绪论
一、研究对象
理论力学——研究物体机械运动一般规律的科学。
机械运动——物体在空间的位臵随时间的改变，是人们生活、生产中最常见的一种运动，是物质各种运动形式中最简单的一种。本课程研究速度远小于光速的宏观物体的机械运动，以枷利略和牛顿总结的基本定律(牛顿三定律)为基础，属古典力学的范畴，理论力学研究的是这种运动中最一般、最普遍的规律，是各门力学分支的基础。
二、研究内容
1、静力学——研究物体在力系作用下平衡的规律。
2、运动学——从几何角度研究物体的运动。（如轨迹、速度、加速度等，不涉及作用
于物体上的力）
3、动力学——研究受力物体的运动与作用力之间的关系。 三、研究方法
1、通过观察和实验，分析、归纳总结出力学最基本的规律。
2、经过抽象化建立力学模型，形成概念。
3、经过逻辑推理和数学演绎，建立理论体系。
4、将理论用于实践，又在实践中验证和发展理论。 四、学习目的
1、为解决工程问题打下一定基础。工程专业一般都要接触机械运动问题。
2、为后续课程打下基础。（例：材料力学、机械原理、机械设计等）
3、理论力学的研究方法有助于培养正确的分析、解决问题的能力。
静力学
静力学——研究物体在力系作用下平衡条件的科学。
静力学研究的物体只限于刚体，又称刚体静力学。
刚体——物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。它是一
个理想化的力学模型。
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略去不计，这样可使问题的研究大为简化。
力 —— 物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变。
实践表明，力对物体的作用效果决定于三个要素。
力的三要素：1、力的大小 ，2、力的方向，3、力的作用点。 可用一个矢量表示力的三要素：
矢量的模——力的大小 矢量的方向——力的方向 矢量的始端（或终端）——力的作用点 常用黑体字母F 表示力的矢量，普通字母F 表示力的
大小。力的单位： N ，kN
力系——作用于物体上的一群力。
平衡——物体相对于惯性参考系（如地面）保持静止或作匀速直线运动。如：桥
梁、房屋、机床床身、匀速直线飞行的飞机等。
静力学的研究内容：
1、物体的受力分析。分析某个物体共受几个力，以及每个力的作用位臵和方向。
2、力系的简化。用一个简单力系等效替换一个复杂力系。
B A
F
F 0
3、建立各种力系的平衡条件，求解平衡问题。
第一章 静力学公理和物体的受力分析
教学要求：
1、掌握静力学公理及其推理。
2、熟悉常见几种约束的性质，掌握约束力的方向。
3、对简单物体系统能熟练地取分离体，画出受力图。
§1-1 静力学公理
公理——是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经实践反复检验，
被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。
公理1——力的平行四边形法则
点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
合力矢等于这两个分力矢的矢量和。
即F R =F 1+F 2
合力也可用力的三角形确定，两分力首尾相接，合力沿反方向构成封闭边。 这个公理表明了最简单力系的简化规律，它是复杂力系简化的基础。
公理2——二力平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
即：F 1= -F 2 这个公理表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。
对变形体是必要条件，并非充分条件。例：链条或绳索，受拉平衡，受压不平衡。
由公理2
这类构件称二力构件。例：三铰拱桥，受力如图，各拱自重不计，拱BC 为二力构件。
二力平衡与作用力和反作用力的区分（加）
公理3——加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
这个公理是研究力系等效变换的重要依据。
F B
根据上述公理可以导出下列推理：
推理1——力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
证明：图中，F 2= -F 1=F
可见，作用于刚体上的力可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。
作用在刚体上的力的三要素是：力的大小、方向、作用线。（力的三要素是，力的大小，方向，作用点） 推理2——三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
证明：已知刚体上三个相互平衡的力F 1、F 2、F 3，力F 1、F 2汇交于O 。 先将F 1、F 2移至汇交于O ，合成得合力F 12，则F 3应与F 12平衡，这两个力必共线，所以三力F 1、F 2、F 3必共面，并汇交于点O 。
公理4——作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
这个公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的。例如：放在讲台上的书，受重力P 和讲台的约束力F N 作用，书对讲台也有压力F ’N 作用，两者是作用和反作用关系，作用力和反作用力用同一字母表示，但其中之一，在字母的右上方加“’”。
必须注意，作用力和反作用力分别作用在两个物体上，因此，不能认为作用力与反作用力相互平衡。
公理5——刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
这个公理提供了把变形体看作刚体模型的条件。 静力学全部理论都可以由上述五个公理推证得到。
§1-2 约束和约束力
一、基本概念
自由体——位移不受限制的物体。如：飞机、小鸟等。
非自由体——位移受限制的物体。如：火车、电机转子、挂在钢索上的重物。
约束——对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。如：铁轨对于火车，轴承
对于电机转子，钢索对于重物等。
既然约束阻碍着物体的位移，也就是约束能改变物体的运动状态，所以约束对物体的作用，实际上就是力。
约束力——约束对物体的作用，方向必与该约束所能阻碍的位移方向相反。
静力学问题中约束力和物体受的其他已知力（称主动力）组成平衡力系，因此可用平衡条件求出未知的约束力。
主动力——使物体运动或有运动趋势的力。
2
二、几种常见约束
1、具有光滑接触表面的约束
例：支持物体的固定面、啮合齿轮的齿面、机床中的导轨等，当摩擦不计时，都属于这类约束。 这类约束不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线并向约束内部的位移。
约束力：作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束的物体，称为法向约束力，通常以F N 表示。 2、柔软的绳索、链条、胶带等
这类约束本身只能承受拉力。
约束力：作用在接触点，方向沿绳索背离物体，常用F 或F T 表示。
3、光滑铰链
这类约束有向心轴承、圆柱形铰链和固定铰链支座等。
(1) 向心轴承(径向轴承)
轴可在孔内任意转动，也可沿孔的
中心线移动，但轴承阻碍着轴沿径向向外的位移，轴承对轴的约束力F A 作用在接触点A ，
且沿公法线指向轴心。但随轴所受主动力的变化，接触点位臵也随之不同，约束力方向也随之变化，但无论约束力朝向何方，它的作用线必垂直于轴线并过轴心。
约束力：方向随主动力改变，作用线必垂直于轴线并过轴心。常用过轴心的两个
正交分力F Ax 、F A y 表示。
(2)圆柱铰链和固定铰链支座
图示拱形桥，立体结构图见书P11，由两个拱形构件通过圆柱铰链C 及两个固定铰链支座A 、B 连接而成，圆柱铰链简称铰链，固定铰链支座简称固定铰支。铰链和固定铰支与轴承具有同样的约束性质。
约束力：方向不能预先定出，作用线垂直轴线并过铰链中心。常用大小未知的正
交分力表示。
4
T2
F’
F’
C
B
C (含销)
C (孔)
C (
F’Cx
Bx
F
F
F C1y
Ax Ax
(1) 滚动支座
在铰链与光滑支承面间，装有几个滚轴。在桥梁、屋架结构中常见，滚动支座可沿支承面移动，允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短。
约束力：垂直于支承面，且过铰链中心，常用F N 表示。 (2) 球铰链
通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束。
约束力：过接触点与球心，但方向不能预先确定。常用三个正交分力表示。
(3) 止推轴承
止推轴承、角接触球轴承、圆锥辊子轴承等与向心轴承不同，它除了能限制轴的径向位移外，还能限制轴向位移。
约束力：有三个正交分量。
§1-3 物体的受力分析和受力图
在工程实际中，为了求出未知的约束力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力，每个力的作用位臵和方向。这种分析过程称为物体的受力分析。受力分析的结果要用图形简明地表示，这种图形称受力图。
一、物体的受力分析
确定物体受了几个力，每个力的作用位置和方向。
作用于物体上的力可分为两类：主动力，例重力、风力等，一般已知；未知的约束力。
二、画受力图的步骤
1、取研究对象（即取分离体）——把要研究的物体从周围物体中分离出来，单独画出简图。
2、画主动力。
3、画约束力。
例1.1 画出碾子的受力图。用力F 拉动碾子以压平路面，重为P 的碾子受到一石块的阻碍。 解：(1) 取碾子为研究对象，画出简图。 (2) 画上主动力F 和P 。 (3) 画上约束力F NA 、F NB 。 A 、B 处的约束，如不计摩擦，均为光滑接触
面约束，约束力作用在接触点处，沿公法线指
向受力物体。
例1.2 画出屋架的受力图。屋架A 处为固定铰链支座，B 处为滚动支座，搁在光滑的水
平面上。已知屋架自重P ，在屋架的AC 边上承受了垂直于它的风力，单位长度上承受的力
为q 。
解：(1) 取屋架为研究对象，画出简图。 (2) 画上主动力P 和q 。 (3) 画上约束力。
NB
NB F F Ay
F
N
例1.3 如不计杆CD 的自重，试分别画出杆CD 和梁AB （包括电机）的受力图。水平梁AB
用斜杆CD 支撑，A 、C 、D 三处均为光滑铰链连接均质梁重P 1其上放臵一重为P 2的电动机。 解：(1)、首先分析CD 杆，CD 杆是二力杆。杆CD 自重不计，只在两点受力，所以C 、D 点约束力必等值、反向、共线，当约束力指向不能事先判定时，可先假定受拉或受压。 (2)、分析AB 梁受力。梁在D 点受杆CD 的约束力，该力与F D 是作用与反作用关系。 例1.4 试分别画出拱AC 和CB 的受力图。如图三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱AC 上作用有载荷P 。
解：(1)首先分析拱BC 的受力，拱BC 是二力构件。
(2)分析AC 的受力。由于自重不计，因此主动力只有载荷P 。在铰链C 处受到拱BC 的约束力作用，
根据作用反作用定律，F C = F ’C ，在A 处受到固定铰支给它的约束力作用，可用两个正交分力表示，进一步分析可知，AC 在三个力作用下平衡，根据三力平衡汇交定理，可确定A 处的约束力方向。
例1.5 试画出绳子DE 、AB 、AC 及梯子整个系统的受力图。梯子的两部分AB 和AC 在点A 铰接，又在D 、E 两点用水平绳连接。梯子放在光滑的水平面上，若其自重不计，但在AB 的中点H
P 。
画受力图小结：
1、明确研究对象，画出简图。可以取单个物体为研究对象，也可以取几个物体组成的系统为研究对象。
2、正确确定受力数目。不能多画、漏画。一般先画主动力，再画约束力，每一个力都应明确其施力物。
3、正确画出约束力。在研究对象与外界接触处，都应根据约束性质画上相应的约束力。
4、分析两个物体间的受力时，注意作用与反作用关系。
5、画系统受力图时，只画外力不画内力。
6、要能正确判断二力构件约束力的作用线方向。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
教学要求：
F C
C
F C F 1
1、掌握平面汇交力系合成与平衡的几何法及解析法，能熟练计算力的投影。
2、掌握平面力对点之矩的概念和计算，掌握平面力偶的基本特征及平面力偶系的合成与平衡。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章介绍这两种力系的合成与平衡问题。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
根据刚体内部力的可传性，将各力移至汇交点。先将F 1、F 2合成得F R1，再将F R1与F 3合成得F R2，最后合成F R2与F 4得合力F R 。
F R =F R2+F 4=F R 1+F 3+F 4=F 1+F 2+F 3+F 4
若平面汇交力系中有更多的力，可类似进行依次合成。
结论：平面汇交力系可简化为一合力，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线
通过汇交点。即：F R =F 1+F 2+…+F n =∑F i
力多边形法则：平面汇交力系合成时，各分力沿同一方向首尾相接，合力沿反方
向构成封闭边。
根据矢量相加的交换律，任意变换各分力的作图次序，可得到形状不同的力多边形，但其合
力矢不变。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
由于平面汇交力系可用合力来代替，因此，
平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力等于零。
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭。
例2.1 已知AC =CB ，P =10kN ，求铰链A 的约束力和杆DC 所受的力。支架的横
梁AB 与斜杆DC 以铰链C 相连，并以铰链A 、D 连接于铅直墙上。杆DC 与水平线成45°角，梁和杆的重量忽略不计。
解：(1)取AB 为研究对象，受力分析，所受的三个力应组成一封闭的力三角形。
B 处受载荷P ，
C 处受DC 给它的约束力F c ，因DC 为二力杆，故约束力沿DC 连线方向，根据三力平衡汇交定理，A 处约束力F A 与F C 和P 汇交于一点。根据平面汇交力系平衡的几何条
件，这三个力应组成一封闭的力多边形。
(2)选取比例尺，作封闭的力三角形。先作已知力P ，再从力的始端和末端作力F A 、F C ，
(3)从图上量得长度(或按几何关系计算)，按比例换算得：F A =22.4kN ，F C =28.3kN ，
由作用反作用关系知，DC 杆受压，压力大小为28.3kN 。
F 1
F 2
F 3
F 4
F R
F R1 F R2
F 2
F 4
F 3
F 1
F R a
B
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解析法是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件。
一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
1、力F在x、y轴上的投影：
F x=F cosα
F y=F cosβ=F sinα
力在某轴上的投影，等于力的模乘以
力与投影轴正向间夹角的余弦。力在
轴上的投影为代数量。
2、力F的解析表达式：
F=F x+F y=F x i+F y j
二、合力投影定理
合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴
上投影的代数和。
即：F Rx=F x1+F x2+…+F x n =∑F x i
三、平面汇交力系合成的解析法
合力在x、y轴上的投影：
F Rx=∑F x i，F R y=∑F yi
合力的大小和方向余弦：F R=
()()2
2
2
2∑
∑+
=
+
yi
xi
Ry
Rx
F
F
F
F
cos（F R，i）= F Rx/F R，cos（F R，j）= F Ry/F R
例2.2求平面汇交力系的合力
解：1、投影
F Rx=∑F x i=F1cos30°-F2cos60°
-F3cos45°+F4cos45°=129.3N
F Ry=∑F yi=F1cos60°+F2cos30°
-F3cos45°-F4cos45°=112.3N
2、合力
F R=
2
2
2
23.
112
3.
129+
=
+
Ry
Rx
F
F=171.3N
cos（F R，i）= F Rx/F R=129.3/171.3=0.754，α=41°
cos（F R，j）= F Ry/F R=112.3/171.3=0.6556，β=49°
四、平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力F R等于零。
即应有：F R=()()2
2∑
∑+yi
xi
F
F=0
要使上式成立，必须：∑F x i=0，∑F yi=0
上式称平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程)，这是两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。
例2.3压榨机自重不计，AB=BC，F=3kN，h=200mm，l=1500mm。求压块C对工件与地面的压力。
解：1、取DB 研究，受力分析如图，列平衡方程。 ∑F x =0， F BA cos α- F BC cos α=0 ∑F y =0， -F + F BA sin α+ F BC sin α=0
sin α=2
2
/l h h
解得： F BA =F BC =F /2sin α=11.35kN
2、取压块C 研究，受力分析如图。由BC 杆平衡，知F CB =F BC 。列平衡方程。
∑F x =0， F CB cos α- F Cx =0
∑F y =0， -F CB sin α+ F Cy =0 解得：F Cx =11.25kN ，F Cy =1.5kN
压块C 对地面的压力为1.5kN ，向下；压块C 对工件的压力为11.25kN ，向右。
§2-3 平面力对点之矩的概念及计算
力能使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），移动效应可用力矢来度量，转动效应可用力对点之矩来度量。
一、力对点之矩(力矩) 平面上作用一力F ，对同平面内任一点O 取矩。 O ——矩心
h ——力臂 点O 到力的作用线的垂直距离。 M O （F ）=±Fh =±2A △OAB
平面力对点之矩是代数量，逆为正，顺为负。
单位：N·m ，或kN·m
若以矢量表示：M O （F ）= r 3F
力矩大小：M O （F ）= rF sin θ=2A △OAB
力矩方向：垂直平面，按右手法则，逆向上，为正，顺向下，为负。 二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。 证：F R =F 1+F 2+…+F n
∴ r 3F R = r 3F 1+ r 3F 2+…+ r 3F n ∴ M O (F R )=∑M O (F i ) 证毕。 上式适用于任何有合力存在的力系。
顺便指出：当平面汇交力系平衡时，F R =0，M O (F R )=∑M O (F i ) =0，可用力矩方程∑M O (F i ) =0代替投影方程求解平衡问题。
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F 、α、l 、B 点坐标(x B 、y B )。求(1)力
F 对A 点之矩；(2)平衡时杆CD 的拉
力。 解：(1)求力F 对A 点之矩 M A (F )=M A (F x)+ M A (F y) =F cos α·y B - F sin α·x B (2)求杆CD 的拉力 取ACB 研究，受力分析如图。列平
衡方程。
∑M A (F i )=0，
M A (F A )+ M A (F CD )+ M A (F )=0
F A
0-F CD ·l + F cos α·y B - F sin α·x B =0 解得：F CD =( F cos α·y B - F sin α·x B )/ l
例
q ，梁长l ，求合力解：(1)合力大小：P =ql /2，合力方向向下。
(2)合力作用线位置。由合力矩定理 M A (P )=∑M A
(F i )，
dx
l
qx x dx q Ph l
l
x ?
?
-=?-=
-0
2
，∴
32
2
ql
h ql -
=?-
，得：h=2l /3
§2-4 平面力偶
一、力偶与力偶矩
实例：汽车司机用双手转动驾驶盘；钳工用丝锥攻螺纹。 力偶——由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。 力偶臂d ——两力之间的垂直距离。
力偶作用面——力偶所在的平面。 力偶矩：M =±Fd =
±2A △ABC ，代数量，逆为正，顺为负。单位：N·m ，或kN·m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换；力偶也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
二、同平面内力偶的等效定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
证：若M (F 0，F’0
)= M (F ，F’) 先将F 0，F’0移至A 、B 点，分解得：F 1、F 2，F’1、F’2， M (F 0，F’0)= -2 A
△ACB ，M (F 2
，F’2
)= -2 A △ADB
∵A △ACB = A △ADB ，∴M (F 0，F’0)= M (F 2，F’2) ∴M (F 2，F’2)= M (F ，F’) 由图：力偶(F 2，F’2)和(F ，F’)有相等的力偶臂和相同的
2= F’，
所以力偶(F 2，F’2)和(F ，F’)等效，因(F 2，F’2)与(F 0，F’0)等效，所以(F ，F’)与(F 0，F’0)等效。证毕。
推论：1、任一力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。 2、只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，
而不改变力偶对刚体的作用。
力偶矩是力偶作用的唯一度量，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量。
力偶常表示为： 三、平面力偶系的合成和平衡条件
R1
R2 同向平行力系可合成为一合力，合力的大小等于各分力大小之和。方向与原力系平行。
1
1、合成
两力偶(F 1，F’1)与(F 2，F’2)，M 1=F 1d 1，M 2= -F 2d 2 取力臂d ，变换两力偶，M 1=F 3d ，M 2= -F 4d 合成得(F ，F’)，F =F ’=F 3-F 4
合理偶矩：M =Fd =(F 3-F 4) d = M 1+ M 2
同平面内的任意个力偶可合成为一合力偶：M =∑M i 2、平面力偶系的平衡条件
因为平面力偶系可合成为一合力偶，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零。平面力偶系平衡的充要条件是：所有各分力偶矩的代数和等于零。
即：∑M i =0 平面力偶系的平衡条件(平衡方程)
例2.6 M 1=M 2=10N·m ，M 3=20N·m ，l =200mm 。求：固定螺柱A 、B 处的约束力。在工件上同时加工三个孔，工件上作用有三力偶。
解：(1)取工件研究，受力分析如图。工件在水平面内受三个力偶和A 、B 螺柱的约束力作用，根据力偶系的合成定理，三个力偶合成为一合力偶，该力偶与A 、B 处约束力构成的力偶平衡。F A =F B
(2)列平衡方程
∑M =0， F B l -M 1-M 2-M 3=0得：F B =F A =200N 例 2.7 四杆机构平衡，M 1=1N·m ，O 1A =0.4m ，
O 2B =0.6m ，求M 2
解：(1)取O 1A 研究，受力分析如图，列方程： ∑M =0，-M 1+F AB O 1A sin30°=0 得： F AB =5N
(2) 取O 2B 研究，受力分析如图，列方程。由二力杆AB 平衡，知F BA =F AB 。 ∑M =0， M 2-F BA O 2B =0 得：M 2=3N·m
第三章 平面任意力系
教学要求：
1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。
2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。
3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。
工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，
A
1
11
F
O1
BA F O2 B
A
F’BA
F’AB
作用线任意分布。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。
一、力的平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。
证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )
反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允
许用一只手扳动扳手。因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。
二、平面任意力系向作用面内一点简化2主矢和主矩
有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。 先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，
M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)
合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )
一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位臵有关。
主矢的解析表达式：F’R = F’Rx + F’R y=∑F x i +∑F y j
主矢的大小和方向余弦： F ’R =
()
()
2
2
∑∑+
y
x F F cos(F’R ，i )=∑F x /F ’R ，cos(F’R ，j )= ∑F y /F ’R 三、固定端约束力
2
固定端：一个物体的一端完全固定在另一物体上。例：车刀夹持在刀架上，工件夹持在卡盘上固定不动等。固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系。将这群力向作用面内A 点简化得到一个力和一个力偶，一般这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知正交分力代替。因此，在平面力系情况下，固定端A 处的约束作用力可简化为两个约束力F Ax 、F Ay 和一个矩为M A 的约束力偶。 四、平面任意力系的简化结果分析
1、简化为一个力偶
F’R =0，M O ≠0，因力偶对平面内任一点的矩相同，故主矩与简化中心的选择无关 2、简化为一合力
(1) F’R ≠0，M
O =0，F’R 即为合力，过简化中心O 。
(2) F’R ≠0，M O ≠0，合力F R =F’R
，作用线到O 点的距离d =M O /F R ，根据主矢和主矩的方向确定合力的作用线在O 点的哪一侧。
∵M O =∑M O (F i )，M O (F R
)= F R d=M O ∴M O (F R )=∑M O (
F i ) 平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力
系中各力对同一点的矩的代数和。
3、平衡
F’R =0，M O =0
例3.1 一平面力系：F 1=200N ，F 2=100N ，F 3=40N ，M =300N·m ，求(1)力系向C 点简化的结果；(2)力系的合力。
解：1、向C 点简化 主矢投影：∑F x= -F 1·3/5+F
3= -20033/5+40= -80N ∑F y= - F 1·4/5- F 2= -2004/5-100= -260N
主矢大小和方向余弦：F ’R =()
()
2
22
2
260
80+=+
∑∑y
x
F F =272N cos(F’R ，i )=∑F x/F ’R = -80/272= -0.294， α= -107.1°
主矩：M O =∑M O (F i )= F 133/532- F 234- F 331.5-M=-520 N·m 2、力系的合力：F R = F’R ，位于O 点的右侧，距O 点的距离：
R
M
d =M O /F R =520/272=1.91m ，OC = d/cos(α-90°)= d/cos17.1°=2m
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平面任意力系的平衡条件 充要条件：F’R =0，M O =0
应有：F ’R =()
()
2
2
∑∑+
y
x F F =0 M O =∑M O (F i ) =0 二、平衡方程
1、一般式 ∑F x =0
∑F y =0 三个方程，可求解三个未知量。 ∑M O (F )=0
2、二矩式
一般式中的力矩方程矩心的选择是任意的，当矩心不同时可列出不同的力矩方程，但这些投影和力矩方程中，只有三个是独立的，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。 ∑M A (F ) =0
∑M B (F ) =0 x 轴不得垂直于A 、B 两点的连线。 ∑F x =0
3、三矩式 ∑M A (F )=0
∑M B (F )=0 A 、B 、C 三点不得共线。 ∑M C (F )=0
上述三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题，究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。选择适当的坐标轴和矩心，可减少平衡方程中的未知量的数目，以简化解题。对平面任意力系，坐标轴应与较多未知力相垂直，矩心取在两个未知力的交点上。
例3.2 已知：q =2kN/m ，P =1kN ，M =4kN·m 。求：支座A 、B 处的约束力。
解：1、取刚架研究，受力分析如图。 2、列平衡方程 ∑F x =0 P +F Ax =0 ∑F y =0 -3q + F A y + F NB =0 ∑M A (F ) =0 -P 32-3q 31.5-M + F NB 33=0 3、解方程 F Ax = - P = -1kN(向左) F NB =5 kN F Ay =1kN
4、校核。可用另一平衡方程校核，例∑M B (F i ) =0
例3.3 已知：P 1=20kN ，P 2=40kN ，求：杆①、②、③所受的力。 解：1、取梁ABC 研究，受力分析如图。假设各杆受拉。
2
2、列方程
∑M O1(F ) =0，-P 2sin30°32-P 2cos30°34- F 336=0
∑M O2(F ) =0，F 136√2+ P 136+ P 2sin30°34+ P 2cos30°32=0 ∑F x =0， - F 1 cos45°+ F 2cos45°- P 2sin30°=0 3、解方程
得： F 1= -31.7kN ，F 2= -3.4kN ，F 3= -29.8kN 。负号表明，三杆均受压。 4、校核。可用平衡方程：∑F y =0校核。 三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。
若取x 轴⊥各力，则∑F x ≡0 平衡方程：∑F y =0 ∑M O (F ) =0
二矩式： ∑M A (F ) =0，∑M B (F ) =0
A 、
B 连线不平行于各力。
§3-3 物体系的平衡2静定和超静定问题
一、静定和静不定
工程中，由几个物体组成的系统是很常见的，当物体系平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，对每个受平面任意力系作用的物体，均可列出三个平衡方程。如物体系由n 个物体组成，则共有3n 个独立方程。如系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用，则系统的平衡方程数相应减少。
静定问题——未知量数=独立平衡方程数，所有未知力都能由平衡方程求出。
工程问题中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常增加多余约束，使未知量数＞独立平衡方程数，未知量不能全部由平衡方程求出。
超静定(或静不定)问题——未知量数＞独立平衡方程数。
在静力学中只讨论静定问题，对静不定问题，须考虑物体因受力而产生的变形，加列补充方程，使方程数等于未知量数。须在材料力学和结构力学中研究。
二、物体系的平衡问题
在求解静定的物体系的平衡问题时，可以选每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后求解；也可先取整个系统研究，列出平衡方程，因方程中不包含内力，式中未知量较少，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体研究（可为单个物体，或部分物体组成的系统），列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽可能少，以简化解题。
例3.4 组合梁由AC 和CD 在C 处铰接而成。梁的A 端插入墙内，B 为滚动支座。已知：F =20kN ，q =10kN/m ，M =20kN·m ，l =1m 。求：A 、B 处的约束力。
解：1、取整体研究，受力分析如图，列平衡方程。
F
F
y
∑F x=0，F Ax-F B cos60°-F sin30°=0
∑F y =0，F A y-2ql+F B sin60°-F cos30°=0
∑M A(F) =0，M A-M-2ql32l+ F B sin60°33l- F cos30°34l=0
2、取CBD研究，受力分析如图，列方程。
∑M C(F) =0，- ql3l/2+ F B sin60°3l- F cos30°32l=0
3、联立方程求解。
F B=45.77 kN，F Ax=32.89kN，F Ay= -2.32kN，M A=10.37kN·m
本题也可选择物体系的每个物体研究，即分别取CBD、和AC研究，列出6个方程，也可求解。但引入了C处的约束力两个中间未知量，增加了解题的复杂度。
例3.5齿轮传动机构，齿轮Ⅰ的半径为r，自重P1，齿轮Ⅱ的半径为R=2r，其上固结一半径为r的塔轮Ⅲ，轮Ⅱ与Ⅲ共重P2=2P1。齿轮压力角α=20°，被提升的物体重为P=20P1。求(1)保持物C匀速上升时，作用于轮Ⅰ上力偶的矩M；
(2)光滑轴承A、B的约束力。
解：1
∑F x=0，F B x-F sin20°=0
∑F y=0，
-P-P2+F B y-F cos20°=0 ∑M B(F i) =0，Pr-F cos20°R=0
解得：F=10.64P1，F B x=3.64P1，F By=32P1
2、取轮Ⅰ研究，受力如图，列方程。
∑F x=0，F Ax+F’sin20°=0
∑F y=0，-P1+F’cos20°+F Ay-=0
∑M A(F) =0，-F’cos20°r+M=0
解得：M=10 P1 r，F Ax = -3.64P1，F A y= -9P1
§3-4平面简单桁架的内力计算
工程中，起重机、油田井架、电视塔等结构物常用桁架结构。
一、桁架
桁架——由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。
如桁架所有杆件都在同一平面内，这种桁架称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头称节点。
为简化桁架计算，工程中采用以下假设：
1、桁架的杆件都是直的；
2、杆件用光滑的铰链连接；
3、桁架所受力都作用在节点上，且在桁架平面内；
4、桁架杆件自重不计，或分配在两端节点上。
这样的桁架称为理想桁架，实际桁架与上述假设会有差别，但工程实际中，上述假设能简化计算，且所得结果能符合工程实际需要。根据上述假设，桁架的杆件都可看成二力杆，各杆受力沿杆件方向，只受拉力或压力。
二、平面简单桁架
平面简单桁架——以三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。
可以证明，平面简单桁架是静定的，如增加杆件，将变成静不定桁架。
求桁架内力的方法——节点法、截面法。
节点法——逐个取节点研究，求出全部未知力。
截面法——适当选取一截面，假想地将桁架截开，由任一部分平衡，求出被截杆内力。
例3.6 已知：P 1=4kN ，P 2=1kN 。求④、⑤、⑥杆的内力。
解：1、求支座约束力
取整体研究，受力分析如图，列方程。
∑F x =0， F Ax +P 2=0
∑F y =0， F A y -P 1+ F NB =0
∑M A (F ) =0，- P 1a + P 2a + F NB 33 a =0
解得：F Ax = -1kN ，F Ay =3kN ，F NB =1kN 。 2、用节点法求④、⑤、⑥杆的内力 (1)取节点B 研究，受力如图，列方程。
∑F x =0， -F 8-F 9cos45°= 0
∑F y =0， F NB -F 9sin45°= 0 得：F 8= -1kN ，F 9=2kN
(2)取节点D 研究，受力如图，列方程。
∑F x =0， F’8-F 4= 0 ∑F y =0， -F 7= 0
得：F 4= -1kN ，F 7=0
⑶取节点F 研究，受力如图，列方程。
∑F x =0， -F 6-F 5cos45°+F’9cos45°+P 2= 0 ∑F y =0， F 5sin45°+F’7+F’9sin45°= 0 得：F 5= -2kN ，F 6=3kN
∴④杆内力为1kN 受压，⑤杆内力为2kN 受压，⑥杆内力为3kN 受拉。 3、用截面法求④、⑤、⑥杆的内力
用一假想面将④、⑤、⑥杆截开，取右侧研究，受力如图，列方程。
∑F x =0， -F 4-F 5cos45°-F 6+P 2=0 ∑F y =0， F 5sin45°+ F NB =0 ∑M F (F ) =0，-F 4a -F NB 3a =0 解得：F 4= -1kN ，F 5= -2kN ，F 6=3kN
第四章 空间力系
教学要求：
1、了解空间力系的平衡方程及其应用，能计算力对轴的矩。
2、能通过查表求组合形体的重心问题。
NB
B
NB
9F’8
9 2 F
NB 6F
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空间分布的，例如：车床主轴、起重设备等结构。与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系
一、力在直角坐标轴上的投影
投影：F x =F cos(F ，i )=F sin γcos φ F y =F cos(F ，j )=F sin γsin φ F z =F cos(F ，k )= F cos γ 当力F 与坐标轴x 、y 间的夹角不易确定时，可先把力F 投影到Oxy 平面，得到力F xy ，再进一步投影到x 、y 轴。 二、空间汇交力系的合成与平衡条件 1、合成：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点。
F R =∑F i
F R =∑F x i +∑F y j +∑F z k
合力F R 的大小和方向余弦： F R =()
()
()
2
2
2
∑∑∑+
+
z
y x F F F
cos(F R ，i )=∑F x /F R ，cos(F R ，j )=∑F y /F R ，cos(F R ，k )=∑F z /F R 2、平衡的充要条件：合力F R =0
平衡方程：∑F x =0，∑F y =0，∑F z =0
例4.1 用起重杆吊起重物，起重杆的A 端用球铰固定在地面上，B 端用绳CB 、DB 拉住，两绳分别系在墙上的点C 和D ，连线CD 平行于x 轴，α=30°，CDB 平面与水平面间的夹角∠EBF =30°，P =10kN 。如起重杆的自重不计，求起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：1、取起重杆AB 和重物研究，受力如图。 2、列平衡方程。 ∑F x =0，F 1cos45°-F 2cos45°=0 ∑F y =0，F A sin30°-F 1cos45°cos30°-F 2cos45°cos30°=0 ∑F z =0，F A cos30°+F 1cos45°sin30°+F 2cos45°sin30°-P =0 3、解方程得： F 1= F 2=3.54 kN
F A
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
一、力对点的矩
对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要
素。但在空间情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，还要考虑力与矩心所组成平面的方位。这三个因素可以用力矩矢来表示。
M O (F )=r 3F
大小：M O (F )=rF sin θ=Fh =2A △OAB 方位：⊥力F 与矩心组成的平面
指向：按右手螺旋法则确定。反映力矩转向 F =F x i +F y j +F z
k ，r =x i +y j +z k
M O (F )=r 3F =z
y x F
F
F
z y x k j i =(yF z -zF y )i +(zF x -xF z )j +(xF y -yF x )k M O (F )在直角坐标轴上的投影：
[M O (F )]x =yF z -zF y ，[M O (F )]y =zF x -xF z ，[M O (F )]z =xF y -yF x 二、力对轴的矩 工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须了解力对轴的矩的概念。
例，门上作用有一力F 使其绕固定轴z 转动。由经验知，
F z 不能使门转动，只有垂直于z
轴分力才能使静止的
门转动。
现计算作用在斜齿轮上的力F 对z 轴的矩,将力F 分解成平行于z 轴的分力F z 和垂直于z 轴的分力F xy , M z (F )=
M C (F xy ),一般可先将力投影到垂直于z 轴的平面得力F xy ,再将力F xy 对平面与轴的交点O 取矩.
M z (F )=M O (F xy )= M O (F x )+ M O (F y )= -F x y +F y x 同样可得力F 对x 、y 轴之矩。
M x (F )= yF z -zF y ，M y (F )= zF x -xF z ，M z (F )= xF y -yF x
力对轴的矩定义如下：力对轴的矩等于该力在垂直于该轴平面上的投影对该投影面与该轴交点的矩，是代数量，按右手螺旋法则，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。
三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
由上面分析可知：[M O (F )]x = M x (F )，[M O (F )]y = M y (F )，[M O (F )]z = M z (F )
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。
力对O 点之矩的大小和方向余弦为：|M O (F )|=()[]()[]()[]2
22F F F z y x M M M ++
cos(M O ,i )= M x (F )/|M O (F )|，cos(M O ,j )=
M y (F )/|M O (F )|，cos(M O ,k )= M z (F )/|M O (F )| 例4.2 已知手柄在水平内，BC ∥y ，AB ∥x ，力F 在平行于Oxy 的平面内。 求：力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：M x (F )= -F cos α(l +b ) M y (F )= -F cos αa
§4-3
空间力偶
一、力偶矩以矢量表示
由平面力偶理论知，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，也可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短。
由实践经验知：空间力偶的作用面可以平移，而不改变力偶对刚体的作用。
例如：用螺丝刀拧螺钉时，只要力偶矩的大小和力偶的转向不变，长螺丝刀或短螺丝刀
的效果是一样的；提水的绞车，绞柄位臵的改变不会改变其作用效果。
反之，如果两力偶的作用面不相
互平行，则即使它们的力偶矩相等，
这两个力偶对物体的作用效果不同。
右图中，力偶的矩相等。
F 1
空间力偶三要素：力偶矩的大小；力偶作用面的方位；力偶的转向。
空间力偶的矢量表示： 矢的长度——力偶矩的大小M =Fd ；
矢的方位——垂直于力偶作用面；
矢的指向——与力偶的转向间服从右手螺旋法则。
力偶可以在同平面内任意移转，并可搬移到平行平面内。
力偶矩矢是自由矢量。 二、两力偶等效的条件
两力偶的力偶矩矢相等
三、空间力偶的合成与平衡条件
1、合成：空间力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。
M =∑M i
空间力偶矢是自由矢量，可先将各力偶平移汇交于一点，依次合成。
由合矢量投影定理，合力偶矩矢M 的大小和方向余弦。
M =()
()
()
2
2
2
∑∑∑+
+
z
y x M M M
cos(M ，i )=∑M x /M ，cos(M ，j )=∑M y /M ，cos(M ，k )=∑M z /M 2、平衡条件 空间力偶系平衡的充要条件是：M =∑M i =0 平衡方程：∑M x =0，∑M y =0，∑M z =0
§4-4 空间任意力系向一点的简化2主矢和主矩
一、空间任意力系向一点的简化
先将各力平移至简化中心，同时附加一相应力偶。将空间汇交力系合成为一力——主矢，将空间力偶系合成为一力偶——主矩。 主矢：F’R =F’1+F’2+F’3=F 1+F 2+F 3=∑F i 主矩：M O =∑M i =∑M O (F i )
主矢的大小和方向余弦为：F ’R =()
()
()
2
2
2
∑∑∑+
+
z
y x F F F
cos(F’R ，i )=∑F x /F ’R ，cos(F’R ，j )=∑F y /F ’R ，cos(F’R ，k )=∑F z /F ’R
主矩大小和方向余弦：M O =()[]()[]()[]
2
2
2
∑∑∑++F F F z
y x M M M
cos(M O ，i )=∑M x (F )/M O ，cos(M O ，j )=∑M y (F )/M O ，cos(M O ，k )=∑M z (F )/M O 二、空间力系的简化结果分析 1、简化为一合力偶
F’R =0，M O ≠0，这时主矩与简化中心的位置无关。 2、简化为一合力
(1) F’R ≠0，M O =0，合力作用线过简化中心。