《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0
0)(z z n
z z dz
__________.（n 为自然数）
2.=+z z 2
2
cos sin
_________.
3.函数z sin 的周期为___________.
4.设
11
)(2+=
z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.
5.幂级数
n n nz ∞
=∑的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若ξ
=∞
→n n z lim ，则=
+++∞→n z z z n
n (i)
21______________.
8.
=)0,(
Re n z
z e
s ________，其中n 为自然数.
9. z
z sin 的孤立奇点为________ .
10.若0z 是)(z f 的极点，则___
)(lim 0
=→z f z z .
三.计算题（40分）：
1. 设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}
1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.
2. .cos 1
1||?=z dz z
3. 设
?
-++=C d z z f λ
λλλ1
73)(2，其中
}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +
4. 求复数
11
+-=
z z w 的实部与虚部.
四. 证明题.(20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，
那么它在
D 内为常数.
2. 试证
: ()f z =
在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两
个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1
z =-的值.
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分)
1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z
2.
设
C
iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则
=+→)(lim 1z f i
z ________.
3. =-?=-1||0
0)(z z n
z z dz
_________.（n 为自然数）
4. 幂级数
n
n nz
∞
=∑的收敛半径为__________ .
5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.
6. 函数e z
的周期为__________.
7. 方程08323
5
=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设2
11
)(z z f +=
，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.
10. ____)1,1
(Res 4=-z
z .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数
)2sin(3
z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数
z 在
正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
i z =处的值.
3. 计算积分：?-=i
i
z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）
的右半圆.
4. 求
dz
z z
z ?
=-2
2
)2
(sin π
.
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是
)(z f 在D 内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分) 1. 设1
1
)(2
+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z
的周期为_________.
3. 若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________.
4. =+z z 2
2
cos sin ___________.
5. =-?=-1||0
0)(z z n z z dz
_________.（n 为自然数） 6. 幂级数
∑∞
=0
n n
nx
的收敛半径为__________.
7. 设1
1
)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.
8. 设
1-=z e ，则___=z . 9. 若0z
是
)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. ____)0,(Res =n z
z
e
.
三. 计算题. (40分)
1. 将函数12()z
f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.
2. 试求幂级数n
n n
z n
n ∑+∞
=!的收敛半径. 3. 算下列积分：
?-C z z z z
e )9(d 22，其中C 是1||=z .
4. 求0282269
=--+-z z z z
在|z |<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1. 函数
)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常
数，那么它在D 内为常数.
2. 设
)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数
R 及M ，使得当
R z ≥||时
n z M z f |||)(|≤，
证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
二. 填空题. (20分) 1. 设i
z -=11
，则___Im __,Re ==z z .
2. 若ξ=∞
→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n
n (i)
21______________.
3. 函数e z
的周期为__________. 4. 函数2
11
)(z
z f +=
的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________.
7. 设
1|:|=z C ，则___)1(=-?C
dz z .
8. z
z sin 的孤立奇点为________.
9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0
=→z f z z .
10. =)0,(Res n z
z
e _____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程013
=+z .
2. 设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
3. .)
)(9(2||2?=+-z dz i z z z
. 4. 函数()f z =z e z
111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它
的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数
)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解
析.
2. 证明0364
=+-z z 方程在2||1< 《复变函数》考试试题（五） 二. 填空题.（20分） 1. 设 i z 31-=，则____,arg __,||===z z z . 2. 当___=z 时，z e 为实数. 3. 设1-=z e ，则___=z . 4. z e 的周期为___. 5. 设 1|:|=z C ，则___)1(=-?C dz z . 6. ____)0,1 (Res =-z e z . 7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。 8. 函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为_________. 9. z z sin 的孤立奇点为________. 10. 设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则 ___)(1 =-?C n dz a z . （n 为自然数） 三. 计算题. (40分) 1. 求复数1 1+-z z 的实部与虚部. 2. 计算积分： z z I L d R e ?=， 在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 3. 求积分：I = ?+-π θθ 202cos 21a a d ，其中0 4. 应用儒歇定理求方程)(z z ?=，在|z|<1内根的个数，在这里 )(z ?在1||≤z 上解析，并且1|)(| 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微. 2. 设 )(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个数R 及M ，使得当 R z ≥||时 n z M z f |||)(|≤， 证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题（六） 1. 一、填空题（20分） 1. 若21 (1)1n n n z i n n +=++-，则lim n z =___________. 2. 设 21 ()1 f z z =+，则()f z 的定 义 域 为 ____________________________. 3. 函数sin z 的周期为_______________________. 4. 22sin cos z z +=_______________________. 5. 幂级数 n n nz +∞ =∑的收敛半径为________________. 6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点. 7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________. 9. 方程5 3 2380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 二、计算题（30分） 1、2lim 6n n i →∞ -?? ??? . 2、设2371 ()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1z e f z z =+，求Re ((),)s f z i . 4、求函数3 6 sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式. 5、求复数1 1 z w z -=+的实部与虚部. 6、求3 i e π -的值. 三、证明题（20分） 1、 方程7 6 3 9610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)v x y 等于常数， 则()f z 在D 恒等于常数. 3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1 () f z 的m 阶极点. ６．计算下列积分．（８分） (1) 2 2 sin ()2 z z dz z π =-? ； (2) 2242 (3) z z dz z z =--?． ７．计算积分 20 53cos d π θ θ +? ．（６分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） (1) 1(1)n n n i z ∞ =+∑； (2) 21(!)n n n n z n ∞ =∑． ９．设3232 ()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数，试确定l ， m ，n 的值．（６分） 三、证明题． １．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 在区域D 内也解析，证明()f z 必为常数．（５分） ２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．（５分） 试卷一至十四参考答案 《复变函数》考试试题（一）参考答案 二．填空题 1. 2101i n n π=??≠? ； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1 6. 整函数； 7. ξ； 8. 1 (1)! n -； 9. 0； 10. ∞. 三．计算题. 1. 解 因为01,z << 所以01z << 111()(1)(2)12(1)2 f z z z z z ==- ----001()22n n n n z z ∞ ∞===-∑∑. 2. 解 因为 2 2 2 12Re ()lim lim 1cos sin z z z z s f z z z π ππ π → →= + ===--, 2 2 2 12Re ()lim lim 1cos sin z z z z s f z z z π ππ π →- →-=- - ===-. 所以 22 2 1 2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-= =+=?. 3. 解 令2 ()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在 3z <内, () ()2()c f z dz i z z ?λπ?λ= =-?. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222 122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b w z z a b a b a b -+-+= =-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re( )11(1)z a z a b -+=-+++, 22 12Im()1(1)z b z a b -=+++. 四. 证明题. 1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2 222 (),()f z u iv f z u v c =+=+=则. 两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1) 0(2)x x y y uu vv uu vv +=??+=? 因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为 00 x x x x uu vv vu uv +=?? -=?. 消去x u 得, 22 ()0x u v v +=. 1) 若22 0u v +=, 则 ()0f z = 为常数. 2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()f z 0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的 z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅
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