第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
一、选择题
1．(2010·陕西)已知函数f (x )＝?
????
2x
＋1，x <1，
x 2
＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于
( )
A.12
B.4
5
C ．2
D ．9 解析：f (x )＝?????
2x
＋1，x <1，x 2
＋ax ，x ≥1.
∵0<1，∴f (0)＝20
＋1＝2.
∵f (0)＝2≥1，∴ f (f (0))＝22
＋2a ＝4a ， ∴a ＝2，故选C. 答案：C
2．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x
＋2x ＋b (b 为常数)， 则f (－1)＝ ( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3
解析：因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，可求得b ＝－1，f (－1)＝－
f (1)
＝－(21
＋2＋b )＝－3.故选D. 答案：D
3．(2010·安徽)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象可能是 ( )
解析：A 项，由图象开口向下知a <0，由对称轴位置知－b
2a <0，∴b <0.又∵abc >0，
∴c >0.而由图知f (0)＝c <0；B 项，由图知a <0，－b
2a >0，∴b >0.
又∵abc >0，∴c <0，而由图知f (0)＝c >0； C 项，由图知a >0，－b
2a <0，∴b >0.
又∵abc >0，∴c >0，而由图知f (0)＝c <0；
D 项，由图知a >0，－b
2a >0，∴b <0.又∵abc >0，∴c <0，由图知f (0)＝c <0.D 正确．
答案：D
4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0 ( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞) 解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0 |lg a | ＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，得a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1 b . 令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1 b 2，显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋ ∞)上为增函数，得g (b )＝2b ＋1 b >3，故选C. 答案：C 5．(2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是 增函数，则( ) A ．f (－25) B ．f (80) C ．f (11) D ．f (－25) ∴f (x －8)＝f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以8为周期的周期函数． f (80)＝f (8×10)＝f (0)， f (11)＝f (3＋8)＝f (3)＝－f (3－4) ＝－f (－1)＝－[－f (1)]＝f (1)， f (－25)＝f [8×(－3)－1]＝f (－1)＝－f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上递增，∴f (0) 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴f (1)>0，∴－f (1)<0， ∴－f (1) 答案：D 二、填空题 6．已知函数f (x )＝x 2 －cos x ，对于???? ??－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 2 1>x 2 2；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________． 解析：函数f (x )＝x 2 －cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0 时， 显然 也大于0，是增函数，要使f (x 1)>f (x 2)恒成立，即f (|x 1|)>f (|x 2|)恒成立．∵f (x ) 在? ?????0，π2 上是增函数， ∴|x 1|>|x 2|，即②成立，①③不成立． 答案：② 7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－ 1 f x ，当2≤x ≤3时，f (x )＝ x ，则 f (1.5)＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－ 1 f x ，∴f (x ＋4)＝－ 1 f x ＋2＝f (x )∴T ＝4，∴f (1.5)＝ f (1. 5－4)＝ f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.5 8．(2010·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2 －|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 ________． 解：y ＝x 2 －|x |＋a 是偶函数，图象如图所示． 由图可知y ＝1与y ＝x 2 －|x |＋a 有四个交点， 需满足a －14<1 4. 答案：1 4 9．(2010·重庆)已知函数f (x )满足：f (1)＝1 4，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈ R )，则 f (2 010)＝________. 解析：解法一：∵当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－1 4；当x ＝2，y ＝1时， f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－1 4 ；当x ＝3，y ＝2时，f (5) ＝1 4 ； 当x ＝3，y ＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝1 4 ；当x ＝4，y ＝4时，f (8) ＝ －1 4 ；… ∴f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 010)＝f (0＋335×6)＝f (0)＝1 2 . 解法二：∵f (1)＝1 4，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )， ∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π 3x ， ∴f (2 010)＝12cos ? ????π3×2 010＝1 2. 答案：1 2 三、解答题 10．在直角坐标平面中，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22 )，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关 于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点． (1)求向量A 0 A 2→ 的坐标； (2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3 为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f (x )＝lg x ．求以曲线C 为图象的函数在(1,4] 上的解析式． 解：(1)设A 0(x ，y )， 根据已知条件A 1(2－x,4－y )，A 2(2＋x,4＋y )， ∴A 0 A 2→ ＝(2,4)． (2)∵f (x )为以3为周期的周期函数，且f (x )＝lg x ，x ∈(0,3]， 当x ∈(3,6]时，x －3∈(0,3]． f (x )＝f (x －3)＝l g (x －3)， 由(1)知??? ?? x 2＝2＋x ， y 2＝4＋y . 当1 由y 2＝lg(x 2－3)得4＋y ＝lg (x －1)， 即y ＝lg(x －1)－4，(1 ＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝? ?? ?? f x x >0， －f x x <0. 若f (－1) ＝0，且对 任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式； (2)当x ∈[－2,2]时， g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2 ＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴? ?? ?? a >0， Δ＝a ＋12 －4a ≤0， ∴? ?? ?? a >0 a －12 ≤0 . ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2 ＋2x ＋1， ∴F (x )＝????? x 2 ＋2x ＋1 x >0，－x 2 －2x －1 x <0. (2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2 ＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴ k －2 2 ≤－2或 k －2 2 ≥2，解得k ≤－2或k ≥6. 所以所求k 的取值范围为k ≤－2或k ≥6. 12．(2009·江苏镇江)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈ [－1,1]，m ＋n ≠0时，有 f m ＋f n m ＋n >0. (1)解不等式f ? ?? ??x ＋12 －2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值 范围． 解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝ f x 2＋f －x 1x 2＋－x 1·(x 2 －x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数． f ? ?? ??x ＋12 －1≤x ＋1 2 ≤1， －1≤1－x ≤1， x ＋12<1－x ?0≤x <14，即不等式f ? ?? ??x ＋12 为???? ??0，14. (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1， ∴f (x )≤t 2 －2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立?t 2 －2at ＋1≥1对任意a ∈ [－1,1]恒成立?t 2 －2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立． 把y ＝t 2 －2at 看作a 的函数， 由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段， ∴t 2 －2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立 ?? ???? t 2－2×－1×t ≥0，t 2 －2×1×t ≥0?? ???? t 2 ＋2t ≥0， t 2 －2t ≥0 ???? ? ? t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2 ，?t ≤－2，或t ＝0，或t ≥2. 高三数学基本初等函数 单元测试题 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 时杨中学2009届高三数学单元检测卷（2） 基本初等函数 时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分： 个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 若{|1}A x y x ==-，2{|1}B y y x ==+，则A B ?=_____________ 2. 已知函数：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为_______________ 3. 一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x ______________ 4. 函数2 12x x y -+-=的单调递增区间是_________________ 5. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. （至少打开一个水口） 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是____________ 6. 函数12y x =-，[3,4]x ∈的最大值为 . 7. 设函数2 12,1, ()1,1,1x x f x x x ?--≤?=?>?+? 则[](1)f f = . 8. 函数()2 2231m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 . 二、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤． 9. 已知函数22()log (32)f x x x =+- . (1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；(3) 求函数()f x 的值域. 二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列 问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向； 当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推 导．判断下面函数图象的a，b，c 符号： （1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2． 1 ?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等， 则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用， 借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值 如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大， 则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根 据四点一线来确定大致图 象．四点：二次函数顶点，二 次函数与y 轴的一个交点，二 次函数与x 轴的两个交点． 一线：二次函数对称轴． 一次函数图象和性质 【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k b -，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质 【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方. 例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式； （2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ k 、b 的符号 k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0 图像的大致位 置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大 而 x y O 3 2y x a =+ 1y kx b =+ y x O B A 【当堂检测】 1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______； 2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列 结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ． 1m <- C ．1m =- D ．1m < 4.一次函数23y x =-的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ） 6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9 7.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（ 22，2 2-） C.（－21，－2 1 ） D.（－22，－22） 8．一次函数y =2x －2的图象不经过．．． 的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上两点，则下列判断正确的是 （ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。 证明：∵与成正比例， 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， ∴=-3x-1, 高三1学期期末考试 数学试卷（文） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题．．卡．相应位置上．．．．． ． 1. 已知集合{1,1},{|124},x A B x R =-=∈≤<则A B =I （ ） A ．[0,2) B ．{ 1 } C ．{1,1}- D ．{0,1} 2. 下列命题中错误的是 （ ） A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，1=?βα，那么直线⊥l 平面γ D ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3. 已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和， *N n ∈，则10S 的值为 （ ） A ．110- B ．90- C ．90 D ．110 4. 若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补， 记(,)a b a b ?=-， 那么(,)0a b ?=是a 与b 互补的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 5. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ） A ．222a b ab +> B ．a b +≥ C ．11a b +> D ．2b a a b +≥ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ?≤≤?≤??≤?给定。若(,)M x y 为D 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当 n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y = 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 2012年高考文科数学汇编：函数 一、选择题 1 ．（2012年高考（重庆文））设函数2 ()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合 {|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N I 为 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(-1,1) D ．(,1)-∞ 2 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ） A ．cos 2y x = B ．2log ||y x = C ．2 x x e e y --= D ．3 1y x =+ 3 ．（2012年高考（四川文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 4 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ） A ．1y x =+ B ．2 y x =- C ．1 y x = D ．||y x x = 5 ．（2012年高考（山东文））函数21 ()4ln(1) f x x x = +-+ （ ） A ．[2,0)(0,2]-U B ．(1,0)(0,2]-U C ．[2,2]- D ．(1,2]- 6 ．（2012年高考（江西文））已知 2()sin ()4 f x x π=+若a =f (lg5),1 (lg )5b f =则 （ ） A ．a+b=0 B ．a-b=0 C ．a+b=1 D ．a-b=1 7 ．（2012年高考（江西文））设函数211 ()21x x f x x x ?+≤? =?>? ?,则((3))f f = （ ） A ． 15 B ．3 C ． 23 D ． 139 8．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,() f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2 x π≠时 ,()()02 x f x π '- >,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ） 高考数学基本初等函数一专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（） A. B. C. D. 3.若，，，，则（） A. B. C. D. 4.设函数，则函数的零点的个数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.设集合,则（） A. B. C. D. 6.已知函数，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7.已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8.已知函数，则函数的零点所在区间为（） A. B. C. D. 9.已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10.已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6题；共7分） 11.函数的反函数________. 12.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为 ________（结果用数值表示） 13.定义，已知函数，, ，则的取值范围是________，若有四个不同的实根，则的取值范围是________． 14.设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）?f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a ＝5.其中正确结论的序号是________. 15.已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为________． 16.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数. 当时，，，其中.若在区间上，关 于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是________. 三、解答题（共5题；共45分） 17.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元． （1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式； （2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 18.2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数 已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。 （1）求函数的解析式； 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0高三数学基本初等函数单元测试题
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