嘉兴市第一中学2014学年第一学期期中考试
高三数学（理科） 试题卷
命题：王璐 吴献超 审题：沈志荣
满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2014年11月
参考公式：
柱体的体积公式:V Sh =( 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)
锥体的体积公式: 1
3
V Sh =(其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)
台体的体积公式: ()
121
3
V h S S =(其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高)
球的表面积公式: 24πS R =, 球的体积公式 3
4π3
V R =
(其中R 表示球的半径) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.若集合{}
A=|2x x x R ≤∈，，{}
2B=|y y x x R =-∈，，则A B ?=（ ▲ ）
A ．{}|02x x ≤≤ B.{}|2x x ≤ C.{}|20x x -≤≤ D .? 2.函数(
)
176log 2
2
1+-=x x y 的值域是 ( ▲ )
A ．R
B ．(]3,-∞-
C ．[)+∞,3
D ．(]3,0 3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//, 4.已知函数211
()log ,(),()12
x f x f a f a x -==-+若则=（ ▲ ） A ．2
B ．—2
C ．
12 D ．—1
2
5.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围为（▲） A ．35m << B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或
6.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移
3
π
个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ▲ )
A ． ()??
?
?
?-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()??? ?
?+
=322cos 2πx x g D ．()??? ?
?
+=22sin 2πx x g 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,01817<>S S ,则
17
172211,,,a S
a S a S 中最大的项为（ ▲ ） A ．
66a S B ．77a S
C ．88a S
D ．99a S
8.已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线
的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ▲ ）
A B ．2
C D
9.已知B A ,是圆O ：12
2
=+y x 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ?的面积最大时，则2
AP AP AO -?的最大值是（ ▲ ） A.1- B. 0 C.
81 D.2
1
10.设非空集合{}
S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2
x S ∈，给出如下三个命题：
①若1,m =则{}1S =；②若1
,2
m =-则114n ≤≤； ③若1,2n =则0m ≤≤． 其中正确命题的是（ ▲ ）
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11.若3
3
cos sin =
+αα，则=α2sin ▲ ． 12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2, 高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_▲ ．
13.若x ，y 满足不等式组
0,2100,0,
x y x y y ?-≥?
--≤?+-≥ 则2x ＋y 的最大值是__▲ ．
14.已知向量,a b 满足1,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于__▲ ．
15.设抛物线x y C 4:2=的焦点为F,过点F 的直线与抛物线C 交于B A ,两点,过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P,若3
2
PF =,则弦长AB 等于__▲ ． 16.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ??
????
是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 ▲ ．
17.设,x y 是正实数，且1x y +=，则22
21
x y x y +++的最小值是___▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）
已知函数21
()sin cos sin (0)2
f x x x x ωωωω=?+->，其相邻两个零点间的距离为2π．
（1）求()f x 的解析式； （2）锐角ABC ?中，1
(),4,282
A f A
B AB
C π+==?的面积为6，求BC 的值．
19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 中，)(3
,1*11N n a a a a n n
n ∈+=
=+ （1）求证：?
??
??
?+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足n n n
n a n b ??
-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1
2)1(-+<-n n
n
n T λ对一切*
N n ∈恒成立，求λ的取值范围.
20. （本小题满分14分）
如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.
21. （本小题满分15分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，且经过点(0,1)A -．
(1)求椭圆的方程；
(2)如果过点3
(0,)5
的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），
○
1求AM AN ?的值； ○
2当AMN ?为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．
22. （本小题满分15分）
已知函数()2f x x x a x =-+．
（1）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； （3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分） 解：（1）)4
2sin(222cos 212sin 21)(π
ωωω-=-=
x x x x f …………………3分 由题可知，
122,,22=?=∴=∴=ωπ
ωππT
T T ………………………5分 )4
2s i n (22)(π-=
∴x x f …………………………………………………7分
（2）2
2sin ,21sin 22,21)82(
=∴=∴=+A A A f π 又由锐角ABC ?知，角A 为锐角，4
π=∴A …………………………9分
62sin 42
1
sin 21==???=???=
?AC A AC A AC AB S ABC 23=∴AC ……………………………………………………………12分 10cos 22
2
2
=???-+=∴A AC AB AC AB BC
10=∴BC ……………………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（2）1
2
-=
n n n b
122102
1
21)1(213212211--?+?-++?+?+?
=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121?+?-++?+?=- ， 两式相减得 n n n n n n T 2
22212121212121210+-=?-++++=- 12
2
4-+-=∴n n n T
12
2
4)1(--<-∴n n λ
若n 为偶数，则3,2
2
41<∴-<∴-λλn
若n 为奇数，则2,2,2
241
->∴<-∴-
<-∴-λλλn
32<<-∴λ
（2）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令
)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B
∴ ()
()1,1,,0,1,3-=-=λ 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，
由???=?=?001
1n n 得???=+-=+-003z y x y x λ
取1=x ，则()
λ-=3,3,11n ，…………8分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量
∴
1212||cos ||||
n n n n θ?=
=
=?
10分
∵
0λ≤≤
∴ 当0λ=时，θcos
有最小值
7， 当λ=时，θcos 有最大值1
2。 ∴ 1
cos 2θ
?∈??
?…………………14分
21. （本小题满分15分）
解：（1）因为椭圆经过点(0,1)A -1b =，因为c e a =，解得2a =，
所以椭圆的方程为2
214x y +=．
（2）○1若过点3
(0,)5
的直线的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件．
所以直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为3
5
y kx =+，
把35y kx =+
代入椭圆方程得222464(14)0525k x kx ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222
2464
,5(14)25(14)
k x x x x k k +=-?=-++， 1212266()55(14)y y k x x k +=++=+，22
1212122391009()52525(14)
k y y k x x k x x k -+?=?+++=
+， 因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ?=+?+=++++
22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26
105(14)
k ++=+
○
2由○1知：90MAN ∠=，如果AMN ?为等腰直角三角形，设MN 的中点为P ，则 AP MN ⊥，且P 22123
(,)5(14)5(14)
k k k -
++ 若0k =，则3(0,)5
P ，显然满足AP MN ⊥，此时直线MN 的方程为35
y =； 若0k ≠，则22081
12AP
k k k k
+=-=-
，解得k =，所以直线MN
的方程为35y =+
，即530y -+=
530y +-=． 综上所述：直线MN 的方程为3
5
y =
530y -+=
530y +-=．
22. （本小题满分15分）
解：（1）由22-,,
()5,3
x x x f x x x x ??=?-+
； （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立， 即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x -<-<，11x a x x x
-<<+， 故只要1
x a x
-
<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，
在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1
x x +的最小值大于a 即可，
而当[1,2]x ∈时，21110x x x '?
?-=+> ??
?，1x x -为增函数，max 132x x ??-= ???；
当[1,2]x ∈时，21110x x x '?
?+=-> ??
?，1x x +为增函数，min 12x x ??+= ???，所以322a <<；
（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数
根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a ?+-?
=?-++
≥得
x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴2
2a x a -=
<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，
x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴2
2
a x a +=
<， 则()f x 在2,2a x +?
?∈-∞ ???为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ??+-∞ ???， ()f x 在2,2a x a +??
∈????为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ??+ ???
；
由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ??
+∈ ???，
即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ??+∈ ??
?即可，令2(2)14()488a g a a a a +??
=
=++ ???， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9
()(4)8
g a g ==
， 故实数t 的取值范围为91,8?? ???； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8??
???；
综上所述，实数t 的取值范围为91,8??
???
．