第4章 连通性重要知识点
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉
及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
§4．1 连通空间
本节重点: 掌握连通与不连通的定义.
掌握如何证明一个集合的连通与否?
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），
尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两
个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述
不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对
于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用
术语来区别这两种情形．
定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果
?=???)()(A B B A
则称子集A 和B 是隔离的．
明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A
与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，
而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个
无交的子集都是隔离的．
定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A
∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．
定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：
（l ）X 是一个不连通空间；
（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立；
（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立；
（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．
证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得
A ∪
B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有
B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()(
因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B
满足条件（2）中的要求．
（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，
则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
求．
（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，
则由A ＝B '和B=A ' 易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真（∵
A 、
B ≠?，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．
（4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=A '．则A 和B 都是X
中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的
（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．
例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任
何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭
的非空真子集．
定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．
证明 我们用反证法来证明这个定理．
假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B
使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令A ~=A
∩[a,b]，和B ~=B ∩[a,b]．于是A ~和B ~是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且使得A ~
∩B ~=?和A ~∪B ~=[a ，b]成立．集合A ~有上界b ，故有上确界，设为b ~．由于A ~是一个闭集，
所以b ~∈A ~，并且因此可见b ~＜b ，因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=?矛盾．因
此（b ~，b]?B ~．由于B ~是一个闭集，所以b ~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~
=?
矛盾．
定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，
则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．
拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通
与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ??，则Y 是X 的连通子集当且仅当
Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．
定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ?Y ．则A 和B 是子空间Y 中的
隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．
因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A
∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．
证明 因为 ))(())(())()(())()(()
))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ???=?????=?????=???
因此根据隔离子集的定义可见定理成立．
定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使
得 Y ?A U B ，则或者 Y ?A ，或者 Y ?B ．
证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ?AUB ，则
?
=????=?????????????)()(()
()()
)(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A
这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而
（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y
因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=?，据上式
立即可见 Y ?B ，如果 B ∩Y ＝ ?，同理可见Y ?A ．
定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ?X 满足条件Y Z Y ??．则 Z
也是X 的一个连通子集．
证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集
A 和
B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ?AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，
或者Y ?A ，?=?=??=??????B Z B B A B Z A Y Z
或者Y ?B,同理,?=A 。
这两种情形都与假设矛盾．
定理4．1．6 设Γ∈γγ}{Y 是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族．如果?≠?Γ∈γγY ，则γγY Γ∈?是X 的一个连通子集．
证明 设A 和B 是X 中的两个隔离子集，使得γγY Γ∈?，＝A ∪B ．任意选取x ∈γγY Γ∈?，
不失一般性，设x ∈A ．对于每一个γ∈Γ，由于γY 连通，根据定理 4. 1． 4，或者A
Y ?γ或者 B Y ?γ ；由于 x ∈γY ∩A ，所以?=∧????Γ∈B A Y A Y γγγ．根据定理
4． 1． 3，这就证明了γγY Γ∈?是连通的．
定理4．1．7 设Y 是拓扑空间X 中的一个子集．如果对于任意x ，y ∈ Y 存在X 中
的一个连通子集xy Y 使得x ，y ∈xy Y ?Y ，则Y 是X 中的一个连通子集．
证明 如果 Y=?，显然 Y 是连通的．下设 Y ≠?,任意选取a ∈Y ，
容易验证Y ＝xy Y y Y ∈?并且a ∈ay Y y Y ∈?．应用定理4．1．6，可见Y 是连通的．
我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不
变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，
如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其它概念表达的，
则此性质必然是拓扑不变性质．
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的
象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚是连续的满射，所
以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质‘
拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具
有，则称这个性质是一个可商性质．由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的
满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．
以下定理4．1．8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映
射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．
定理4．1．8 设f: X →Y 是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射．则f （X ）是
Y 的一个连通子集．
证明 如果f （X ）是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集A 和B 使得
f （X ）＝A ∪ B ．于是1-f （A ）和1-f （B ）是X 的非空子集，并且
?
=???=???????---------))()(())()(())()(())()(())()((111111111A B B A f A f B f B f A f A f B f B f
A f
所以 1-f （A ）和1-f
（B ）是 X 的非空隔离子集．此外， 1-f （A ）∪1-f （B ）＝1-f （A ∪B ）=1-f (f(X))=X
这说明X 不连通．与定理假设矛盾．
拓扑空间的某种性质P 称为有限可积性质，如果任意n ＞0个拓扑空间n X X X , (21)
具有性质p ，蕴涵着积空间n X X X ???...21也具有性质p ．
例如，容易直接证明，如果拓扑空间n X X X ,...,21都是离散空间（平庸空间），则积空
间n X X X ???...21也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸
性都是有限可积性质．
根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个
拓扑不变性质．为了证明性质p 是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质p 的拓
扑空间的积空间也是具有性质p 的拓扑空间．
定理4．1．9设n X X X ,...,21是n 个连通空间．则积空间n X X X ???...21也是连通
空间．
证明 根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明．
首先我们指出：如果212121),(),,(X X y y y x x x ?∈==两个点有一个坐标相同，则
21X X ?有一个连通子集同时包含x 和y
不失一般性，设 11y x =
定义映射k ：212X X X ?→使得对于任何22X z ∈有),()(212z x z k =．
由于
121:X X k p → 是取常值1x 的映射，
222:X X k p → 为恒同映射，
它们都是连续映射，其中21,p p 分别是21X X ?到第 1和第 2个坐标空间的投射．因
此，k 是一个连续映射．根据定理4．1．8，k(2X )是连通的．此外易见，212}{)(X x X k ?=，
因此它同时包含 x 和y ．
现在来证明：21X X ?中任何两个点212121),(),,(X X y y y x x x ?∈==同时属于
21X X ?的某一个连通子集．这是因为这时若令2121),(X X y x z ?∈=，则根据前段结论，
可见有21X X ?的一个连通子集1Y 同时包含 x 和 z ，也有21X X ?的一个连通子集2Y 同时
包含y 和z ．由于z ∈21Y Y ?，所以根据定理4．1. 6，21Y Y ?是连通的，它同时包含x 和
y ．
于是应用定理4．1．7可见21X X ?是一个连通空间．
由于n 维欧氏空间n
R 是n 个实数空间R 的笛卡儿积，而实数空间R 又是一个连通空间，
所以应用这个定理可见，n 维欧氏空间n R 是一个连通空间．
作业: P.116 3. 5. 6. 8. 14.
§4．2 连通性的某些简单应用
本节重点: 掌握实数空间R 中的连通子集的”形状”
掌握实数空间R 的子集中常见的连通子集与不连通子集.
掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.
让我们回忆实数集合R 中区间的精确定义：R 的子集E 称为一个区间，如果它至少包
含两个点，并且如果a ，b ∈E ，a ＜b ，则有
[a ，b]={x ∈R | a ≤x ≤b}?E
读者熟知，实数集合R 中的区间共有以下九类：
（-∞，∞），（a ，∞），［a ，∞），（-∞，a ），(-∞，a ］
（a ，b ），（a ，b ］，［a ，b ），［a ，b ］
因为，一方面以上九类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E ?R 是一个区
间，可视E 有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E ，
而将E 归入以上九类之一
在定理4．1．2中我们证明了实数空间R 是一个连通空间．由于区间（a ，∞），
（－∞，a ）和（a ，b ）都同胚于R （请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间
也都是连通的；由于
),(],[],(),(],,[),[),(]
,(),(),,[),(b a b a b a b a b a b a b a a a a a ?????-∞=-∞∞=∞
根据定理4．1．5可见区间[a ，∞），（－∞，a]，[a ，b ），（a ，b]和[a ，b ］都是连通的．
另一方面，假设E 是R 的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E 不是一个区
间，则E b a b a R b a ??<∈?],[,,, 也就是说,存在a A=（－∞，c ）∩E ，B=(c ，∞)∩E 则可见A 和B 都是E 的非空开集，并且有A ∪B=E 和A ∩B=?，因此E 不连通. 综合以上两个方面，我们已经证明了： 定理4．2．1 设E 是实数空间R 的一个子集．E 是包含着不少于两个点的一个连通子 集当且仅当E 是一个区间． 定理4．2．2设X 是一个连通空间，f: X →R 是一个连续映射．则f(X)是R 中的一个区 间． 因此，如果x ，y ∈X ，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t （即当f(x)≤f(y)时， f(x)≤t ≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t ≤f(x))，存在z ∈X 使得f(z)=t ． 证明 这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4．2．1的明显推论．以下证明第二段．设 x ，y ∈X ．如果f （x ）＝f （y ），则没有什么要证明的．现在设f （x ）≠f （y ），并且不失一 般性，设f （x ）＜f （y ）．由于f （X ）是一个区间，所以［f （x ），f （y ）］?f （X ）．因此 对于任何t ，f(x)≤t ≤f(y)，有t ∈f(X)，所以存在z ∈X,使得f （z ）=t. 根据定理4．2．2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理． 定理4．2．3 ［介值定理］设f: [a ，b]→R 是从闭区间[a ，b]到实数空间R 的一个连续 映射．则对于f （a ）与f （b ）之间的任何一个实数r ，存在z ∈［a ，b ］使得f(z)=r ． 定理4．2．4[不动点定理]设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z ∈[0，1]使 得f(z)=z 证明 如同数学分析中的证法那样,只须构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得. 容易证明欧氏平面2R 中的单位圆周}1|),{(2 221=+∈=y x R y x S 是连通的.这是因为如果定义映射f: R →2R 使得对于任意t ∈R 有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈1S ，则易于验证f 是一个连续映射，并且f(R)＝1S ．因此 1 S 是连通空间R 在一个连续映射下的象，所以它 是连通的． 设点12121),(),,(S x x x x x x ∈--=-=称为点x 的对径点．映射r ：11S S →使得任何x ∈1S , 有r(x)=-x ，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面2 R 到自身的反射l ：22R R →在单位圆周上的限制．其中，映射l 定义为对于任何2 21),(R x x x ∈=, 有 l （x ）＝-x ，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射． 定理 4.2.5 [Borsuk-Ulam 定理] 设f: 1S →R 是一个连续映射．则在1S 中存在一对对 径点x 和-x ，使得f(x)=f(-x)． 证明 (略) 我们已经知道n 维欧氏空间2R 是连通空间，下面进一步指出： 定理 4．2．6 n ＞1维欧氏空间n R 的子集n R -{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…， 0）∈n R ． 证明 我们只证明 n ＝2的情形．根据定理 4．1．9，2R 中的子集(-∞，0)×R 和（0， ∞）×R 都是连通的．由于 R R R R ?∞=?∞?-?∞??∞),0(),0[}0{),0[),0( 所以根据定理4．1．5，2 R 中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集 B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A ∩B ≠?以及A ∪B=2R -{0}，所以根据定理4. 1．6 可见，2R -{0}是连通的． 一般情形的证明类似，请读者自行补证. 定理4．2．6可以得到进一步的改善（参见习题第4题．） 定理4．2. 7欧氏平面2R 和实数空间R 不同胚． 证明 假设2R 与R 同胚，并且设f: 2R →R 是一个同胚．因此对于连续映射 R R f g R →-=-}0{:|2}0{2 我们有)}0({})0{(2f R R g -=-．但根据定理4．2．6，2R -{0}是连通的， 而根据定理4．2．1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾． 定理4．2．7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例． 定理4．2．4，定理4．2．5和定理4．2．7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理 都有高维“版本”，我们分别陈述如下： 定理 4． 2． 8 [Brouwer 不动点定理] 设f ：n n D D →是一个连续映射，其中n D 是 n 维球体．则存在z ∈n D 使得f （z ）= z ． 定理 4．2．9[Borsuk －Ulam 定理]设f ： m n R S →是一个连续映射，其中n ≥m ，则 存在x ∈n S 使得f （x ）=f （-x ）． 定理4．2．10如果n ≠m ，则欧氏空间n R 和m R 不同胚．这些定理的证明（除去我们 已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书 籍． 作业：P.121 4. §4．3 连通分支 本节重点:掌握连通分支的定义.(即连通”类”的分法) 掌握连通分支的性质(定理4.3.1) 从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很 大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集 （即连通分支）． 定义4．3．1设X 是一个拓扑空间，x ，y ∈X ．如果X 中有一个连通子集同时包含x 和y ，我们则称点x 和y 是连通的．(注意:是点连通) 根据定义可见，如果x ，y ，z 都是拓扑空间X 中的点，则 （1）x 和x 连通（因为每一个单点集都是连通子集）； （2）如果x 和y 连通，则y 和x 也连通；（显然） (3) 如果x 和y 连通，并且y 和z 连通，则x 和z 连通．（这是因为，这时存在X 中的 连通子集A 和B 使得x ，y ∈A 和y ，z ∈B ．从而由于y ∈A ∩B 可见A ∪B 连通，并且x ，z ∈A ∪B ．因此x 和z 连通．） 以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系． 定义4．3．2 设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的连通关系而言的每一个等价类称 为拓扑空间X 的一个连通分支． 如果Y 是拓扑空间X 的一个子集．Y 作为X 的子空间的每一个连通分支称为X 的子集 Y 的一个连通分支． 拓扑空间X ≠?的每一个连通分支都不是空集；X 的不同的连通分支无交；以及X 的 所有连通分支之并便是X 本身．此外，x ，y ∈X 属于X 的同一个连通分支当且仅当x 和y 连通． 拓扑空间X 的子集A 中的两个点x 和y 属于A 的同一个连通分支当且仅当A 有一个连 通子集同时包含点x 和y ． 定理4．3．1设X 是一个拓扑空间，C 是拓扑空间X 的一个连通分支．则 （1）如果 Y 是X 的一个连通子集，并且 Y ∩C ≠C Y ???,； （2）C 是一个连通子集； （3）C 是一个闭集． 本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X 的一个最大的 连通子集． 证明 （1）任意选取x ∈ Y ∩C ．对于任何y ∈Y 由于x 和y 连通，故y ∈C ．这证明 Y ?C ． （2）对于任何x ，y ∈C ，根据定义可见，存在X 的一个连通子集xy Y 使得x ，y ∈xy Y ．显 然xy Y ∩C ≠?，故根据（1），?xy Y C ．应用定理4．1．7可知，C 是连通的． （3）由于C 连通，根据定理4．1．5，C 连通．显然，?≠=?C C C 。所以根据 （1），C C C C =??,．从而C 是一个闭集． 但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q （作为实数空间R 的子 空间）．设x ，y ∈Q ，x ≠y ．不失一般性，设x ＜y ．如果Q 的一个子集E 同时包含x 和y ， 令A=(-∞，r)∩E 和B=(r ，∞)∩E ，其中r 是任何一个无理数，x ＜r ＜y ．此时易见A 和B 都是Q 的非空开集，并且E ＝A ∪B ．因此E 不连通．以上论述说明E 中任何一个包含着多 于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q 的连通分支都是单点集．然而易见Q 中的每 一个单点集都不是开集． 记住这个事实:任一个集合A 都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通 分支互不相交).即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立. 作业: P.123 1. 3. 4. 8. §4．4局部连通空间 本节重点: 掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1---4.4.3) 掌握连通与局部连通的关系. 引进新的概念之前，我们先来考察一个例子． 例4．4．1在欧氏平面2 R 中令S={(x,sin(1/x)) | x ∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S 被称作 拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证S ＝ S ∪T ，因此 1S ＝ S ∪T 也是连通的．尽管如此，倘若我们查看1S 中的点， 容易发现它们明显地分为两类：S 中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个 连通的邻域，而T 中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个 类型的点区别开来． 定义4．4．1设X 是一个拓扑空间，x ∈X ．如果x 的每一个邻域U 中都包含着x 的某 一个连通的邻域V ，则称拓扑空间X 在点x 处是局部连通的． 如果拓扑空间X 在它的每一个点处都是局部连通的，则称X 是一个局部连通空间． 回到例4．4．1中所定义的拓扑空间1S ．容易证明，1S 在其属于S 的每一个点处是局 部连通的，而在其属于T 的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管1S 是一个连通空 间，但它却不是一个局部连通的空间． 局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包 含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n 维欧氏空间n R 的任何一个开子空 间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间n R ，因而是连通的）， 特别，欧氏空间n R 本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间n R 中由两个无交的非空开集的 并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）． 此外根据定义立即可见：拓扑空间X 在点x ∈X 处是局部连通的当且仅当x 的所有连通 邻域构成点x 处的一个邻域基， 定理 4．4．1设X 是一个拓扑空间．则以下条件等价： （1）X 是一个局部连通空间； （2）X 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集； （3）X 有一个基，它的每一个元素都是连通的． 证明（1）蕴涵（2）．设C 是X 的一个连通分支,X T U C ∈?．如果x ∈C ，由于U 是 x 的一个邻域，所以当（1）成立时x 有一个连通邻域V 包含于U ．又由于V ∩C 包含着点 x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见C V ?．因此C ∈x U ．这证明C 是属于它的任何 一个点x 的邻域，因此C 是一个开集． （2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X 的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构 成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基． （3）蕴涵(1)．显然． 我们常用到定理4．4．1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集． 定理4．4．2 设X 和Y 都是拓扑空间，其中X 是局部连通的．又设f: X →Y 是一个连 续开映射． 则 f （X ）是一个局部连通空间． 证明 根据定理4．4．1，可设B 是X 的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对 于每一个B ∈B ，集合f(B)是连通的，并且由于 f 是一个开映射，f （B ）是 Y 中的一个开集， 因此也是 f （X ）的一个开集．这证明集族B 1={f （B ）| B ∈B }是一个由f （X ）的连通开 集构成的族．我们指出B 1是f(X)的一个基，这是因为，如果U 是f(X)中的一个开集，则 1-f （U ）是X 中的一个开集，因此 )())(()(11111B f U f f U B U f B B B B B B ∈-∈-?==??=??? 是B 1中某些元素之并．于是根据定理4．4．l 可知f （X ）是局部连通的． 根据定理4．4．2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质. 定理4．4．3设n X X X ,...,21是n ≥1个局部连通空间．则积空间n X X X ???...21也 是局部连通空间． 证明 (略) 应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R 由于所有的开区间 构成它的一个基，所以它是局部连通的；n 维欧氏空间n R 是n 个R 的积空间，所以它也是 局部连通的．当然这些事情我们早就知道了． 作业: P.127 1. 2. 3. §4．5 道路连通空间 本节重点：掌握道路连通的概念、性质。 掌握连通、局部连通、道路连通之间的联系与区别。 掌握道路连通分支的概念。 掌握n R 中子集的连通性质。 较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解 些．我们先定义“道路”． 定义4．5．1设X 是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X 的每一个连续映射 f: [0，1]→X 叫做X 中的一条道路，并且此时f(0) 和f(1) 分别称为道路f 的起点和终点．当 x ＝f （0）和y ＝f （1）时，称f 是X 中从x 到y 的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭 路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点． 如果f 是X 中的一条道路，则道路f 的象集f([0，l])称为 X 中的一条曲线或弧，并且 这时道路f 的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点． 或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇 有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念． 定义4．5．2 设X 是一个拓扑空间．如果对于任何x ，y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），我们则称X 是一个道路连通空间．X 中的一个子集Y 称为X 中的一个 道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间．(Y 是否道路连通与X 是否道 路连通没有关系) 实数空间R 是道路连通的．这是因为如果x ，y ∈R ，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对 于任何t ∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R 中的一条以x 为起点以y 为终点的道路、也容易验证 任何一个区间都是道路连通的． 定理4．5．1如果拓扑空间 X 是一个道路连通空间，则X 必然是一个连通空间． 证明 对于任何x ，y ∈X ，由于X 道路连通，故存在从x 到y 的一条道路f:[0，l]→X 这时曲线f （[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X 中的一个连通子集，并且 我们有x ，y ∈f （[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X 是一个连通空间。 连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l 中的1S 是一个连通空间．不 难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的． 道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而 包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了． 定理4．5．2设X 和Y 是两个拓扑空间，其中X 是道路连通的，f: X →Y 是一个连续 映射． 则 f （X ）是道路连通的． 证明 设22112121)(,)(,),(,y x f y x f X x x X f y y ==?∈?∈ ．由于X 是道路连通 的，故X 中有从1x 到2x 的一条道路g ：[0，1]→X ．易见，映射h ：[0，1]→f(X)，定义为对 于任意t ∈[0，1]有h （t ）=f g （t ），是f （X ）中从1y 到2y 的一条道路．这证明f （X ）是 道路连通的． 根据定理4. 5．2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质. 定理4．5．3 设n X X X ,...,21是n ≥1个道路连通空间．则积空间n X X X ???...21也 是道路连通空间． 证明 我们只需要对n ＝2的情形加以证明． 设212121),(),,(X X y y y x x x ?∈==对于i=l ，2，由于i X 是道路连通空间，故在i X 中有从i x 到i y 的一条道路i f ：[0，1]→i X ．定义映射 f ：[ 0，1]→ 21X X ?，使得对于 任何t ∈[0，l] 有f （t ）＝（)(),(21t f t f )．容易验证（应用定理3．2. 7）f 是连续的，并且 有f(0)=x, f(1)=y ．这也就是说f 是21X X ?中从x 到y 的一条道路．这证明 21X X ?是一个道路连通空间． 作为定理4．5．3的一个直接的推论立即可见：n 维欧氏空间n R 是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．） 为了今后的需要我们证明以下引理， 定理4．5．4 [粘结引理] 设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集（闭集），并且有X ＝A ∪B ．又设Y 是一个拓扑空间，1f ：A →Y 和2f ：B →Y 是两个连续映射，满足条件： B A B A f f ??=||21 定义映射f: X →Y 使得对于任何x ∈X ， f （x ）＝?? ?)()(21x f x f B x A x ∈∈ 则f 是一个连续映射． 证明 首先注意，由于B A B A f f ??=||21，映射f 的定义是确切的．因为当x ∈A ∩B 时，有)()(21x f x f = 其次，我们有：对于Y 的任何一个子集Z 有 )()()(12111Z f Z f Z f ---?= 这是由于B Z f Z f A Z f Z f ?=?=----)()(,)()(112111 现在设U 是Y 的一个开集．由于21,f f 都连续，所以)(),(1211U f U f --分别是A 和B 的开集．然而A 和B 都是X 的开集，所以)(),(1 211U f U f --也都是 X 的开集．因此 )()()(12111Z f Z f Z f ---?=是X 的一个开集．这便证明了f 是一个连续映射． 当A 和B 都是X 的闭集时，证明是完全类似的． 我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念． 定义 4. 5．3设X 是一个拓扑空间，x ，y ∈X ．如果X 中有一条从x 到y 的道路，我们则称点x 和y 是道路连通的．(注意:是”点”道路连通) 根据定义可见，如果x ，y ，z 都是拓扑空间X 中的点，则 （1）x 和x 道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X （它必然是连续的）便是一条从x 到x 的道路．） （2）如果x 和y 连通，则y 和x 也连通；(设f:[0，1]→X 是X 中从x 到y 的一条道路．定义映射 j ：[0，l]→X ，使得对于任何t ∈[0，l]有j （t ）＝f （1－t ）．容易验证j 是一条从y 到x 的道路．) (3) 如果x 和y 连通，并且y 和z 连通，则x 和z 连通．（设21,f f ：[0，1]→X 分别是 X 中从x 到y 和从y 到z 的道路．定义映射f:[0，1]→X 使得对于任何t ∈[0，l]， ???-=) 12()2()(21t f t f t f ]1,2/1[]2/1,0[∈∈t t 应用粘结引理立即可见f 是连续的，此外我们有f （0）＝1f （0）=x 和f(1)=2f (1)=z ．因此f 是从x 到z 的一条道路．） 以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系． 定义4．5．4设X 是一个拓扑空间．对于X 中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X 的一个道路连通分支． 如果Y 是拓扑空间X 的一个子集．Y 作为X 的子空间的每一个道路连通分支称为X 的子集Y 的一个道路连通分支． 拓扑空间X ?≠的每一个道路连通分支都不是空集；X 的不同的道路连通分支无交；以及X 的所有道路连通分支之并便是X 本身．此外，x ，y ∈ X 属于X 的同一个道路连通分支当且仅当x 和y 道路连通． 拓扑空间X 的子集A 中的两个点x 和y 属于A 的同一个道路连通分支的充分必要条件是A 中有一条从x 到y 的道路． 根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理 4．5．1，它也是一个连通子集；又根据定理4．3．l ，它必然包含在某一个连通分支之中． 作为定理4．5．l 在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理： 定理4．5．5 n 维欧氏空间n R 的任何一个连通开集都是道路连通的． 证明 首先我们注意n 维欧氏空间n R 中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为它同胚于n 维欧氏空间n R 本身． 其次证明 n 维欧氏空间n R 的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设U 是n R 的一个开集，C 是U 的一个道路连通分支．设x ∈C ．由于U 是一个包含x 的开集，所以也包含着以x 为中心的某一个球形邻域B （x ，ε）．由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的，并且B （x ，ε）∩C 包含着x ，故非空,这导致B （x ，ε）? C ．所以C 是一个开集． 最后,设V 是n R 的一个连通开集．如果V ?=，则没有什么要证明的．下设V ?≠．V 是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集．因此如果V 有多于一个道路连通分支，易见这时V 可以表示为两个无交的非空开集之并，因此V 是不连通的，这与假设矛盾。因此V 只可能有一个道路连通分支，也就是说V 是道路连通的． 推论4．5．6 n 维欧氏空间n R 中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支． 证明 由于n 维欧氏空间n R 是一个局部连通空间，根据定理4．4．1，它的任何开集 的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，n R 的任何开集的任何连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，所以包含于这个集合的某一个连通分支之中．因此，本推论的结论成立． 通过引进局部道路连通的概念，定理4．5．5和推论4．5．6的结论可以得到推广．（参见习题5．） 作业: P.132 1. 2. 本章总结：（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的 母空间是否连通、局部连通、道路连通无关。 （2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系。 （3）记住n R 中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的。 （4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若 干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空。若两个分支有交，则必是同一个分支。 （5）连通是本章的重点。 （6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法。特别注意反证法。 （7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限 可积的、可遗传的。 半期复习 主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法。 一．研究的思路与成果 1．预备知识： （1）集合的三种运算的定义与证明方法： 并、交、差：A ∪B 、A ∩B 、A-B （2）在映射f 之下，集合的并、交、差的象有什么特点？ f （A ∪B ）=f （A ）∪f （B ） f （A ∩B ）?f （A ）∩f （B ） 当f 为单射时，取等号 f （A-B ）?f （A ）-f （B ） 当f 为单射时，取等号 （3）集合的并、交、差运算关于f 的原象有什么特点？ 一句话：保持运算。即 ) ()()()()()()()()(111111111B f A f B A f B f A f B A f B f A f B A f ----------=-?=??=? （4）A A f f ?-))((1 f 满时取等号 A A f f ?-))((1 f 单时取等号 （5）等价关系、等价类的定义，作用 等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集。 （5）有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同。 2．拓扑空间 （1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。 （2）拓扑空间的定义 拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集。 （3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。 定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集 定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题。 （4）模仿高等代数，给出了基的概念。 （5）定义了序列及极限点。 思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻。 因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R 中是否具有这种性质？与R 中的相应性质有何区别？ 3．从拓扑空间构造新的拓扑空间 （1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构。 （2）积空间极其基的概念。 （3）商空间的定义 4．关于连通性 （1）不连通与连通的概念。这概念只是关于子集本身的性质，与母空间、子空间无关。 （2）如何判断连通与不连通？ （3）R 中连通子集的性质。 （4）局部连通、道路连通的定义及三种连通之间的蕴涵关系。 （5）将一般空间中的点按连通、道路连通分类，即连通分支、道路连通分支。 （6）n R 中子集的的连通性 （7）连续映射对三种连通空间的象的影响。 二．常见证明方法 1．证明集合包含 A x B x B A B x A x ???????∈?∈? 相等 A B B A B A ?∧??= 2．证明连续映射：反射开集、闭集、邻域 3．证明开集：定理2.3.1。在连续映射下，是否是开集的原象？ 4．证明基：定义及定理2.6.2 5.证明凝聚点;?≠-??∈??∈}){(,)(x A U u U A d x x 证明不是凝聚点:?=-??∈???}){()(x A U u U A d x x 证明闭包:?≠?∈??∈A U u U A x x , 6.证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法. 7.证明连通,常用反证法,导出某个隔离子集是空集. 8.常在一个集合关系式的两边同取f、1-f、闭包等 9．常用反证法 复习参考： 一.判断题(每小题3分) 1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑 ( ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（） 7.拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（） 8.（X，T）为平庸空间，Y?X，则子空间Y的拓扑为 {Y，?}。（） 二．填空题：(每空格4分) 1.X=Z+,T={Z1,Z2,…Z n…},其中Z n={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为_____________________________ 包含3的所有闭集为_______________________________ 包含3的所有邻域为_______________________________ 设A={1,2,3,4,5} 则A的导集为________________________________ A的闭包为___________________________________ 2．设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=______________ 三.证明题(52分): 1.设X有拓扑T1,T2,…T n,则∩T i也是拓扑. 2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则 B x={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基. 4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R 不同胚.(提示:用反证法) 5.设f:X→Y的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间. 复习参考答案： 一.判断题(每小题3分) 1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑 ( ×) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ×) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( ×) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（√） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（×） 7.拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（×） 8.（X，T）为平庸空间，Y?X，则子空间Y的拓扑为 {Y，?}。（√） 二．填空题：(每空格4分) 1.X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为,...,,,/6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} A 的闭包为{1,2,3,4,5} 2.设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 三.证明题(52分): 1. 设X 有拓扑i n i n T T T T 121,,...,=??也是拓扑. 证: i n i T A i T A i i n i i n i i i i n i i n i i T A n i T A n i T T T T T B A n i T B A n i T B A T B A T X n i T X 1~~1111,...1,,...1,~,~)3(,...1,....1,,,,)2(,,,...2,1,,)1(=∈∈====?∈??=∈??=??????∈??=∈??=∈∴?∈??∈?∴=∈? 所以i n i T 1=?也是拓扑. 2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设+∈Z i i x }{→x, + ∈Z i i x }{→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?. 对于B(x,ρ(x,y)/3),存在1N >0,当i>1N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3) 对于B(y,ρ(x,y)/3),存在2N >0,当i>2N 时有∈i x B(y,ρ(x,y)/3) 取N=max{1N ,2N },则当i>N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) 与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?.矛盾 3.设X 是一个拓扑空间,B 是一个基,x ∈X,则 B x={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基. 见P.82 定理2.6.7 4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R 不同胚.(提示:用反证法) 证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚. 5.设f:X Y的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间. 见P.129 定理4.5.2 点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如： 《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划 《复变函数》教学大纲 统计学（非师范类）专业用 —、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务 本课程为统计学专业的专业限选课。 复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支， 同时，它在热力学, 流体力学和电学等方面也有很多的应用。先 修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方 程。 本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。 通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。 通过本门课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本概念、基本理论与方法，增强数学工作能力，为进一步学习其他课程并为将来从事教学、科研以及其他实际工作打好基础。 （二）课程的教学原则和方法 本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敵相互结合和转化的原则。 教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。 （三）课程的主要内容学时分配 《复变函数》安排授课共54学时。 第一章复数及复变函数8学时 第二章复变函数12学时 第三章复变函数的积分10学时 第四章解析函数的幕级数表示8学时 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点8学时 第六章留数理论及其应用8学时 二、正文部分 第一章复数与复变函数 （一）教学的目的和要求 1.掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念; 练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5} 2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：② 度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R (点集拓扑学拓扑)知识点 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要 《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著． 即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运算，大小的比较(＜和?)，和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理． §1.1集合的基本概念 集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等．集合也常称为集，族，类． 集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点，或成员． 集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素．这种没有元素的集合我们称 之为空集，记作．此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集． 集合的表示法： （1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是定义集合的一个重要方式． （2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 {x|关于x的一个命题P} 表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合．例如，集合{x|x为实数，并且0 §5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集． 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T. 学习《拓扑学》的心得体会 摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。 关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性 一、什么是拓扑学？ 我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。 而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章，分别是：集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章，分别是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。 二、学习拓扑学的意义 拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程，这样有利于培养学生的抽象思维能力，提高解决问题和分析问题的能力，为了让学生在学习中进一步掌握 《数学史》教学大纲 课程编号：学分：总学时：54 适用专业：数学与应用数学开课学期： 先修专业：无后续课程：无 一、课程的性质、目的和要求 （一）课程的性质：选修课程。 （二）课程教学目的：能够以数学的、历史的眼光分析数学发展的内在原因，运用辩证唯物主义的哲学方法剖析数学发展史。 （三）课程基本要求：全面了解数学历史的发展过程，了解各个时期主要数学家的生平事迹和对数学发展的贡献，掌握重要的数学事件，理解主要的数学理论的形成过程以及历史文化背景。 二、本课程主要教学内容及时间安排 第一章：综述（８学时） 1、教学基本要求：分三阶段综合叙述数学历史发展过程，掌握各阶段的框架和脉络，理解中外各主要数学中心发展、转移、变化的过程。 2、教学重点：在教学上要求把握一个整体、三个阶段的特点（古典数学、近代数学和现代数学）。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数学历史发展过程（5学时），作业量：1。 ⒉主要数学中心发展、转移、变化的过程（3学时），作业量：1。 第二章：东、西方初等数学的代表作（4学时） 1、教学基本要求：通过全面了解东、西方初等数学的代表作，即中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》的内容、背景和特点，把握两者的深刻的思想内涵和学术文化特征。 2、教学重点：把握《九章算术》和《几何原本》深刻的思想内涵和学术文化特征。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数学历史发展过程（2学时），作业量：1。 ⒉主要数学中心发展、转移、变化的过程（2学时），作业量：1。 第三章：作图工具与计算工具（2学时） 1、教学基本要求：通过中、西方古代作图工具、计算工具的形成、发展过程的介绍，重点把握古希腊作图手段——尺规作图法，以及中国古代著名的计算工具——算筹的具体情况和历史背景。 2、教学重点：把握古希腊作图手段——尺规作图法，以及中国古代著名的计算工具——算筹的具体情况和历史背景。 3、教学难点：尺规作图法。 4、本章知识点：⒈尺规作图法及算筹的具体情况和历史背景。（2学时），作业量：1。 第四章：初等几何（2学时） 1、教学基本要求：沿着数的起源、发展的历史轨迹，重点了解记数的方法、数的运算以及数系扩充的历史发展过程，突出中国十进位制的历史地位和功绩，理解在数的扩充过程中，人类所表现出的困惑、好奇和对未知世界执着探索的精神状态。 2、教学重点：数系扩充的历史发展过程。 3、教学难点： 4、本章知识点：⒈数系扩充的历史发展过程。（2学时），作业量：1。 第五章：算术（2学时） 1、教学基本要求：了解自然数是基数与序数的统一，把握正负数的定义及分数的运算法则， 点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④ 《点集拓扑学》教学大纲 一、课程名称： 《点集拓扑学》 二、课程性质： 数学与应用数学专业限选课 先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程 三、课程的地位及教学目的 “点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。 四、课程教学原则与教学方法 本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。 采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。 五、总学时 68课时（含复习考试） 六、课程教学内容要点及建议学时分配 第一篇集合论初步（6课时） 一、教学目的 在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。另了解“选择公理”有关的初步知识。要点如下： 1．集合的基本概念(自学) 2．集合的基本运算(自学) 3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学) 7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。 第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时） 一、教学目的 本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。要点如下：1*．度量空间与连续映射(2学时) 2*．拓扑空间与连续映射(4学时) 3*．邻域与邻域系(2学时) 4*．导集、闭集、闭包(4学时) 5*．内部、边界(2学时) 6*．基与子基(4学时) 点集拓扑学~非同凡响畅想系列 注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 第一节：关系与映射 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等. 本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容 期末复习 学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？ 下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考． 一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？） （2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．） （3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？） 2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间． （1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系） （2）R及是上述空间吗？ （3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？ （4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？） （5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？ 3．连通性： （1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性. (2)两种分支的性质. 《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对 空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能 第7章 紧致性 §7.1 紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的） 数学一级学科硕士研究生培养方案 （0701） 适用专业：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论、070120数学教育 一、培养目标 培养适应国家和地方经济与社会发展需要的学术型、应用型高层次数学专门人才。 具体要求是： 1．树立爱国主义和集体主义思想，具有公民意识和社会责任感,具有良好的道德品质和强烈的事业心，能立志为祖国的建设和发展服务。 2．掌握系统而坚实的数学基础理论和专门知识；具有从事数学科学研究的创新意识和独立从事实际工作的专门技术水平；具有使用第一外国语进行国际交流的能力，能够熟练地阅读本学科的外文文献，并具有初步撰写外文科研论文的能力。 3.主要为攻读博士做前期的专业知识和科研能力准备；培养高校和中学需要的从事教学、科研等工作的高层次人才,培养企事业单位需要的从事技术开发、咨询预测等工作的高层次人才。 4．具有健康的体魄和较强的心理素质。 二、研究方向 1.基础数学专业 奇点理论，李代数及其应用，同调代数，低维拓扑，非交换几何，算子理论及算子代数。 2.计算数学专业 微分方程数值解，数值代数，数值逼近，分形几何。 3.概率论与数理统计专业 应用概率，生物统计，生物信息，教育与心理测量，金融与经济统计，机器学习。 4.应用数学专业 常微分方程理论及应用，泛函微分方程理论及应用，随机微分方程理论及应用，偏微分方程理论及应用，生物数学。 5.运筹学与控制论专业 分布参数系统控制理论及应用，集中参数系统控制理论及应用。 6.数学教育专业 数学教育心理，数学课程，数学教学，数学教师专业发展。 三、修业年限 实行弹性学制，基本学制为3年，其中生源为跨专业、同等学力的研究生原则上学制要延长一年。凡修满最低学分、学习成绩优秀者，经本人申请、指导教师同意与学院教授委员会讨论通过，并顺利通过学位论文答辩，可以提前毕业（最低修业年限不得少于2年）。 四、毕业学分和授予的学位 毕业时总学分不少于33学分，其中课程总学分要求不少于27学分，必修环节总学分6学分（学术活动1学分，教学实践1学分，文献阅读1学分，学位论文3学分）。硕士研究生在规定修业年限内修满规定学分，通过思想品德考核，学位论文答辩，符合《中华人民共和国学位条例》有关规定，达到我校学位授予标准，授予理学硕士学位。 五、培养方式 1．硕士研究生培养以课程学习和应用技能培养为主，以科学研究为辅。坚持“宽口径，厚基础，重应用”的培养原则。 2．硕士研究生培养采取导师负责与集体培养相结合的方式，导师是硕士研究生培养的第一责任人，每个硕士研究生导师组要由3～5人组成，配合导师，充分发挥其集体培养优势。 3．研究生导师应在同研究生本人商量的基础上根据研究生的实际情况和就业意愿为其“量体裁衣”制定个性化的个人学习和研究计划。个人学习和研究计划在入学后5个月内完成并交学院备案。 4. 研究生选课必须在导师指导下进行，每学期开学填写选课单，由导师签字同意后选课才有效。 5．硕士研究生教学形式应灵活多样，提倡采用研讨班、专题式、启发式等多种教学方法，把课堂讲授、交流研讨、案例分析等有机结合，促进学生的自主性学习和研究性学习，加大对研究生创新能力的培养。 6．有计划地聘请国内外专家来我院授课，或派出硕士研究生到其他名牌高校或科研院所修读部分课程。提倡与国内外著名高校和科研院所互相承认学分，联合培养研究生。 7．论文工作环节需对硕士进行系统、全面的研究训练，培养综合运用知识发现问题、分析问题和解决问题的能力。 8．硕士研究生培养实行学分制。 六、课程学习 （一）课程设置与学分要求 1．必修课（不少于16学分） （1）公共基础课（7学分） 马克思主义理论课60学时3学分Ⅱ学期点集拓扑学
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