第三章 介质波导
3.1 导波光学 3.2 电磁场理论 3.3 波动方程 3.4 平板介质波导
3.4.1 对称波导 3.4.2 偶阶TE模式 3.4.3 奇阶TE模式
3.5 半导体的折射率n
3.5.1 n同组分的关系 3.5.2 n同E和N、P的关系 3.5.3 n随温度的变化
1
几何光学
Laws of Refraction and Reflection
? ? ?
He Ee
TE-Waves at Oblique Incidence TM-Waves at Oblique Incidence Total Internal Reflection TM-Wave TE-Wave n1 < n2
Hr kr Er
He
ke αe α r
ke
Hr
kr Er
n1 n2
z
x y
Ee
α e αr
n1 n2
αg
Eg
Hg kg
αg
Hg Eg kg
αe = αr
2
1
斜入射时的TE波
反射定律 αe = αr 折射定律 n1 sin α e = n 2 sin α g
sin 2 α + cos 2 α = 1 ? cos α g = 1 ?
Er n1 cos α e ? n 2 cos α g = Ee n1 cos α e + n 2 cos α g Eg Ee =
2 n1 sin 2 α e 2 n2
2n1 cos α e n1 cos α e + n 2 cos α g
rTE =
2 2 2 Er n1 cos α e ? n 2 ? n1 sin α e = 2 2 Ee n1 cos α e + n 2 2 ? n 1 sin α e
t TE =
Eg Ee
=
2n1 cos α e
2 2 n1 cos α e + n 2 2 ? n 1 sin α e
3
斜入射时的TE波
Ee k e , Se He
ae
Ar
Hr br
kr , Sr Er
a, b: axis of ellipse A ae, be: axis of ellipse Ae
area of an ellipse A = πab
boundary
Ae
be
αe αr
A
αg
b
ar
x y z
a
n1 n2 plane of incidence
a e = a cos α e a r = a cos α r a g = a cos α g b e = br = bg = b
Poyntingvector
...
Ag
ag
bg Eg Hg kg , Sg
4
S=E′H
2
斜入射时的TE波
S = E× H 1 ε 0ε r S = E× ?B ? A× b ? B = b ? A× B μ 0μ r ε 0ε r ε 0ε r ? c 2 ? E0 S = ε 0ε r ? c 2 ? E × B 光强 I = 2 c0 ε ? c 2 由于 c = and ε r = n 2 I = 0 0 ? n ? E o 2 n
W e = I e A e = I e A cos α e
W r = I r A r = I r A cos α r
Poynting矢量
入射能量: 反射能量: 透射能量: 反射率: R 透射率:
W g = I g A g = I g A cos α g
= Wr I ? A ? cos (α r ) I = r = r ( ) I ? A ? cos α We Ie e e
αr = αe
T =
Wg We
=
I g ? A ? cos (α g ) I e ? A ? cos (α e )
=
I g ? cos (α g ) I e ? cos (α e )
5
斜入射时的TE波
ε0 ? c0 2 ? n1 ? Er Ir E2 2 = R= = r 2 ε0 ? c0 Ie Ee 2 ? n1 ? Ee 2 ε0 ? c0 2 ? n2 ? Eg ? cos (α g ) n ? E 2 ? cos (α ) I g ? cos (α g ) 2 g g 2 T= = = 2 ε ? c I e ? cos (α e ) 2 0 0 ? n1 ? Ee ? cos (α e ) n 1 ? E e ? cos (α e ) 2
Er =r Ee Eg Ee =t
R = r2
R ：反射率
? t2
T =
n 2 ? cos ( α g ) n 1 ? cos ( α e )
T：透射率
6
3
斜入射时的TM波
αe = αr n1 sin α e = n 2 sin α g
cos α g =
+ ?
Er n 2 cos α e ? n1 cos α g = Ee n 2 cos α e + n1 cos α g
2 n1 1 ? 2 sin 2 α e n2
Eg Ee
rTM
=
2n1 cos α e n 2 cos α e + n1 cos α g
n 2 2 n 2 cos α e ? 1 n 2 2 ? n 1 sin α e Er n2 = = Ee n cos α + n1 n 2 ? n 2 sin 2 α 2 e 2 1 e n2
Eg Ee = 2n 1 cos α e
2 2 n 2 cos α e + n 2 2 ? n 1 sin α e
t TM =
7
反射率和透射率同入射角度的关系
1 n 1 = 1 (a ir) n 2 = 3 .6 (G a A s ) 0 .8
0 .8 1 TM
0 .6 TE 0 .4 R
T
0 .6 TE 0 .4
TM 0 .2
0 .2
n 1 = 1 (a ir ) n 2 = 3 .6 (G a A s )
0 0 10 20 30 40 50 60 70 deg 90
0 0 10 20 30 40 50 60 70 deg 90
αe
αe
R reflection factor T transmission factor
αe angle of incidence Brewster angle
8
4
全内反射
TE-Wave
He Ee ke αe αr Hr Er kr
n2 < n1
x y z
Ee
TM-Wave
He ke Hr kr Er
n1
Eg0
αe αr
n1 n2
z0
n2
z0
Eg0
z
E g = E g 0e ? z / z 0
αe = αr n sin α c = 2 n1
z
E g = E g 0e ? z / z 0
9
全内反射
αe = αr
cos α g = ± j ?
2 n1 sin 2 α e ? 1 n2 2
sin α c =
z0 =
n2 n1
λ
2 1
2 π n sin 2 α e ? n 2 2
TE-Wave
E r n 1 cos α e ? n 2 cos α g = E e n 1 cos α e + n 2 cos α g
rTE = Er = 2 Ee n1 cos α e ? j ? n1 sin 2 α e ? n 2 2
2 n1 cos α e + j ? n1 sin 2 α e ? n 2 2
TM-Wave
E r n 2 cos α e ? n 1 cos α g = E e n 2 cos α e + n 1 cos α g
n 2 cos α e ? j ?
rTM
tan α TE =
2 n1 sin 2 α e ? n 2 2 n 1 cos α e
n1 2 n1 sin2 α e ? n 2 2 n2 Er = = Ee n cos α + j ? n1 n 2 sin2 α ? n 2 2 e 1 e 2 n2
tan α TM =
2 2 n1 sin 2 α e ? n 2 n1 2 ? α n2 n cos 2 1 e
10
5
全内反射的临界角
Critical angle for the total internal reflection
90 deg 80 n 1 = 1.5 (glass) 70 60 n 1 = 3.6 (GaAs) 50 40 30 20 10 1 1.5 2 2.5 Refractive index n 2 3 3.5 4
11
全内反射时的反射率和透射率
1 n 1 = 3 .6 n2 = 1
1 TM 0 .8
0 .8
0 .6 TE 0 .4 R
T
0 .6 TE 0 .4 n 1 = 3 .6 n2 = 1
0 .2
TM
0 .2
0 0 5 10 deg 20
0 0 5 10 deg 20
αe
αe
R reflection factor T transmission factor
αe angle of incidence Brewster angle
12
6
布儒斯特角
光在电介质界面上反射和折射，通常反射光和折 射光都是部分偏振光，只有当入射角为某特定角时 反射光才是线偏振光，其振动方向与入射面垂直， 此特定角称为布儒斯特角或起偏角，用θb表示。此 规律称为布儒斯特定律。 当入射角满足关系式tgθb=n2/n1 时，反射光为振 动垂直于入射面的线偏振光，该式称为布儒斯特定 律（Brewster law) ，θb为起偏振角或布儒斯特角。 光以布儒斯特角入射时，反射光与折射光互相垂 直:θb+θg=90°
13
全反射
光由光密媒质n1进入光疏媒质n2，当入射角θi增 加到某种情形时，折射线延表面行进，即折 射角为90°，该入射角θc称为临界角。 n1sinθc=n2sin90° sinθc= n2/n1 θc为临界角。产生全反射的条件是：1，光 必须由光密介质射向光疏介质．2，入射角必 须大于临界角θc． 若入射角大于临界角，则无折射，全部光线均 反回光密媒质，此现象称为全反射。
14
7
介质边界处的全内反射
direction of propagation: z
1
x z y
0.5
Eg = Eg0e jω?t e
z0
?z
z0
0
-0.5
-1
n1
Ee = Ee0e
j(ω?t ?kz)
n2
medium II
medium I
z0 =
λ 2π n sin2 αe ? n2 2
2 1
15
x
z
平面波导
nc nf ns d
y
Cap layer Film layer Substrate
_ nc nf > ns > Slab
16
8
平面波导
最简单的平面波导是由薄膜、衬 底、覆盖三层平板形介质构成。薄 膜厚度，与波长同一量级。 ? 均匀和非均匀波导：均匀波导的各 层介质折射率均为常数，非均匀波 导的折射率随空间坐标而变。 ? 如果波导薄膜在x、y两个方向的尺 寸可同波长相比拟，则成为条形 （沟道、通道）波导，它对光场 在、两个方向均有限制作用。 ? 平板波导也称二维波导，条形波导 也称三维波导。 ?
17
平面波导
nc nf ns
h
θe < critical angle αcc αcc θ
s
入射波 折射波 全内反射
θc θe
辐射模
θe > critical angle αcc
h
θe
αcc
θr
衬底模
x
z y
θ
s
θe > critical angle αcc
2Φ C
h
θe > critical angle αcs
θr αcs θ e θe
θe
θe
αcc θr
导波模
两个界面处全内反射 nf > ns > nc
2Φ S
18
9
nc nf ns
h
z
nc
z=h
αcc θ
s
θc θe
radiation mode
x
y n=0
nf
ns
θe
h
αcc
θr
substrate mode
h
θ
s
2Φ C
θe
h
θe
αcc θr
θrαcs θe
θe
guided mode
19
2Φ S
波导模式的基本概念
光在波导内传输时，横向不受限 制，这种电磁波的传播模式称为辐 射模。 覆盖层界面上发生全反射，而在薄 膜—衬底界面上发生部分反射，仍 有一部分光波折射进衬底，光仍然 不受限制地穿出波导，构成辐射损 耗。这种电磁波的传播模式称为衬 底辐射模。 光在薄膜的上下两个界面上均发生 全反射，光一旦进入薄膜内就有可 能被限制在里面沿方向传输，其路 径是锯齿形的。这种模式相当于光 受到薄膜的导引而传播，称为导波 模或导模 。
20
10
薄膜波导中的电场分布
E0
Ec
E1
E2 nc x
z
Ef
nf
Es
y
ns
基模 (m = 0)
一阶模 (m = 1)
二阶模 (m = 2)
21
矩形波导中的空间模式
n1 n1 n1
A
E E11
A
00
E E12
A
10
E E21 01
n1
E 22 11
A
22
11
圆波导(光纤)中的空间模式
模式数目 光强为0 最大光强
20
21
10
11
12
00
01
02
03
23
归一化频率ν 归一化折射率b 波导非对称量αE和αM
2 1/ 2 ?v = kh(n12 ? n2 ) ? 2 2 2 2 ?b = ( N ? n2 ) ( n1 ? n2 ) ? 2 2 2 2 ?a E = (n2 ? n3 ) ( n1 ? n2 ) = a ? 2 ?a M = η13 a
TE TM
将上述各量应用于位相方程可得：
b 1/ 2 ? a + b 1/ 2 ? ? ? v(1 ? b)1 / 2 = mπ + tg ?1 ?η12 ( ) ? + tg ?1 ?η13 ( ) ? 1? b 1? b ? ? ? ?
对上式进行数值计算后可作出归一化色散曲线。
24
12
截止频率和模式数量
当 β=n2k 或 b=0 时导模截止； 当 β≈n1k 或 b≈1 时或时，导模处于远离截止状 态。将前者应用于色散方程，得到阶导模的截 止频率为：
v cm = mπ + tg ?1 (η13 a )
波导内能传输的TE或TM模的个数为： 符号[ ]imf 表示取恰好大于这个括号内数值的整 数。因为 η13 > 1，所以TM模式数总是小于TE模式 数。波导能传输的导模总数等于TE 和TM模式数之 和。
25
m = [(1 / π ){v ? tg ?1 (η13 a )}]imf
在弱导情况n1≈n2下，截止条件也可用折射率差 Δn=n1-n2 来表示。 对于对称波导:
2 1/ 2 kh( n12 ? n2 ) = mπ
m 2 λ2 m 2 λ2 ≈ n1 ? n 2 = 2 4h ( n1 + n2 ) 8h 2 n1 对于非对称波导:
2 kh n12 ? n2
(
n1 ? n2
2 ( 2m + 1) λ2 ≈
)
12
≈ mπ + π 2
32h 2 n1
26
13
Goos-H?nchen位移和波导有效厚度
通常认为，波导中的全反射就在界面的入射点上发生，实 际不然。Goos和H?nchen曾用实验证明，反射点偏离入射点 一段距离，如图所示，这段位移称为Goos-H?nchen位移。
27
波导上下界面上的Goos-H?nchen位移为:
2 z j = 2hφ1 j dβ ,
利用公式式可求得Zj,值， 对TE模 对TM模
j = 2,3
tgθ
zj = zj =
k N 2 ? n2 j k N2 ?n
(
)
12
,
j = 2,3 tgθ
2
(
2 12 j
) (N
2 n2 n2 j + N j ?1
)
,
j = 2,3
导波在衬底和覆盖层中的穿透深度为:
x j = z j tgθ ,
j = 2,3
28
14
由于存在Goos-H?nchen位移，光在波导中传输时，波导 不是被限制在 h 的范围内，而是被限制在 h+x2+x3 范围 内，并称它为波导的有效厚度。 TE模时波导的有效厚度： heff = h + x2 + x3 = h + 1 p + 1 q TM模时波导的有效厚度： n2n2 q2 + t 2 n2n2 p2 + t 2 h' eff = h + 1 22 4 2 4 + 1 23 4 2 4 p p n1 + t n2 q q n1 + t n3
(
(
( ) ) (
) )
2 ? p 2 = β 2 ? n2 k ? 2 式 2 2 中： ? q = β ? n3 k ? t 2 = n2k 2 ? β 2 1 ? 参数p和q是导波在衬底和覆盖层中的振幅衰减系数， t 为薄膜中的横向（x方向）相位常数。
29
波导损耗
? 损耗的机理：散射损耗、吸收损耗和辐射损耗。 1, 电介质波导：散射损耗为主。 2, 半导体波导：吸收损耗为主 3,弯曲波导：必须考虑辐射损耗。 ? 散射损耗：有体散射和表面散射。前者是由波导层体积 内的缺陷，如气泡、杂质原子或晶格缺陷所致。目前的波 导制作技术能使体散射损耗忽略不计。 ? 表面散射：光波在波导中传输时，在上下界面上作频繁的 反射。表面散射损耗系数公式可由瑞利准则导出，即导模 在界面上反射时遵守： 2 ? ? 4πσ ? ? Pr1 = Pi exp ?? ? ? λ cos θ m ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 式中pi为入射光功率， pr1为单次反射后的光功率， λ1为导 波层中的光波长，θm为m阶导模的入射角，σ是表征表面 粗糙度的方差，用波导厚度方向的坐标x的统计方差计 算。
30
15
波导损耗
σ是表征表面粗糙度的方差，用波导厚度方向的坐标x的 统计方差计算：
σ 2 = S [x 2 ] ? S 2 [x ]
式中S[x]是x的平均值，
S x 2 = ∫ x 2 f ( x )dx
?∞
[ ]
+∞
式中f(x)是几率密度函数。 长度为L上的波导每个界面上光波反射的次数为：
NR =
L L = 2heff tgθ m 2(h + 1 p + 1 q )tgθ m
31
经NR次反射后，波导的输出功率为： 2 ? ? 4π ? ? 2 2 ? cos + θ σ σ Pr = Pi exp ?? ? N 12 13 m? R? ?λ ? ? 1 ? ? ? ? = Pi exp(? a s L )
(
)
所以，散射损耗系数为：
可以看出，表面散射损耗正比于粗糙度对波长比值的平方 ，反比于波导的有效厚度，且高阶模有更大的散射损耗。 半导体波导的吸收损耗来源于带间吸收及自由载流子吸收 两种效应。 带间吸收，就是半导体吸收能量大于带隙的光子后，电子 从价带跃迁到导带。直接带隙半导体的这种吸收效应很 强，吸收系数可达104cm-1。
32
? 4π as = ? ?λ ? 1
3 ? 1 2 2 cos θ m ? σ + σ ? 12 13 ? 2 sin θ m h + 1 p + 1 q ?
2
(
)
16
自由载流子吸收和损耗系数
半导体中自由载流子吸收也称带内吸收，即吸收光子 能量后，导带中的电子或价带中的空穴升到更高的能态 上。 通常，自由载流子吸收也包括电子从导带边缘的浅施 主能级跃迁到导带以及空穴从价带边缘的浅受主能级跃 迁到价带这两种吸收过程。 由经典电磁理论推得，在可见和近红外波长范围，自 由载流子吸收引起的损耗系数： A、B、C分别是由声学声子、光学声子和电离杂质确定 的比例常数。
33
α f = Aλ1.5 + Bλ2.5 + Cλ3.5
自由载流子吸收又称带内吸收，即吸收光子能量后，导带中 的电子或价带中的空穴升到更高的能态上。通常，自由载流 子吸收也包括电子从导带边缘的浅施主能级跃迁到导带以及 空穴从价带边缘的浅受主能级跃迁到价带这两种吸收过程。 在可见和近红外波长范围，自由载流子吸收引起的损耗系数 αf 同λ2近似成正比。更精确的分析可得： 式中A、B、C 分别是由声学声子、光学声子和电离杂质确定 的比例常数。 弯曲波导的辐射损耗系数α0与曲率半径R成指数关系：
α f = Aλ1.5 + Bλ2.5 + Cλ3.5
α 0 = C1 exp(?C 2 R)
式中C1和C2是由波导尺寸和导模的场分布决定的常数。
34
17
电磁场理论
35
电磁场理论
介质中传播的电磁场可用麦克斯韦方程来描述： r r
r ?B ?H ?× E = ? = ?μ 0 ?t r ?t r r r r r ?P r ?P ?D ?E )+ ) + ε 0ε r ? × H = (J + = (J + ?t ?t ?t ?t r ??H = 0 r ??E = ρ
（3-1） （3-2） （3-3） （3-4）
上式中E，H、B、D、ρ 和分别为电场、磁场、磁感应、电位 移矢量和电荷密度。
36
18
电磁场理论
介质中传播的电磁场可用麦克斯韦方程来描述：
r r r ?B ?H ?× E = ? = ?μ 0 ?t ?t r r r ?D ?E ?× H = = ε 0ε r ?t ?t r ??H = 0 r ??E = ρ
（3-1） （3-2） （3-3） （3-4）
上式中E，H、B、D、ρ 和分别为电场、磁场、 磁感应、电位移矢量和电荷密度。
37
根据电荷守恒定律有：
电场E、磁场H、磁感应B、电位移矢量D之间 的相互关系为：
r ?ρ ??J = ? ?t
（3-5）
r r D = ε 0ε r E r r B = μ0 μr H
（3-6） （3-7） （3-6）
r r J = σE
式中J为电流密度， σ为电导率，εr和μr为相对 介电常数和相对磁导率。
38
19
假定：1，εr和μr为常数； 2， μr=1； 3，交变电磁场下，电阻率无穷大，传导电流 J=0； 4，介质内没有电荷积累，电荷密度ρ=0。在 这些假设下，麦克斯韦方程可以简化为：
r r r ?B ?H ?× E = ? = ?μ 0 ?t ?t r r r ?D ?E ?× H = = ε 0ε r ?t ?t
（3-9） （3-10） （3-11） （3-12）
39
r ??H = 0
r ??E = 0
r ?H ? × ? × E = ?(? ? E ) ? ? E = ?? E = ? × (? μ 0 ) ?t r （3-13） r ? ?2E = ? μ 0 (? × H ) = ? μ 0ε 0ε r 2 ?t ?t
利用矢量分析方法可得： r r r r 2 2
波动方程
同样可得到： r r ?2H 2 ? H = μ 0ε 0ε r 2
?t
（3-14）
此两式通常称为波动方程。上述方程中，?为拉普拉 斯算符，?2可以表达为： ? ?2 ?2 （3-15） ?2 = 2 + 2 + 2 ?x ?y ?z 如果将电场矢量表示为迪卡儿坐标的三个分量，则 r r r r 有： E =E i +E j+E k
x y z
i、j、k 为三个方向上的单位矢量。
40
20