十四章 几何光学习题与解答
14-1.如题图14－1所示，一束平行光线以入射角θ射入折射率为n ，置于空气中的透明圆柱棒的端面．试求光线在圆柱棒内发生全反射时，折射率n 应满足的条件． 分析：一次折射，一次反射；利用端面折射角与内侧面入射角互余
及全反射条件即可求解。
解：设光线在圆柱棒端面的折射角为γ，在内侧面的入射角为'θ，根据折射定律，有'
sin 'cos sin sin 222θθγθn n n n -=
==
光线在界面上发生全反射的条件为1
'sin ≥θn
∴发生全反射时，n 必须满足θ2sin 1+≥n
14-2.远处有一物点发出的平行光束，投射到一个空气中的实心玻璃球上．设玻璃的折射率为50.1=n ，球的半径为cm r 4=．求像的位置．
分析：利用逐步成像法，对玻璃球的前后两个球面逐一成像，即可求得最后像的位置．用高斯成像公式时，应注意两个球面的顶点位置是不同的．cm r r cm r r 4,421-=-===．
解：
cm cm r n n f 12)415.15
.1(1'11=?-=-=
cm cm f n f 8)5.112
('111-=-=-=
cm f p p p f p f 12'',,1''1111
111==∞==+ 或用
-∞====-=-1111
1
11111,1,5.1','''p n n n r n n p n p n
cm p p 12',4
15.11'5.111=-=∞-- 对玻璃球前表面所成的像，对后表面而言是物，所以
cm cm r p p 4)812(2'212=-=+=
cm cm r n f 8)]4(5
.111
[11'22=-?-=-=
cm cm nf f 12)85.1('22-=?-=-=
题图14-1
cm cm f p f p p p f p f 2)12
484('',1''222222222=+?=-==+ 或用
1',5.1,'''222
2
22222===-=-n n n r n n p n p n
cm p p 2',4
5.1145.1'122=--=-
像在球的右侧，离球的右边2cm 处．
14-3.如题图14－3所示的一凹球面镜，曲率半径为40cm ，一小物体放在离镜面顶点10cm 处．试作图表示像的位置、虚实和正倒，并计算出像的位置和垂轴放大率．
分析：利用凹面镜的半径可确定焦距，以知物距，由球面镜的物像公式和横向放大率公式可求解。
解：像的位置如图所示，为正立、放大的虚像． 2)
1(101
20''20'1'11202
1
=-?-?==
==+-==
pn n p cm p f p p cm R f β
14-4.高为0h 的物体，在焦距0'>f 的薄透镜左侧，置于f p <<0的位置。试用作图法表示像的位置，实、虚，放大还是缩小，正立还是倒立．并用文字指明．
分析：0'>f ，利用过凸透镜光心的光线方向不变，平行主光轴的入射光线折射后过像方焦点画图。
解：成像光线如题14-4解图所示，所成之像是：放大、正立的虚像．
14-5．高为0h 的物体，在焦距0'
分析：0' 主光轴的入射光线折射后的反向延长线过像方焦点。 解：成像光线如题14-5解图所示．所成之像是：缩小、正立的虚像． 14-6.一竖立玻璃板的折射率为1.5，厚度为10cm ，观察者在玻璃板后10cm 处，沿板的法线方向观察置于同一法线上10cm 处的一个小物体时，它距离观察者有多远？ 分析：两次平面折射。 解：由平面折射公式，利用逐步成像法，即可求得物体的像． 根据cm p n n cm p cm p n n cm p p n n p 67.16'.50.1,1',25)1510(. 15',1,50.1',10,' '22221111-=∴==-=--=-=∴==-== 距观察者距离 cm cm L 67.26)67.1610(=+= 14-7．为下列情况选择光焦度合适的眼镜． （1）一位远视者的近点为80.0cm; (2 ) 一位近视者的远点为60.0cm ． （1）分析：远视眼应配凸透镜眼镜，配上眼镜后，相当于物体在离明视距离（cm p 25-=）处，而所成虚像在近点处（cm p 80'-=）． 解：由透镜成像公式 ' 1 1'1f p p =- 可得 ' 1251801f =--- 解得镜片焦距cm f 36.36' =，其光焦度为 D f 75.2m 3636.01'1=== φ 应配眼镜度数为27510075.2=?度． （2）分析：近视者应配凹透镜眼镜，配上眼镜后，从无穷远处（)-∞=p 物体发出的光看似从远点处发出，即虚像成在远点处（cm p 60'-=）． 解：由透镜成像公式 ' 1 1'1f p p =- 可得 ' 11601f =∞--- 解得镜片焦距cm f 60'-=，其光焦度为 D f 67.1m 60.01'1-=-== φ 应配眼镜度数为16710067.1=?度． 14-8.一双凸薄透镜的两表面半径均为50mm ，透镜材料折射率n =1.5，求该透镜位于空气中的焦距为多少？ 分析：将已知条件代入薄透镜在空气中的焦距公式。 解 位于空气中时， )11)(1(12 1r r n f --=' 50 1 )501501)( 15.1(= ---= 即 )m m (50=-='f f 14-9．一玻璃棒(n=1.5)，长50cm ，两端面为半球面，半径分别为5cm 和10cm ，一小物高0.1厘米，垂直位于左端球面顶点之 前20厘米处的轴线上． 求：(1)小物经玻璃棒成像在何处? (2)整个玻璃棒的横向放大率为多少? 分析：光线经过凸球面折射，再经过凹球面折射，利用球面折射成像公式逐次成像 求像的位置。整个横向放大率为每次横向放大率的乘积。注意每次成像的顶点位置不同。 解：小物经第一个球面折射成像。 由球面折射成像公式 r n n p n p n -= -''' 有 5 1 5.1201'5.11-= --p 得 cm p 30'1= 横向放大率:1) 20(5.130 1''1111-=-??== p n p n β 再经第二个球面折射成像 由 cm d p p 205030'12-=-=-= 题14-14解图 有 10 5 .11205.1'12--= --p 得 cm p 40'2-= 即小物经玻璃棒成像于距第二个球面顶点处水平向左40cm 处 横向放大率:3) 20(1) 40(5.1''22222=-?-?== p n p n β （2）整个玻璃棒的横向放大率 321-==βββ 十五章 波动光学习题与解答 15-1.在双缝干涉实验中，两缝的间距为0.6mm ,照亮狭缝s 的光源是汞弧灯加上绿色滤光片．在2.5m 远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm ．试计算入射光的波长，如果所用仪器只能测量mm x 5≥?的距离，则对此双缝的间距d 有何要求？ 分析：由明纹位置公式求解。 解：在屏幕上取坐标轴Ox ，坐标原点位于关于双缝的对称中心。屏幕上第k 级明纹中心的距坐标原点距离： λd D k x ±= 可知 d D d D k d D k x x x k k λ λλ=-+=-=?+)1(1 代入已知数据，得 nm d D x 545=?= λ 对于所用仪器只能测量mm x 5≥?的距离时 mm x D d 27.0=?≤ λ 15-2.在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为0.2mm ．在距双缝1m 远的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为400nm 至760nm 的白光，问屏上离零级明纹20mm 处，哪些波长的光最大限度地加强？(1nm ＝10-9m ) 分析：由双缝干涉屏上明纹位置公式，求K 取整数时对应的可见光的波长。 解：已知：d ＝0.2mm ，D ＝1m ，x ＝20mm 依公式： λk d D x = ∴ D dx k =λ＝4×10-3 mm ＝4000nm 故 k ＝10 λ1＝400nm k ＝9 λ2＝444.4nm k ＝8 λ3＝500nm k ＝7 λ4＝571.4nm k ＝6 λ5＝666.7nm 这五种波长的光在所给观察点最大限度地加强． 15-3.如图15-3所示，在杨氏双缝干涉实验中，若3/1212λ=-=-r r P S P S ，求P 点的强度I 与干涉加强时最大强度I max 的比值． 分析：已知光程差，求出相位差．利用频率相同、振动方向相同的两列波叠加的合振幅公式求出P 点合振幅。杨氏双缝干涉最大合振幅为2A 。 解：设S 1、S 2分别在P 点引起振动的振幅为A ，干涉加强时，合振幅为2A ，所以 2max 4A I ∝ S S 因为 λ3 1 12=-r r 所以S 2到P 点的光束比S 1到P 点的光束相位落后 ()3 π23π2π 212=?=-=?λλλ?r r P 点合振动振幅的平方为： 22223 π 2cos 2A A A A =++ ∵ I ∝A 2 ∴ I /I max =A 2/4A 2 =1/4 15-4.用图所示的瑞得干涉仪可以测定气体在各种温度和压力下的折射率，干涉仪的光路原理与杨氏双缝类似．单色平行光入射于双缝后，经 两个长为l 的相同的玻璃管，再由透镜会聚于观察屏上．测量时，可先将两管抽成真空，然后将待测气体徐徐导入一管中，在观察屏上关于两管的对称位置处观察干涉条纹的变化．即可求出待测气体的折射率．某次测量，在将气体徐徐导入下管的过程中，观察到有98条干 涉条纹移动，所用的黄光波长为589.3nm （真空中），cm l 20=，求该气体的折射率． 分析：当气体慢慢导入管内，由于两束相干光的光程差改变了，从而引起干涉条纹发生移动． 解：气体导入一管过程中，光程差从零变为：λδk l nl =-=，有98条干涉条纹移动即可k=98． 所以，00029.19811=+=+=l l k n λ λ 15-5.在图所示的洛埃德镜实验装置中， 距平面镜垂距为1mm 的狭缝光源0s 发出波长 为680nm 的红光．求平面反射镜在右边缘M 的观察屏上第一条明条纹中心的距离．已知cm MN 30=，光源至平面镜一端N 的距离为20cm ． 分析：洛埃德镜可看作双缝干涉，光源S 0和虚光源S 0′是相干光源．但是洛埃德镜的 反射光有半波损失，故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补，即屏上的明暗位置互换． 解：cm D mm d 50,2== 由明纹条件：λλ λ θδk D x d d =+=+=2 2 sin 代入1=k ，mm d D x 21105.82-?== λ 15-6.在双缝干涉实验中，单色光源S 0到两缝S 1和S 2的距离分别为1l 和2l ，并且λ321=-l l ，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d ，双缝到屏幕的距离为D (D >>d )，如图15-6．求： (1) 零级明纹到屏幕中央O 点的距离． (2) 相邻明条纹间的距离． 解：(1) 如图，设P 0为零级明纹中心 屏 O 题图15-4 题15-5图 则 D O P d r r /012≈- 又 0)()(1122=+-+r l r l ∴ λ32112=-=-l l r r ∴ d D d r r D O P /3/)(120λ=-= (2) 在屏上距O 点为x 处, 光程差 λδ3)/(-≈D dx 明纹条件 λδk ±= (k ＝1，2，....) d D k x k /)3(λλ+±= 在此处令k ＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距=-+k k x x 1d D /λ 15-7.在Si 的平表面上氧化了一层厚度均匀的SiO 2薄膜．为了测量薄膜厚度，将它的一部分磨成劈形(示意图中的AB 段，平面图)．现用波长为600nm 的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹．在图中AB 段共有8条暗纹，且B 处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度．(Si 折射率为3.42，SiO 2折射率为1.50) 分析：上下表面反射都有相位突变π，计算光程差时不必考虑附加的半波长. 解：设膜厚为e ， A 处为明纹， B 处为暗纹，2ne ＝2 λ (2k ＋1)，(k ＝0，1，2，…)， 第8个暗纹对应上式k ＝7,()n k e 412λ+= ＝1.5×10-3mm 15-8.在折射率n ＝1.50的玻璃上，镀上n '＝1.35的透明介质薄膜．入射光波垂直于介质膜表面照射，观察反射光的干涉，发现对λ1＝600nm 的光波干涉相消，对λ2＝700nm 的光波干涉相长．且在600nm 到700nm 之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情形．求所镀介质膜的厚度．(1nm=10-9m )． 分析：上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不计附加光程差．光程差为ne 2=δ． 解：当光垂直入射时，i =0． 对λ1（干涉相消）： ()1122 1 2λ+= 'k e n ① 对λ2（干涉相长）： 22λk e n =' ② 由① ②解得： () 32121 =-= λλλk 将k 、λ2、n '代入②式得 n k e ' = 22 λ＝7.78×10-4mm 15-9.白光垂直照射在空气中厚度为m μ40.0的玻璃片上，玻璃的折射率为1.50．试问在可见光范围内，哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在透射中增强？ 分析：当光垂直入射到玻璃片时，由于玻璃的折射率大于空气的折射率．因此，反射光在玻璃表面上存在半波损失．所以，反射光干涉时光程差2 2λ δ+=ne ，透射光干涉时光程 差ne 2=δ． 解：玻璃片上下表面的反射光加强时， 应满足 3,2,1,22==+ k k en λλ 即 1 24-=k ne λ 在可见光范围内，只能取3=k （其它值均在可见光范围外）， 代入上式，得 nm 480=λ 玻璃片上下表面的透射光加强时， 应满足 3,2,1,0,2==k k en λ 或，反射光应满足干涉减弱条件（与透射光互补） 即 3,2,1,0,2)12(22=+=+ k k en λ λ 都有：k ne 2=λ 2=k 时，nm ne 600221==λ 3=k 时，nm ne 4003 22==λ 15-10.波长为λ的单色光垂直照射到折射率为n 2的劈形膜上，如图所示，图中 n 1＜n 2＜n 3，观察反射光形成的干涉条纹． (1) 从劈形膜顶部O 开始向右数起，第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度e 5是多少？ (2) 相邻的二明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？ 分析：因为 n 1＜n 2＜n 3 ，劈形膜上下表面都有半波损失，所以二反射光之间没有附加相位差，光程差为2n 2e ． 解：第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e 5， 2n 2e 5 =(2k +1)λ/2 k = 4 ()522241/49/4e n n λλ=?+= 明纹的条件是 2n 2e k =k λ 相邻二明纹所对应的膜厚度之差e =e k+1－e k =λ/(2n 2) ． 15-11.如图所示，1G 是用来检验加工件质量的标准件．2G 是待测的加工件。它们的端面都经过磨平抛光处理．将1G 和2G 放置在平台上，用一光学平板玻璃T 盖住．设垂直入射的波长nm 3.589=λ，1G 与2G 相隔cm d 5.0=，T 与1G 以及T 与2G 间的干涉条纹的间隔都是 0.5mm .求1G 与2G 的高度差h ?． 分析：出现干涉条纹，说明两物体不等高；干涉条纹间隔相等，说明两物体的端面平行，此干涉为劈尖干涉． 解：设劈尖角为α，相邻两干涉条纹间隔为l ，空气劈相邻两明（暗）干涉条纹的间距 为：2 sin λ α= l 两物体端面的高度差为：ααsin tan d d h ≈=? 得 m l d h 6 1095.22-?== ?λ 15-12.当用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为1l ，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为2l ，求未知单色光的波长λ2． 分析：用牛顿环暗环半径公式 λkR r k =，计算。 解：根据题意可得 11114λλλR R R l =-= 22224λλλR R R l =-= 212 212//l l =λλ 2112 22/l l λλ= *15-13.如题图所示，曲率半径为1R 和2R 的两个平凸透镜对靠在一起，中间形成一个空气薄层．用波长为λ的单色平行光垂直照射此空气层，测得反射光中第k 级的暗环直径为D ． （1）说明此暗环的空气层厚度e 应满足： )11(81212R R D e += （2）已知.48.2,20,589,1.241cm D k nm m R ====λ求2R . 分析：本题是等厚干涉问题，关键是要确定各处空气膜的厚度e ．对于上面是平凸透镜，下面是平板玻璃的一般牛顿环装 置，在某处空气厚度为12 12R r e =；现用平凸透镜代替平板玻璃， 该处空气膜的厚度要增加2 2 22R r e =。 解法一：某处空气膜的厚度为??? ? ??+ =+=+=212221*********R R D R r R r e e e 解法二：作与两凸透镜公切的水平面，用1e 表示第k 级暗环到切平面的距离，用r 表示 此暗环半径。则可利用牛顿环的关系式表示：)(2212112 e e R e R r -== 2 211212,2R r e e R r e = -= 有：)11(81)11(212 12212R R D R R r e +=+= （2）又2 ) 12(2 2λ λ +=+k e 得 2 λ k e = 由（1）可得： 1 2 2 181R D e R -= 代入数据，有 0351.01 .2411048.210589801814 29 1 22 =-???=-=--R D e R 得 m R 5.282= 15-14.用迈克耳孙干涉仪可测量单色光的波长。当2M 移动距离mm d 3220.0=时，测 得某单色的干涉条纹移过1204=N 条，求该单色光的波长． 分析：迈克耳孙干涉仪的一条臂上的反射镜2M 移动 2 λ ，则在该臂上的光程将改变一个 波长λ，由此将引起一条条纹的移动。 解：由2 λN d = 得nm N d 9.5342== λ 15-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a =0.15mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为8.0mm ，求入射光的波长． 分析：由单缝衍射暗纹条件及暗纹到中心的距离可求波长。 解：设第三级暗纹在?3方向上，则有 a sin ?3=3λ 此暗纹到中心的距离为 x 3=f tg ?3 因为?3很小，可认为tg ?3≈sin ?3，所以 x 3≈3f λ/a ． 两侧第三级暗纹的距离是 2x 3=6λf /a =8.0mm ∴ λ=(2x 3)a /6f =500nm 15-16.在单缝夫琅禾费衍射实验中，如果缝宽a 与入射光波长λ的比值分别为(1)1，(2)10，(3)100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角．再讨论计算结果说明了什么问题． 分析：用单缝衍射中央主极大的半角宽度sin ?=λ/a 讨论。 解： (1) a /λ=1，sin ?=λ/a =1, ? =90° (2)a/λ=10，sin ?=λ/a =0.1 ? =5?44′ (3) a/λ=100，sin ?=λ/a =0.01 ? =34′ 这说明，比值λ/a 越小的时候，衍射角越小，中央明纹越窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显．(λ/a )→0的极限情形即几何光学的情形:光沿直线传播. 15-17.在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长nm 600=λ的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长． 分析：夫琅禾费衍射的明纹公式为2 ) 12(sin λθ+=k a ，由题意0 λ的第三级明纹与波长 nm 600=λ的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角?。 解：设未知波长为0λ 由单缝衍射明纹条件：2 )12(sin λ ?+=k a 可有：2 )132(sin 0λ?+?=a 和2 )122(sin λ?+?=a 可得nm 6.4287 5 0==λλ 15-18.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=440 nm ，λ2=660 nm(1nm=10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d ． 分析：光栅衍射主极大公式即光栅方程λ?k d =sin ，两种波长的谱线重叠时，具有相同的衍射角?。 解：由光栅衍射主极大公式得 111sin λ?k d = 222sin λ?k d = 2 12122112132660440sin sin k k k k k k =??==λλ?? 当两谱线重合时有?1=?2,即 69 462321===k k ． ．．．．．． 两谱线第二次重合即是 4 6 21=k k ， k 1=6， k 2=4 由光栅公式可知d sin60°=6λ1 60 sin 61λ= d =3.05×10-3 mm 15-19.波长600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大在20.0sin =θ处，第四级缺级，试问： （1）光栅上相邻两缝的间距)(b a +有多大？ （2）光栅上狭缝可能的最小宽度a 有多大？ （3）按上述选定的a 、b 值，试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？ 分析：（1）将已知条件代入光栅方程λθk b a =+sin )(可求出光栅常数即光栅上相邻两 缝的间距；（2）用缺级公式 ' k k a b a =+，1'=k ，可求出光栅上狭缝可能的最小宽度a ；（3）以o 90为限先确定干涉条纹的级数，等于o 90时对应的级次看不见，扣除缺级，最后算出条 纹数。 解：（1）由光栅方程λθk b a =+sin )( （k=2） 得 cm k b a 4106sin )(-?==+θ λ （2）根据缺级条件，有 ' k k a b a =+ 取1'=k ,得 cm b a a 4105.14 -?=+= （3）由光栅方程 ,2,1,0,sin )(±±==+k k b a λθ 令1sin =θ,解得: 10=+=λ b a k 即9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 时出现主极大，8,4±±缺级,10±级主极大在090=θ处,实 际不可见,光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条. 15-20.汽车的两盏前灯相距 1.2m ，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可能分辩这两盏灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm ，车灯发光波长为nm 0.550=λ. 分析：两个物体能否分辨，取决于仪器的最小分辨角d λθ22.1= 解：设l 为两灯距离，s 为人车之间距离，恰可分辨时，两车灯对瞳孔的最小分辨角为 s l ≈θ 由瑞利准则 s l d R ===λθθ22.1 得 m ld s 31094.822.1?==λ 15-21.已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为rad 61084.4-?，由它们发出的光波波长nm 0.550=λ。望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 分析：物镜的口径对两颗星的张角等于分辨极限角时，则能分辨出这两颗星。 解：由 d R λ θ22 .1= 得 cm d R 9.1322.1==θλ 15-22.一直径为2mm 的氦氖激光束射向月球表面，其波长为632.8nm .月球和地面的距 离为km 5 1084.3?．试求：（1）在月球上得到的光斑的直径有多大？（2）如果这束激光经扩束器扩展成直径2m 的光束，在月球表面得到的光斑的直径将为多大？在激光测距仪中，通常都采用激光扩束器，这是为什么？ 分析：由瑞利判据讨论。 解：（1）设在月球上的爱里斑直径为D ，激光束直径为d ，地球至月球距离为L 。由瑞利准则 R L R D θ22== m d L 51096.2222.1?==λ （2）若将激光束的直径扩为'd ，则月球表面爱里斑的直径为： m d L D 296' 222.1'==λ 可见， 1000 ''D D d d D = = 所以，使用激光扩束器可减小光束的发散，使光能集中，方向性更好，从而提高测距精 度. 15-23.如果图中入射X 射线束不是单色的，而是含有由0.095nm 到0.130nm 这一波带中的各种波长。晶体的晶格常量nm a 275.00=，问：与图中所示的晶面族相联系的衍射的X 射线束是否会产生？ 分析：由布拉格公式，把波带端的波长代入，求出k 的取值范围。当k 取整数时，求出的λ在波带中即可产生X 射线衍射。 解：由布拉格公式 ,3,2,1,sin 2==k k d λθ 级次k 的取值范围在 1 2sin 2sin 2λθλθd k d < < 即 09.499.2< k 只能取整数，所以，3=k 时,nm d 13.03 sin 2== θ λ 4=k 时,nm d 097.04 sin 2'==θ λ 可产生衍射。 15-24. 将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45?和90?角． (1) 强度为I 0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一个偏振片后的光强和偏振状态． (2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？ 分析：强度为1I 的自然光通过偏振片后，变为光强为 2 I 的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度取决于偏振片的偏振化方向与线偏振光的振动方向的夹角，根据马吕斯定律可进行求解。 解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I 1=I 0/2 通过第二偏振片后，I 2＝I 1cos 245?＝I 0/ 4 · · · · · · · · · · · · 0题图15-23 通过第三偏振片后，I 3＝I 2cos 245?＝I 0/8 通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行． (2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直，所以此时I 3=0, I 1仍不变． 15-25.如果起偏振器和检偏器的偏振化方向之间的夹角为?30. （1）假定偏振器是理想的，则非偏振光通过起偏振器和检偏器后，其出射光强与原来光强之比是多少？ （2）如果起偏振器和检偏器分别吸收了10%的可通过光线，则出射光强与原来光强之比是多少？ 分析：与15-24同。 解：非偏振光即自然光，设光强为0I （1）通过理想的起偏振器的光强为 012 1I I = 通过理想的检偏器后的透射光强为 a I a I I 2021cos 2 1cos == 所以 375.0cos 2 120 ==a I I （2）0I 通过可吸收光的起偏振器后，光强为 0'1101121I I ??? ??-= 通过有吸收的检偏器后，光强为 211'(1)cos 10 I I a =-a I 220cos )10 11(2 1-= 得 304.0cos )10 11(21220=-=a I I 15-26.一光束由强度相同的自然光和线偏振光混合而成．此光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上． (1) 欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，并且入射光中两种成分的光的出射光强相等，至少需要几个偏振片？它们的偏振化方向应如何放置？ (2) 这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少？ 分析：强度为0I 的自然光通过偏振片后，变为强度为I 0 /2的线偏振光，线偏振光通过偏振片的强度可由马吕斯定律求出，最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，最后通过的那块偏振片的偏振化方向必须垂直于入射线偏振光的振动方向。 解：设入射光中两种成分的强度都是I 0，总强度为2I 0． (1) 通过第一个偏振片后，原自然光变为线偏振光，强度为I 0 /2，原线偏振光部分强度变为I 0 cos 2α，其中α为入射线偏振光振动方向与偏振片偏振化方向P 1的夹角．以上两部分透射光的振动方向都与P 1一致．如果二者相等，则以后不论再穿过几个偏振片，都维持强度相等(如果二者强度不相等，则以后出射强度也不相等)．因此，必须有 I 0/2＝I 0cos 2α，得α＝45?． 为了满足线偏振部分振动方向在出射后“转过”90?，只要最后一个偏振片偏振化方向与入射线偏振光方向夹角为90?就行了． 综上所述，只要两个偏振片就行了(只有一个偏振片不可能将振动方向“转过”90?)． 如图，E 表示入射光中线偏振部分的振动方向. P 1、P 2分别是第一、第二偏振片的偏振化方向 (2) 出射强度I 2＝(1/2)I 0cos 245?＋I 0cos 445? ＝I 0[(1/4)+(1/4)]=I 0/2 比值 I 2/(2I 0)＝1/4 15-27.水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50.当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水面而反射时，起偏振角又为多少？ 分析：由布儒斯特定律求解。 解：由布儒斯特定律 设玻璃折射率为2n ，水的折射率为1n 当光从水中射向玻璃反射时：'2648arctan 1 21?==n n α 当光从玻璃射向水中反射时：'3441arctan 2 12?==n n α 15-28．测得不透明釉质（珐琅）的起偏振角为?=0.58b i ，它的折射率为多少？ 分析：由布儒斯特定律求解。 解：由布儒斯特定律，60.1tan ==n i b 15-29.如图所示，三种透明介质Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的折射率分别为1 1.00n =，2 1.43n =和3n 。Ⅰ、Ⅱ和Ⅱ、Ⅲ的界面互相平行．一束自然光由介质Ⅰ射入，若在两界面上的反射光都是线偏振光，则(1)入射角i 是多大?(2)折射率n 3是多大? 分析：由布儒斯特定律可知：自然光只有以布儒斯特角入射 时，反射光才是线偏振光。 解: (1) 由布儒斯特定律 43.1tan 1 2 == n n i 所以 ?=03.55i (2) 令在介质Ⅱ中的折射角为r ,则 i r -= 2 π 此r 在数值上等于介质Ⅱ、Ⅲ界面上的入射角, 由布儒斯特定律 2 3 tan n n r = 得 00.1cot tan 12 1 2 223=====n n n n i n r n n 15-30．一束平行的自然光从空气中垂直入射到石英上，石英（正晶体）的光轴在纸面内，方向如图15-29所示，试用惠更斯作图法示意地画出折射线的方向，并标明o 光和e 光及其光矢量振动方向． 分析：正晶体沿光轴方向o 光e 光传播速度相等，其它方向e o V V >。 解：用惠更斯作图法作图： Ⅲ n 3 题图15-29 题15-30解图 15-31．用方解石制作对钠黄光（波长λ = 589.3×10- 9 m ）适用的四分之一波片． (1)请指出应如何选取该波片的光轴方向； (2)对于钠黄光，方解石的主折射率分别为n o = 1.658、n e = 1.486，求此四分之一波片的最小厚度d.． 分析：波晶片的的光轴应与晶体表面平行，经 4 λ 片后，o 光e 光光程差为()()214 o e n n d k λ δ=-=+。 解：(1)制作方解石晶片时，应使晶体光轴与晶片表面平行． (2) /4[()]o e d n n λ=-= 7 10565.8-?m 一、填空题 1、光学系统中物和像具有共轭关系的原因是 。 2、发生全反射的条件是 。 3、 光学系统的三种放大率是 、 、 ，当物像空间的介质的折射率给定后，对于一对给定的共轭面，可提出 种放大率的要求。 4、 理想光学系统中，与像方焦点共轭的物点是 。 5、物镜和目镜焦距分别为mm f 2'=物和mm f 25'=目的显微镜，光学筒长△= 4mm ，则该显微镜的视放大率为 ，物镜的垂轴放大率为 ，目镜的视放大率为 。 6、 某物点发出的光经理想光学系统后对应的最后出射光束是会聚同心光束，则该物点所成的是 (填“实”或“虚”)像。 7、人眼的调节包含 调节和 调节。 8、复杂光学系统中设置场镜的目的是 。 9、要使公共垂面内的光线方向改变60度，则双平面镜夹角应为 度。 10、近轴条件下，折射率为1.4的厚为14mm 的平行玻璃板，其等效空气层厚度为 mm 。 11、设计反射棱镜时，应使其展开后玻璃板的两个表面平行，目的 是。 12、有效地提高显微镜分辨率的途径是。 13、近轴情况下，在空气中看到水中鱼的表观深度要比实际深度。 一、填空题 1、光路是可逆的 2、光从光密媒质射向光疏媒质，且入射角大于临界角I0，其中，sinI0=n2/n1。 3、垂轴放大率；角放大率；轴向放大率；一 4、轴上无穷远的物点 5、－20；－2； 10 6、实 7、视度瞳孔 8、在不影响系统光学特性的的情况下改变成像光束的位置，使后面系统的通光口径不致过大。 9、30 10、10 11、保持系统的共轴性 12、提高数值孔径和减小波长 13、小 二、简答题 1、什么是共轴光学系统、光学系统物空间、像空间？ 答：光学系统以一条公共轴线通过系统各表面的曲率中心，该轴线称为光轴，这样的系统称为共轴光学系统。物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间。 2、如何确定光学系统的视场光阑？ 答：将系统中除孔径光阑以外的所有光阑对其前面所有的光学零件成像到物空间。这些像中，孔径对入瞳中心张角最小的一个像所对应的光阑即为光学系统的视场光阑。 3、共轴光学系统的像差和色差主要有哪些？ 答：像差主要有：球差、慧差（子午慧差、弧矢慧差）、像散、场曲、畸变；色差主要有：轴向色差（位置色差）、倍率色差。 4、对目视光学仪器的共同要求是什么？ 答：视放大率| | 应大于1； 通过仪器后出射光束应为平行光束，即成像在无限远，使人眼相当观察无限远物体，处于自然放松无调节状态。 5、什么叫理想光学系统？ 答：在物像空间均为均匀透明介质的条件下，物像空间符合“点对应点、直线 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 《光学教程》（姚启钧）1-5章习题解答 第一章 光的干涉 1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。 解：1500nm λ= 7011180 500100.4090.022 r y cm d λ-?= =??= 改用2700nm λ= 7022180700100.5730.022 r y cm d λ-?= =??= 两种光第二级亮纹位置的距离为： 21220.328y y y cm ?=?-?= 2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm ，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少？⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比。 解：⑴ 7050640100.080.04 r y cm d λ-?= =??= ⑵由光程差公式 210 sin y r r d d r δθ=-== 0224 y d r π π π?δλ λ ?= = ?= ⑶中央点强度：2 04I A = P 点光强为：2 21cos 4I A π?? =+ ?? ? 012 (1)0.8542I I =+= 3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为7610m -? 解： 1.5n =，设玻璃片的厚度为d 由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=- ()15n d λ-= ()76455 61061061010.5 d m cm n λ---==??=?=?- 4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。 解： 7050500100.1250.02 r y cm d λ-?= =??= 由干涉条纹可见度定义： 12min 2min 1221Max Max A A I I V I I A A ?? ? -??= =+??+ ??? 由题意，设22 122A A = ，即 1 2 A A = 0.943 V == 5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角 θ。 解：700,20,180,1nm r cm L cm y mm λ===?= 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 工程光学习题答案 第一章习题及答案 1、已知真空中的光速c＝3*108m/s，求光在水（n=1.333）、冕牌玻璃（n=1.51）、 火石玻璃（n=1.65）、加拿大树胶（n=1.526）、金刚石（n=2.417）等介质中的 光速。 解： 则当光在水中， n=1.333 时，v=2.25*108m/s, 当光在冕牌玻璃中，n=1.51 时，v=1.99*108m/s, 当光在火石玻璃中，n＝1.65 时，v=1.82*108m/s， 当光在加拿大树胶中，n=1.526 时，v=1.97*108m/s， 当光在金刚石中，n=2.417 时，v=1.24*108m/s。 2、一物体经针孔相机在屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm，则像的大 小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。 解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向 不变，令屏到针孔的初始距离为x，则可以根据三角形相似得出:所以x=300mm 即屏到针孔的初始距离为300mm。 3、一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属 片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属 片，问纸片最小直径应为多少？ 解：令纸片最小半径为x, 则根据全反射原理，光束由玻璃射向空气中时满足入射角度大于或等于全反 射临界角时均会发生全反射，而这里正是由于这个原因导致在玻璃板上方看不到 金属片。而全反射临界角求取方法为： (1) 其中n2=1, n1=1.5, 同时根据几何关系，利用平板厚度和纸片以及金属片的半径得到全反射 临界角的计算方法为： (2) 联立（1）式和（2）式可以求出纸片最小直径x=179.385mm，所以纸片 最小直径为358.77mm。 4、光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2,光纤所在介质的折射率为n0，求 光纤的数值孔径（即n0sinI1,其中I1 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入 射端面的最大入射角）。 解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n0sinI1=n2 sinI2 (1) 应用光学习题. 第一章 : 几何光学基本原理 ( 理论学时： 4 学时 ) ?讨论题：几何光学和物理光学有什么区别它们研究什么内容 ?思考题：汽车驾驶室两侧和马路转弯处安装的反光镜为什么要做成凸面，而不做成平面 ?一束光由玻璃（ n= ）进入水（ n= ），若以45 ° 角入射，试求折射角。 ?证明光线通过二表面平行的玻璃板时，出射光线与入射光线永远平行。 ?为了从坦克内部观察外界目标，需要在坦克壁上开一个孔。假定坦克壁厚为 200mm ，孔宽为 120mm ，在孔内部安装一块折射率为 n= 的玻璃，厚度与装甲厚度相同，问在允许观察者眼睛左右移动的条件下，能看到外界多大的角度范围 ?一个等边三角棱镜，若入射光线和出射光线对棱镜对称，出射光线对入射光线的偏转角为40 °，求该棱镜材料的折射率。 ?构成透镜的两表面的球心相互重合的透镜称为同心透镜，同心透镜对光束起发散作用还是会聚作用?共轴理想光学系统具有哪些成像性质 第二章 : 共轴球面系统的物像关系 ( 理论学时： 10 学时，实验学时： 2 学时 ) ?讨论题：对于一个共轴理想光学系统，如果物平面倾斜于光轴，问其像的几何形状是否与物相似为什么 ?思考题：符合规则有什么用处为什么应用光学要定义符合规则 ?有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光源经过反光镜以后成像在投影物平面上。光源高为 10mm ，投影物高为 40mm ，要求光源像高等于物高，反光镜离投影物平面距离为 600mm ，求该反光镜的曲率半径等于多少 ?试用作图法求位于凹的反光镜前的物体所成的像。物体分别位于球心之外，球心和焦点之间，焦点和球面顶点之间三个不同的位置。 ?试用作图法对位于空气中的正透镜（）分别对下列物距： 求像平面位置。 第十四章波动光学 光的干涉 一、选择题 1、来自不同光源的两束白光，例如两束手电筒光照射在同一区域内，是不能产生干涉图样的，这是由于[ ] (A)白光是由不同波长的光构成的(B)两光源发出不同强度的光 (C)两个光源是独立的，不是相干光源(D)不同波长的光速是不同的 2、杨氏双缝干涉实验是：[ ] (A) 分波阵面法双光束干涉(B) 分振幅法双光束干涉 (C) 分波阵面法多光束干涉(D) 分振幅法多光束干涉 3、在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中 (A) 传播的路程相等，走过的光程相等 (B) 传播的路程相等，走过的光程不相等 (C) 传播的路程不相等，走过的光程相等 (D) 传播的路程不相等，走过的光程不相等 4、光在真空中和介质中传播时，正确的描述是: [ ] (A)波长不变，介质中的波速减小(B) 介质中的波长变短，波速不变 (C) 频率不变，介质中的波速减小(D) 介质中的频率减小，波速不变 5、一束波长为λ的光线，投射到一双缝上，在屏幕上形成明、暗相间的干涉条纹，那么对应于第一级暗纹的光程差为：[ ] (A) 2λ(B) 1/2λ (C) λ(D) λ/4 6、在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是[ ] (A) 使屏靠近双缝(B) 把两个缝的宽度稍微调窄 (C) 使两缝的间距变小(D) 改用波长较小的单色光源 7、用单色光做杨氏双缝实验，如现将折射率n=1.5的薄透明玻璃片盖在上侧缝上，此时中央明纹的位置将：[ ] (A)向上平移且条纹间距不变(B)向下平移，且条纹间距不变 (C)不移动，但条纹间距改变(D)向上平移，且间距改变 8、.光波从光疏媒质垂直入射到光密媒质，当它在界面反射时，其[ ] (A)相位不变(B)频率增大(C)相位突变(D)频率减小 9、.如图所示，折射率为n2、厚度为e的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1和n3，已知n1 ＜n2 ＞n3，若用波长为的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束（用①②示意）的光程差是：[ ] 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 物理光学习题库——光的干涉部分 一、选择题 1. 下列哪一个干涉现象不属于分振幅干涉？ A. 薄膜干涉 B.迈克尔逊干涉 C.杨氏双缝干涉 D.马赫-曾德干涉 2. 平行平板的等倾干涉图样定域在 A. 无穷远 B.平板上界面 C.平板下界面 D.自由空间 3. 在双缝干涉试验中，两条缝的宽度原来是相等的，若其中一缝的宽度略变窄，则 A.干涉条纹间距变宽 B. 干涉条纹间距变窄 C.不再发生干涉现象 D. 干涉条纹间距不变，但原来极小处强度不再为0 4. 在杨氏双缝干涉实验中，相邻亮条纹和相邻暗条纹的间隔与下列的哪一种因素无关？ A.光波波长 B.屏幕到双缝的距离 C. 干涉级次 D. 双缝间隔 5. 一束波长为λ的单色光从空气中垂直入射到折射率为n的透明薄膜上，要使反射光得到干涉加强，薄膜厚度应为 A.λ/4 B.λ/4n C. λ/2 D. λ/2n 6. 在白炽灯入射的牛顿环中，同级圆环中相应于颜色蓝到红的空间位置是 A.由里向外 B.由外向里 C. 不变 D. 随机变化 7. 一个光学平板玻璃A与待测工件B之间形成空气劈尖，用波长为500nm的单色光垂直照明，看到的反射光干涉条纹弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的切线相切，则工 件的上表面缺陷是 A.不平处为凸起，最大高度为250nm B.不平处为凸起，最大高度为500nm C.不平处为凹槽，最大高度为250nm D. 不平处为凹槽，最大高度为500nm 8. 在单色光照明下，轴线对称的杨氏干涉双孔装置中，单孔屏与双孔屏的间距为1m，双孔屏与观察屏的间距为2m，装置满足远场、傍轴近似条件，屏上出现对比度K=0.1的等间隔干涉条纹，现将双孔屏沿横向向上平移1mm，则 A. 干涉条纹向下平移2mm B. 干涉条纹向上平移2mm C. 干涉条纹向上平移3mm D. 干涉条纹不移动 9. F-P腔内间距h增加时，其自由光谱范围Δλ A. 恒定不变 B. 增加 C. 下降 D. =0 10. 把一平凸透镜放在平玻璃板上，构成牛顿环装置，当平凸透镜慢慢向上平移时，由反射光形成的牛顿环 A. 向中心收缩，条纹间隔不变 B. 向中心收缩，环心呈明暗交替变化 C. 向外扩张，环心呈明暗交替变化 D. 向外扩张，条纹间隔变大 11. 在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，垂直光线方向放入折射率为n、厚度为h的透明介质片，放入后，两路光束光程差的改变量为 A. 2（n-1）h B. 2nh C. nh D. （n-1）h 12. 在楔形平板的双光束干涉实验中，下列说法正确的是 A. 楔角越小，条纹间隔越宽； B. 楔角一定时，照射波长越长，条纹间隔越宽 C. 局部高度变化越大，条纹变形越严重 D. 形成的干涉属于分波前干涉 13. 若把牛顿环装置（都是用折射率为1.52的玻璃制成的）由空气搬入折射率为1.33的水中，则干涉条纹会 A. 不变 B. 变密集 C.变稀疏 D.不确定 14. 若想观察到非定域干涉条纹，则应选择 习题一 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 )1.0ln(,121,101 1,1014321== = = x x x x 1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位 数。 3 * 5* 4* 3* 2* 1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x 1.3 为了使 3 1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ? ++1 2 1N N x dx ,其中N 是充分大的正数 (3) x x sin cos 1-,其中x 充分小 (4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e (6) )11010ln(84-- 1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。 习题二 2.1 证明方程043 =-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对 分多少次？(不必求根) 2.2 用二分法求方程0134 =+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2 10 2 1-?= ε。 2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求2 10 -=ε。 (1) 02 =--x x ； (2) 06cos 2 =-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。 2.4 考虑方程032 =-x e x ，将其改写为3 x e x ± =，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附 近的两个根(取精度要求3 10-=ε)。 数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________； 二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值： （3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有 中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸 (首页) 2005-2006学年第 二 学期 试题名称: 应用光学 A 课程号： 共 2 页 第 1 页 专业年级__物理学2003_____ 学号___________ 姓名____________ 考试日期（考生填写）_______年____月__日 分数_________ 一．简答题（15分）（写在答卷纸上） 1．（5分）物理光学研究什么内容？几何光学研究什么内容？ 2．（5分）什么是场镜？场镜的作用是什么（要求写出两种作用）？ 3．（5分）写出轴外点的五种单色像差的名称。 二．作图题（15分）(画在试卷上) 4．（５分）已知焦点F 和F ’和节点J 和J ’（见图2），求物方主点H 和像方主点H ’ 。 5．（10分）应用达夫棱镜的周视瞄准仪示意图(见图1)，分别标出A 、B 、C 、D 点光的坐标方向。 J F ’ F J ’ 图2 z y x A B C D 图1 授课教师 李颖命题教师或命题负责人 签字李颖 院系负责人 签字 年月日 注：请命题人标明每道考题的考分值。 中国海洋大学命题专用纸（附页） 2005-2006学年第二学期试题名称: 应用光学课程号：共 2 页第 2 页 三．计算题（70分） 6．（10分）某被照明目标，其反射率为ρ=，在该目标前15m距离处有一200W的照明灯，各向均匀发光，光视效能（发光效率）为30lm/W，被照明面法线方向与照明方向的夹角为0度。 求：（1）该照明灯的总光通量；（2）被照明目标处的光照度；（3）该目标视为全扩散表面时的光亮度。 7．（10分）显微镜目镜视角放大率为Γe=10，物镜垂轴放大率为β=-2，NA=，物镜共轭距为180mm，物镜框为孔径光阑，求：（1）显微镜总放大率，总焦距。（2）求出瞳的位置和大小。8．（15分）一个空间探测系统（可视为薄透镜），其相对孔径为1:，要求将10km处直径为２ｍ的物体成像在1/2英寸的探测器靶面上，物体所成像在探测器靶面上为内接圆，问此系统的焦距应该为多少？口径为多少？所对应的最大物方视场角是多少？（一英寸等于毫米，探测器靶面长与宽之比为４:3） 9．（10分）有一个薄透镜组，焦距为100mm，通过口径为20mm，利用它使无限远物体成像，像的直径为10mm，在距离透镜组50mm处加入一个五角棱镜（棱镜的玻璃折射率为，透镜展开长度为L=，D为棱镜第一面上的通光口径），求棱镜的入射面和出射面的口径，通过棱镜后的像面位置。 10．（15分，A、B任选） A．有一个焦距为50mm的放大镜，直径D=40mm，人眼（指瞳孔）离放大镜20mm来观看位于物方焦平面上的物体，瞳孔直径为4mm。求系统的孔径光阑，入瞳和出瞳的位置和大小，并求系统无渐晕时的线视场范围。 B．有一开普勒望远镜，视放大率Γ=8，物方视场角2ω=8?，出瞳直径为6mm，物镜和目镜之间的距离为180mm，假定孔径光阑与物镜框重合，系统无渐晕，求（1）物镜焦距，目镜焦距；（2）物镜口径和目镜口径；（3）出瞳距离。 11．（10分，要求用矩阵法求解）有一个正薄透镜焦距为8cm，位于另一个焦距为－12cm的负薄透镜左边6cm处，假如物高3cm，位于正透镜左边的24cm处，求像的位置和大小。 四．附加题（10分） 12．谈谈你对《应用光学》课程教学和课程建设的设想和建议。 1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2? 2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m, 1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限. 3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界. 5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算 p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？ 6. 已知33348 7.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差. 7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 8. 已知 1 6243sin ,sin π ππ== =请用抛物插值求sin50的值,并估计误差 9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x 10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式 . 11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ， 试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差 12. 设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及 )()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式. 13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944?? ???? ，上的三次埃尔米特 第二章 理想光学系统 1.针对位于空气中的正透镜组() 0'>f 及负透镜组() 0' () /f l d -= ()0=l e ()/f l f = ')(f f l g -= = '22)(f f l h -== +∞=l i )( 2.0' 0 e l (= ) f= l 2/ (f ) ( ) f g= l (= h) l l i)( +∞ = 2. 已知照相物镜的焦距f’＝75mm,被摄景物位于（以F 点为坐标原点） =x ,2,4,6,8,10,m m m m m -----∝-处，试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远 的地方。 解： （1）x= -∝ ，xx ′=ff ′ 得到：x ′=0 （2）x ′=0.5625 （3）x ′=0.703 （4）x ′=0.937 （5）x ′=1.4 （6）x ′=2.81 3.设一系统位于空气中，垂轴放大率*-=10β，由物面到像面的距离（共轭距离）为7200mm ， 物镜两焦点间距离为1140mm 。求该物镜焦距，并绘出基点位置图。 解: ∵ 系统位于空气中，f f -=' 10' '-=== l l y y β 由已知条件：1140)('=+-+x f f 7200)('=+-+x l l 解得：mm f 600'= mm x 60-= 4.已知一个透镜把物体放大*-3投影到屏幕上，当透镜向物体移近18mm 时，物体将被放大 *-4，试求透镜的焦距，并用图解法校核之。 解：方法一： 31 ' 11-==l l β ? ()183321'1--=-=l l l ① 武汉理工大学考试试题纸（A卷） 课程名称应用光学专业班级0501～03 题号一二三四五六七八九十总分 题分 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 一、选择题（每题1分，共5分） 1．发生全反射现象的必要前提是： A)光线由光疏介质到光密介质传播B) 光线由光密介质到光疏介质传播 C)光线在均匀介质中传播D) 以上情况都可能产生 2．周视照相机可以拍摄大视场景物，其利用的： A)节点的性质B)主点的性质C)焦点的性质D)以上答案都正确 3．在望远镜的视度调节中，为适应近视人群，应采取的是： A)使物镜远离目镜B)使目镜远离物镜C)使目镜靠近物镜D)应同时调节物镜和目镜 4．棱镜系统中加入屋脊面，其作用是： A 改变光轴的方向B)改变主截面内像的方向C)改变垂轴于主截面方向上像的方向D)以上都正确5．光学系统中场镜的作用是： A)改变成像光束的位置B)减小目镜的尺寸C)不改变像的成像性质D)以上都正确 二、填空题（每题2分，共10分） 1．显微镜中的光学筒长指的是（）2．光学系统中像方顶截距是（）3．用波像差评价系统成像质量的瑞利准则是（）4．望远系统中物镜的相对孔径是（）5．棱镜的转动定理是（） 三、简答题（共20分） 1．什么叫孔径光阑？它和入瞳和出瞳的关系是什么？（4 分） 2．什么叫视场光阑？它和入窗和出窗的关系是什么？（4 分） 3．几何像差主要包括哪几种？（4 分） 4. 什么叫远心光路？其光路特点是什么？（4 分） 四、分析作图题（共25分） 1.已知正光组的F和F’，求轴上点A的像，要求用五种方法。（8分） 2. 已知透镜的焦距公式为f '? nr1 ，l 'H? ?f ' n ?1 d ， l H ? ? f ' n ?1 d ，? r d ? nr nr ( n ?1 ) ? n( 1 ? ) ? ( n ?1) ? ? r2 r 2 ? 分析双凹透镜的基点位置，并画出FFL、BFL和EFL的位置。（9分） 3. 判断下列系统的成像方向，并画出光路走向（8分） （a）（b） 五、计算题（共35分） 1．由已知f1??50mm，f2? ? ?150mm的两个薄透镜组成的光学系统，对一实物成一放大 4 倍的实像，并且第一透镜的放大率?1? ?2?，试求：1.两透镜的间隔；2.物像之间的距离；3.保持物面位置不变，移动第一透镜至何处时，仍能在原像面位置得到物体的清晰像？与此相应的垂铀放大率为多大?（15分）2.已知一光学系统由三个零件组成，透镜1：f1?? ?f1?100，口径D1?40；透镜2：f2? ? ?f2?120，口 径D2?30，它和透镜1之间的距离为d1?20；光阑3口径为20mm，它和透镜2之间的距离d2? 30。物点A的位置L1? ?200，试确定该光组中，哪一个光孔是孔径光阑，哪一个是视场光阑？（20分） 第十三章 光的干涉 13–1 在双缝干涉实验中，两缝分别被折射率为n 1和n 2的透明薄膜遮盖，二者的厚度均为e ，波长为λ的平行单色光垂直照射到双缝上，在屏中央处，两束相干光的位相差 。 解：加入透明薄膜后，两束相干光的光程差为n 1e –n 2e ，则位相差为 e n n e n e n )(2)(22121-= -= ?λ λ λ λ φ 13–2 如图13-1所示，波长为λ的平行单色光垂直照射到两个劈尖上，两劈尖角分别为21θθ和，折射率分别为n 1和n 2，若二者分别形成的干涉条纹的明条纹间距相等，则 21,θθ，n 1和n 2之间的关系是 。 解：劈尖薄膜干涉明条纹间距为 θ λθλn n L 2sin 2≈ = （θ 很小） 两劈尖干涉明条纹间距相等 2 21 122θλθλn n = ，所以 2 211θθn n =或1221n n =θθ 13–3 用一定波长的单色光进行双缝干涉实验时，欲使屏上的干涉条纹间距变大，可采用的方法是： ； 。 解：因为干涉条纹的间距与两缝间距成反比，与屏与双缝之间的距离成正比。故填“使两缝间距变小；使屏与双缝之间的距离变大。” 13–4 用波长为λ的单色光垂直照射如图13-2示的劈尖膜（n 1 ＞n 2＞n 3），观察反射光干涉，从劈尖顶开始算起，第2条明条纹中心所对应的膜厚度e = 。 解：劈尖干涉（n 1＞n 2＞n 3）从n 1射向n 2时无半波损失，产生明条纹的条件为 2n 2e = k λ，k = 0,1,2,3… 在e = 0时，两相干光相差为0，形成明纹。 第2条明条纹中心所对应的膜厚度为k = 1，即2n 2e = λ，则2 2n e λ= 。 13–5 若在迈克耳孙干涉仪的可动反射镜移动0.620mm 的过程中，观察到干涉条纹移动了2300条，则所用光波的波长为 。 解：设迈克耳孙干涉仪空气膜厚度变化为?e ，对应于可动反射镜的移动，干涉条纹每移动一条，厚度变化 2 λ，现移动2300条，厚度变化mm 620.02 2300=? =λ?e ，则λ = 539.1nm 。 13–6 在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中[ ] A ．传播的路程相等，走过的光程相等 B ．传播的路程相等，走过的光程不相等 C ．传播的路程不相等，走过的光程相等 D ．传播的路程不相等，走过的光程不相等 解：设玻璃的折射率为n （n ＞1），单色光在真空中波长为λ，速度为c ，路程r ，光程 λ 图 13-1 n 3 图13-2 第四章 习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010； （2）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 221010； （3）()()()()[]3/3211 121?-++-≈x f x f f dx x f ； （4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h '0'2/020 +++≈? 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得 ()()??? ???? =+=+-=++---3 1121 110132 02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34 31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于 ()() ()() 4 4 4 3 33 3 3 33h h h h dx x h h h h dx x h h h h ? ?--+ -≠ +-≈ 故()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010具有三次代数精度。 （2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2 1x x x f ，，=准确成立，得()()??? ???? =+=+-=++---3 1121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34 316424381011-=- =-===-， 故()()()[]()03 43 822hf h f h f h dx x f h h - +-≈ ? - 因()?-=h h dx x f 220 而 ()() []03 83 3 =+-h h h 又[ ]4 45 5 6224 3 83 165 2h h h h h dx x h h += ≠= ? - 第二章习题及答案 1、已知照相物镜的焦距f’＝75mm,被摄景物位于（以F点为坐标原点）x=、-10m、-8m、-6m、-4m、-2m 处，试求照相底片应分别放在离物镜的像方焦面多远的地方。 解：（1）xx′=ff′，x= -∝得到：x′=0 （2）x= -10 ，x′= （3）x= -8 ，x′= （4）x= -6 ，x′= （5）x= -4 ，x′= （6）x= -2 ，x′= 2、已知一个透镜把物体放大-3x 投影在屏幕上，当透镜向物体移近18mm 时，物体将被放大-4x 试求透镜的焦距，并用图解法校核之。 解： 3．一个薄透镜对某一物体成实像，放大率为-1x,今以另一个薄透镜紧贴在第一个透镜上，则见像向透镜方向移动20mm，放大率为原先的3/4 倍，求两块透镜的焦距为多少 解： 4．有一正薄透镜对某一物成倒立的实像，像高为物高的一半，今将物面向透镜 移近 100mm ，则所得像与物同大小，求该正透镜组的焦距。 解： 5．希望得到一个对无限远成像的长焦距物镜，焦距 =1200mm ，由物镜顶点到 像面的距离 L =700 mm ，由系统最后一面到像平面的距离（工作距）为 ，按最简单结构的薄透镜系统考虑，求系统结构，并画出光路图。 解： 6．一短焦距物镜，已知其焦距为 35 mm ，筒长 L =65 mm ，工作距,按最简单结 构的薄透镜系统考虑，求系统结构。 解： 7．已知一透镜求其焦距、光焦度。 解： 8．一薄透镜组焦距为100 mm，和另一焦距为50 mm 的薄透镜组合，其组合焦距仍为100 mm，问两薄透镜的相对位置。 解： 9．长60 mm，折射率为的玻璃棒，在其两端磨成曲率半径为10 mm 的凸球面，试求其焦距。 解： 数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。应用光学习题解答13年
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