局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面

第32卷第4期2008年8月

江西师范大学学报(自然科学版)

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RSrrY(NAr兀『R AL Sc匝N C E)V01．32N o．4

A ug．2008

文章编号：100啦5862(2008J04—0414．04

局部对称共形平坦黎曼流形中

具常平均曲率的完备超曲面

戴国元1，王清玲2，陈抚良1

(1．江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌3300勉；2．江西蓝天学院公共数学部，江西南昌3300凹)

摘要：该文研究局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面，得到了这类超曲面全脐的一

个结果，推广了前人的结果．

关键词：共形平坦；全脐；超曲面

中图分类号：o186．1文献标识码：A

1引言和结论

设胪是等距浸入在n+1维局部对称共形平坦黎曼流形胪“中的完备超曲面．S表示胪的第二基本形式模长平方，日表示胛的常平均曲率，疋和k分别表示胪“的Ri cci曲率的上确界和下确界，K表示胪“的数量曲率．

zhang在文[1]中证明了下面的定理．

定理A设胪是单位球面s”P(1)中具常平均曲率的完备超曲面，则

(i)S<2／；■]时，胪是全脐超曲面；(0)S：2v厂了]时，局部地，胛=s1(r)×酽一1(￡)，

其中r2：1／(厂；i1+1)，t2：v厂了]／(厂i]+1)．

本文推广文[1]中的结果，得到了

定理1设胛是n扣’1维局部对称共形平坦黎曼流形胪“中具常平均曲率的完备超曲面，Al，A2，…，A。是胛在茗点处的，1个主曲率，若胪“在妒上髫点处的截面曲率％+l讥+l f满足∑A l如+l讥+“=(2凡疋一K)日／(n一1)，则

(i)S<2／a(4t。一2瓦一K／，1)／(n—1)时，胪是全脐超曲面；

(ii)S：2／而(4￡。一2瓦一肜n)／(，l—1)时，局部地，胗：S1(r)×srI一1(I)，其中r2=l／(／jij+1)，t2：厂；j／(厂i]+1)．

注l当胪+1=5”p(1)时，K+l h+l f=l，瓦=t。=凡，K=n(，l+1)．显然∑A墨+l I fr I+“=(2n瓦一K)日／(n一1)，定理l成了定理A，因此，定理l推广了文[1]中的结果．

选取胪+1的幺正局部标架场Pl’．一，％+l，且限制在胪上时，P J’．一，％是胛的切向量，约定指标如下l≤A，B，c，…≤n+1，l≤i，．，，后，…≤几，n≤口，p，y，…≤n+1．令∞l，…，甜。l为P l’．一，％+I的对偶标架场，由于』、『，l+1是共形平坦的，其黎曼曲率张量

‰=击【文‰一溉+㈣川施一尝(文如一眺)】，

收稿日期：2008．03．10

基金项目：江西省教育厅基金(cJ J08162)资助项目．

作者简介：戴国元(19r78-)，男。江西崇仁县人，理学硕士。讲师，主要从事微分几何的研究

第4期戴国元，等：局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面415

％=∑为伽，K：∑‰．

C^

又胪+1是局部对称的，则心蚴的协变导数为零，即翰肋．E=0．

当限制在胪上时，有

叫¨=o，(￡’川，=∑^口％b=b，妣=一∑叫F^叶，叫F+％：o，

嘞=一∑∞诸^嘶+告∑月∥I^㈨

R渊=晦+^访b一^d咄，

置毋=^匆+％+l匆，

其中|I l F，尺洲分别是胛的第二基本形式及黎曼曲率张量的分量，且^诚定义如下

∑^∥^=砒F一∑％cc，航一∑^删村．(1)

(2)

(3)

胪的第二基本形式模长平方s=∑I I l；，平均曲率H={∑^如由[2]知

△^妒=帆m+l』一∑K+‰l庙F+棚∑^幽一％+∑(玩幽+Ⅲ“+2局渺雎)，

选取幺正标架场Pl，．一，％，使得在胛上任意点茗处有^i=A岛，于是车菇处有

∑b△^F=槲∑A焉m+l f—s∑％幽+l f+∑(A f一～)2翰一52+棚∑碍(4)引理1‘31设口l，口2，…，‰是，1个实数，满足∑口i：o，∑o{：t2，其中￡是非负数，则

‘‘

n一2，n，n一，．

一万面∥≤÷町≤万而广’

且等号成立当且仅当有忍一1个口。相等．

引理2【4-51设胛是几维完备黎曼流形，其R i cci曲率有下界，F是胛上有上界的c2．函数，则V e> 0，存在点石∈胛，使得supF一￡

引理3[6]设A=(nF)是，l×，l对称矩阵，n≥2，记A l=Tr A l，A2=∑(％)2，则

∑(口讥)2一A l口肌≤[n(凡一1)A2+(，I一2)l A l l√弋i_二■孬T乏五而一2(，I一1)A}]／，12．2定理1的证明’

吾：s一槲z。

一s军‰㈨t≥一点(2瓦一等)s，善(At一～)2砀≥尚(4c。一警)(s一棚2)．I'J。。一’。(5)

(6)

(7)

因为羊‘日一A i)=o，苹‘日一A f)2=s一脬=i，由引理l有

槲∑A{=3彬s一2厅2∥一柑；(厅一¨3≥3彬i+n2∥一，l1日I稿i压．(8)由(5)．(8)，(4)变为

∑％蛳≥胡[萃A恳m+“一堕笔产】+考[竺≮三章一考一n J日I稿以+御]．(9)由定理1的条件及f9)有

∑"吣《掣一一-n…清南以删]_

416江西师范大学学报(自然科学版)2008年坚二!堡二主!

n 一1

川卜2疋一等

)n —l 由(5)有

一志s+志m +一，励巾一一，以小一志s)-吉砖=吉…弘+驴嗨~{掣一志s)．㈤，给定正数口，令F ：√j +d ，显然F 是有上界的c2．函数，由(2)式及引理3有凡≥2卜鲁一掣s 一孚1日l 厶瓦可而+2(n-1)俨，因此胛的Ri cci 曲率有下界，由引理2，V e>0，存在点茗∈胛，使得supF —e

(11)对，求Lapl ace 算子有

，△，：一0

d ，(髫)0+{△~．(12)

由(11)～(12)，有去△~

选取数列{e 。}，使得l i m ￡m =0，对每一个m ，存在点z 。∈胛，使得(11)成立，再由(11)知，{F(戈。)}是有界数列，设l i m F(‰)：凡，由引理2有凡：supF ，再由F 的定义，有j (z 。)一jo=su 弗．

由(10)，(13)，有

“em+m 川>吉盛施‰){掣一志陬¨+删，)’二L n 一1’．／I_、。、4“7’…7】

当m 一∞时．有瞄。{掣一南佤+删，)．【n 一1’．／：j 、。u …‘7J (14)

㈩孰笪娑竿盘娟。+御<笪娑竿立测…擀舔：o ，即j ：o ，因此胛是全脐超曲面．

钏蝴：笪翟竿立瞄：笪翟竿立一屑是撇㈣有

咏=o ，∑b △b=o ，

(15)

I J (1+~，厂雨)√i H+(1一v 厂而)√吾：o ，

(16)且引理1等号成立，(7)也变为等号，当(7)变为等号时，有

b=击(2t 。一言)(i ≠n (17)

由(16)有，御：[厢一掣】竺!掣，可断定胛不全脐，否则有s ：，舻，即‘n o n —l

—～—3～nJ

第4期

戴国元，等：局部对称共形平坦黎曼流形中具常平均曲率的完备超曲面417笪=字立：【一一掣】掣

上式是不可能成立的，故胛不全脐．由(15)及(3)知A i 为常数，且％=0(A ‘≠-)，外微分该式并由(1)有置斛=0(A f ≠～)．由(17)，(18)及G u 鹊s 方程(2)有

A 力+击(2卜等)=o(A i ≠～)．

由于引理1等号成立，故可假设A l ≠A 2≠…≠．：I 。，由(19)有Ⅲ：=一击(2卜等)，A {+(n 一，)A ；：三二：二三二三!!掣由(20)得|：L2=一高(2k 一案)，代入(21)可得(18)

(19)

(20)(21)卜志(2卜硝+巫掣牡。．

因此疋=k ，由R i cci 张量的对称性及胪+1共形平坦，胪+1必是一个常截曲率空间，直接从文[7]的讨论可知定理1得证．

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(责任编辑：王金莲)