课时作业
一、选择题
1．圆(x ＋2)2＋y2＝5关于原点P(0，0)对称的圆的方程为
( )
A ．(x －2)2＋y2＝5
B ．x2＋(y －2)2＝5
C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5
D ．x2＋(y ＋2)2＝5
A [圆上任一点(x ，y)关于原点对称点为(－x ，－y)在圆(x ＋2)2＋y2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y)2＝5.
即(x －2)2＋y2＝5.]
2．(2014·郑州第一次质检)以抛物线y2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
( )
A ．x2＋y2＋2x ＝0
B ．x2＋y2＋x ＝0
C ．x2＋y2－x ＝0
D ．x2＋y2－2x ＝0
D [抛物线y2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1，0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5，0)，排除C.]
3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是
( )
A ．(x －3)2＋???
?y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.???
?x －322
＋(y －1)2＝1 B [依题意设圆心C(a ，1)(a ＞0)，
由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，
则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.]
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是
( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
A [设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ 的中点为M(x ，y)，
则?????x ＝4＋x02，y ＝－2＋y02，
解得?????x0＝2x －4，y0＝2y ＋2. 因为点Q 在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，
即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]
5．(2014·杭州模拟)若圆x2＋y2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是
( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，0)
C ．(－4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
A [将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，
可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.
∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，
∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，
即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.]
6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是
( )
A.95
B ．1 C.45 D.135
C [圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5
＝95，
故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.]
二、填空题
7．如果三角形三个顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(－8，0)，则它的内切圆方程为________． 解析 因为△AOB 是直角三角形，
所以内切圆半径为r ＝|OA|＋|OB|－|AB|2
＝15＋8－172
＝3， 圆心坐标为(－3，3)，
故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.
答案 (x ＋3)2＋(y －3)2＝9
8．(2014·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为__________． 解析 设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y2＝4x 的焦点坐标是(1，0)，
则圆C 的圆心坐标是(0，1)，
圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋（－3）2
＝1， 则R2＝d2＋???
?|AB|22＝10， 因此圆C 的方程是x2＋(y －1)2＝10.
答案 x2＋(y －1)2＝10
9．已知x ，y 满足x2＋y2＝1，则y －2x －1
的最小值为________． 解析 y －2x －1表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1，2)连线的斜率，所以y －2x －1
的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)
即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k|k2＋1
＝1得k ＝34， 结合图形可知，y －2x －1≥34
， 故最小值为34.
答案 34
三、解答题
10．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410.
(1)求直线CD 的方程；
(2)求圆P 的方程．
解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)．
则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，
即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P(a ，b)，
则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①
又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，
∴(a ＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得?????a ＝－3，b ＝6或?
????a ＝5，b ＝－2. ∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40
或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.
11．已知关于x ，y 的方程C ：x2＋y2－2x －4y ＋m ＝0.
(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；
(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN|＝455，求m
的值．
解析 (1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，
显然只要5－m ＞0，
即m ＜5时方程C 表示圆．
(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，
其中m ＜5，所以圆心C(1，2)，半径r ＝5－m ，
则圆心C(1，2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22
＝15， 因为|MN|＝455，所以12|MN|＝255，
所以5－m ＝? ????152＋? ??
??2552
，解得m ＝4. 12．已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
解析 (1)设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2(r ＞0)．
根据题意，得?????（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r2，a ＋b －2＝0.
解得a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM
＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S ＝2|PA|，
而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，
即S ＝2|PM|2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42
＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM|2m in －4＝232－4＝2 5.