“+”号。
综上可知,当1k =,5l =时,13234425k l a a a a a 成为五阶行列式ij a (i ,j =1,2,…,5)中前面冠以负号的项。
11.设n 阶行列式中有2
n n -个以上元素为零,证明该行列式为零。 【分析】由于不易对n 阶行列式进行分析,可以用降阶法降低分析难度:
不妨先观察 n =3 时的情形:
1)先观察3 阶行列式的元素:3 阶行列式中有32 = 9个元素,按题设有32-3 = 6个以上元素为零,那么,总共的9个元素中,不为0的元素为9-6 =3个以下,亦即全部9个元素中,不为0的元素最多只有2个。
2)再观察3 阶行列式的展开式:其展开式中,共有3!= 6个项,每项均含3个元素。而上分析知,该3 阶行列式不为0的元素最多只有2个。从而每个项中的3个元素至少有1个为0,从而使每个项都等于0。
故知该3 阶行列式展开式中的每一项都是0,使该行列式为零。 下面推广到任意的n 阶行列式:
【证明】1)先观察n 阶行列式的元素:n 阶行列式中有n 2个元素,按题设有n 2-n 个以上元素为零,那么,总共的n 2个元素中,不为0的元素为n 2-(n 2-n )= n 个以下,亦即全部的n 2个元素中,不为0的元素最多只有n -1个。
2)再观察n 阶行列式的展开式:n 阶行列式的展开式中,共有n !个项,每项均
含n 个元素。而上分析知,该 n 阶行列式中不为0的元素最多只有n -1个。从而每个项中的n 个元素中至少有1个为0,从而使每个项都等于0。
故知,该n 阶行列式展开式中的每一项都是0,使该行列式为零。 证毕。
12. 用行列式定义计算下列行列式:
⑴0010010000011000
【解】该行列式只有四个来自不同行且不同列的非零元素1,由它们相乘构成唯一的非零项,将该项行标按自然数顺序排列后,其列标逆序数为(3241)4N =,
从而,原式=4
(1)11111-????=。
⑵010********
n n
-
【解】原式中,只有由12233445(1)1n n n a a a a a a - 构成的这一项不为零,现该项元素行标已按自然数排列,而列标的排列为23…(n -1)n 1,该排列中,前面的n -1个数均与1构成逆序,相互之间不构成逆序,即得该项的列标的逆序数为n -1个1的和,即
[23(1)1]1N n n n -=- ,
可知,原式1(1)!n n -=-?。
⑶1110010101110010
【解】由于第四行只有一个非零元431a =,故展开式的非零项在第三行只能取321a =或
341a =,于是:
当展开式的非零项含3243a a 时,第二行只能取241a =,从而第一行只能取111a =, 当展开式的非零项含3443a a 时,第二行只能取221a =,从而第一行只能取111a =, 这样,该行列式中仅有两个非零项为:
(1423)211243243(1)(1)11111N a a a a -=-????=, (1243)111223443(1)(1)11111N a a a a -=-????=-,
从而,原式110=-=。
⑷1112131415212223242531
3241
4251
52
0000000
a a a a a a a a a a a a a a a a 【解法一】从取非零元素入手,
按照来自不同行不同列的原则,为避免展开式的项中取到0元素,第三,四两
行只能在1,2列中取,这时,前面一,二两行只能在3,4,5三列中取两个元素。这样,只余下3,4,5三列中的某一列了,而最后第五行的3,4,5三列中的任一列元素都是0。 从而,该五阶行列式的展开式中的各项至少含有一个0,使该行列式的值必然为0。即
1112131415
2122232425
3132414251
52
00000000
a a a a a a a a a a a a a a a a = 【解法二】从含0较多的行入手:
按照来自不同行不同列的原则,从第四,五两行中,只能各取到一个非零元,
它们分别位于第1,2两列,这样,第3行元素就只能取自3,4,5三列,亦即必然取到0元素,从而该五阶行列式的展开式中全部项都等于0,亦即
1112131415
2122232425
3132414251
52
00000000
a a a a a a a a a a a a a a a a =。
13. 用行列式的性质计算下列行列式:
⑴22
a a
b b
【解】抽出各行公因,得:
22a a b b ()()12
a b ←←11a ab b ()()21 -10a ab
b a -()ab b a =- ⑵123
012111
【解法一】第一列最易化成仅余一非0元,于是:
123012111()()31 -123012012--()()32 +123
012000
()30 全为0
【解法二】123012111()()31 -123
012012
--()()32 0与成比例
⑶
34215352152809229092
【解法一】易见第二列与第一列的对应元素的差均为1000,于是:
34215352152809229092
()()21
-342151000280921000
()()21
-3421510006123
-
=(61231000)--?=6123000。
【解法二】
34215352152809229092
()()21
-342151000280921000
()()12
-61230
280921000
=61231000?=6123000。
⑷x y x y
y x y x x y x y
+++ 【解】式中各列元素之和均相等,故将2、3列均加到第一列,得:
x y x y y x y x x y x y +++()()()()1213
++2()2()2()x y y
x y
x y x y x x y x
y
+++++
()()()()2131
--2()00x y y
x y
x y x y x ++--- ()1 按展开2()
x
y
x y x y x
-+--
2=2()[()()]x y x y x y +---- 33=2()x y -+
14.用行列式的性质证明:
⑴
11111
22222
33333
a k
b b
c c
a k
b b
c c
a k
b b
c c
++
++
++
111
222
333
a b c
a b c
a b c
=
【证法一】
11111
22222
33333
a k
b b
c c
a k
b b
c c
a k
b b
c c
++
++
++
()()
23
-
1111
2222
3333
a k
b b c
a k
b b c
a k
b b c
+
+
+
()()
12
k
-
111
222
333
a b c
a b c
a b c
,证毕。
【证法二】
11111
22222
33333
a k
b b
c c
a k
b b
c c
a k
b b
c c
++
++
++
()2
分拆
1111
2222
3333
a k
b b c
a k
b b c
a k
b b c
+
+
+
+
1111
2222
3333
a k
b
c c
a k
b
c c
a k
b
c c
+
+
+
()
()()
1
2=3
前分拆
后
111
222
333
a b c
a b c
a b c
+
111
222
333
kb b c
kb b c
kb b c
+0 ()()
12=k
后:
111
222
333
a b c
a b c
a b c
,证毕。
⑵
111111
222222
333333
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
+++
+++
+++
111
222
333
2
a b c
a b c
a b c
=
【证法一】
111111 222222 333333 b c c a a b b c c a a b b c c a a b +++ +++ +++
()()()() 12 13
--11111222223
33
33
222a c a a b a c a a b a c a a b -++-++-++ () 21
-←1
11112
22223
3333
2a c a a b a c a a b a c a a b ++-++++ ()()()() 21 31
--11
1
2
223
332a c b a c b a c b - ()() (23
,)1
1
1
222333
2a b c a b c a b c 证毕。 【证法二】
11
111122222233
33
33
b c c a a b b c c a a b b c c a a b +++++++++ () 2
分拆11
1112222233
333b c c a b b c c a b b c c a b +++++++111112222233333b c a a b b c a a b b c a a b ++++++ ()()()()
12 32--前后1111
22223333b c a b b c a b b c a b ++++11
11
2222333
3
b c a b b c a b b c a b +++ ()()()()
31 13--前后111
2223
3
3b c a b c a b c a +1
112223
33c a b c a b c a b ()()()() 31 1,2,))
前(后(111
2223
3
3a c b a c b a c b -1
11
22233
3
a c
b a
c b a c b - ()() 32
,)均(1
1122233
3a b c a b c a b c 11122233
3a b c a b c a b c +111
22233
3
2a b c a b c a b c =,证毕。
⑶
11
12
121
2221
20 (2)n
n n n n n a b a b a b a b a b a b n a b a b a b ------=>---
【证明】
11121212221
2n n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------
()()()()()() 21 31
1
n --- 111212121211
11
n n n n a b a b a b a a a a a a a a a a a a ---------
()()()()()()21311 2 2
n a a a a a a n -←-←-← 11121211111
()()
111
n
n a b a b a b a a a a ----- ()()() 23==
n = 211()()00n a a a a --?=,
证毕。
15.现有行列式11
121321
22
2331
32
33a a a D a a a a a a =及112131112223213
23
33
a a a D a a a a a a =, 11
121113
221
22212331
3231
33222a a a a D a a a a a a a a -=--,11
12111332122
212331
32
3133
222a a a a D a a a a a a a a +=++, 11121342122
23313233a a a D a a a a a a -=--,31323351112132122
23
a a a D a a a a a a =,
11
1213
621
222331
32
33
(1)ka ka ka D ka ka ka k ka ka ka =≠ 利用行列式的性质,判断1D ,2D ,3D ,4D ,5D ,6D ,与行列式D 的关系。
【解】11
21311
12
223213
23
33a a a D a a a a a a = T 111213
2122233132
33
a a a a a a D a a a =,知1=D D ; 11
121113221
222123
31
3231
33
222a a a a D a a a a a a a a -=--()() 21
2+11
12
13
2122233132
33
a a a a a a D a a a =,知2D D =; 11
121113321
22212331
32
3133
222a a a a D a a a a a a a a +=++()() 31
-111213212223313233222a a a a a a a a a () 23
←11
12
13
2122233132
33
22a a a a a a D a a a =,知32D D =; 11121342122
233132
33a a a D a a a a a a -=--() 11
-←11
1213
212223313233a a a a a a D a a a -=-,知4D D =-; 31
32
3351112
132122
23
a a a D a a a a a a =()() (2,1)
11
12
13313233212223
a a a a a a a a a - ()() (2,3)
11
12
13
212223313233
a a a a a a D a a a =,知5D D =; 11121362122
233132
33
ka ka ka D ka ka ka ka ka ka =()()() 1 2 3
k k k ←←←111213
332122
233132
33
a a a k a a a k D a a a =,知36D k D =。
16.设行列式 (,1,2,,5)ij a m i j == ,依下列次序对ij a 进行变换后,求其结果。
交换第一行与第五行,再转置,用2乘所有元素,再用(-3)乘以第二列加于第四列,最后用4除以第二行各元素。
【解】设第k 步骤的结果为k A ,得各步骤及其结果如下:
⑴交换第一行与第五行:行列式变号,即为1=A m -; ⑵转置:行列式值不变,即为21==A A m -;
⑶用2乘所有元素:将五行中的公因2抽出行列式外,得532=232A A m ?=-; ⑷用(-3)乘以第二列加于第四列:行列式值不变,为43=32A A m =-; ⑸用4除以第二行各元素:将第二行中的
1
4
抽出行列式外, 得5411
=
32=844
A A m m =-?- 综上可知,依次运算后,得最终结果为8m -。
17.用行列式性质,化下列行列式为上三角形行列式,并求其值。
⑴
111
1111111111111
------ 【解】第一列最易化成仅余一非0元的情况:
1111
111111111111------()()()()()()213141 +++11110222
00220002
1222=8???上三角 ⑵11111234
136101
41020
【解】第一列最易化成仅余一非0元的情况:
1111
1234 13610 141020
()()
()()
()()
21
31
41
-
-
-
1111
0123
0259
03919
()()
()()
322
432
-
-
1111
0123
0013
00310
()()
433
-
1111
0123
0013
0001
1111=1
???
上三角
⑶1234 2341 3412 4123
【解】由于式中各行元素之和均相等,故将2、3、4列加到第一列,得:1234
2341 3412 4123()()
()()
()()
12
13
14
+
+
+
10234
10341
10412
10123
()()
()()
()()
21
31
41
-
-
-
10234
0113
0222
0111
-
--
---
()()
()()
4
32
2
2
-
+
10234
0113
0044
0004
-
-
-
101(4)(4)=160
??-?-
上三角。
18.把下列行列式化为上三角形行列式,并求其值:
⑴1123 1231 3112 2311
-
---
--
【解】1123
1231
3112
2311
-
---
--
()()
()()
()()
21
331
421
-
-
-
1123
0114
04711
0157
-
---
--
()()
()()
342
42
+
-
1123
0114
00327
0063
-
--
--
()() 43
2-11
23011400327
00
51
---351153=-?=-。
⑵2531131301151423------
【解】
25311313
01151423
------()() (12 ,)13132531
01151423
---
---- ()()()() 21 41 2-+13130115501150110
------()() (32
,)13130115
011550110
-----
()()()() 32 42 11++1
31301150
016600
025
----()() (34
,)131
3011500
2
5
001660
---
--
()() 43 8-131
3011540002500
20
---
=--。
⑶2240413531232051
-----
【解】
2240
4135
3123
2051
--
-
--
()()
()()
13
23
+
-
1363
1258
3123
2051
--
-
--
()()
()()
()()
21
31
41
3
2
-
-
-
1363
051111
08166
06177
--
-
-
-
()()
()()
24
34
-
-
1363
0164
0211
06177
--
-
---
-
()()
()()
32
42
2
6
+
-
1363
0164
00137
001931
--
-
-
-
()()
34
2
+
13123
0124
0017
004331
--
()()
43
43
-
13123
0124
0017
000270
--
-=111(270)270
???-=-
19.用化成三角形行列式的方法,计算三阶行列式123
123
123
x
y
z
+
+
+
,其中0
xyz≠。
【解】123
123
123
x
y
z
+
+
+
()()
(13
,)
123
123
123
z
y
x
+
-+
+
()()
()()
21
31
(1)x
-
-+
123
02(3)
z
y z
x x z xz
+
--
--++
()()
2
32
+x y
123
2
00(3)
z
y z
xz
x z xz
y
+
--
-++-
2
[(3)]
xz
y x z xz
y
=-?-++-
32
xy yz xyz xz
=+++。
20.计算行列式
1231103112
011230
123(1)0
n n n n n n n
n --------------
【解】由于该n 阶行列式中,第一行元素为下三角形中各行对应元素的相反数,故为了将行列式化为上三角形行列式,应将行列式中第1行元素分别加到第2、3、……、n 各行中,得:
1231103112
011230
123(1)0
n n n n
n n n
n --------------
()()()()()() 21
31 1
n +++ 123102232(1)20032(1)20001200
n n
n n
n n
n n n
-?---
123(1)n n ????-? 上三角
=!n
21.计算n 阶行列式:0000
x x x
x x x
x x x x x x
【解】易见各行元素之和相等,可将2,3,…,n 列加到第1列,得:
0000x x x
x x x x x x x x x ()()()()()() 12 13 1
+
+
+n
(1)(1)0(1)0(1)0
n x x x x n x x x n x x x n x x x ----
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-,试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1 ||2 A = ,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵,求:111().A B ---+
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =- ,故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2 倍, ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
线性代数知识点总结 第一章行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 勺L =力(jW'g 叫?叫 (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转宜行列式D = D r ) ② 行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③ 常数k 乘以行列 式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行 推论:行列式中某一行 ④ 行列式具有分行 ⑤ 将行列式某一行 行列式依行(列)展开:余子式M”、代数余子式州=(-1)砒 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 0 非齐次线性方程组:当系数行列式£>工0时,有唯一解:Xj= +(j = l 、2......n ) 齐次线性方程组 :当系数行列式D = 1^0时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式: 5 铅 a l3 5 ?21 ①转置行列式: ?21 a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如 ②对称行列式:gj = 5 ③反对称行列式:勺= ~a ji 奇数阶的反对称行列式值为零 务2 a !3 ④三线性行列式: “22 0 方法:用?“22把"21化为零,。。化为三角形行列式 0 "33 (列) (列) 成比例,则行列式值为零; 元素全为 零,行列式为零。 可加性 的k 倍加到另一行(列)上,值不变
⑤上(下)三角形行列式:
行列式运算常用方法(主要) 行列式定义法(二三阶或零元素多的) 化零法(比例) 化三角形行列式法、降阶法.升阶法、归纳法、 第二章矩阵 矩阵的概念:A 〃伤(零矩阵、负矩阵、行矩阵.列矩阵.n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算:加法(同型矩阵) ------- 交换、结合律 数乘kA = (ka ij )m .n ---- 分配、结合律 注意什么时候有意义 一般AB*BA,不满足消去律:由AB=O,不能得A=0或B=0 (M)r = kA T (AB)T = B T A r (反序定理) 方幕:A kl A kz =A k ^kl 对角短阵:若 AB 都是N 阶对角阵,k 是数,贝ij kA 、A+B 、 A3都是n 阶对角阵 数量矩阵:相当于一个数(若……) 单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……) 对称矩阵 反对称矩阵 阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 制是0 数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置 注:把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵:设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的. 力"=3(非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵) 初等变换1、交换两行(列)2.、非零k 乘某一行(列)3、将某行(列)的K 仔加到另一行(列)初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的(对换阵倍乘阵倍加阵) (I o\ 等价标准形矩阵r O O 乘法 转置(A T )T = A (A + B)T =A r +B 1 几种特殊的矩阵: 分块矩阵:加法,
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式
||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式:
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念,熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义,掌握计算行列式(三、四阶)的方法;掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵,则有: 若是阶行列式,为常数,则有: ⒊了解零矩阵,单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质,掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵,则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法,会用伴随矩阵法求逆矩阵,会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵: 用伴随矩阵法求逆矩阵:(其中是的伴随矩阵) 可逆矩阵具有以下性质: ⒍了解矩阵秩的概念,会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后,所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵,且,则。 解:答案:72 因为,且
所以 例2设为矩阵,为矩阵,则矩阵运算()有意义。 解:答案:A 因为,所以A可进行。 关于B,因为矩阵的列数不等于矩阵的行数,所以错误。 关于C,因为矩阵与矩阵不是同形矩阵,所以错误。 关于D,因为矩阵与矩阵不是同形矩阵,所以错误。 例3 已知 求。 分析:利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解:因为 得。
例4 设矩阵 求。 解:方法一:伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二:初等行变换法 注意:矩阵的逆矩阵是唯一的,若两种结果不相同,则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析:利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解: 。
线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式:
(1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。 2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项: (1)矩阵乘法要求前列后行一致; (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =- ,故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2 倍, ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位,必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出,以计算题为主,证明题为辅,因此,专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,学好线代也是必要的。下面,就将线代中重点内容和典型题型做了总结,希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题为主,它是必考内容,不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少,例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题,必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶法,用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再展开.另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有:数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、
试题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶法,用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再展开。另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。常见题型有:数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数 的行列式的计算。 矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程
组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有:齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括:掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有:二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
A = C 1,: 2,: 3), B =(:1 : 2 : 3, j 2 24 3√ 1 3: 2 9 3) 线性代数 第一章行列式 典型例题 、利用行列式性质计算行列式 、按行(列)展开公式求代数余子式 四、抽象行列式的计算或证明 1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4],B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四 维列向量,且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|. A 1 2. 设A 为三阶方阵,A 为A 的伴随矩阵,且IAI=',试计算行列式 2 "(3A ) j -2A * 0〕 2 L :O AT 3. 设A 是n 阶(n 工2)非零实矩阵,元素a ij 与其代数余子式A j 相等,求行列式|A|. 2 1 0 4. 设矩阵 A= 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA * = 2BA*+E ,则 |B|= ________ . '0 0 1 J 5. 设>1√?2, : 3均为3维列向量,记矩阵 已知行列式D 4 = 1 3 1 1 2 3 5 1 3 4 6 2 4 4 7 2 =-6 ,试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1 1 、t W 1 2 — X 1 ?计算D = 1 5 1 9-x 2 2 ?设 f(x)= X b b b b X C C C C X d d d ,则方程f (X) =O 有根X = d
如果I A ∣=1,那么| B |= __ . 五、n阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1. 若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为丄丄,则行列式 2 3 4 5 1 IB -E∣= _________ . 2. 设A为四阶矩阵,且满足|2E ? A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2,试计算行列式|2A 3E |. 第二章矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵,求:(A J■ B」)」. -00021〕 00053 2.设 A =12300,求A JL 45800 34600 一 二、讨论抽象矩阵的可逆性 1. 设n阶矩阵A满足关系式A3? A2- A- E =0,证明A可逆,并求A^l. 2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ? 2E ,证明B可逆,并求出逆矩阵。 3. 设A = E Xy T ,其中X, y均为n维列向量,且X T y = 2 ,求A的逆矩阵。 4. 设代B为n阶矩阵,且E-AB可逆,证明E - BA也可逆。 三、解矩阵方程 1 1 -1 1. 设矩阵A= -1 1 1 ,矩阵X满足A*X=A*+2X,求矩阵X . J -1 1 J 1 0 0 0 1 1
(22)(本题满分11分) 已知111ξ?? ?= ? ?-??是1253102a A b -?? ?= ? ?--??的特征向量,求,a b 的值,并证明A 的任一特征向量均能由ξ线性表出. 解 设ξ是λ所对应的特征向量,则A ξλξ=,即1211531110211a b λ-?????? ??? ?= ??? ? ??? ?----??????即12, 53,1,2,312,a b a b λλλλ--=??+-=?=-==-??-+=? 故211533102A -?? ?=- ? ?--?? 由323(2(3)(2))(162)(1)(1)E A λλλλλ-=-+-+-+-+---=-, 知1λ=-是A 的三重特征根.又因312()5232101r E A r --?? ?--=--= ? ??? ,从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个.所以A 的特征向量均可由ξ线性表出. (23) (本题满分11分) 已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f ,通过正交变换化为标准型2 3222152y y y f ++=,求参数a 及 所用正交变换矩阵. 解 变换前后二次型的矩阵分别为????? ??=3030002a a A ,??? ? ? ??=500020001B ,由正交变换性质知,A 与B 相似,于是 B E A E -=-λλ即)5)(2)(1()96)(2(22---=-+--λλλλλλa 将1=λ(或5=λ)代入上式,得2,042±==-a a 因0>a ,故2=a ,这时??? ?? ??=320230002A 其特征值分别为5,2,1321===λλλ(与B 的特征值相同) 当11=λ时,解方程0)(1=-x A E λ,得????? ??-=1101ξ;当22=λ时,解方程0)(2=-x A E λ,得??? ?? ??=0012ξ 当53=λ时,解方程0)(3=-x A E λ,得??? ? ? ??=1103ξ 将321,,ξξξ单位化,得????? ???? ??-==21210111ξξη,????? ??==001222ξξη,? ??????? ? ??==21210333ξξη
(一)行列式概念和性质线性代数知识点总结 1 行列式 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1))行列互换(转置),行列式的值不变 (2))两行(列)互换,行列式变号 (3))提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4))拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这 个行列式就等于两个行列式之和。 (5))一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6))两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵),则 7、n 阶(n≥2)范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为 b 的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1))任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2))行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A| ·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A -1|=|A| -1 (5)|A*|=|A| n-1 (6))若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ,则 (7))若 A 与B 相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0 ,那么方程为唯一解
第一章 多项式 1.(P16)证明:当65n m =+时,多项式 22 x xy y ++整除多项式 ()n n n x y x y +--;当61n m =+时,多项式222()x xy y ++整除多项式 ()n n n x y x y +--.这里m 是使0n >的整数,而,x y 是实数. 2. (P16)求最低次数的多项式()u x 与()v x ,使得 (1)43234(2461)()(53)()x x x x u x x x v x x --+++--=; (2)434323(21)()(221)()2x x x u x x x x x v x x x +++++-+-=- 3. (P16)求次数最低的多项式 () f x ,使得 () f x 被多项式 43222107 x x x x --+-除时余式为 21 x x ++,被多项式 432231310x x x x --+-除时余式为223x -. 4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积: (1)21422222...(1)n n n n n n n n x C x C x C ---+++-; (2)2222242422222(1)(1)...(1)n n n n n n x C x x C x x x --+-+-++-; (3)2122124232222121(1)(1)...(1)n n n n n n x C x x C x x x x +--+++-+-++-. 5. (P22)证明:复系数多项式()f x 对所有的实数x 恒取正值的充分必要条件是,存在复系数多项式()x ?,()x ?没有实数根,使得 2()|()|f x x ?=. 6. (P22)证明:实系数多项式()f x 对所有实数x 恒取非负实数值的充分必要条件是,存在实系数多项式()x ?和()x ψ,使得 22()[()][()]f x x x ?ψ=+. 7.(P26)设1011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式,且素数p 满足:01|,|,...,|,|,1,2,...,k i p a p a p a p a i k k n =++///,而2|n p a /,证明:() f x
线性代数汇总汇总+经典例题
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线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则 7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解