第二章点、直线、平面之间的位置关系单元质量评估
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.异面或相交
2.下列命题正确的是( )
A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直
B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面
C.直线与平面所成的角的取值范围是:0°<θ≤180°
D.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ<90°
3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系
是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.不相交
4.设a,b是空间两条垂直的直线,且b∥平面α,则在“a∥α”“a α”“a∩α”这三种情况中,能够出现的情况有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.(2013·长白山高一检测)已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.斜交
D.不能确定
6.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
7.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则图中共有直角三角形的个数是( )
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
8.以下说法中,正确的个数为( )
①已知直线a,b和平面α.若a∥b,a∥α,则b∥α;
②已知直线a,b,c和平面α.a是斜线,与平面α相交,b是射影所在直线,c α,且c⊥b,则c⊥a;
③三个平面两两相交,且它们的交线各不相同,则这三条交线互相平行;
④已知平面α,β,若α∩β=a,b⊥a,则b⊥α或b⊥β.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.已知点O为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列结论正确的
是( )
A.直线OA1⊥平面AB1C1
B.直线OA1∥平面CB1D1
C.直线OA1⊥直线AD
D.直线OA1∥直线BD1
10.(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积
是( )
A.4
B.
C.
D.6
11.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD= ( )
A.2
B.
C.
D.1
12.(2013·济宁高一检测)如图所示,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上
是图中的( )
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.(2013·长沙高一检测)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=,则异面直线A1B1与BD1所成的角大小等于.
14.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,PA垂直于☉O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此, ⊥平面PBC.(填图中的一条直线)
15.四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,AC与BD相交于点O,且SO⊥平面ABCD,若四棱锥S-ABCD的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于.
16.(2013·安徽高考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
①当0 ②当CQ=时,S为等腰梯形; ③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=; ④当 ⑤当CQ=1时,S的面积为. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程 17.(10分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:CE,D1F,DA三线交于一点. 18.(12分)(2013·周口店高一检测)如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点. (1)求证:SA∥平面PCD. (2)求异面直线SA与PD所成角的正切值. 19.(12分)(2013·辽宁高考)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC. (2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC. 20.(12分)(2013·无锡高一检测)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点. (1)求证:EF∥平面ABC1D1. (2)求证:EF⊥B1C. (3)求三棱锥B1-EFC的体积. 21.(12分)(能力挑战题)在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面三角形ABC是正三角形的直棱柱)中,点D,E分别是BC,B1C1的中点,BC1∩B1D=F,BC1⊥B1D. 求证:(1)平面A1EC∥平面AB1D. (2)平面A1BC1⊥平面AB1D. 22.(12分)(能力挑战题)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE. (1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论. (2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值. 答案解析 1.【解析】选D.根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交,但不可能平行. 2.【解析】选B. A.错误.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直. B.正确.由线面垂直的性质定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面. C.错误.直线与平面所成的角的取值范围是:0°≤θ≤90°. D.错误.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ≤90°. 3.【解析】选A.因为棱柱的侧棱是互相平行的,所以由直线与平面平行的判定定 理可知,侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行. 4.【解析】选D.如图正方体中,b∥平面α,直线a是在直线b的垂面内的任意直线(与b异面).由图可知,“a∥α”“a α”“a∩α”三种情况都有可能. 5.【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直. 6.【解析】选D.因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作m′∥m,n′∥n,则l⊥m′,l⊥n′,即l垂直于m′与n′确定的平面γ,又m⊥平面α,n⊥平面β,所以m′⊥平面α,n′⊥平面β,所以平面γ既垂直于平面α,又垂直于平面β,所以α与β相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l,故选D. 7.【解析】选A.因为PA⊥平面ABC, 所以PA⊥BC, 因为PD⊥BC,PA∩PD=P, 所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC, 图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB,共8个. 8.【解析】选A.①错误.直线b的位置不确定,直线b可以在α内,也可以平行于α. ②正确.c同时垂直于斜线和射影. ③错误.例如,长方体同一顶点的三个面. ④错误.没有说明b是否在平面α或β内,则b可以在这两个平面外. 9.【解析】选B.可证平面A1BD∥平面CB1D1. 10.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为1,2,2, V棱台=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=. 11.【解析】选C.根据题意,直二面角α-l-β, 点A∈α,AC⊥l,可得AC⊥平面β, 则AC⊥CB,△ACB为直角三角形,且AB=2,AC=1, 由勾股定理可得,BC=; 在Rt△BCD中,BC=,BD=1, 由勾股定理可得,CD=. 12.【解析】选A. 如图所示,连接BD与AC相交于点O,连接SO, 取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG, 因为E,F分别是BC,SC的中点, 所以EF∥SB,EF?平面SBD,SB 平面SBD, 所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD, 又EF ∩EG=E,所以平面EFG ∥平面SBD, 由题意得SO ⊥平面ABCD,AC ⊥SO, 因为AC ⊥BD,又SO ∩BD=O,所以AC ⊥平面SBD, 所以AC ⊥平面EFG, 所以AC ⊥GF,所以点P 在直线GF 上. 【变式备选】如图,点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则下列四个结论: ①三棱锥A-D 1PC 的体积不变;②A 1P ∥平面ACD 1;③DP ⊥BC 1;④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选C.①正确.易证BC 1∥平面ACD 1,所以点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动时,点P 到平面ACD 1的距离不变.又因为1 1 A D PC P ACD V V ,--=所以三 棱锥A-D 1PC 的体积不变. ②正确.易证平面A 1BC 1∥平面ACD 1, 所以A 1P ∥平面ACD 1; ③错误.因为DB=DC 1,所以当点P 是BC 1的中点时,DP ⊥BC 1; ④正确.因为B 1D ⊥平面ACD 1, 13.【解析】因为A1B1∥AB, 所以∠ABD1是异面直线A1B1与BD1所成的角, 在Rt△ABD1中,∠BAD1=90°,AB=1, AD1===, 所以tan∠ABD1==,所以∠ABD1=60°. 答案:60° 14.【解析】因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,所以BC⊥AC,因为PA垂直于☉O所在的平面,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC,又AF 平面PAC, 所以AF⊥BC,又AF⊥PC,BC∩PC=C, 所以AF⊥平面PBC. 答案:AF 15.【解析】取BC的中点E,连接OE,SE, 因为OB=OC,所以OE⊥BC, 因为SO⊥平面ABCD,所以SO⊥BC, 所以BC⊥平面SOE, 所以∠SEO是侧面SBC与底面ABCD所成的二面角, 因为正方形ABCD的对角线长为2, 所以正方形ABCD的边长为2,OE=, 由题意得×(2)2×SO=12, 所以SO=3, 所以tan∠SEO===, 所以∠SEO=60°. 答案:60° 16.【解析】(1)当0 (2)当CQ=时,截面如图2所示,易知PQ∥AD1且PQ=AD1,S是等腰梯形,故②正确. (3)当CQ=时,截面如图3所示,易得C1R=,截面是五边形,故③正确. (4)当 (5)当CQ=1时,截面是边长相等的菱形如图5所示,由勾股定理易求得AC1=,MP=,故其面积为S=×AC1×MP=,故⑤正确. 17.【解题指南】可证D1F与CE的交点P在直线AD上. 【证明】连接EF,D1C,A1B, 因为E为AB的中点,F为AA1的中点, 所以EF∥A1B, EF=A1B, 又因为A1B∥D1C,所以EF∥D1C, 所以E,F,D1,C四点共面,且EF=D1C, 设D1F与CE相交于点P. 又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD, 所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点, 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA, 根据公理3可得P∈DA, 即CE,D1F,DA三线交于一点. 18.【解析】(1)连接PO, 因为P,O分别为SB,AB的中点,所以PO∥SA, 因为PO?平面PCD,SA?平面PCD, 所以SA∥平面PCD. (2)因为PO∥SA, 所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角, 因为AB⊥CD,SO⊥CD,AB∩SO=O, 所以CD⊥平面SOB.因为PO?平面SOB, 所以OD⊥PO,在Rt△DOP中,OD=2, OP=SA=SB=, 所以tan∠DPO===, 所以异面直线SA与PD所成角的正切值为. 19.【证明】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC; 由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC,得PA⊥BC. 所以BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. (2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO. 由G为△AOC的重心,知M为AC的中点, 由Q为PA的中点,得QM∥PC,又因为QM?平面PBC, PC?平面PBC, 所以QM∥平面PBC. 又由O为AB的中点,得OM∥BC. 同理可证,OM∥平面PBC. 因为QM∩OM=M,QM?平面QMO, OM?平面QMO, 所以,据面面平行的判定定理得,平面QMO∥平面PBC.又QG?平面QMO, 故QG∥平面PBC. 20.【解析】(1)连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,则EF∥D1B, 因为EF∥D1B,D1B?平面ABC1D1, EF?平面ABC1D1, 所以EF∥平面ABC1D1. (2)因为B1C⊥AB,B1C⊥BC1, AB,BC1?平面ABC1D1, AB∩BC1=B, 又BD 1?平面ABC 1D 1, 所以B 1C ⊥BD 1,又因为EF ∥BD 1, 所以EF ⊥B 1C. (3)因为CF ⊥平面BDD 1B 1, 所以CF ⊥平面EFB 1且CF=BF=, 因为EF=BD 1=, B 1F=== , B 1E= = =3, 所以EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°, 所以1 1 1 B EF C C B EF B EF 1V V S CF 3 --== =×·EF ·B 1F ·CF =×× × × =1. 21.【证明】(1)因为点D,E 分别是BC,B 1C 1的中点, 所以A 1E ∥AD,EC ∥B 1D, 故A 1E ∥平面AB 1D, EC ∥平面AB 1D,又A 1E ∩EC=E, 所以平面A 1EC ∥平面AB 1D. (2)因为△ABC 是正三角形, 点D 是BC 的中点,所以AD ⊥BC, 又因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1, 又BC1⊥B1D,AD∩B1D=D, 从而BC1⊥平面AB1D.又BC1 平面A1BC1, 所以平面A1BC1⊥平面AB1D. 22.【解题指南】(1)通过线面平行的判定定理,利用平行四边形的性质作辅助线来证明. (2)先作出平面EBD与平面ABC的交线,然后利用面面垂直的性质定理证明CD⊥平面ABGC,进而证明BG⊥平面CDG,得到二面角的平面角,最后解直角三角形得到结论. 【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P. 证明如下: 取AB的中点F,连接DP,PF,EF,则 FP∥AC,FP=AC, 取AC的中点M,连接EM,EC, 因为AE=AC且∠EAC=60°, 所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC. 所以四边形EMCD为矩形,所以ED=MC=AC. 又因为ED∥AC,所以ED∥FP且ED=FP, 所以四边形EFPD是平行四边形. 而EF?平面EAB,DP?平面EAB, 所以DP∥平面EAB. (2)过点C作CG∥AB,过点B作BG∥AC,CG∩BG=G, 连接GD. 因为ED∥AC,所以ED∥BG,所以B,E,D,G四点共面, 所以平面EBD与平面ABC相交于BG, 因为CD⊥AC,平面ACDE⊥平面ABGC, 所以CD⊥平面ABGC,BG?平面ABGC, 所以BG⊥CD,又BG⊥GC,CD∩GC=C, 所以BG⊥平面CDG,所以BG⊥DG, 所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ, 设AB=AC=AE=a,则GC=AB=a, DC=EM=a, 所以GD== a. 所以cosθ=cos∠DGC==. 【拓展提升】剖析空间角问题 (1)求空间角的基本原则 求空间角时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上. (2)解题步骤: ①找(或作)出所求角; ②证明该角符合题意; ③构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角. (3)空间角包括以下三类: ①求异面直线所成的角关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角. ②求直线与平面所成的角关键是在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在此基础上进一步确定垂足的位置. ③求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.一般常用两种方法:定义法,垂面法. 平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。 一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形; 平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标 高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式: § 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a 高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B 《必修4》 第二章 平面向量 一、知识纲要 1、向量的相关概念： （1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为AB 或a 。 向量又称矢量。 ①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。 记作：|AB |或｜a ｜。 向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 （3）零 向 量： 长度为0的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。 ①｜a ｜＝0； ②0 与0的区别：写法的区别，意义的区别。 （4）单位向量：模长为1个单位长度的非零向量叫单位向量。 若向量a 是单位向量，则｜a ｜= 1 。 2、 向量的表示： （1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意：方向是“起点指向终点”。 （2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b → 等； （3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、j 为基底向量，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的 坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。此时｜a ｜。 若已知1122(,)(,)A x y B x y 和，则()2121=--AB x x y y ，， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。 平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b . 思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 平面向量 A 组 一、选择题 1．化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得（ ） A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 2．设00,a b u u r u u r 分别是与,a b r r 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．00a b =u u r u u r B ．0 01a b ?=u u r u u r C ．00||||2a b +=u u r u u r D ．00||2a b +=u u r u u r 3．已知下列命题中： （1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r ， （2）若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r （3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?r r g 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a b ＝0，则a ∥b C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a| D ．若a ⊥b ，则a b ＝(a b)2 5．已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥r r ，则x =（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值， 最小值分别是（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,0 二、填空题 1．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则 3 1 AB =_________ 2．平面向量,a b r r 中，若(4,3)a =-r =1，且5a b ?=r r ，则向量=____。 3．若3a =r ,2b =r ，且与的夹角为0 60，则a b -=r r 。 4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5．已知)1,2(=a ρ 与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________。 三、解答题 1．如图，ABCD Y 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB u u u r =a r ，=b r ， 试以a r ，b r 为基底表示、BF u u u r 、CG u u u r ． 2．已知向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a 的模。 3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→ AB 的比为3-，又(1,3)b → =，求→ b 在→ AB 上的投影。 4．已知(1,2)a =r ,)2,3(-=,当k 为何值时， （1）ka b +r r 与3a b -r r 垂直？ （2）ka +r 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？ B 组 一、选择题 1．下列命题中正确的是（ ） A ．OA O B AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u r C ．00AB ?=r u u u r r D ．AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 高中数学平面向量组卷 一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?=（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（） A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则 的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形 9．已知点G是△ABC的重心，若A=，?=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量?=（） A．﹣B．C．﹣D． 11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象 交于D，E两点，则（）?的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）?（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形 13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心 15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（） A．B．C．D． 2020年高中数学必修4《平面向量》教案精 品版 平面向量说课稿 各位评委,老师们:大家好! 我说课的内容是<平面向量>的教学,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4,第二章。针对我校学生基础相对较好.我在进行教学设计时,也充分考虑到了这一点。 下面我从教材分析,教学目标的确定,教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。 一教材分析 (1)地位和作用 平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。 (2)教学结构的调整 将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成。 (3)重点,难点,关键 重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示 难点：向量的概念 关键：多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深理解 二教学目标的确定 (1)基础知识目标:理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 (2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。 (3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。 三教学方法的选择 Ⅰ教学方法:本节课我采用了“启发探究式”的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点: (1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线 (2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法 Ⅱ教学手段 使用多媒体投影仪、计算机辅助教学 四教学过程的设计 Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标 (1)创设情境——引入概念 (2)观察归纳——形成概念 (3)讨论研究——深化概念 Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念 (1)总结反思——提高认识 (2)即时训练—巩固新知 ［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．；）＋（ B ．）；＋＋（M C ．；－＋BM A D M B D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ） A ． 65 63 B ．65 C ． 513 D ． 13 4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且?→ ?AB ＝→ a ，?→?AE ＝→ b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1 →→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 6．设→ a ，→ b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→ a ＝（1，2），→ b ＝（－2，3），且k → a +→ b 与→ a －k → b 垂直，则k ＝（ ） （A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23± 11、若平面向量(1,)a x =r 和(23,)b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈.则a b -=r r （ ） A. 2-或0； B. C. 2或 D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ） 必修4 第二章平面向量教学质量检测 姓名: 班级: 学号: 得分: 一.选择题（5分×12=60分）: 1．以下说法错误的是（ ） A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为的是（ ） A ．；）＋＋（BC CD A B B ．）；＋）＋（＋（CM B C MB A D C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ） A ． 6563 B ．65 C ．5 13 D ．13 4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 5．已知ABCDEF 是正六边形，且?→ ?AB ＝→ a ，?→?AE ＝→ b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1 →→-b a （B ） )(2 1→→-a b （C ） →a ＋→ b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 6．设→ a ，→ b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→ ?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?=r r r r 规定00a ?=r r ， 22||a a a a ?==r r r r （2）、向量夹角公式：a r 与b r 的夹角为θ，则cos ||||a b a b θ?=r r r r （3）、向量共线的充要条件：b r 与非零向量a r 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=r r 。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r 平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥r r 0a b ??=r r ?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+r r r r ，||||||a b a b ≥?r r r r （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ，则a b ?=r r 1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b r ︱cos θ=|| a b a ?r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0ρ，其方向是任意的，0ρ与任意向量平行零向量a ρ＝0??｜a ρ｜＝0 由于0r 的方向是任意的， 且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a ρ为单位向量?｜0a ρ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ρ∥b ρ(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1=ρ或()n m u ,=ρ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0ρ=+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出() +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。 （8）给出MP MB MA =?? ?λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形; 数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行， 零向量a ＝0?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a ?=。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为： ||a a e a = (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a ； ③ ()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b -,b =a -,a +b =0 。 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -. 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =. （6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理 定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122 a e e λλ=+. （1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成. （3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a =，(1,1) b =-，(1,2) c =-，则c = . 结果：1 322 a b -. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e = D.1(2,3)e =-，213,2 4e ??=- ??? （3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：24 33 a b +. （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下： （1）模：||||||a a λλ=?； （2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=， 注意：0a λ≠. 五、平面向量的数量积 1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作O A a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角. 当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2 π θ=时，a ，b 垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?，即||||cos a b a b θ?=?. 规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量. 举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ?=_________. 结果：9-. （2）已知11,2a ??= ??? ，10,2b ? ?=- ?? ? ，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4 π，则k = ____. 结果：1. （3）已知||2a =，||5b =，3a b ?=-，则||a b +=____. 结果：23. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30. 3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0. 高中数学必修4平面向量知识点 1.平面向量基本概念 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终 点的有向线段记作或AB; 向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|; 零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。(注意粗体 格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上 加箭头，以免混淆); 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量; 平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a; 单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。 相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 2.平面向量运算 加法与减法的代数运算： (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)||=||·||; (2)当a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0. 两个向量共线的充要条件： (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=. (2)若=(),b=()则‖b. 3.平面向量基本定理 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2. 4.平面向量有关推论 三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC 的重心。 三点共线：三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 必修四平面向量基础练习题 1．下列向量中，与向量c (23)=，不． 共线的一个向量p =（ ） A ．(32)， B ．3(1)2， C ．2(1)3， D ．11()32， 2．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，ABC ?的AB 边长为2，P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，AB AQ BA BP n ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．24m n ==， B ．31m n ==， C ．26m n ==， D ．3m n =，但m n ，的值不确定 4．若向量BA u u u r ＝(2,3)，CA u u u r ＝(4,7)，则BC uuu r ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10) 5．已知a 、b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是 ( ) A.a 与b 相等 B.如果a 与b 平行，那么a 与b 相等 C.a ·b ＝1 D.2a ＝2b 6．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，CF:FB=2:1，那么EF u u u r ＝( )． A.12AB u u u r －13AD u u u r B.14AB u u u r ＋12AD u u u r C.13AB u u u r ＋12AD u u u r D.12AB u u u r －23AD u u u r 7．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r =（ ） A.OM u u u u r B.2OM u u u u r C.3OM u u u u r D.4OM u u u u r 8．已知D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一个点P ，满足PA PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，则|||| PD AD uuu r uuu r 的值为 （A ） 13 （B ）12 （C ）1 （D ）2 9． 空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN u u u u r =（ ） A ．121-232 a b c +r r r B ．211322a b c -++r r r C ．112-223a b c +r r r D ．221-332a b c +r r r 10．在直角三角形ABC 中，2C π ∠=，2AB =，1AC =，若32AD AB =u u u r u u u r ，则CD CB ?=u u u r u u u r ． 11．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CA CB CM 2 131+=，则MA MB ?u u u r u u u r = ． 12．已知在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o ，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的 中点，则CP CB CP CA ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r _________． 13．已知向量()1,2a =r ，()3,1b =r ，则b a -=r r （ ）高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
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