第二部分牛顿运动定律
第一讲牛顿三定律
一、牛顿第一定律
1、定律。惯性的量度
2、观念意义，突破“初态困惑”
二、牛顿第二定律
1、定律
2、理解要点
a、矢量性
b、独立作用性：ΣF →a ，ΣF x→a x…
c、瞬时性。合力可突变，故加速度可突变（与之对比：速度和位移不可突变）；牛顿第二定律展示了加速度的决定式（加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”）。
3、适用条件
a、宏观、低速
b、惯性系
对于非惯性系的定律修正——引入惯性力、参与受力分析
三、牛顿第三定律
1、定律
2、理解要点
a、同性质（但不同物体）
b、等时效（同增同减）
c、无条件（与运动状态、空间选择无关）
第二讲牛顿定律的应用
一、牛顿第一、第二定律的应用
单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少，一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。
应用要点：合力为零时，物体靠惯性维持原有运动状态；只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a可以突变而v、s不可突变。
1、如图1所示，在马达的驱动下，皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。现将一工件（大小不计）在皮带左端A点轻轻放下，则在此后的过程中（）
A、一段时间内，工件将在滑动摩擦
力作用下，对地做加速运动
B、当工件的速度等于v时，它与皮带
之间的摩擦力变为静摩擦力
C、当工件相对皮带静止时，它位于皮
带上A点右侧的某一点
D、工件在皮带上有可能不存在与皮
带相对静止的状态
解说：B 选项需要用到牛顿第一定律，A 、C 、D 选项用到牛顿第二定律。
较难突破的是A 选项，在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上，建议使用反证法（t → 0 ，a → ∞ ，则ΣF x → ∞ ，必然会出现“供不应求”的局面）和比较法（为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动？因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”）
此外，本题的D 选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出
只有当L ＞ g
2v
2
时（其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素），才有相对静止的过程，
否则没有。
答案：A 、D
思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g 取10 m/s 2
，试求工件到达皮带右端的时间t （过程略，答案为5.5s ）
进阶练习：在上面“思考”题中，将工件给予一水平向右的初速v 0 ，其它条件不变，再求t （学生分以下三组进行）——
① v 0 = 1m/s (答：0.5 + 37/8 = 5.13s) ② v 0 = 4m/s (答：1.0 + 3.5 = 4.5s) ③ v 0 = 1m/s (答：1.55s)
2、质量均为m 的两只钩码A 和B ，用轻弹簧和轻绳连接，然后挂在天花板上，如图2所示。试问：
① 如果在P 处剪断细绳，在剪断瞬时，B 的加速度是多少？ ② 如果在Q 处剪断弹簧，在剪断瞬时，B 的加速度又是多少？ 解说：第①问是常规处理。由于“弹簧不会立即发生形变”，故剪断瞬间弹簧弹力维持原值，所以此时B 钩码的加速度为零（A 的加速度则为2g ）。 第②问需要我们反省这样一个问题：“弹簧不会立即发生形变”的原因是什么？是A 、B 两物的惯性，且速度v 和位移s 不能突变。但在Q 点剪断弹簧时，弹簧却是没有惯性的（没有质量），遵从理想模型的条件，弹簧应在一瞬间恢复原长！即弹簧弹力突变为零。
答案：0 ；g 。
二、牛顿第二定律的应用
应用要点：受力较少时，直接应用牛顿第二定律的“矢量性”解题。受力比较多时，结合正交分解与“独立作用性”解题。
在难度方面，“瞬时性”问题相对较大。
1、滑块在固定、光滑、倾角为θ的斜面上下滑，试求其加速度。
解说：受力分析 → 根据“矢量性”定合力方向 → 牛顿第二定律应用
答案：gsin θ。
思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，倾角仍为θ，要求滑块与斜面相对静止，斜面应具备一个多大的水平加速度？（解题思路完全相同，研究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答：gtg θ。）
进阶练习1：在一向右运动的车厢中，用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态，试求车厢的加速度。（和“思考”题同理，答：gtg θ。）
进阶练习2、如图4所示，小车在倾角为α的斜面上匀加速运动，
车厢顶用细绳悬挂一小球，发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角β。试求小车的加速度。
解：继续贯彻“矢量性”的应用，但数学处理复杂了一些（正弦定理解三角形）。 分析小球受力后，根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形，并找到相应的夹角。设张力T 与斜面方向的夹角为θ，则
θ=（90°+ α）- β= 90°-（β-α） （1） 对灰色三角形用正弦定理，有 β
∑sin F =
θ
sin G （2）
解（1）（2）两式得：ΣF =
)
cos(sin mg α-ββ?
最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度（即小车加速度） 答：
g )
cos(sin α-ββ 。
2、如图6所示，光滑斜面倾角为θ，在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m 的小球，当斜面加速度为a 时（a ＜ctg θ），小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T 。
解说：当力的个数较多，不能直接用平行四边形寻求合力时，宜用正交分解处理受力，在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。
正交坐标的选择，视解题方便程度而定。 解法一：先介绍一般的思路。沿加速度a 方向建x 轴，
与a 垂直的方向上建y 轴，如图7所示（N 为斜面支持力）。
于是可得两方程
ΣF x = ma ，即T x － N x = ma ΣF y = 0 ， 即T y + N y = mg
代入方位角θ，以上两式成为
T cosθ－N sinθ = ma （1） T sin θ + Ncosθ = mg （2） 这是一个关于T 和N 的方程组，解（1）（2）两式得：T = mgsin θ + ma cosθ
解法二：下面尝试一下能否独立地解张力T 。将正交分解的坐标选择为：x ——斜面方向，y ——和斜面垂直的方向。这时，在分解受力时，只分解重力G 就行了，但值得注意，加速度a 不在任何一个坐标轴上，是需要分解的。矢量分解后，如图8所示。
根据独立作用性原理，ΣF x = ma x
即：T － G x = ma x
即：T － mg sinθ = m a cosθ
显然，独立解T 值是成功的。结果与解法一相同。
答案：mgsin θ + ma cosθ
思考：当a ＞ctg θ时，张力T 的结果会变化吗？（从支持力的结果N = mgcos θ－ma sin θ看小球脱离斜面的条件，求脱离斜面后，θ条件已没有意义。答：T = m 22a g 。）
学生活动：用正交分解法解本节第2题“进阶练习2” 进阶练习：如图9所示，自动扶梯与地面的夹角为30°，但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以a = 4m/s 2
的加
速度向上
运动时，站在扶梯上
质量为60kg 的人
相对扶梯静止。重力加速度g = 10 m/s 2，试求扶梯对人的静摩擦力f 。
解：这是一个展示独立作用性原理的经典例题，建议学生选择两种坐标（一种是沿a 方向和垂直a 方向，另一种是水平和竖直方向），对比解题过程，进而充分领会用牛顿第二定律解
题的灵活性。
答：208N 。
3、如图10所示，甲图系着小球的是两根轻绳，乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳，方位角θ已知。现将它们的水平绳剪断，试求：在剪断瞬间，两种情形下小球的瞬时加速度。
解说：第一步，阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。
（学生活动）思考：用竖直的绳和弹簧悬吊小球，并用竖直向下的力拉住小球静止，然后同时释放，会有什么现象？原因是什么？
结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变
（胡克定律）。
第二步，在本例中，突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点（从即将开始的运动来反推）。
知识点，牛顿第二定律的瞬时性。
答案：a 甲 = gsin θ ；a 乙 = gtg θ 。
应用：如图11所示，吊篮P 挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q 被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间，P 、Q 的加速度分别是多少？
解：略。
答：2g ；0 。
三、牛顿第二、第三定律的应用
要点：在动力学问题中，如果遇到几个研究对象时，就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题，这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念，并适时地运用牛顿第三定律。
在方法的选择方面，则有“隔离法”和“整体法”。前者是根本，后者有局限，也有难度，但常常使解题过程简化，使过程的物理意义更加明晰。
对N 个对象，有N 个隔离方程和一个（可能的）整体方程，这（N + 1）个方程中必有一个是通解方程，如何取舍，视解题方便程度而定。
补充：当多个对象不具有共同的加速度时，一般来讲，整体法不可用，但也有一种特殊的“整体方程”，可以不受这个局限（可以介绍推导过程）——
Σ外F = m 11a + m 22a + m 33a + … + m n n a
其中Σ外F 只能是系统外力的矢量和，等式右边也是矢量相加。
1、如图12所示，光滑水平面上放着一个长为L 的均质直棒，现给棒一个沿棒方向的、大小为F 的水平恒力作用，则棒中各部位的张力T 随图中x 的关系怎样？
解说：截取隔离对象，列整体方程和隔离方程（隔离右段较好）。
答案：N =
L
F x 。
思考：如果水平面粗糙，结论又如何？
解：分两种情况，（1）能拉动；（2）不能拉动。
第（1）情况的计算和原题基本相同，只是多了一个摩擦力的处理，结论的化简也麻烦一些。
第（2）情况可设棒的总质量为M ，和水平面的摩擦因素为μ，而F = μL
l Mg ，其中
l ＜L ，则x ＜(L-l)的右段没有张力，x ＞(L-l)的左端才有张力。
答：若棒仍能被拉动，结论不变。
若棒不能被拉动，且F = μ
L
l Mg 时（μ为棒与平面的摩擦因素，l 为小于L 的某一值，
M 为棒的总质量），当x ＜(L-l)，N ≡0 ；当x ＞(L-l)，N = l
F …x -?L-l ??。
应用：如图13所示，在倾角为θ的固定斜面上，叠放着两个长方体滑块，它们的质量分别为m 1和m 2 ，它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ1和μ2 ，系统释放后能够一起加速下滑，则它们之间的摩擦力大小为：
A 、μ1 m 1gcos θ ；
B 、μ2 m 1gcos θ ；
C 、μ1 m 2gcos θ ；
D 、μ1 m 2gcos θ ； 解：略。 答：B 。（方向沿斜面向上。）
思考：（1）如果两滑块不是下滑，而是以初速度v 0一起上冲，以上结论会变吗？（2）如果斜面光滑，两滑块之间有没有摩擦力？（3）如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子，上面的滑块换
成小球，它们以初速度v 0一起上冲，球应对盒子的哪一侧内壁有压力？
解：略。 答：（1）不会；（2）没有；（3）若斜面光滑，对两内壁均无压力，若斜面粗糙，对斜面上方的内壁有压力。
2、如图15所示，三个物体质量分别为m 1 、m 2和m 3 ，带滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦均不计，绳子的质量也不计，为使三个物体无相对滑动，水平推力F 应为多少？
解说：此题对象虽然有三个，但难度不大。隔离m 2 ，竖直方向有一个平衡方程；隔离m 1 ，水平方向有一个动力学方程；整体有一个动力学方程。就足以解题了。
答案：F =
1
2321m g
m )m m m (++ 。
思考：若将质量为m 3物体右边挖成凹形，让m 2可以自由摆动（而不与m 3相碰），如图16所示，
其它条件不变。是否可以选择一个恰当的F ′，使三者无相对运动？如果没有，说明理由；如果有，求出这个F ′的值。
解：此时，m 2的隔离方程将较为复杂。设绳子张力为T ，m 2的受力情况如图，隔离方程为：
2
22
)g m (T - = m 2a
隔离m 1 ，仍有：T = m 1a 解以上两式，可得：a = 22
21
2m
m m -g
最后用整体法解F 即可。
答：当m 1 ≤ m 2时，没有适应题意的F ′；当m 1 ＞ m 2时，适应题意的F ′= 22
21
2321m
m g
m )m m m (-++ 。
3、一根质量为M 的木棒，上端用细绳系在天花板上，棒上有一质量为m 的猫，如图17所示。现将系木棒的绳子剪断，同时猫相对棒往上爬，但要求猫对地的高度不变，则棒的加速度将是多少？
解说：法一，隔离法。需要设出猫爪抓棒的力f ，然后列猫的平衡方程和棒的动力学方程，解方程组即可。
法二，“新整体法”。
据Σ外F = m 11a + m 22a + m 33a + … + m n n a
，猫和棒的系统外力只有两者的
重力，竖直向下，而猫的加速度a 1 = 0 ，所以：
（ M + m ）g = m ·0 + M a 1
解棒的加速度a 1十分容易。 答案：
M
m M +g 。
四、特殊的连接体
当系统中各个体的加速度不相等时，经典的整体法不可用。如果各个体的加速度不在一条直线上，“新整体法”也将有一定的困难（矢量求和不易）。此时，
我们回到隔离法，且要更加注意找各参量之间的联系。
解题思想：抓某个方向上加速度关系。方法：“微元法”先看位移关系，再推加速度关系。、
1、如图18所示，一质量为M 、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m 的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度。
解说：本题涉及两个物体，它们的加速度关系复杂，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。对两者列隔离方程时，务必在这个方向上进行突破。
（学生活动）定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。 位移矢量示意图如图19所示。根据运动学规律，加速度矢量a 1和a 2也具有这样的关系。
（学生活动）这两个加速度矢量有什么关系？
沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y 坐标，可得： a
1y = a 2y ① 且：a 1y = a 2sin θ ② 隔离滑块和斜面，受力图如图20所示。
对滑块，列y 方向隔离方程，有：
mgcos θ- N = ma 1y ③ 对斜面，仍沿合加速度a 2方向列方程，有：
Nsin θ= Ma 2 ④
解①②③④式即可得a 2 。 答案：a 2 =
g sin
m M cos sin m 2
θ
+θθ 。
（学生活动）思考：如何求a 1的值？
解：a 1y 已可以通过解上面的方程组求出；a 1x 只要看滑块的受力图，列x 方向的隔离方程即可，显然有mgsin θ= ma 1x ，得:a 1x = gsin θ 。最后据a 1 = 2
y 12x 1a a +求a 1 。
答：a 1 =
θ++θ
+θ2
2
2
sin
)M 2m (m M
sin
m M sin g 。
2、如图21所示，与水平面成θ角的AB 棒上有一滑套C ，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A 端相距b ，相对棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a （且a ＞gtg θ）时，求滑套C 从棒的A 端滑出所经历的时间。
解说：这是一个比较特殊的“连接体问题”，寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面，只需要隔离滑套C 就行了。
（学生活动）思考：为什么题意要
求a ＞gtg θ？（联系本讲第二节第1题之“思考题”）
定性绘出符合题意的运动过程图，如图22所示：S 表示棒的位移，S 1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后，S 1x 表示S 1在x 方向上的分量。不难看出：
S 1x + b = S cos θ ① 设全程时间为t ，则有：
S =
2
1at 2
②
S 1x = 2
1a 1x t 2 ③
而隔离滑套，受力图如图23所示，显然： mgsin θ= ma 1x ④ 解①②③④式即可。 答案：t =
θ
-θsin g cos a b
2
另解：如果引进动力学在非惯性系中的修正式 Σ外F + F * = m a
（注：F *为惯性力），
此题极简单。过程如下——
以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图24所示。
注意，滑套相对棒的加速度a 相是沿棒向上的，故动力学方程为： F *cos θ- mgsin θ= ma 相 （1） 其中F * = ma （2）
而且，以棒为参照，滑套的相对位移S 相就是b ，即： b = S 相 =
2
1a 相 t 2 （3）
解（1）（2）（3）式就可以了。
教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社，2002年8月第一版。
例题选讲针对“教材”第三章的部分例题和习题。
7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径 上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫 做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心 角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?
高中物理竞赛训练题1 运动学部分 一．知识点 二．习题训练 1.轰炸机在h高处以v0沿水平方向飞行，水平距离为L处有一目标。(1)飞机投弹要击中目标，L应为多大？(2)在目标左侧有一高射炮，以初速v1发射炮弹。若炮离目标距离D，为要击中炸弹，v1的最小值为多少？(投弹和开炮是同一时间)。 2.灯挂在离地板高h、天花板下H-h处。灯泡爆破，所有碎片以同样大小的初速度v0朝各个方向飞去，求碎片落到地面上的半径R。(可认为碎片与天花板的碰撞是弹性的，与地面是完全非弹性的。) 若H =5m，v0=10m/s，g = 10m/s2,求h为多少时，R有最大值并求出该最大值。 3.一质量为ｍ的小球自离斜面上Ａ处高为ｈ的地方自由落下。若斜面光滑，小 球在斜面上跳动时依次与斜面的碰撞都是完全弹性的，欲使小球恰能掉进斜面上距Ａ点为ｓ的Ｂ处小孔中，则球下落高度ｈ应满足的条件是什么？（斜面倾角θ为已知） 4.速度v0与水平方向成角α抛出石块，石块沿某一轨道飞行。如果蚊子以大小恒定的速率v0沿同一轨道飞行。问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计。 5.快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可以认为是直线），突然快艇被风吹脱，风沿着快艇以恒定的速度ｖ０＝２．５ｋｍ／ｈ沿与湖岸成α＝１５０的角飘去。你若沿湖岸以速度ｖ１＝４ｋｍ／ｈ行走或在水中以速度ｖ２＝２ｋｍ／ｈ游去（1人能否赶上快艇？（2）要人能赶上快艇，快艇速度最多为多大？（两种解法）
6.如图所示，合页构件由两菱形组成，边长分别为２L 和L ，若顶点Ａ以匀加速度ａ水平向右运动，当BC 垂直于OC 时，A 点速度恰为v ，求此时节点Ｂ和节点C 的加速度各为多大 ? 7.一根长为l 的薄板靠在竖直的墙上。某时刻受一扰动而倒下，试确定一平面曲线 f (x ,y ) = 0，要求该曲线每时每刻与板相切。(地面水平)。 10.一只船以4m/s 的速度船头向正东行驶，海水以3m/s 的速度向正南流，雨点以10m/s 的收尾速度竖直下落。求船中人看到雨点的速度 11。一滑块p 放在粗糙的水平面上，伸直的水平绳与轨道的夹角为θ，手拉绳的另一端以均匀速度v 0沿轨道运动，求这时p 的速度和加速度。 12. 如下图，v 1、v 2、α已知，求交点的v 0. 13．两个半径为R 的圆环，一个静止，另一个以速度v 0自左向右穿过。求如图的θ角位置（两圆交点的切线恰好过对方圆心）时，交点A 的速度和加速度。
第三讲 磁场 §3.1 基本磁现象 由于自然界中有磁石(43O Fe )存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N 表示)；指南的一端称南极(S 表示)。 磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N 极位于地理南极附近，S 极位于地理北极附近。 1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用……，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N 、S 极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。 一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。 §3.2 磁感应强度 3．2．1、磁感应强度、毕奥?萨伐尔定律 将一个长L ，I 的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F 。 当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力m F 和IL 的比值，叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N 极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。 真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间 各点的B 也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的B 要运用一个称为 毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们：一个电流元I ?L(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为r 的P 点所产生的磁场的磁感强度B ?大小为2 sin r L I K θ?=，θ为顺着电流I ?L 的方向与r 方向的夹角，B ?的方向可用右手螺旋法则确定，即伸出 右手，先把四指放在I ?L 的方向上，顺着小于π的角转向r 方向时大拇指方向即为B ?的方向。式中K 为一常 数，K=7 10-韦伯/安培?米。载流回路是由许多个I ?L 组成的，求出每个I ?L 在P 点的B ?后矢量求和，就得 到了整个载流回路在P 点的B 。 如果令πμ=40K ，7 0104-?π=μ特斯拉?米?安1-，那么B ?又可写为 20 sin 4r L I B θ?πμ=? 0μ称为真空的磁导率。 下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R ，载电流为I 的圆电流轴线上，距圆心O 为χ的一点的磁感应强度 l I ? //B
高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中
由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。
高中物理竞赛讲座讲稿 课题：固体与液体的性质 主讲人：桐城中学华奎庭 一、基础知识部分 （一）固体的特性 （1）晶体与非晶体 固体可以分为晶体与非晶体。晶体又可分为单晶体与多晶体。从本质上说，非晶体是粘滞性很大的液体。因此，固体严格地讲主要指晶体。 晶体的特点：具有一定的熔点。在熔解或凝固的过程中，固、液态并存，温度保持不变。而单晶体，除此之外还具有天然的规则几何外形。物理性质（如弹性模量、导热系数、电阻率、吸收系数等）具有各向异性。 多晶体是由许多小的单晶粒组成。（晶粒的线度约为10-3cm）由于晶粒的排列的无序性，故物理性质表现为各向同性。外形也不具有规则性。 （2）晶体的微观结构 所有的晶体从微观结构上看，都是大量的相同的粒子（分子或原子或离子，统称为结构基元）在空间周期性规则排列组成的。由这些结构基元在空间周期性排列的总体称之为空间点阵结构。每个几何点称之为结点。空间点阵是一种数学抽象。只有当点阵中的结点被晶体的结构基元代替后，才成为晶体结构。各粒子（即结构基元）并不是被束缚在结点不动，而是在此平衡位置不停地无规则振动。 由于这种周期性的并且有某种对称性晶体点阵的规则排列，决定了晶体宏观上的规则的天然几何形状决定了物理性质呈现出出各向异性。又由于晶体的空间点阵决定的每个粒子所保持的严格的相互位置关系，即结合关系，当晶体被加热时达到瓦解程度的温度是一样的，不断
加热，不断对结合关系进行瓦解直到瓦解完成，完全变成液体，温度始终不必升高。因此，晶体有一定的熔点。 （3）物体的热膨胀 在外界压强不变的条件下，物体的长度、面积、体积随温度升高而增加的现象叫热膨胀。在相同的条件下，气体、液体、固体的热膨胀不同。气体最显著，固体最不明显。也有极少数物质，在某一温度范围内（如：水在0℃～4℃）当温度升高时体积反而减小。这种现象叫反常膨胀。水、锑、铋、铸铁等都有反常膨胀。 在温度变化范围不太大时，线度膨胀近似遵从如下关系： l=l 0（1+αt ）或△l=αl △T 式中的α叫膨胀系数。一般金属的膨胀系数约为10-5/度。 大多数物体都具有热胀冷缩的性质，在一定的温度下固体的线度(如长度、直径、周长)是一定的，当温度升高时固体的线度会增加．设温度为0℃时固体的长度0l ，温度升高到t ℃时长度为t l ，长度增量0t l l l ?=-与温度的增量t t ?=成正比，也跟0l 成正比，即00t l l l t α-=，0(1)t l l t α=+．式中α称为固体的线膨胀系数，与材料的性质有关，其数量级为10－6K －1～10－5K －1． 当固体的线度发生膨胀时，固体的表面积和体积也在发生膨胀，分别称为面膨胀和体膨胀，其变化规律分别为 0(1)t S S t β=+，0(1)t V V t γ=+． 式中0S 、0V 分别为固体在0℃时的表面积和体积，β、γ分别为面胀系数和体胀系数． 对于各向同性的固体有：2βα=，3γα=． （二）液体的性质
1、 如图所示为一椭圆形轨道，其方程为()22 2210x y a b a b +=>>，在中心处有一圆形区域， 圆心在O 点，半径为()r b <，圆形区域中有一均匀磁场1B ，方向垂直纸面向里，1B 以 1B t k ??=的速率增大，在圆外区域中另 有一匀强磁场2B ，方向与1B 相同，在初始时，A 点有一带正电q 的质量为m 的粒子， 粒子只能在轨道上运动，把粒子由静止释放，若要其通过C 点时对轨道无作用力，求2B 的大小。 解：由于r b a <<，故轨道上距O 为R 的某处，涡旋电场强度为 22122B r kr E R t R ?==? 方向垂直于R 且沿逆时针方向，故q 逆时针运动。 q 相对O 转过θ?角时，1B 对其做功为 2 2kr W F x Eq x q R R θ?=?=?=? 而2B 产生的洛伦兹力及轨道支持力不做功，故q 对O 转过θ角后，其动能为 2 2122 k kr E mv W q θ==?=∑ q 的速度大小为 2kr q v m θ = q 过C 时，()3 20,1,2,2 n n θππ=+= C 处轨道不受力的条件为 2 2mv qvB ρ = 其中ρ为C 处的曲率半径，可以证明：2 a b ρ=（证明略） A C 1 B 2 B O x y
将v 和θ的表达式代入上式可得 ()22 320,1,2,2br mk B n n a q ππ?? = += ??? 2、 两根长度相等，材料相同，电阻分别为R 和2R 的细导线，两者相接而围成一半径为a 的圆环，P Q 、为其两个接点，如图所示，在圆环所围成的区域内，存在垂直于图面、指向纸内的匀强磁场，磁感应强度的大小随时间增大的变化率为恒定值b 。已知圆环中感应电动势是均匀分布的，设M N 、为圆环上的两点，M N 、间的圆弧为半圆弧的一半，试求这两点间的电压()M N U U -。 解：根据法拉第定律，整个圆环中的感应电动势的大小 2E r b t π?Φ = =? （1） 按楞次定律判断其电流方向是逆时针的，电流大小为 23E E I R R R = =+ （2） 按题意，E 被均匀分布在整个圆环上，即?MN 的电动势为4E ，?NQPM 的电动势为34E ，现考虑?NQPM ，在这段电路上由于欧姆电阻所产生电势降落为()22I R R +，故 3242M N R U U E R I ? ?-=-+ ?? ? （3） 由（1）、（2）、（3）式可得 21 12 M N U U r b π-=- （4） 当然，也可采用另一条路径（?MTN 圆弧）求电势差 ()211 424321212 N M M N E R E E R U U I E r b U U R π-= -=-===--g g 与（4）式相符。 3、 如图所示，在边长为a 的等边三角形区域内有匀强磁场B ，其方向垂直纸面向外。一个边长也为a 的等边三角形导轨框架ABC ，在0t =时恰好与上述磁场区域的边界重合，而后以周期T 绕其中心在纸面内顺时针方向匀速转动，于是在框架ABC 中产生感应电流，规 R T M N P Q 2R S
运动学综合题 例1、如图所示，绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R，放在与水平面成α角的光滑斜面上，当绳变为竖直方向时，圆 筒转动角速度为ω，(此时绳未松弛)，试求此刻圆筒与绳分离处A 的速度以及圆筒与斜面切点C的速度 例2、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d,湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l．一人自B点出发，要到达A 点．已知他在岸上行走的速度为v1，在水中游泳的速度为v2，且v1>v2，要求他由B至A所用的时问最短，问此人应当如何选择其运动路线?
例3、一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠 子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质 小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及 与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面 内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示，已 知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大 T，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断， 张力为 d 求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子 之间无摩擦） 例4、在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道，光滑小球从顶点A沿斜边轨道自静止出发自由滑到端点C所需时间恰好等于小球从A由静止出发自由地经B滑到C所需时间，如图所示．设AB为铅直轨道，转弯处速度大小不变，转弯时间忽略不计，在此直角三角形范围内可构建一系列如图中虚线所示的光滑轨道，每一轨道由若干铅直和水平的部分连接而成，各转弯处性质都和B点相同，各轨道均从A点出发到C点终止，且不越出△ABC的边界．试求小球在各条轨道中，从静止出发自由地由A到C所需时间的上限与下限之比值．
1、有一无限大的导体网络，它是由大小相同的正六边形网眼组成，如图（1.1），所有六边形每边的电阻都为R ，求结点a 、b 之间的电阻。 解析：像这类求导体网络的等效电阻的题目，我们不可能由电阻的串并联关系求出等效电阻，只能用电流的分步法，在ab 间引入一个电压ab U ，在网络中形成总电流I ，再找出ac I ，ab I 与I 的关系，最后由R U I =确定ab R 。 由网络的对称性可知，假设有电流I 从a 点流入网络，必有 1 3I 电流由a 流向c ，在c 点又分为两支路电流，则cb 的电流为1 6 I 。 另一方面，假设有I 电流有b 点流出网络，必有13I 电流由c 流向b ，a 和d 分别有1 6I 流向c 。 将两种情况叠加，则有I 电流由a 流入，从b 流出，按电流的分步法，必有 362ac I I I I = += 方向经导线ac 由a 流向c 362 ab I I I I = += 方向经导线cb 由c 流向b 所以a 、b 两点间的等效电阻为 a b a c c b ab U I R I R R R I I +=== 2、证明图（2.1）中的Y 形电阻网络与图（2.2）中的?形电阻网络的等效变化关系为： 图（1.1） a b c d 2 3 1 2 I 3 I 12 R 31 R 23 R 1 I 图（2.2） 1 I 1 R 2 R 3R 3 I 3 2I 2 1 图（2.1）
12233112 3 12233123 1 12233131 2R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ?++=???++=???++=?? 和 3112 1 122331 12232 122331 23313 122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R ?=?++??=?++??=?++? 解析：所谓等效变换，就是指这两种网络联接方式之间，仍保持电路中其余各部分的电流和电压不变，即Y 形网络中三个端点的点位1U ，2U ，3U 及流过的电流1I 、2I 、3I 和?形网络中的三个端相同，见图（2.1）和图（2.2）. 如图（2.3），设流经电阻12R 、23R 、31R 的电流分别是12I 、23I 、31I ，对图（2.1）所示的Y 形网络有 112212 331131123 0I R I R U I R I R U I I I -=?? -=??++=? 由此可得 3 2 11231 1223 31 12 23 31 R R I U U R R R R R R R R R R R R = - ++++ 对图（2.2）所示的网络有 121212 313131 11231U I R U I R I I I ?=?? ? =?? ?=-?? 解得 31 1211231 U U I R R =- 所以有 33121212311223311223311231 R U R U U U R R R R R R R R R R R R R R -=-++++ 式中各对应项的系数相等 122331 123 R R R R R R R R ++= 图（2.3） 3I 1I 2I 12 R 31R 23R 12I 23I 31I
第二讲运动学 §2.1质点运动学的基本概念 2．1．1、参照物和参照系 要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。 通常选用直角坐标系O–xyz，有时也采用极坐标系。平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。 2．1．2、位矢位移和路程 在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x，y，z表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数 x=X（t）y=Y（t）z=Z（t） 这就是质点的运动方程。 质点的位置也可用从坐标原点O指向质点P（x、y、z）的有向线段来表示。如图2-1-1所示, 也是描述质点在空间中位置的物理量。的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦、、决定,它们之间满足 当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为=(t)。在直角坐标系中,设 分别为、、沿方向、、和单位矢量，则可表示为 位矢与坐标原点的选择有关。 研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点运动到另一点，相应的位矢由1变到2，其改变量为 称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。 2．1．3、速度 平均速度质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度 平均速度是矢量，其方向为与的方向相同。平均速度的大小，与所取的时间间隔有关，因此须指明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度。 瞬时速度当为无限小量，即趋于零时，成为t时刻的瞬时速度，简称速度 瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。 瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。 2．1．4、加速度 平均加速度质点在时间内，速度变化量为，则与的比值为这段时间内的平均加速度
第23届全国中学生物理竞赛决赛试题 2006年11月深圳 ★理论试题 一、 建造一条能通向太空的天梯，是人们长期的梦想．当今在美国宇航局（NASA ）支持下，洛斯阿拉莫斯国家实验室的科学家已在进行这方面的研究．一种简单的设计是把天梯看作一条长度达千万层楼高的质量均匀分布的缆绳，它由一种高强度、很轻的纳米碳管制成，由传统的太空飞船运到太空上，然后慢慢垂到地球表面．最后达到这样的状态和位置：天梯本身呈直线状；其上端指向太空，下端刚与地面接触但与地面之间无相互作用；整个天梯相对于地球静止不动．如果只考虑地球对天梯的万有引力，试求此天梯的长度．已知地球半径R 0=6.37×106m ，地球表面处的重力加速度g =9.80m ·s －2． 二、 如图所示，一内半径为R 的圆筒（图中2R 为其内直径）位于水平地面上．筒内放一矩形物．矩形物中的A 、B 是两根长度相等、质量皆为m 的细圆棍，它们 平行地固连在一质量可以不计的，长为l =R 的矩形薄片的两端．初始时 矩形物位于水平位置且处于静止状态，A 、B 皆与圆筒内表面接触．已知A 、B 与圆筒内表面间的静摩擦因数μ都 等于1． 现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动，使A 逐渐升高． 1．矩形物转过多大角度后，它开始与圆筒之间不再能保持相对静止？ 答：___________________________（只要求写出数值，不要求写出推导过程） l A 2R
2．如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时，立即令圆筒停止转动．令θ表示A的中点和B的中点的连线与竖直线之间的夹角，求此后θ等于多少度时，B 相对于圆筒开始滑动．（要求在卷面上写出必要的推导过程．最后用计算器对方程式进行数值求解，最终结果要求写出三位数字．） 三、 由于地球的自转及不同高度处的大气对太阳辐射吸收的差异，静止的大气中不同高度处气体的温度、密度都是不同的．对于干燥的静止空气，在离地面的高度小于20km的大气层内，大气温度T e随高度的增大而降低，已知其变化率 =－6.0×10－3K·m－1 z为竖直向上的坐标． 现考查大气层中的一质量一定的微小空气团（在确定它在空间的位置时可当作质点处理），取其初始位置为坐标原点（z=0），这时气团的温度T、密度ρ、压强p都分别与周围大气的温度T e、密度ρe、压强p e相等．由于某种原因，该微气团发生向上的小位移．因为大气的压强随高度的增加而减小，微气团在向上移动的过程中，其体积要膨胀，温度要变化（温度随高度变化可视为线性的）．由于过程进行得不是非常快，微气团内气体的压强已来得及随时调整到与周围大气的压强相等，但尚来不及与周围大气发生热交换，因而可以把过程视为绝热过程．现假定大气可视为理想气体，理想气体在绝热过程中，其压强p与体积V满足绝热过程方程 pVγ=C．式中C和γ都是常量，但γ与气体种类有关，对空气，γ=1.40．已知空气的摩尔质量μ=0.029kg?mol－1，普适气体恒量R=8.31J?(K?mol)－1．试在上述条件下定量讨论微气团以后的运动． 设重力加速度g=9.8m·s－2，z=0处大气的温度T e0=300K． 四、
第四章 能量和动量 1、功 W=FScos θ= 2、功率 P=dW/dt=FVcos θ 3、动能 4、重力势能 5、引力势能 6、弹性势能 7、机械能 8、动能定理 K E W ?= 9、势能定理 10、机械能定理 它 11、机械能守恒 0=?E （只有重力做功） 12、总能量守恒 0=?总E 13、冲量 I=Ft= 14、动量 P=mV 15、动量定理 16、动量守恒 △P=0 第一讲 功和动能定理 一、功 力的瞬时作用效果用加速度a 表示。力对空间的积累效果用功W 表示。力对时间的积累效果用冲量I 表示。 W= cos Fs θ 变力做功的几种计算方法 1、微元法。将整个过程分为无穷小段，每一小段可以认为是恒力做功，然后再累积起来。 ∑?=?=ds F s F W θθcos cos
利用F —s 图解释上面的积分公式。 例：F 和v 总是垂直的力，做的功为0。如：向心力不做功，洛仑兹力不做功。 例：大小不变，且F 和v 总是同线的力，做的功绝对值等于力和路程之积。如：摩擦力做的功。 2、图像法。F S -图中，图线和s 轴围成的面积在数值上等于功。 3、效果法。利用功能原理，从做功产生的效果上考虑。 例题：将立方体在地面上推翻需要做的功 例题：半径为r 的半球形水池装满密度为ρ的水，问要将池内的水抽干至少 要做多少功。 答案:44 1 gr πρ 解：先求匀质半球的质心位置，在距圆心x 处，取微元dx ，设密度为ρ，球半径为r ，质心坐标为 L 例题：一帆船在静水中顺风飘行，风速为υ0，船速多大时，风供给船的功率最大。（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直） 答案:0/3υυ= 解：设每个空气分子的质量为m ，单位体积内的分子数为n ，帆船的面积为S ， 对船参考系，风以（0()υυ-的速度撞击帆，并原速反弹 00[()]2()Ft nm St υυυυ=-- 202()P F nSm υυυυ==- 由上可知，υ取不同值，有不同的功率。当0/3υυ=时，风供给船的功率最大。 在船参考系中风对船是不做功的。 二、功率 （Ｐ） θcos Fv t W P == （θ为F 和v 之间的夹角）
29届全国中学生物理竞赛决赛试题 panxinw 整理 一、(15分) 如图，竖直的光滑墙面上有A 和B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l ，有一原长为l 、劲度系数为k 的轻橡皮筋，一端由A 钉固定，另一端系有一质量为m=g kl 4的小 球，其中g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰 撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与A 钉 距离为2l 的C 点，B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时刻小球获得大小为20gl v 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿 竖直方向的速度为零的时刻．
二、(20分) 如图所示，三个质量均为m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点A、B和C处．AD ⊥BC，且AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架 悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在AD杆上距A点a／4 1．试论证在上述推力作用下，杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时， 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力； 2．如果在AD杆上有一转轴，随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕 该转轴转动．问转轴在AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出 该推力的大小．
三、(20分) 不光滑水平地面上有一质量为m的刚性柱体，两者之间的摩擦因数记为μ．柱体正视图如图所示，正视图下部为一高度为h的矩形，上部为一半径为R的半圆形．柱体上表面静置一质量同为m的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为h／2，链条和柱体表面始终光滑接触．初始时，链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑．试求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中，当题中所给参数满足什么关系时， 1．柱体能在地面上滑动； 2．柱体能向一侧倾倒； 3．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生．
高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任
2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 113126.6710G m kg s ---=???，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是3kg m -?。 2、（522C -?，电荷量q 1洁的形式F q =C 。 3、（5强度B 当B 。 二、（21圆轨道，高 5 31 f H =1所示）使卫星以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量32.35010m k g =?，地球半径 36.37810R km =?，地面重力加速度29.81/g m s =，月球半径31.73810r km =?。 1、试计算16小时轨道的半长轴a 和半短轴b 的长度，以及椭圆偏心率e 。 2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小F=490N ，要把近地点抬高到600km ，问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度H m 约为200km ，周期T m =127分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。
三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数0.70μ=，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角θ（小于90）来表示。不计空气及重力的影响。 四、（20分）图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M 为指针压力表，以V M 表示其中可以容纳气体的容积；B 为测温饱，处在待测温度的环境中，以V B 表示其体积；E 为贮气容器，以V E 表示其体积；F 为阀门。M 、E 、B 由体积可忽略的毛细血管连接。在M 、E 、B 均处在室温T 0=300K 时充以压强50 5.210p Pa =?的氢气。假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方125K 示的压强p 2时压力表M 在设25V T K =25K 时，3、的800五、（20个电子，时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器。两极板图所示的周期性变化的电压AB V （AB A B V V V =-，图中只画出了一个周期的图线），电压的最大值和最小值分别为V 0和－V 0，周期为T 。若以τ表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小值的时间间隔为T －τ。已知τ的值恰好使在V AB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻t b 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且206mv eV =，不计电子之间的相互作用及重力作用。 1、满足题给条件的τ和t b 的值分别为τ=T ，t b =T 。 2、试在下图中画出t=2T 那一时刻，在0－2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流I ，随离开右极板距离x 的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐标的数字保留到小数点后第二位）。取x 正向为电流正方向。图中x=0处为电容器的右极板B 的小孔所在的位置，
§2. 4、电路化简 2．4．1、 等效电源定理 实际的直流电源 可以看作电动势为 ε，内阻为零的恒压 源与内阻r 的串联， 如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。 不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源ε、r 对外电阻R 提供电流I 为 r R r r r R I +? =+=ε ε 其中r /ε 为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并 联的电流源，如图2-4-2所示。 实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内 阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。 如图2-4-3所示为两端有源网络A 与电阻R 的串联，网络A 可视为一电压源， 图2-4-1 图 2-4-2 图2-4-3 图2-4-4
等效电源电动势0ε等于a 、b 两点开路时端电压，等效内阻0r 等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。 等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的0I 等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。 例4、如图2-4-5所示的电路中， Ω=Ω= Ω=Ω=Ω===0.194 ,5.43,0.101 ,0.12 ,5.01,0.12 ,0.31R R R R r r V V εε （1）试用等效电压源定理计算从电源()22r 、ε正极流出的电流2I ；（2）试用等效电流源定理计算从结点B 流向节点A 的电流1I 。 分析： 根据题意，在求通过2ε电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过1R 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。 解： （1）设ABCDE 等效电压源电动势0ε，内阻0r ，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有 V R R R r R 5.11321110=+++=εε ()Ω=+++++= 53 21132110R R R r R R r R r 电源00r 、ε与电源22r 、ε串联，故 A r R r I 02.02 400 22-=+++= εε A 2 图2-4-5 图2-4-6
全国中学生物理竞赛真题汇编---热学 1.（19Y4） 四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A 、B 、C ，用带有阀门K 1、K 2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差 1.00m h =．初始时，阀门是关闭的，A 中装有1mol 的氦（He ）,B 中装有1mol 的氪（Kr ）,C 中装有lmol 的氙（Xe ），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K 1、K 2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为 31He 4.00310kg mol μ--=?? 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K ，所吸收的热量均为 3/2R ，R 为普适气体常量． 2．（20Y3）（20分）在野外施工中，需要使质量m ＝4.20 kg 的铝合金构件升温；除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0oC 的1.200kg 的热水外，无其他热源。试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t 0＝10.0oC 升温到66.0oC 以上(含66.0oC)，并通过计算验证你的方案． 已知铝合金的比热容c ＝0.880×103J ·(k g·oC)－1 ， 水的比热容c ＝ 4.20×103J ·(kg ·oC)－1 ，不计向周围环境散失的热量． 3．（22Y6）(25分)如图所示。两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨，处于恒定磁场中。 磁场方向与导轨所在平面垂直．一质量为m 的均匀导体细杆，放在导轨上，并与导轨垂 直，可沿导轨无摩擦地滑动，细杆与导轨的电阻均可忽略不计．导轨的左端与一根阻值为 尺0的电阻丝相连，电阻丝置于一绝热容器中，电阻丝的热容量不计．容器与一水平放置的开口细管相通，细管内有一截面为S 的小液柱(质量不计)，液柱将l mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中．已知温度升高1 K 时，该气体的内能的增加量为5R ／2(R 为普适气体常量)，大气压强为po ，现令细杆沿导轨方向以初速V 0向右运动，试求达到平衡时细管中液柱的位移． 4．（16F1）20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时： 1.汽缸中气体的温度； 2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。 假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 5．（17F1）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管 的长度ｌ＝76ｃｍ，管内封闭有ｎ＝1．0×10－3 ｍｏｌ的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76ｃｍＨｇ，每摩尔空 气的内能Ｕ＝ＣＶＴ，其中Ｔ为绝对温度，常量ＣＶ＝20．5Ｊ·（ｍｏｌ·Ｋ）－1 ，普适气体常量Ｒ＝8．31Ｊ·（ｍ ｏｌ·Ｋ）－1 31Kr 83.810kg mol μ--=??31Xe 131.310kg mol μ--=??
物理竞赛主持稿 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
物理竞赛主持稿 主持开场白：女：坐地日行八万里，男：巡天遥看一千河。 女：花气袭人知昼暖，男：鹊声穿树喜新晴。 （合）尊敬的各位领导，各位老师，亲爱的各位同学们，大家晚上好.女：我是主持人xx女，男：我是主持人xx男。（合）欢迎来到本届物理知识技能竞赛的比赛现场。男：青春是蓬勃的太阳，它容光焕发，灿烂耀眼，所有的阴郁和灰暗都遭到它的驱逐。男：青春是不泯灭的希望，她一往无前，是生命中最灿烂的一笔。女：青春是一个充满创意的年纪，青春是一个充满活力年纪。男：创造是民族的灵魂，创造是祖国的希望。男：在这个科技腾飞的时代，科学技术是第一生产力，是综合国力的重要体现，而处于青少年时代的同学们是正处于想象力和创造力的辉煌时期，他们的科技发明让我们看了祖国的希望，民族的未来。女：小发明，小制作，改变大生活。我校在张校长的领导下，我校已进行了两届的关于科技，发明竞赛活动，取得斐然的成果，也激发了广大学生对自然科学的浓厚兴趣，同时给在校的莘莘学子们提供了一展才华的舞台。也希望通过本次的竞赛活动。让同学们的想象力，创造力得到充分的发挥和发展。 男：参加本次活动的学校领导有：学校校长张xx，…。评委老师有：xxx…参赛选手有来自八年级的xxx，九年级的xxx，…以及来自各个年级的兴趣爱好者。（合）让我们以热烈的掌声欢迎他们的到来；并对学校领导的支持以及奋战在一线的老师们表示由衷的感谢。
男：科学技术带给了我们很多的便利，使我们的生活日新月异，使我们的国家更加强大。 女：中国古代的四大发明在人类文明史上留下了不可磨灭的贡献。抚今思昔，我们应在古圣先贤的足迹上开辟未知的道路。在张校长带领下学校高瞻远瞩，把培养学生对于自然科学的兴趣作为重点，理论联系实际，让学生在课本上学到的知识和生活实际联系在一起，创造出属于他们自己的作品，一幅幅精心的设计让人叹为观止，让我们充分感受到了来自科技发明的魅力。 男：本次活动的主要议程主要有四项，第一，由校领导致辞。第二展示作品，展示来自各年级的相关作品并做相关介绍。第三，各评委老师打分评估，评出优秀作品。评分项目由两部分组成，分别是基础分和创意分。。第四，校领导进行颁奖和总结发言。 (合)主持人：首先让我们以热烈的掌声欢迎张校长为本次的活动致辞。 女：用心感受，启迪生活哲学；妙趣探索，点亮人生智慧。乐于发明，感受发明的魅力。用心制作，邂逅更美好的自己。发明制作不仅能够培养学生们的动手实践能力更能提升同学们的观察思考能力。下面让我一起走进来自学生们的创意天空。 经过本次初选已有200人的作品入选，他们分别是来自八年级xxx 的作品《xxx》，来自九年级xxx的《xxx》…。