基本不等式练习题
一．选择题（共24小题）
1．（2014?榆林模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得
的最小值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
2．（2014?潍坊模拟）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）
A ．＞
B
．
+≤1
C
．
≥2 D
．
≤
3．（2014?咸阳二模）若正实数a，b满足a+b=1，则（）
A ．有最大值4
B．
ab有最小值
C．有最大值D
．
a2+b2有最小值
4．（2014?兴安盟一模）x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）
A ．14 B
．
7 C
．
18 D
．
13
5．（2014?湖南模拟）设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）
A ．B
．
C
．
D
．
6．（2014?淄博一模）设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）
A ．3+2B
．
6 C
．
4D
．
7．（2014?漳州模拟）若正实数x，y满足，则x+y的最大值是（）
A ．2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
8．（2013?广州二模）已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且log a x．log a y=1，那么xy的取值范围为（）
A ．（0，a2]B
．
（0，a]C
．
（0，]
D
．
（0，]
9．（2013?南充一模）已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（）
A ．.9 B
．
C
．
5 D
．
10．（2012?湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m 变化时，的最小值为（）
A ．16B
．
8C
．
8
D
．
4
11．（2010?四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）
A ．1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
12．（2009?天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）
A ．2 B
．
C
．
1 D
．
13．（2008?江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）
A ．B
．
C
．
D
．
14．（2006?重庆）若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）
A ．B
．
3 C
．
2 D
．
15．（2003?广东）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）
A ．2πR2B
．
C
．
D
．
16．（2014?潍坊模拟）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
17．（2012?浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
A ．B
．
C
．
5 D
．
6
18．（2012?信阳模拟）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则t=2x+2y的取值范围是（）
A ．0＜t≤2 B
．
0＜t≤4 C
．
2＜t≤4 D
．
t≥4
19．（2010?和平区一模）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）
A．
y=x+B．
y=cosx+（0＜x＜）
C．
y=
D．y=
20．（2006?重庆）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
21．已知a＞0，b＞0且，则a+2b的最小值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
14
22．（2014?达州一模）已知函数f（x）=lg，若f（a）+f（b）=0且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是（）
A ．（0，]
B
．
（0，）
C
．
（0，]
D
．
（0，）
23．（2014?浙江模拟）若正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是（）
A ．19 B
．
16 C
．
18 D
．
15
24．（2000?天津）若a＞b＞1，P=，则（）
A ．R＜P＜Q B
．
P＜Q＜R C
．
Q＜P＜R D
．
P＜R＜Q
二．填空题（共2小题）
25．（2010?山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_________．26．（2011?重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是_________．
基本不等式练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共24小题）
1．（2014?榆林模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得
的最小值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：基本不等式；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由a
7=a6+2a5求得q=2，代入求
得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．
解答：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足
a7=a6+2a5，可得，∴q2
﹣q﹣2=0，∴q=2．
∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，
∴m+n=6，
∴
，当且仅当=时，等号成立．
故的最小值等于，
故选A．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等
式的应用，属于基础题．
2．（2014?潍坊模拟）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）
A ．＞
B
．
+≤1
C
．
≥2 D
．
≤
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：
由题设知ab≤，所以，
，，
==≤，由
此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．
解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，
∴ab≤，
∴，故A不成立；
，故B不成立；
，故C不成立；
∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，
∴==≤，故
D 成立．
故选D．
点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均
值不等式的合理运用．
3．（2014?咸阳二模）若正实数a，b满足a+b=1，则（）
A
．
有最大值4 B
．
ab有最小值
C
．
有最
大值
D
．
a2+b2有最小
值
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：
由于==2+≥4，故A不正
确．
由基本不等式可得a+b=1≥2，可得
ab≤，故B不正确．
由于=1+2≤2，故
≤，故C 正确．
由a2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正
确．
解答：解：∵正实数a，b满足a+b=1，
∴==2+≥2+2=4，故有
最小值4，故A不正确．
由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故
ab有最大值，故B不正确．
由于
=a+b+2=1+2≤2，
∴≤，故有最大值为，故
C正确．
∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故
a2+b2有最小值，故D不正确．
故选：C．
点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成
立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基
础题．
4．（2014?兴安盟一模）x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）
A ．14 B
．
7 C
．
18 D
．
13
考点：基本不等式；简单线性规划．
专题：计算题．
分析：作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b
＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基
本不等式即可．
解答：
解：∵x、y满足约束条件，目标
函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：
由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数
z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C
时，取得最大值（最优解）．
由解得x=3，y=4，即C（3，4），
∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为
7，
∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），
∴=（3a+4b）?（）
=（9++16+）≥（25+2）
=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．
故选B．
点评：本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可
行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于
中档题．
5．（2014?湖南模拟）设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：基本不等式；向量在几何中的应用．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：
先利用数量积公式，求得，
再利用G是△ABC的重心，可得
，进而利用基本不等
式，即可求得结论．
解答：
解：∵∠A=120°，，
∴
∴
∵G是△ABC的重心，
∴
∴=≥
=
故选B．
点评：本题考查数量积公式，考查向量的运算，
考查基本不等式的运用，属于中档题．6．（2014?淄博一模）设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）
A ．3+2B
．
6 C
．
4D
．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：变形利用基本不等式即可得出．
解答：解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，
∴a﹣1＞0，a﹣1+b=1．
∴=
=3+
=3+2．
当且仅当b=（a﹣1），a+b=2，
即a=，b=2﹣时取等号．
∴的最小值为．
故选：A．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础
题．
7．（2014?漳州模拟）若正实数x，y满足，则x+y的最大值是（）
A ．2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：两次利用基本不等式即可得出．
解答：
解：由，化为，
∵x＞0，y＞0，
∴=
=4，当且仅当x=y=2或
时取等号．
∴x+y的最大值是4．
故选：C．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．8．（2013?广州二模）已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且log a x．log a y=1，那么xy的取值范围为（）
A ．（0，a2]B
．
（0，a]C
．
（0，]
D
．
（0，]
考点：基本不等式．
分析：由已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，利用对数函
数的单调性可得log a x＞0，log a y＞0，再利
用基本不等式的性质log a x+log a y=log a（xy）
≥即可得出
解答：解：∵0＜a＜1，0＜x≤y＜1，∴log a x＞0，log a y
＞0，
∴log a x+log a y=log a（xy）
≥=2，当且仅当
log a x=log a y=1时取等号．
∴0＜xy≤a2．
故选A．
点评：熟练掌握对数函数的单调性、基本不等式的
性质是解题的关键．
9．（2013?南充一模）已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（）
A ．.9 B
．
C
．
5 D
．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：由已知可得
==
=x=
，，从
而可得λ，μ的关系，利用基本不等式可求
解答：
解：由D，E，F三点共线可设
∵=（λ＞0），=μ（μ＞0）
∴==
=x
=
∵D为BC的中点
∴
∴
∴即λ+μ=2
则=（）（λ+μ）
=
当且仅当即时取等号
故选D
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的
最值中的应用，解题的关键是根据已知向量
的知识寻求基本不等式的条件．
10．（2012?湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m 变化时，的最小值为（）
A ．16B
．
8C
．
8
D
．
4
考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函
数图象与性质的综合应用；平行投影及平
行投影作图法．
专题：计算题；综合题；压轴题．
分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，
x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，
x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，
利用基本不等式可求得当m变化时，的
最小值．
解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别
为x A，x B，x C，x D，
则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣
log2x C=，log2x D=；
∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，
x D=．
∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，
∴==||=2m?
=．
又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣
≥2﹣=（当且仅当m=时取
“=”）
∴≥=8．
故选B．
点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应
用，理解平行投影的概念，得到
=是关键，考查转化与数形
结合的思想，考查分析与运算能力，属于
难题．
11．（2010?四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）
A ．1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：计算题；压轴题；转化思想．
分析：
将变形为
，然后前
两项和后两项分别用均值不等式，即可求得
最小值．
解答：解：
=
≥4
当且仅当取等号
即取等号．
∴的最小值为4
故选项为D
点评：本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基
本不等式求出最值．
12．（2009?天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）
A ．2 B
．
C
．
1 D
．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：压轴题．
分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最
值
解答：解：∵a x=b y=3，
∴x=log a3=，y=log b3=，
∴
当且仅当a=b时取等号
故选项为C
点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及
均值不等式求最值的运用，考查了变通能
力
13．（2008?江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
分析：先换元，转化成积定和的值域，利用基
本不等式．
解答：
解：令t=f（x），则，
则y=t+≥=2
当且仅当t=即t=1时取“=”，
所以y的最小值为2
故选项为B
点评：做选择题时，求得最小值通过排除法得
值域；
考查用基本不等式求最值14．（2006?重庆）若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）
A ．B
．
3 C
．
2 D
．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．
分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将
（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数
的平方大于等于0得不等式，
然后解不等式得范围．
解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=
（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2﹣2bc=12+（b
﹣c）2≥12，
当且仅当b=c时取等号，
∴a+b+c≥
故选项为A
点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不
等式，通过解不等式求代数式的范围．
15．（2003?广东）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）
A ．2πR2B
．
C
．
D
．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
分析：将全面积表示成底面半径的函数，用配方
法求二次函数的最大值
解答：解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，
全面积为S，则有
∴h=3R﹣3r
∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr
=﹣4π（r2﹣Rr）
=﹣4π（r﹣）2+πR2
∴当r=时，S取的最大值πR2．
故选B．
点评：考查实际问题的最值问题，常转化成函数
的最值
16．（2014?潍坊模拟）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）
A ．B
．
C
．
D
．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；离散型随
机变量的期望与方差．
专题：计算题；数形结合．
分析：依题意可求得3a+2b的值，进而利用
=1把转化为（）×
展开后利用基本不等式求得问题的答案．
解答：解：由题意得3a+2b=2，
=（）×
=
故选D
点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的
关键是构造出+的形式．17．（2012?浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
A ．B
．
C
．
5 D
．
6
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：
将x+3y=5xy转化成=1，然后根
据3x+4y=（）（3x+4y），展开后
利用基本不等式可求出3x+4y的最小
值．
解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，
1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()
不等式练习题 一、 选择题 1．下列式子①3x ＝5；②a ＞2；③3m －1≤4；④5x ＋6y ；⑤a ＋2≠a －2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2．下列不等关系中，正确的是（ ） A 、 a 不是负数表示为a ＞0； B 、x 不大于5可表示为x ＞5 C 、x 与1的和是非负数可表示为x ＋1＞0； D 、m 与4的差是负数可表示为m －4＜0 3．若m ＜n ，则下列各式中正确的是（ ） A 、m －2＞n －2 B 、2m ＞2n C 、－2m ＞－2n D 、2 2n m ＞ 4．下列说法错误的是（ ） A 、1不是x ≥2的解 B 、0是x ＜1的一个解 C 、不等式x ＋3＞3的解是x ＞0 D 、x ＝6是x －7＜0的解集 5．下列数值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x ＋3＞2成立的数有（ ）个. A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 6．不等式x －2＞3的解集是（ ）A 、x ＞2 B 、x ＞3 C 、x ＞5 D 、x ＜5 7．如果关于x 的不等式（a ＋1）x ＞a ＋1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ＞0 B 、a ＜0 C 、a ＞－1 D 、a ＜－1 8．已知关于x 的不等式x －a ＜1的解集为x ＜2，则a 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 9．满足不等式x －1≤3的自然数是（ ） A 、1，2，3，4 B 、0，1，2，3，4 C 、0，1，2，3 D 、无穷多个 10．下列说法中：①若a ＞b ，则a －b ＞0；②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；③若ac ＞bc ，则a ＞b ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b.正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 11．下列表达中正确的是（ ） A 、若x 2＞x ，则x ＜0 B 、若x 2＞0，则x ＞0 C 、若x ＜1则x 2＜x D 、若x ＜0，则x 2＞x 12．如果不等式ax ＜b 的解集是x ＜ a b ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a ≥0 B 、a ≤0 C 、a ＞0 D 、a ＜0 二、 填空题 1．不等式2x ＜5的解有________个. 2．“a 的3倍与b 的差小于0”用不等式可表示为_______________. 3．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x ，则x 的取值范围是______________. 4．在－2＜x ≤3中，整数解有__________________. 5．下列各数0，－3，3，－0.5，－0.4，4，－20中，______是方程x ＋3＝0的解； _______是不等式x ＋3＞0的解；___________________是不等式x ＋3＞0. 6．不等式6－x ≤0的解集是__________.
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
基本不等式练习题及答案
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双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
第4讲基本不等式一、选择题 1．若x＞0，则x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C. 9 2 D．5 解析依题意得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2? ? ? ? ? 1 a ＋ 4 b( a＋b)＝ 1 2? ? ? ? ? ? 5＋ ? ? ? ? ? b a ＋ 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5＋2 b a × 4a b ＝9 2 ，当且仅当 ?? ? ?? a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即a＝ 2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a 又v －a ＝2ab a ＋ b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值 22 解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2 ，所以ab ≤1 4 ，故B 错； 1 a ＋1 b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2， 故D 错． 答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1 x (x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个 数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t 的最小值为________． 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x ＋ 1 y 的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5 ，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 考向二利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a ＋ ca b ＋ ab c ≥a＋b＋c. ． 【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0， x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值 范围是________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)＝80 n＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b 的最小值是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 双基自测 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . §3.4 基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 材拓展 1．一个常用的基本不等式链 设a >0，b >0，则有： min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立． 若a >b >0，则有： b <21a ＋1b 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a ab b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况如下表： 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 2 a b +≤ 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 基本不等式题型归纳 【重点知识梳理】 1．基本不等式：2a b ab +≤ （1）基本不等式成立的条件：0a >，0b >． （2）等号成立的条件：当且仅当a b =时，等号成立． 2．几个重要的不等式：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈）； （2） 2b a a b +≥（0ab >）； （3）2( )2a b ab +≤（,a b R ∈）； （4）2222()()a b a b +≥+（,a b R ∈）． 3．算术平均数与几何平均数 设0a >，0b >，则,a b 的算术平均数为 2 a b +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知0a >，0b >，则 （1）如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a b =时，a b +有最小值是2p ．（简记：积定和最小） （2）如果和a b +是定值p ，那么当且仅当a b =时，ab 有最大值是2 4 p ．（简记：和定积最大） 题型一览 1、已知0a >，0b >，且41a b +=，则ab 的最大值为_______，则 1ab 的最小值为_______； 2、已知21x y +=，则24x y +的最小值为_______ 3、设03x <<，则函数4(52)y x x =-的最大值为_______ 4、若0x >，则4x x + 的最小值为_______；若0x <，则4x x +的最大值为_______ 5、若2x > ，则12x x +-的最小值为_______；若2x < ，则12 x x +-的最大值为_______ 若函数1()(2)2f x x x x =+ >-在 x a =处有最小值，则a =_______ 6、已知,a b R +∈，且22a b +=，则 12a b +（2a b b a +）的最小值为_______，此时,a b 的值分别是_______ 7、已知0x >，0y >，2 12x y +=（22x y xy +=或220x y xy +-=），则2x y +的最小值为_______ 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 双基自测 1 1．( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数 y ＝ x ＋ x ( x ＞0) 的值域为 ( ) ． A ．( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) B ．(0 ，＋∞) C ．[2 ，＋∞ ) D ．(2 ，＋∞) 2 a ；② a ＋b 2 ＋ 2 1 ≥ ，其中正确的个数是 ．下列不等式：① a ＋ ＞ ≤2；③ x 2 1 2 x 1 ab ＋1 ( ) ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ．若 a ＞ ，b ＞ ，且 a ＋ 2 b － ＝ ，则 ab 的最大值为 ( ) ． 3 0 0 2 0 B ．1 C ．2 D ． 4 ． ·重庆 若函数 f x ＝ x ＋ 1 x ＞ 在 x ＝ a 处取最小值，则 a ＝ ． 4 (2011 ) ( ) x －2 ( 2) ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 ．已知 t ＞ ，则函数 y ＝ t 2－ t ＋ 1 5 0 t 的最小值为 ________． 考向一 利用基本不等式求最值 1 1 【例 1】?(1) 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋y ＝1，则 x ＋y 的最小值为 ________； x 2 (2) 当 x ＞0 时，则 f ( x) ＝x 2＋1的最大值为 ________． 1 【训练 1】 (1) 已知 x ＞1，则 f ( x) ＝ x ＋ x － 1的最小值为 ________． 已知 ＜x 2 x － x 2 的最大值为 (2) ＜ ，则 y ＝ ________． 0 5 2 5 (3) 若 x ，y ∈ (0 ，＋∞ 且 2 x ＋ y － xy ＝ ，则 x ＋ y 的最小值为 ． ) 8 0 ________ 考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例 2】?已知 a ＞0， b ＞ 0， c ＞ 0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a ＋b ＋c. ． 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ， a 2＋ b 2 2 ≤( a ＋b 2 )2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2 ＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤( a ＋b 2 )2 )，当且仅当a ＝b 时 取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22 x y x y +-的最小值 为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2 xy x x +=<< ，则313x y + -的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
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