§4-1 概述
系统的频域分析法，是将通过傅利叶变换，将信号分解成多个正弦
函数的和（或积分），得到信号的频谱；然后求系统对各个正弦分量的响应，得到响应的频谱；最后通过傅利叶反变换，求得响应。
频域分析法避开了微分方程的求解和卷积积分的计算，容易求得系统的响应。但是它必须经过两次变换计算，计算量比较大。但是在很多情况下，直接给定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或少用变换。
频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。
§4-2
信号通过系统的频域分析方法
一、系统对周期性信号的稳态响应
1、 基本思路：
周期性信号可以表示（分解）成若干个（复）正弦函数之和。只要分别求出了系统对各个（复）正弦函数的响应（这一点已经在电路分析课程中做了充分讨论），就可以得到全响应。 ? ? 稳态响应：周期信号是一个无始无终的信号，可以认为在很远的
过去就已经加到系统上，系统的响应已经进入了一个稳定的状态——响应中只存在稳态响应。 2、 电系统对周期信号的响应： 1） 将周期信号分解为傅利叶级数； 2） 求电路系统对各个频率信号的作用的一般表达式——网络函数
)(ωj H ―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应
3） 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4） 将响应叠加，得到全响应。
注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的矢量叠加。 例：P167， 例题4-1
? 某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号）也可以用这种分析方法。例如信号：
t t t e πcos cos )(+=
虽然不是周期信号，但是也可以分解成为周期信号的和，从而也可以用这种方法求解。 3、 通过微分方程求系统对周期信号的响应：
在很多场合，已经给出了系统的微分方程，如何求解系统对周期信号的响应？
（1） 对于用微分方程描述的一般系统，有：
)
()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d
b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt
d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 我们可以先
假设系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号（这个假设是否成立？有待验证！） 设：激励信号是复正弦信号t
j e
j E ωω?)(，其响应也是同样频率的复正
弦信号t
j e j R ωω?)(。其中)(ωj E 、)(ωj R 分别为频率为ω
的复正弦激励和响应信号的复振幅。将其带入微分方程，可以得到：
()
()
t j m m m
m
t
j n n n e j E b j b j b j b e j R a j a j a j ωωωωωωωωωω)()(...)()
()()(...)()(0111011
++++=++++---或：
()
()
)()(...)()
()
()(...)()(0111011
ωωωωωωωωj E b j b j b j b j R a j a j a j m m m
m
n n n ++++=++++---所以，
)
()(...)()()(...)()()
(0
110111ωωωωωωωωj E a j a j a j b j b j b j b j R n n n m m m m ++++++++=---
可见，“系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号”
这样的假设完全成立，可以找到满足系统对t
j e j E ωω?)(的响应
t j e j R ωω?)(。如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证明只有
t j e j R ωω?)(可能是系统对t j e j E ωω?)(信号的响应。
令系统的传输函数为：
0110111)(...)()()(...)()()
(a j a j a j b j b j b j b j H n n n m m m m ++++++++=
---ωωωωωωω
它实际上可以将时域中的转移算子)(p H 中的算子p 用ω
j 替代后得到。这里的H 完全是一个代数表达式，可以应用所有的代数运算法则。
这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为为：
)()()(ωωωj E j H j R =
)(ωj H 反映了复正弦激励下激励信号的复振幅与响应信号复振
幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于)(ωj E 和)(ωj H 幅度的积，相位)(ωj E 和
)(ωj H 两者相位的和。
由此可以得到根据微分方程求解系统对周期信号响应的方法： 1） 将周期信号分解为复数傅利叶级数的和；
2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用ωj 替代后得到)(ωj H 。
3） 求系统对各个复频率点上的信号的响应：
)()()(i i i j E j H j R ωωω=
4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。
? 这里的结论和方法与电路稳态分析中的结论相似，只不过在正弦稳态分析中讨论的是信号对于实正弦信号的响应，而这里讨论的是对复正弦信号的响应。
? 实数正弦信号可以表示为两个幅正弦信号的和：
2)cos(t
j t j e e t ωωω-+=
。系统对这两个基本点复正弦信号的传输函数分
别为)(ωj H 和)(ωj H -。如果微分方程中的系数都是实数，则可以得
到)()(*
ωωj H j H =-。
假设：
)()()(ω?ωωj e j H j H =
则系统对正弦信号的响应为：
[]
2)()(2
)()()(*
t j t j t
j t j e j H e j H e j H e j H t r ωωωωωωωω+=
-+=
- ()())(c o s )(2
)
()()(ωωωωωωωω?+=+=-?-?t j H e e e e j H t j j t j j
所以，)(ωj H 同时也反映了系统对频率为ω的实正弦信号的幅度
和相位的影响。这就是电路正弦稳态分析中的结论。所以，这里的第二步也可以改为： 1） 将周期信号分解为实数傅利叶级数的和；
2） 求出系统转移算子)(p H ，将其中的算子p 用
ωj 替代后得到)()()(ω?ωωj e j H j H =。
3） 求系统对各个频率点上的信号的响应： ())(cos )()(ωωω?+=t j H t r i
4） 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。 求系统对各个频率点上的信号的响应： 4、 系统的频率特性
)(ωj H 在特定ω点上的取值实际上表示了系统对该频率点上的信号
的幅度和相位的影响。由)(ωj H 可以引出系统的频域特性： 1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信号幅度和相位的影响。 2）频率特性曲线
系统的传输特性也可以用图形的方法表示。系统的传输特性曲线同样可以分为幅频特性和相频特性。其中：
● ● 幅频特性曲线作出了)(ωj H 与频率之间的关系，描
述了系统对各个频率的（复）正弦信号的幅度的影响， ● ● 相频特性曲线作出了)(ω?与频率之间的关系，描绘了
系统对各个频率的（复）正弦信号的相位的影响。
系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出： （1） 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性曲线； （2） 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性曲线。 由输出信号的频谱不难求得输出信号。
? 系统的相频特性)(ω?有两种定义方法。第一种是直接定义为
)(ωj H 的相角，即令)
()()(ωωω?=j e j H j H ；第二种是定义为
)(ωj H 的相角的负数，即令)
()()(ωωω?-=j e j H j H 。在这两种定义
下的相位特性的符号相反。
两种定义中，第一种定义数学上比较直接；第二种定义在画相频特性曲线时比较方便：因为实际系统的)(ωj H 相位在0>ω时一定是负数——它只可能将信号延时，而不会将信号提前。
二、系统对非周期信号的零状态响应
非周期信号通过线性系统的zs r 的求解方法的基本思想与周期信号相似，都是将信号分解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，最后求和（积分）。
在某频率点ω，实际（复）振幅是一个无穷小量： ωπωωπωωd j E j E j E T T 2)()(2lim )(1lim )(0=Ω==→Ω∞→E
所以其响应为：
ωπωωωωωd j E j H j H 2)()()()()(==∴E R
将各个子信号的响应相叠加，求和（积分）：
{})()(...)()(212)()()()(ωωωωωπω
πωωωωωωω
j E j H T F I d e j E j H d e j E j H e t r t j t j t j ====∴??∑∞
+∞
-∞+∞-R
或：{})()()(..)(ωωωj E j H t r T F j R ==∴
由此可以得到求解系统对非周期信号的zs r 步骤：
1） 通过F.T.，求激励信号
)(t e 的频谱: {})(..)(t e T F j E =ω 2） 通过电路稳态分析或者系统的转移算子，求出系统对各个频率点
上信号的影响——频域特性)(ωj H （又称频域传输函数） 3） 求出系统响应的频谱特性: )()()(ωωωj E j H j R =
4） 通过I.F.T ，求
)(t r ：
{}?
+∞
∞
-=
=ω
ωπωωd e j R j R T F I t r t j )(21
)(..)(
周期性信号与非周期信号分析方法比较：
相同：
通过变换，将以时间为自变量的信号，变为以频率为变量的函数。避免求解微分方程，但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。 差异： 1） 一个使用FS ，将信号分解为许多个有限振幅的正弦信号之和；另一个用FT ，将信号分解为许多个具有无穷小振幅的正弦信号之和； 2） 在叠加时，一个用叠加，一个用积分（I.F.T.）
非周期信号的分析方法，也可以从数学的角度，通过对微分方程两边同时求取傅利叶变换而得到。
对于用微分方程描述的一般系统，有：
)
()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d
b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt
d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------
? ?
非周期信号通过线性系统的zs
r 求解公式还有第三种推导方法：
根据卷积积分公式，有：
)()()(t h t e t r ?=
{}{}{}{})(.)(.)()(.)(.t h T F t e T F t h t e T F t r T F =?=∴
)()()(ωωωj H j E j R =∴
注意：这里的)(ωj H 为： {})(..)(t h T F j H =ω
它定义为系统冲激响应的F.T. 。对照前后公式，可以得到：系统的频域传输函数就是系统冲激响应的F.T.。
频域法和时域法各有利弊。频域法中避免了求系统的冲激响应和卷积计算，)(ωj H 可以通过系统微分方程求得，在实际应用中也可以通过实验的方法求得。但是增加了F.T. 和I.F.T. 计算。
系统的频域特性)(ωj H 是实际工程应用中描述系统特性的
最常用方法，其应用的广泛性程度远远超过了微分方程描述形式。它可以给出系统很多特性。
如第三章中所述，周期信号（例如周期性方波、正弦波等）
也存在傅里叶变换，所以这里所说的“非周期信号的作用下的零状态响应”求解方法实际上也适合于求解系统对周期性信号的稳态响应。相关推导可以自己完成。
例4－2－1 单位阶跃电压作用于下图所示的RC 电路，求电容器上的响应电压。
解（1）将激励信号表示为正弦分量之和，即求输入信号的频谱。
我们很容易求得阶跃函数的频谱
()(){}()1j j E F t ωεπδωω==+
(2)找出联系响应与激励的系统转移函数()j H ω。这里即为电压传输系数。 ()22212122121j C 1j C
j 1j R j C
1j C R R R H R R R C R R R ωωωωωω?
+
==
++?
+
+
21211j R R R ωτ=?++（式中
1212R R C
R R τ=+为电路的时间常数） (3)求输出响应的频谱。
()()()()212
11j j j j 1j C R U E H R R ωωωπδωωωτ??=?=
+??++??
(4)由输出响应的频谱经傅里叶反变换求时域响应
()
C u t 。
()(){}
()()()()()11212121211212212j 111+j j 1+j 1j 1j 111j j 1e C C t
u t F U R F R R R F R R R F F R R R t R R τ
ωπδωωτωωττπδωωωτπδωωωτε------=????=+??
+??????
=
+-??
++?
???????????=+-??????+??????
+??????
??=- ?+?
?
例4－2－2 一线性系统频响曲线如下图所示，设激励信号为
t t t e 2cos 2cos 22)(++=,求零状态输出响应。
解 (1)求输入激励的频谱。
由周期信号的频谱密度函数可得
)(ωj E =)(4ωπδ+[])1()1(2-++ωδωδπ+[])2()2(2-++ωδωδπ
(2)求系统函数)(ωj H 。 由给出的频响曲线可以写出
222()02j e
H j ωπωωωω-??
-<=??>?
(3)求响应的频谱。
)1(2)1(2)(8)
()()(2
2
-+++=?=-ωδπωδπωπδωωωπ
π
j
j
e e j H j E j R (4)由输出响应的频谱经傅里叶反变换求取时域响应。
{}t
t e
e
j R F t r t j t j sin 242cos 244)()(221+=?
??
?
?-+=++==??
? ??-??
? ??---πωππ 可见输入信号中的二次谐波被滤除，只留有直流与基波分量。输入输出频谱结构如图所示。
假设激励信号e(t)的傅利叶变换为)(ωj E ，响应信号r(t)的傅利叶变换为)(ωj R 。对上式等式两边同时求傅利叶变换，利用傅利叶变换的性质，可以得到：
()
()
)()(...)()
()
()(...)()(0111011
ωωωωωωωωj E b j b j b j b j R a j a j a j m m m
m
n n n ++++=++++---所以，
)
()()()(...)()()(...)()()
(0110111ωωωωωωωωωωj E j H j E a j a j a j b j b j b j b j R n
n n m m m m =++++++++=---
§4-3
理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应
一、 滤波器的概念
在实际应用中，系统特性经常被描述成“允许某些信号分
量通过、同时阻止其它分量信号通过”，或者是“滤除一些无用的信号分量”的形式。这样的系统被称为滤波器。如果这个系统是模拟系统，则相应的系统被称为模拟滤波器；如果这个系统是
离散系统（绝大多数情况下用数字系统实现），则相应的系统能够被称为数字滤波器。
在滤波器中，“有用”和“无用”信号之间常常通过频率
范围划分：
? ? 如果某系统被设计为让低于某特定频率（该频率被称
为截止频率）的信号分量通过而不让高于此频率的信号分量通过，则该系统被称为低通滤波器（LPF ）。
? ? 如果某系统被设计为让高于某特定频率的信号分量通
过而不让低于此频率的信号分量通过，则该系统被称为高通滤波器（HPF ）
? ? 如果某系统被设计为让某两个特定频率之间的信号分
量通过而不让其它频率的信号分量通过，则该系统被称为带通滤波器（BPF ）
? ? 如果某系统被设计为不让某两个特定频率之间的信号
分量通过而让其它频率的信号分量通过，则该系统被称为带阻滤波器
一、 理想低通滤波器（ILPF ）
其它
0)(0
ωωωω
?=-t j ILPF Ke j H
其它几种理想滤波器：
高通滤波器
带通滤波器
带阻滤波器
二、ILPF 的冲激响应：
{}
[])(21)(21)()(000)(000t t Sa K d Ke d e j H j H IFT t h t t j t
j ILPF ILPF ILPF -===
=??--∞+∞-ωπ
ωωπωωπ
ωωωωωω
响应信号的波形:
三、 ILPF 的阶跃响应：
激励信号)()(t t e ε=的频谱：
ωωπδωj j E 1
)()(+
=
则响应信号的频谱： 其它
01)()
()()(0ωωωωπδωωωω
?????????+==-t j ILPF e j K j H j E j R
响应信号： {}[])(2)(..)(00t t Si K
K j R T F I t r -+=
=ωπω
其中：
?
=
x
dy y y x Si 0
sin )(
激励和响应信号的波形如下：
关于ILPF 的阶跃响应的几点讨论： 阶跃信号通过ILPF 以后： 1） 1） 信号边沿变缓——高频分量有损失。
系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。 2） 2） 信号波形发生了失真——因为信号的有些分量没有通过。
什么样的系统才可以不失真地传输信号？4.8节中将讨论这个问题。 3） 3） 信号有延时——系统相频特性的影响。 4） 4） 系统响应超前于激励——物理不可实现。
什么样的系统物理可实现？下一节中将讨论这个问题。
例4－3－1
例4－3－1： 求下面理想低通滤波器对矩形方波的响应
???<==-other e e
j H j H c
t j j j 0
.1)()(0
)
(ωωωωωω?
解：
)1)(()1(1
)(ωτωτωπδωωj j e e j j E ---+-=
)1](1
)([)(t
j j e e j j R ωωτω
ωπδω---+=
{}
)]([)([1
)(21)(00t t Si t t Si d e j R t r t
j ---==?∞∞-ωωπ
ωωπ
ω
其中:
?
=y dx x x
y Si 0
sin )(
§4-4 Paley-Wiener 准则
一、 因果系统或物理可实现系统
1、 定义：在任何情况下都满足因果关系（响应不超前于激励）的系统。
2、 系统满足因果性的充分必要条件为：
)(t h 当0 如何判断系统是否物理可实现？ ● ● 可以从系统的冲激响应得出。但是系统的冲激响应往往 难于得到。 ● ● 在实际应用中，系统特性更多地是使用频域特性进行描 述。此时，如何根据频域特性判定系统是否物理可实现？ 二、从系统频率响应函数判断系统因果性——Paley-Wiener 准则： 在∞ +∞ ∞ -ωωd j H 2 )(（存在且有限）的前提下，系统物理可实现 的充分必要条件是 ∞ <+? ∞ +∞ -ωωωd j H 2 1) (ln ● ● 根据这个定理，系统的幅频特性可以在某些的频率点上 等于零，但是不可以在一段频率区间上都等于零。 ? ? 这就是理想低通滤波器物理不可实现的原因。 三、物理可实现的LPF 低通滤波器是实际工程应用中最常用的滤波器。既然理想的LPF 不能够实现，那什么样的LPF 才可以实现呢？ 带通形滤波器设计的几个常见名词： 通带：允许通过的信号频率范围； 止带：不允许通过的信号频率范围； 根据Paley-Wiener 准则以及实际系统条件的限制，为了能够 得到物理可实现的滤波器，必须对滤波器的设计要求有所放松： ? ? 允许在通带和止带之间有缓冲； 过渡带：通带和止带之间的允许缓冲部分； ? ? 允许在止带内幅频特性不等于零，只要幅频足够小，就可 以系统认为达到了阻止相应信号通过的目的。 止带衰减：止带中各个频率分量上频率特性允许出现的最大的幅度。 ? ? 通带内的各个频率上的增益允许有一定的差异。 通带内起伏：通带内各个频率点上的频率特性允许的误差最大值； 以下是几种常见的滤波器： 1、 最大平坦LPF （Butterworth LPF ） n n c j H 2202 1111)(Ω+= ??? ? ??+= ωωω 其中： 0c def ωω= Ω 被称为归一化频率值；0c ω称为3dB 截止频率，或简称截止频率。 其幅频特性如下图： ● ● 这里只给出了系统的幅频特性。满足这个特性的系统的频率特性)(ωj H 或者系统的微分方程应该是怎样的？——在拉普拉斯变换一章中将给出详细的解释。 2、 通带起伏型LPF （Chebyshev LPF, Cauer LPF ） 通带起伏形LPF 允许在通带内的幅频特性有一定的起伏，其幅频特性如下图： 以低通滤波器为基础,通过一定的转化,可以设计出高通、带通、带阻等其它滤波器。 滤波器设计问题属于系统综合问题，不属于本课程的研究范畴。这里只是略作介绍。 例4－4高斯幅频特性是否物理可实现？ 解： 根据Paley-Wiener 准则：物理可实现的必须满足 ∞ <+?∞ ∞ -ωωωd j H 2 1)(ln 而高斯幅频特性 ()??? ?? -=-=-=??? ? ?++=+=+=+∞ →-∞→--∞→∞∞-∞ ∞-∞ ∞ -∞ ∞ -????2lim 2(2lim lim 11111) ln(1) (ln 1122 2 22 2 πωωωωωωωωωωωωωB B tg B tg d d d e d j H B B B B B 从上我们可以看出具有高斯幅频特性不满足Paley-Wiener 准则，是发散的，所以物理不可实现。 §4-5 调制与解调 一、 调制与解调 1、调制必要性 1）便于发射 2）利于传输 3）可以充分利用资源 2、调制的定义 用待传输的信号（调制信号），控制另外便于传输的信号（载波）的某一个参数的变化，以便达到传输信号的目的。 3、调制种类： 常用的调制方法： 1） 基于（高频）正弦波的调制， )cos()(000?+=t A t a c ω 相应的调制方法有： （1） 幅度调制（AM ，调幅波）：用调制信号控制载波的幅度，调制后的波称为调幅波。 （2） 频率调制（FM ，调频）：用调制信号控制载波载波的频率；调制后的波称为调频波 （3） 相位调制（PM ，调相）：用调制信号控制载波载波的相位；调制后的波称为调相波 此外还有其它一些二次调制方法，这里不一一介绍。 2） 基于脉冲波的调制： 原始信号是一系列的周期性的脉冲序列，用调制信号控制脉冲的幅度（脉冲幅度调制）、宽度（脉冲宽度调制）或间隔（脉冲间隔调制）等。 4、解调：从调制信号中恢复出原始的信号的过程。 解调是调制的逆过程。随各种调制方法的不同，解调的方法也不同。 二、 调幅波的调制与解调 1、 调制： 1）定义： 将调制信号加在载波信号的幅度上： ())cos()()(00?++=t t ke A t a c ω 其中e(t)是含有信息的调制信号，它的变化速度一般远远低于载波变化速度。调制信号的存在导致载波信号的大小随时间变化。 幅度调制属于线性调制，它满足齐次性和叠加性。而FM 和PM 调制都属于非线性调制。 2) 2) 调幅波的频谱： 调制信号及其频谱 相应的AM 波及其频谱: 其中,加上直流分量0A 的作用是使得调制后的波形的包络保持原来调制信号的形状,以利于解调。 (见Am.m) 从频谱图中可以看出：幅度调制以后,所占用的频带的宽度等于信号最高频率分量的两倍. ? ? 频谱中的上边带,下边带与载波分量。 3) 调制系数 调幅波幅度变化的最大值与载波调制前的幅度的比值称为调制系数： ()0 max )(max A t ke A A m = ?= 定义上调制系数 00max A A A m a -= ，上调制系数0 max A A A m a -=，下调 制系数0 min 0A A A m b -= 。 一般),max( b a m m m =。如果b a m m m ==，则称为对称调制。如果1>b m ，则称为过调制。 一般调制都默认为对称调制。 如果调制信号是一个周期性函数，可以表示成为傅利叶级数的和: ∑+∞ =+=1 ) cos()(i n n t n E t e φΩ 假设其中每一个分量单独进行调制时的调制系数称为部分调制系数： 0A E m n n = （n=1,2,…）此时的AM 信号为： ) cos()cos()(010?ωφΩ+??? ??++=∑∞ =t t n m A t a c n n n (见Am.m) 4) 调制系统框图 5) AM 波的功率 (1) 载波功率：2 021A P c = (2) 瞬时功率：（在一个载波周期内的平均功率） ()20)(21 )(t ke A t P T += (3) 最大功率： ()c a P m A A t P 22max 0max )1(21 )(+=?+= 如果是对称调制，则c P m t P 2 max )1()(+=。 (4) 平均功率：（在一个调制波周期内的平均功率） c n n P m P ??? ??+=∑∞=12211 以单正弦波调制为例，在m=1时，c P P 4max =，c P P 5.1=。 例4－5－1 例4－5－1 已知调幅波 ()tV t t u c ωcos 3cos 20cos 30100Ω+Ω+= 试求: (1)这一调幅波包含哪几个正弦分量； (2)这调幅波电压加于Ωk 1负载电阻时负载中吸收的载波功率和边带功率。 解 (1)将已给调幅波按三角公式展开，得 ()()()()()10030cos 20cos3cos 100cos 30cos cos 20cos3cos 100cos 15cos 15cos 10cos 310cos 3V c c c c c c c c c u t t t t t t t t t t t t t ωωωωωωωωω=+Ω+Ω=+Ω+Ω=++Ω+-Ω++Ω+-Ω 所以该调幅波中包含有五个正弦分量，即振幅为100V 的载频分量；振幅为15V 的第一对 上下边频分量，其频率分别为 c ω±Ω；振幅为10V 的第二对上下边频分量，其频率分别为 3c ω±Ω。 A t c ωcos ) t (2)载波功率为 22 m0111005W 221000c U P R === 两对边频分量的功率共为 22m3 m1s 221122215100.325W 10001000U U P R R ??=+ ? ??=+= 2、 调幅信号的解调 1） AM 波解调方法： （1） 包络解调法 用电路提取出AM 波的包络。 优点：电路简单，容易实现。 缺点：输出信号中含有一定的干扰。 （2） 同步解调 原来调制信号与频谱 : 调幅信号的频谱 乘以t c ωcos 后的频谱： 如果经过一个低通滤波器后，可以得到与原来调制信号一样的频谱。其中只有直流分量与原信号不同， 但是考虑到原来的调制信号中一般不含 ) t c ωcos 有直流分量，所以这里的差异可以不考虑。 例：单正弦或周期性信号调制AM波频谱。 ??如果原来在调制时就没有加直流分量，则这里就完全是调制 信号了。这样的调制叫做抑制载波幅度调制（AM－SC）。这种调制方式对于发射机的功率利用率比一般的AM波高。 抑制载波幅度调制信号: 原来的信号及其频谱: 调制后的信号及其频谱： 可见，没有直流分量以后，难于从调制过的信号的包络上看出调制信号。这样的信号显然无法用包络解调的方法进行解调。但是还是可以用同步解调的方法进行解调。 这样,经过低通滤波器以后,可以恢复出原来的信号。 同步解调的优点： 不仅能够解调AM波，还可以解调出没有载波的AM－SC波以及后面的其它改进的幅度调制波。 问题： (1)电路复杂; (2)解调端产生的参考载波的频率必须与调制端完全一致，否则就无法恢复出原来的信号。 ??如何让调制和解调端产生的载波完全一致？ ——一般在信号中适当地保留一些载频信号，接收端可以利用其中的信息通过锁相环电路恢复出与调制端完全相同频率的载波信号。 3、AM波的改进： 除了上面的AM-SC以外，还有一些改进的幅度调制方法。 例如：AM波中的上下边带含有相同的结构，可以去处一个，节省频带，由此引出几种改进的调制方式：单边带（SSB）调制，残留边带调制。后者更容易实现，如TV系统。这种调制方法在占用的频带、发射机功率等方面比AM－SC方法更加优越，但是系统也更加复杂。 这种系统的解调只能用同步解调。 例：上边带（USB）调制： 原来AM－SC波频谱： 将其通过一个截止频率为c ω的高通滤波器，就可以得到上边带（USB ）调制信号，其频谱图为： 采用同步解调后，信号的频谱为： 可见，通过低通滤波器，可以还原出原始调制信号的频谱，从而可以在时域还原出原始调制信号。 ? ? 通过上面这个例子，可以看出频域分析法的好处：虽然在这 里难于得到调制后的信号的时域表达式，但是通过频谱分析可以很容易的推导出同步解调的原理。 ? ? 通过调制，可以达到在一个媒介中同时传输多路信号的目的 ——频分复用（FDMA ）。下节将详细讨论。 4、 AM 波通过系统不产生失真的条件 如果待传输的信号是AM 波，则我们所关心的是它含有信息（调制信号或AM 波的包络）是否发生了失真。这时，系统不产生失真（或严格地说，不使AM 波携带的信息产生失真）的第二个条件可以放宽为“相频特性为任意一条直线”。 这里以周期性信号调制AM 波为例证明： 调制信号为: ) cos()cos(1)(010?ωφΩ+?? ?? ??++=∑∞ =t t n m A t a c n n n [] (()[]()[]?? ????????+--++++++=∑ ∞ =00000cos cos 2)(cos n n c n c n c t n t n m t A ?φΩω?φΩω?ω假设某系统的幅 频特性等于1，相频特性为： b k +=ωω?)( 则：b k c c +=ωω?)( b kn k n c c ++=+ΩωΩω?)( b kn k n c c +-=-ΩωΩω?)( 则AM 信号通过该系统后的响应为： [] (()[]()[]??? ???????+-++--+++++++++++=∑ ∞ =10000cos cos 2)(cos )(n c n c c n c n c c b kn k t n b kn k t n m b k t A t x Ωω?φΩωΩω?φΩωω?ω[](()()[]()()[]??? ???????++-++++++++++++++=∑ ∞ =10000)(cos )(cos 2)(cos n n c c n c c n c c n t k b k t n t k b k t m b k t A φΩω?ωφΩω?ωω?ω[](()(){}???+++++++++=∑∞ =1000)(cos cos )(cos n n c c n c c n t k b k t m b k t A φΩω?ωω?ω[]()b k t n t k m A c c n n n +++?? ????+++=∑∞=ω?ωφΩ010cos )(cos 1 可见：对于调制信号而言，各个调制信号分量产生的延时都是k ，相互的相位和幅度关系都没有变化。所以，即使这个直线没有过原点导致AM 波信号本身产生了失真，但是其含有信息的部分——包络——却不会产生失真。这就证明对于调幅波而言，相位不失真只是要求相频特性是一条直线（不一定要过原点）。 ? ? 这也是信号必须经过调制再传输的原因之一。信号被调 制后只“要求信道的相频特性是一条直线”就可以进行不失真传输，这比“要求信道的相频特性不仅是直线而且要过原点”显然要简单得多。这个条件在实际应用中也容易得到满足。 ? ? 对于很多信道而言，在高频段容易找到相频特性为线性 （或者近似为线性）的适合于传输信号的频段。一般文献中的“非色散信道”常指这种信道。 ? ? 系统的时延：系统对激励信号（或者其各个信号分量） 产生的时间上的延时； ——如果系统的相频特性为)(ω?，则系统对0ω频率点的分量 产生的时延为00)(ωω?。 ? ? “群时延”“相时延” 系统对AM 波调制信号（或者AM 波的包络）产生的延时 0t (对于因果系统而言, 00≤t )称为“群时延”。系统相频特 性的直线的斜率k 决定了群时延 整个信号的相移b k +=ωω?)(对信号产生的时延 ωωω??b k t +== )(被称为系统的相时延。 ? ? 显然，如果系统的相频特性曲线过原点，则系统的相时 延与群时延相等。 三、 脉冲幅度调制 基于一系列脉冲的调制方法中，只有脉冲幅度调制的方法是线性调制，其它的（脉冲宽度调制和脉冲间隔调制）都属于非线性调制。 1、 调制原理： 用一个周期性脉冲信号()T s t 乘以调制信号()e t ，得到的就 是脉冲幅度调制信号。 ()()()T a t e t s t = 调制信号与周期脉冲信号的波形 : 调制后的信号与频谱: ()()()T a t e t s t = ● ● 如果脉冲序列的重复角频率 T π 2= Ω大于信号的最高 频率m ω的两倍，上面周期化的频谱就不会产生重叠。这时下面的解调就成为可能。 ● ● 上面这种基于方波的脉冲幅度调制可以简单地用一个 周期性闭合的电子开关实现。 2、 解调 从上面的频谱中可以看出, 如果 m ω 2≥Ω，只要让调制后的信号经过一个低通滤波器,就可以解调出原来的信号。 ? ? 脉冲幅度调制的意义并不在于信号传输，而是在于信道 的复用，也就是在一个信道中传输多个信号。 ) (t 第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。 实验五 信号与系统的复频域分析 王靖 08通信 12号 实验目的 （1）掌握利用MA TLAB 进行连续时间信号与系统的复频域分析。 （2）掌握利用MA TLAB 进行离散系统的复频域分析。 实验环境 安装MATLAB7.0以上版本的计算机 实验内容 1. 利用help 命令了解以下命令的基本用法 residue ，roots ，pzmap ，cart2pol ，residuez ，tf2zp ，zplane 2. 部分分式展开的MATLAB 实现 用部分分式展开法求X(s)的反变换。 2321 ()452s X s s s s +=+++ 步骤一：建立新的m 文件，保存并命名为program1.m 。 步骤二：输入以下命令，理解每条命令的含义。 %program1，部分分式展开法求反变换 [10 1];[1452];[,,](,) n u m d en r p k resid u e n u m d en === 步骤三：保存程序并运行，记录得到的结果。 如右图所示 步骤四：由得到的结果可以直接获得X(s)展开表示式 25 4 2 ()21(1)X s s s s =-++++： 步骤五：由此可得到X(s)反变换的原函数，记录。 X(t)=(5exp(-2*t)-4exp(-t)+2texp(-t)) 思考：将其转换成极坐标形式，应该如何使用cart2pol 命令？离散系统的部分分式展开，如何使用命 令residuez ，得到的结果如何利用？ 将笛卡尔坐标转化为极坐标用 [angle,mag]=cart2pol(real(r),imag(r)) [r,p,k] = residuez(nun,,den) 实验二连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS分析 任何一个周期为T 1 的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞=+ + = 1 0 0 )] sin( ) cos( [ )( k k k t k b t k a a t xω ω 2.1 或： ∑∞ =++=100)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞-∞== k t jk k e a t x 0)(ω 2.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算： ? --=2/2/1110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 2.4 指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度 北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析 实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为 (s)(t)e st X x dt +∞ --∞ = ? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ -∞ =? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F) L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 () F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 (,) F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 110 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++= +++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： r=roots(c)，c 为多项式的系数向量，返回值r 为多项式的根向量。 求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap 函数，调用格式如下： pzmap(sys)绘出由系统模型sys 描述的系统的零极点分布图。 [p,z]=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。 还有两个专用函数tf2zp 和zp2tf 可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。调用格 1.周期信号的频谱 周期信号在满足一定条件时，可以分解为无数三角信号或指数之和。这就是周期信号的傅里叶级数展开。在三角形式傅里叶级数中，各谐波分量的形式为()1cos n n A n t ω?+；在指数形式傅里叶级数中，分量的形式必定为1j n t n F e ω 与1-j -n t n F e ω 成对出现。为了把周期信号所具有的各 次谐波分量以及各谐波分量的特征（如模、相角等）形象地表示出来，通常直接画出各次谐波的组成情况，因而它属于信号的频域描述。 以周期矩形脉冲信号为lifenxi 周期信号频谱的特点。周期矩形信号在一个周期（-T/2,T/2）内的时域表达式为 ,2 0,>2 ()A t T t f t ττ ≤?=?? （2-6） 其傅里叶复数系数为 12 n n A F Sa T ωττ?? = ??? （2-7） 由于傅里叶复系数为实数，因而各谐波分量的相位为零（n F 为正）或为π±（n F 为负），因此不需要分别画出幅度频谱n F 与相位频谱n φ。可以直接画出傅里叶系数n F 的分布图。 如图2.4.1所示。该图显示了周期性矩形脉冲信号()T f t 频谱的一些性质，实际上那个也是周期性信号频谱的普遍特性： ① 离散状频谱。即谱线只画出现在1ω的整数倍频率上，两条谱线的间隔为1ω（等于2π/t ）。 ② 谱线宽度的包络线按采样函数()1/2a S n ωτ的规律变化。如图2.4.2所示。但1ω 为 2π τ 时，即( )2m π ωτ =（m=1，2，……）时，包络线经过零点。在两相邻 零点之间，包络线有极值点，极值的大小分别为-0.212()2A T τ， 实验5 连续时间系统的复频域分析 一、实验目的 1.掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。 2.学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。 3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号)(t x 的拉普拉斯变换定义为 )1.....(..........)()(dt e t x s X st ? +∞ ∞ --= 拉普拉斯反变换定义为 )2....(..........)(21)(ds e s X j t x j j st ?∞ +∞ -=σσπ 在MATLAB 中，可以采用符号数学工具箱的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和反拉氏变换。 L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。 F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。 除了上述ilaplace 函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下： 当 X (s )为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： )3.(..........)()()(0 110 11a s a s a b s b s b s D s N s X N N N N M M M M +?+++?++==---- 式（3）可以用部分分式法展成一下形式 )4.....(.............)(2211N N p s r p s r p s r s X -++-+-= 通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆变换。 利用 MATLAB 的residue 函数可以将 X (s )展成式（1-2）所示的部分分式展开式，该 函数的调用格式为：[r,p,k] = residue(b,a) 其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数 实验六信号与系统复频域分析 一、实验目的 1.学会用MATLAB进行部分分式展开； 2.学会用MATLAB分析LTI系统的特性； 3.学会用MATLAB进行Laplace正、反变换。 4.学会用MATLAB画离散系统零极点图； 5.学会用MATLAB分析离散系统的频率特性； 二、实验原理及内容 1．用MATLAB进行部分分式展开 用MATLAB函数residue可以得到复杂有理分式F(s)的部分分式展开式，其调用格式为 其中，num,den分别为F(s)的分子和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数，p为极点，k为F(s)中整式部分的系数，若F(s)为有理真分式，则k为零。 例6-1 用部分分式展开法求F(s)的反变换 解:其MATLAB程序为 format rat; num=[1,2]; den=[1,4,3,0]; [r,p]=residue(num,den) 程序中format rat是将结果数据以分数形式显示 F(s)可展开为 210.536()13 F s s s s --=++++ 所以，F(s)的反变换为 3211()()326t t f t e e u t --??=--???? 2．用MATLAB 分析LTI 系统的特性 系统函数H （s ）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算H （s ）的零极点可以应用MATLAB 中的roots 函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot 命令画图。 在MATLAB 中还有一种更简便的方法画系统函数H （s ）的零极点分布图，即用pzmap 函数画图。其调用格式为 pzmap(sys) sys 表示LTI 系统的模型，要借助tf 函数获得，其调用格式为 sys=tf(b,a) 式中，b 和a 分别为系统函数H （s ）的分子和分母多项式的系数向量。 如果已知系统函数H （s ），求系统的单位冲激响应h(t)和频 率响应H ω（j ）可以用以前介绍过的impulse 和freqs 函数。 例6-2 已知系统函数为 321221 s s s +++H(s)= 试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H ω（j ），并判断系统是否稳定。 解：其MATLAB 程序如下： num=[1]; 周期信号的时域及其频域分析 姓名：张敏靓学号：1007433014 一、实验目的 1.掌握Multisim软件的应用及用虚拟仪器对周期信号的频谱测量 2.掌握选频电平表的使用，对信号发生器输出信号（方波、矩形波、 三角波等）频谱的测量 二、实验原理 周期信号的傅里叶级数分析法，可以把周期信号表示为三角傅里叶级数或指数傅里叶级数，其中周期信号满足。 1. 周期信号表示为三角傅里叶级数 2. 周期信号表示为指数傅里叶级数 其中， 周期矩形信号的频谱 三、实验内容 1.在Multisim上实现周期信号的时域、频域测量及分析 （1）绘制测量电路 （2）周期信号时域、频域（幅度频谱）的仿真测量 虚拟信号发生器分别设置如下参数： 周期方波信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=50μs，脉冲幅度 V P=5V； 周期矩形信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=20μs，脉冲幅度 V P=5V； 周期三角波信号：周期T=200μs，脉冲幅度V P=5V； 采用虚拟示波器及虚拟频谱仪分别测量上述信号的时域、频域波形并保存测试波形及数据。 2.周期信号时域、频域（幅度频谱）的测量 信号发生器、示波器、选频电平表的连线如上图所示。信号发生器的输出信号分别为周期分别信号、周期矩形信号、周期三角波信号，参数设置同仿真测量。采用示波器及选频电平表对信号发生器的输出信号分别测量，并将测量数据记录下表中。 四、实验总结 1.在周期矩形信号的实验中，信号频率减小，频谱减小；信号占空 比减小，频谱减小；幅度值减小，频谱减小。 2.未安装Origin绘图软件，Excel绘图未能达到理想效果。 第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 实验八系统的复频域 分析 一、实验目的 1、掌握系统的复频域分析方法。 2、掌握测试系统的频率响应的方法。 二、预习内容 1、系统频响的方法。（见第四章波特图的介绍） 三、实验原理 1. N 阶系统系统的传递函数 用微分方程描述的N 阶系统为： 根据零状态响应（起始状态为零），则对其进行拉氏变换有： 则系统传递函数可表达为： 用差分方程描述的N 阶系统为： 根据零状态响应（起始状态为零），则对其进行拉氏变换有： 则系统传递函数可表达为： 2.根据系统传递函数的零极点图分析系统 零点：传递函数分子多项式的根。 极点：传递函数分母多项式的根。 根据零极点图的不同分布分析系统。 3.涉及到的Matlab 函数 (1)freqz 函数：实验六中出现过，可用来求单位圆上的有理z 变换的值。调用格式：同实验六 (2)zplane 函数：得到有理z 变换的零极点图。 调用格式：zplane(num,den) 其中，num和 den是按z ?1 的升幂排列的、z 变换分子分母多项式系数的行向量。 (3)roots 函数：求多项式的根。 调用格式：r=roots(c), c 为多项式系数向量；r 为根向量。 四、实验内容 1.系统零极点的求解 (1)求解系统和的零极点，验 证下面程序的运行结果，根据系统零极点图分析系统性质。 b=[1,0,-1]; a=[1,2,3,2]; zr=roots(b); pr=roots(a); plot(real(zr),imag(zr),'go',real(pr),imag(pr),'mx','markersize',12,'linewidth',2); grid; legend('零点','极点'); figure; zplane(b,a); (2)参考上述程序，绘制系统和 的零极点图，并分析系统性质。与用zplane 函数直接绘制系统零极点图（注:圆心的圆圈并非系统的零点）做比较。 实验二 连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab 语言编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1 000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1 或： ∑∞=++=1 00)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、 余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为： 课程设计任务书 题目 专业、班级电信1班学号姓名 主要内容、基本要求、主要参考资料等： 基于钟表设计的常识，给出时、分、秒的设计思路，并利用硬件编程语言VHDL或者Verilog-HDL来实 现。要求具有基本功能如调整时间对表、闹铃、计时器等，给出完成控制电路所需要的设计模块；给出硬 件编程语言的实现，并进行仿真；给出下载电路的设计，设计为2种下载方法，其中一种必须为JTAG；同 时设计者报告不允许雷同。 参考资料： 1、潘松、黄继业《EDA技术及其应用》（第四版）科学出版社 2009 2、樊昌信《通信原理》电子出版社 完成期限： 指导教师签名： 课程负责人签名： 年月日 目录 摘要…………………………………………………………………………………II ABSTRACT……………………………………………………………………………III 绪论…………………………………………………………………………………III 1傅里叶变换原理概述 (1) 1.1 傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现 (2) 2 用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析 (3) 2.1 单边指数信号时域波形图、频域图 (3) 2.2 偶双边指数信号时域波形图、频域图 (4) 2.3 奇双边指数信号时域波形图、频域图 (4) 2.4 直流信号时域波形图、频域图 (5) 2.5 符号函数信号时域波形图、频域图 (5) 2.6 单位阶跃信号时域波形图、频域图 (6) 2.7 单位冲激信号时域波形图、频域图 (6) 2.8 门函数信号时域波形图、频域图 (7) 3 用MATLAB实现信号的幅度调制 (8) 3.1 实例1 (8) 3.2 实例2 (10) 4 实现傅里叶变换性质的波形仿真 (11) 4.1 尺度变换特性 (11) 4.2 时移特性 (14) 4.3 频移特性 (16) 4.4 时域卷积定理 (18) 4.5 对称性质 (20) 4.6 微分特性 (22) 心得体会 (25) 参考文献 (26) 附录 (27) 实验四：连续系统的复频域分析 一、实验目的： 1、掌握连续与离散时间系统的正反复频域与Z域变换 2、掌握利用MATLAB进行零极点分析，进一步了解零极点对整个系统的影响 3、掌握simulink环境下系统建模与仿真以及系统求解。 二、实验内容： 1、已知某连续系统的系统函数为： （1）利用[r, p, k]=residue(num, den),求H（s）的极零点以及多项式系数; （2）画出系统的零极点分布图，判断系统得稳定性。 （3）求h(t)，判断系统得稳定性。 2、已知某离散系统的系统函数为：， （1）利用[r, p, k]=residuez(num, den)求H（z）的极零点以及多项式系数; （2）画出零极点分布图，判断系统得稳定性。 （3）求单位函数响应用impz(b, a)，判断系统是否稳定； 3、已知线性时不变微分方程 在Simulink环境下搭建起系统的仿真模型，并查看仿真结果曲线。（1）写出传递函数H（s），绘出系统模拟框图； （2）当f(t)分别为，，的零状态响应；且当与课本P81的结果进行比较（3）方程的初值为, ,求全响应； 4、已知某信号，n(t)为正态噪声干扰且服从N(0,0.22)分布，对此信号进行采样，采样间隔为0.001s，之后对此信号进行Botterworth低通滤波，从信号中过滤10HZ的输出信号，试对系统进行建模与仿真。 三、实验数据处理与结果分析： 第一题：题1_1： >> num=[2,5]; den=[1,1,3,2]; [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.5750 - 0.7979i -0.5750 + 0.7979i 1.1499 p =-0.1424 + 1.6661i -0.1424 - 1.6661i -0.7152 k =[] 信号与系统 实验报告 实验三周期信号的频谱分析 实验报告评分：_______ 实验三周期信号的频谱分析 实验目的： 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。 实验内容： （1）Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图： 其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos( 0t)、cos(3 0t)、cos(5 0t)和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。 程序如下: clear,%Clear all variables close all,%Close all figure windows dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t); N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N; x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; end subplot(221) plot(t,x1)%Plot x1 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(w0.*t)') subplot(222) plot(t,x2)%Plot x2 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(3*w0.*t))') subplot(223) plot(t,x3)%Plot x3 axis([-2 4 -2 2]) 第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。 第四章 连续信号的频域分析 将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。 本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。 4.1 基本要求 1．基本要求 ? 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ? 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ? 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ? 掌握傅里叶变换的常用性质； ? 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。 2．重点和难点 ? 傅里叶变换的性质及其应用 4.2 知识要点 1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式 三角形式：∑∑∞ =∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ?（4-1） 指数形式： ∑∑∞ -∞ =+Ω∞ -∞ =Ω= =n t n n n t n n n F F t f )j(j e e )(? （4-2） 其中 ? +Ω= T t t n t t n t f T a 00 d cos )(2 ，n =0，1，2，? （4-3） ? +Ω= T t t n t t n t f T b 00 d sin )(2，n =1，2，? （4-4） 且 n n n n n n a b b a A a A arctg , ,2 200-=+==? （4-5） ?+Ω-= T t t t n n t t f T F 00 d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系 0)( e 2 1 j ≥=n A F n n n ? （4-7） 并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即 ||||n n F F -=，||||n n -=?? （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义 通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ?0），即n ?，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率?（即n =1）的分量称为基波分量。 2．周期信号的频谱 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n ?）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。 A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n ?）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。 但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。 所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。 3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度 非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为 ?∞ ∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9） ?∞ ∞ -= ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ?)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率? 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。 教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。 4．傅里叶变换的性质 信号与系统 实验报告 实验五连续系统的复频域分析 实验五连续系统的复频域分析 一、实验目的 1. 深刻理解拉普拉斯变换、逆变换的定义，掌握用MATLAB实现拉普拉斯变换、逆变换的方法。 2会求几种基本信号的拉氏变换。 3 掌握用MATLAB绘制连续系统零、极点的方法。 4 求解系统函数H(s)。 二 1已知连续时间信号f（t）=sin（t）u（t）、求出该信号的拉普拉斯变换，并用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。 syms t; ft=sin(t)*heaviside(t); Fs=Laplace(ft); a=-0.5:0.08:0.5; b=-2:0.08:2; [a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b; d=ones(size(a)); c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c); mesh(a,b,c); surf(a,b,c) axis([-0.5,0.5,-2,2,0,10]) colormap(hsv ) 2求[(1-e^(-at))]/t的拉氏变换。 syms t s a f1=(1-exp(-a*t))/t; F=laplace(f1,t,s) F = log(s+a)-log(s) 3求F（s）=-log（s）+ log（s+a）的拉氏逆变换syms t s a F =log(s+a)-log(s); f1=ilaplace(F,s,t) f1 = (1-exp(-a*t))/t 4已知某连续系统的系统函数为： H（s）=(s^2+3s+2)/(8s^4+2s^3+3s^2+5)试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点分布图。 b=[1 3 2]; a=[8 2 3 0 5]; zs=roots(b); ps=roots(a); hold on plot(real(zs),imag(zs),'o'); plot(real(ps),imag(ps),'x'); grid axis([-2.5,1,-1,1]) 5已知H(s)=（s+1）/（s^2+s+1）,绘制阶跃响应图形，冲激响应图形，频率激响应图形。 syms t s H=(s+1)/(s^2+s+1); f1=ilaplace(H,s,t); f2=heaviside(t); 计算机与信息工程学院设计性实验报告 一、实验目的 1.掌握用matlab 分析系统时间响应的方法 2.掌握用matlab 分析系统频率响应的方法 3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系 二、实验原理 1.系统函数H(s) 系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比. H(s)=R(s)/E(s) 在matlab 中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法. 在matlab 中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s 降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下 )1(8 .03.11 )(2+++=s s s s H 则可用如下二个向量num 和den 来表示: num=[1,1]；den=[1,1.3,0.8] 2.用matlab 分析系统时间响应 1)脉冲响应 y=impulse(num,den,T) T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点. 2)阶跃响应 y=setp(num,den,T) T 同上. 3)对任意输入的响应 y=lsim(num,den,U,T) U:任意输入信号. T 同上. 3.用matlab 分析系统频率响应特性 频响特性: 系统在正弦激励下稳态响应随信号频率变化的特性. ()()() ()j s j H j H s H j e φωω ωω=== |H(j ω)|:幅频响应特性. ?(ω):相频响应特性(或相移特性). Matlab 求系统频响特性函数freqs 的调用格式: h=freqs(num,den,ω) ω:为等间隔的角频率向量,指明要计算响应的频率点. 4.系统零、极点分布与系统稳定性关系 系统函数H(s)集中表现了系统的性能,研究H(s)在S 平面中极点分布的位置,可很方面地判断系统稳定性. 1) 稳定系统: H(s)全部极点落于S 左半平面(不包括虚轴),则可以满足 0)]([lim =∞ →t h t 系统是稳定的. 2)不稳定系统: H(s)极点落于S 右半平面,或在虚轴上具有二阶以上极点,则在足够长时间后,h(t)仍继续增长, 系统是不稳定的. 3)临界稳定系统: H(s)极点落于S 平面虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间后,h(t)趋于一个非零数值或形成一个等幅振荡. 系统函数H(s)的零、极点可用matlab 的多项式求根函数roots()求得. 极点:p=roots(den) 零点:z=roots(num) 根据p 和z 用plot()命令即可画出系统零、极点分布图,进而分析判断系统稳定性. 三、实验内容 设()(1)(2) s H s s p s p = -- 设①p1=-2,p2=-30; ②p1=-2,p2=3 1. 针对极点参数①②, 画出系统零、极点分布图, 判断该系统稳定性. 2. 针对极点参数①②,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t →∞时, 脉冲响应变化趋势. 3. 针对极点参数①, 绘出系统的频响曲线. 四、实验要求 1．预习实验原理； 2．对实验内容编写程序(M 文件),上机运行； 3．绘出实验内容的各相应曲线或图。 五、实验设备 1.装MATLAB 软件的计算机 1台 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、学习利用MATLAB 语言编写计算CTFS 和CTFT 的仿真程序。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、实验原理及方法 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 其中三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 9.1 或： ∑∞ =++ =1 00)cos()(k k k t k c a t x ?ω 9.2 其中1 02T π ω= ，称为信号的基本频率，k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”）， k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 指数形式的傅里叶级数为： ∑∞ -∞ == k t jk k e a t x 0)(ω 9.3 其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算： ? --= 2 /2 /1 110)(1 T T t jk k dt e t x T a ω 9.4 假设谐波项数为N ，则上面的和成式为： ∑-== N N k t jk k e a t x 0)(ω 9.5 显然，N 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。 2、连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞ --= dt e t x j X t j ωω)()( 9.6 ? ∞ ∞ -= ωωπ ωd e j X t x t j )(21 )( 9.7 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 3、连续周期信号的傅里叶级数CTFS 的MATLAB 实现 3.1 傅里叶级数的MATLAB 计算 设周期信号x(t)的基本周期为T 1，且满足狄里克利条件，则其傅里叶级数的系数可由式9.4计算得到。式9.4重写如下： ?--= 2 /2 /1 110)(1T T t jk k dt e t x T a ω 基本频率为： 1 02T πω= 对周期信号进行分析时，我们往往只需对其在一个周期内进行分析即可，通常选择主周期。假定x 1(t)是x(t)中的主周期，则第5章频域分析法习题解答
实验五 信号与系统的复频域分析
实验二连续时间信的频域分析
北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析
周期矩形信号的频谱分析
北京理工大学信号与系统实验实验5连续时间系统地复频域分析报告报告材料
实验六-信号与系统复频域分析
周期信号的时域及其频域分析
第五章 频域分析法
实验八 系统的复频域分析
实验二连续时间信号的频域分析
连续时间信号的频域分析.
连续系统的复频域分析
周期信号的频谱分析
第5章频域分析法习题解答
连续信号的频域分析
信号与系统报告 实验5 连续系统的复频域分析实验
连续系统的复频域分析及MATLAB 实现 - 信号与系统实验报告
实验二：连续时间信号的频域分析
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