16.2 二次根式的乘除（第3课时）
教学内容
本节课主要学习最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算。
教学目标
知识技能
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式。
情感态度
灵活运用不同方法化简二次根式，通过本节课的学习使学生认识到知识之间是相互联系的。
重难点、关键
重点：最简二次根式的概念及运用。
难点：灵活选用恰当的方法化简二次根式。
关键：掌握化简二次根式常见方法。
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题。
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容。
教学过程
一、复习引入
完成下列各题（请三位同学上台板书）
1、计算（1），（2），（3）
2、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，?那么它们的传播半径的比是_________。
它们的比是
。
教师给出题目。
学生根据所学知识回答问题。
【设计意图】
由复习二次根式的除法，引导学生观察计算结果，发现其中的规律，激发学生探索新知识的兴趣。
二、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1、被开方数不含分母；
2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
【提出问题】
那么上题2中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式。
教师提出问题，请学生自己计算出结果,并力争独立发现规律。
【设计意图】
让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般，再回到特殊的认识过程，对最简二次根式有一个较清晰的理解。
三、范例点击
例1 P11第10题
【活动方略】
教师将例1给出，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，能用商的算术平方根的性质对二次根式进行化简。
四、反馈练习
课本P14 练习2、3题
补充练习
化简:
(1); (2); (3)
学生独立思考、独立解题。
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程。
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况. 使学生亲身经历二次根式的化简过程,找出自己还不太理解的知识点。
五、应用拓展
例2 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，
==-，
同理可得： =-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值。
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的。
解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
教师将例2给出，组织学生讨论。
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生进一步掌握分母有理化后进行化简的方法。
六、小结作业
1、问题：本节课主要学习些什么呢？
最简二次根式的概念及其运用。
2、作业：教材P11习题16．2 第5、6、7、11题．
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程。
学生独立完成作业，教师批改、总结。
【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
七、课后反思：
二次根式的乘除教案 第一课时 教学内容 a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标 a b ab a ≥0，b ≥0）ab a b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 a b ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；?ab a b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 a b ab a ≥0，b ≥0）ab a b a ≥0，b ≥0）及它们的运用． a b ab a ≥0，b ≥0）． 关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b g ，如(2)(3)-?-=(2)(3)--?--或(2)(3)-?-23?23 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （14949?=______； （21625=_______1625?． （31003610036?． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×3610036? 2．利用计算器计算填空 （1236，（22510 （35630（44520，
（5）7×10______70． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1．计算 （1）5×7 （2）1 3×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）1 3×9=1 93?=3 （3）9×27=292793?=?=93 （4）12×6=1 62?=3 例2 化简 （1）916? （2）1681? （3）81100? （4）229x y （5）54 分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可． 解：（1）916?=9×16=3×4=12 （2）1681?=16×81=4×9=36 （3）81100?=81×100=9×10=90 （4229x y 2322x y 232x 2y
二次根式的乘除法 教学内容 a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计 算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2； （3=_____；（4． 2．利用计算器计算填空: （1，（2，（3=____，（4=_____． ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1（2（3（4 分析：上面4 a≥0，b>0）便可直接得出答案． （1（2（3（4 a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 ，且x为偶数，求（1+x的值． = ，只有a≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x≥0且x-6>0，即6
二次根式的乘除教案 第二课时 教学内容 a b = a b （a≥0，b>0），反过来 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________； （216 36 =________ 16 36 ； （3 4 16 =________ 4 16 ； （436 81 =________ 36 81 ． 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 8136 81 3．利用计算器计算填空:
（1）3 4 =_________，（2） 2 3 =_________，（3） 2 5 =______，（4） 7 8 =________． 规律：3 4 ______ 3 4 ； 2 3 _______ 2 3 ； 2 5 _____ 2 5 ； 7 8 _____ 7 8 。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）， 反过来，a b = a b （a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（112 3 （2 31 28 （3 11 416 （4 64 8 分析：上面4a b a b a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解：（112 3 12 3 4=2 （231 28 313 834 282 ÷=?=?33 （311 416 111 16 4164 ÷=?4=2 （464 8 64 8 82 例2．化简： （13 64 （2 2 2 64 9 b a （3 2 9 64 x y （4 2 5 169 x y a b a b a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
22．2 二次根式的乘除 第2课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____． （1 ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
21．2 二次根式的乘除 第一课时 教学内容 a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标 （a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 （a≥0，b≥0）并运用它进行计算；? （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键 a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用． （a≥0，b≥0）． 关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1=______； （2=_______． （3． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． ×_____，×_____，× 2．利用计算器计算填空 （1，（2 （3（4，
（5． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 反过来: 例1．计算 （1（2（3（4 分析：a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1 （2 （3 （4 例2 化简 （1（2（3 （4（5 （a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1×4=12 （2×9=36 （3×10=90 （4
（5 三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评） ①②×2 (2) 化简:; 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1 （2=4 解：（1）不正确． ×3=6 （2）不正确． 五、归纳小结 本节课应掌握：（1＝（a≥0，b≥0）（a≥0，b ≥0）及其运用． 六、布置作业 1．课本P151，4，5，6．（1）（2）． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为，?那么此直角三角形斜边长是（）． A．cm B．C．9cm D．27cm 2．化简）．
3.2二次根式的乘除法（1）教案设计 【教学目标】 1.运用法则)0,0(≥≥= ?b a ab b a 进行二次根式的乘除运算； 2.会用公式)0,0(≥≥= ?b a ab b a 化简二次根式。 【教学重点】 运用)0,0(≥≥= ?b a ab b a 进行化简或计算 【教学难点】 经历二次根式的乘除法则的探究过程 【教学过程】 一、情境创设： 1.复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？ 2.计算： （1）254? 254? （2）916? 916? （3）225332?? ? ?????? ?? 2 25332??? ?????? ?? 二、探索活动： 1.学生计算； 2.观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？ 3.概括：)0,0(≥≥=?b a ab b a 。 得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。 将上面的公式逆向运用可得： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 三、例题讲解： 1.计算： 1）.32? 2）. 63? 3）. 322?
4）. 821? 5）. )0(82≥?a a a 6）.)53 2(153-? 2.化简： 1）.12 2）. 3a 3）. 324b a 4）. )144()16(-?- 5）.2237- 6）.2242+ 小结：如何化简二次根式？ 1.（关键）将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”； 2.P62结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。 四、课堂练习： （一）.P62 练习1、2 其中2中（5）221026- 注意：221026-不是积的形式，要因数分解为36×16=242 . （二）.P67 3 计算 （2） （4） 补充练习： 1.x y x xy y 32 322?? (x ＞0,y ＞0) 2.483 1152023?-?）（ 拓展与提高： 1.化简：1）.328b a -(a ＞0,b ＞0) 2).2 2)()(y x y x -+（y ＜x ＜0） 2.若3323+-=+m m m m ，求m 的取值范围。 ☆3.已知：102-=x ,求642--x x 的值。 五、本课小结与作业： 小结：二次根式的乘法法则 作业：1).课课练P49-50 2).补充习题 P34
16.2 二次根式的乘除(3) 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1），（2），（3） 老师点评：=，=，= 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，?那么它们的传播半径的比是_________． 它们的比是． 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 老师点评：不是． =. 例1．(1) ; (2) ; (3) 例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长． 解：因为AB 2=AC 2+BC 2 所以AB=222.56 ==6.5（cm ） 因此AB 的长为6.5cm ． 三、巩固练习 练习2、3 四、应用拓展 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ==2-1， ==3-2， 同理可得：=4-3，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+++……2002+1）的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式=23243……200220012002+1） =20022002） =2002-1=2001
课型新授课授课教师教学课题二次根式的乘除法总课时： 教 学 目 标 教学重点利用二次根式的乘法运算法则进行计算和化简二次根式 教学难点被开方数含字母的二次根式乘法运算及化简 教学方法自主学习、问题点拨、讲练结合 教学准备Ppt 教学过程 教师活动设计学生活动设计 设计意图 一、目标导学： 知识要点： 1.掌握二次根式乘法法则; 2.能够熟练应用二次根式乘法法则进行运算 3.会利用二次根式乘法法则将二次根式进行化 简； 涉及以前学过的知识： 1.有理数的乘法法则 2.二次根式的性质：a a= 2 二、自主学习 自学学案： 阅读教材的内容，然后根据自己的理解解答学案 中提出的问题。 1、二次根式的乘法法则 公式表示：_____________ 用语言表述为：________________ 2根据你对二次根式乘法法则的理解，你能自己 编写一道此类计算题，并将其解答出来。 点拨：公式中注意a、b的取值 例如：()()25 9 25 9- ? - = - ? -是不成 立的。 3、根据你的理解你能将下列算式进行计算吗？ 了解本节课的目标 自学学案上的内容，根 据自己的理解完成学案 中提出的问题。 通过知识要点的解读， 让学生能够清楚的知道 本节课所要达到的目 标。 通过学生自主学习的方 式，理解二次根式的乘 法法则 通过一组例题交流计算 方法，找到化简二次根 式的基本方法，以及注 意的事项。
（1）53? （2） 273 1 ? （3）3223? （4）y x x 313? 4、二次根式乘法法则逆向应用的法则 公式表示：________________________ 用语言表述：-______________________________ 5、判断下列运算是否正确，若不正确说明理由。 27272771422=?=?=? ()()69-4-9-4-=?= ? () () 3535-35-2 2 =?= ? 7 43169169=+=+=+ ()1 404140)41(404122 22=-=-=- m m m m 555252 2222=?=?= 6、下列二次根式还能不能继续化简，如果能，它们的依据是什么？ 4、8、12、16、18、24、28 9、27 三、自学检测与巩固练习 例1：化简下列二次根式 （1）48 （2）228-17 （3）54332?? （4）3 25m 解题过程： 343 4343 1622 =?=?=?=原式 独立完成，之后，相互交流，纠错 独立完成，之后，相互交流，纠错 通过例题由浅入深，找到解题的最佳方案。 对本节课内容整体有一个更深的认识和印象 检测本节学习效果
《二次根式的乘除法》教案 教学目的： 1、使学生掌握二次根式的乘除法法则． 2、会应用二次根式的乘除法法则进行简单的二次根式的乘除法运算． 3、能正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算． 教学重点： 应用二次根式的乘除法法则进行简单的二次根式的乘除法运算． 教学难点： 正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算． 教学过程： 一、复习 复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？ 二、探索新知 1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则．二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．即： ()0,0≥≥?=b a b a ab 二次根式的乘法法则是：()0,0≥≥= ?b a ab b a 这两个式子是互逆的关系． 概括：)0,0(≥≥=?b a ab b a ． 得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变． 例1、计算： （1）73?； （2）4831?. 例2、化简下列二次根式： （1）48； （2）325m ； （3）22817-. 例3、计算： （1）615?； （2）355202?-. 2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示． 答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即： b a b a =()0,0>≥b a ．
把式子b a b a =()0,0>≥b a 反过来，得到b a b a =()0,0>≥ b a ，这是二次根式的除法法则.运用这个法则可以进行二次根式的除法运算． 例4、计算： （1）672 ；（2）6 1211÷． 解：（1）672=323232126 7222=?=?==． （2）由学生口述，并说明各步运算依据． 3、什么是最简二次根式. 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是． 例5、把下列根式化为最简二次根式： （1）18； （2） 32； （3）()043＜a b a . 4、分母有理化 把分母中的根号划去，叫做分母有理化. 例6、把下列各式的分母有理化： （1） ；53 （2）；b a a + （3）.1852 三、习题演示 练习1：计算（1）354 -（2）5 31513÷ 2：计算：（1）45 40 （2）345653n m n m ÷ 解：（1）45 40=32298984540=== （2）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 535353535322223456345 6====
第2课时 二次根式的除法 1．掌握二次根式的除法法则和商的算 术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点) 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1) 3649 ＝________； 36 49 ＝________． (2) 916 ＝________； 9 16 ＝________． 3649________3649 ； 916 ________ 916 . 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 计算： (1)0.760.19 ；(2)－ 12 3÷554； (3)6a 2 b 2ab ；(4)5÷? ?? ??－5 145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法 则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分． 解：(1) 0.76 0.19 ＝0.76 0.19 ＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷ 5 54＝ －53×54 5＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab ＝6a 2 b 2ab ＝3a ； (4)5÷? ? ? ?? －5 145＝－5÷595 ＝－5×1 5× 59＝－15×53＝－13 . 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简． 【类型二】 二次根式的乘除混合运算 计算： (1)945÷3 212×32 223； (2)a 2 ·ab ·b b a ÷9b 2 a . 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×3 2× 45×25× 83 ＝183； (2)原式＝a 2 ·b · ab ·b a ·a 9b 2＝ a 2 b 3 a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 探究点二：商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围 若 a 2－a ＝ a 2－a ，则a 的取值
16.2.2二次根式的除法教案【教学目标】 1.知识与技能 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b =a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 2.过程与方法 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。 3.情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】 理解a b = a b （a≥0，b>0）和 a b =a b （a≥0，b>0）及利用它们进行计算。 【教学难点】 发现规律，归纳出二次根式的除法规定。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式的乘法法则，现在，我们一起来复习一下如何正确运用二次根式的乘法法则进行计算吧。 课件展示题目。 【过渡】现在，请大家快速计算一下吧，看谁能最先得到正确答案。 带领学生复习，进行计算。 二、新课教学 1．二次根式的除法 【过渡】上节课，我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用
同样的方法来总结除法法则。大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。 课本P6探究内容。 【过渡】从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？ （学生讨论回答） 【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则： 一般地，对二次根式的除法规定为 【过渡】从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须要有的条件。 【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用除法法则计算吧。 课本例4。 【过渡】例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。 根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。 课本例5。 【过渡】这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。 （1）分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母； （2）最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。 【过渡】那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？我们来看一下这样几个 根式， 3 10 ，35，22，23，这几个根式均是没有办法再进一步化简的计算结果。从这几个式子当 中，结合刚刚的例题，大家能总结出来最简二次根式的定义吗？ 最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 【练习】课件展示练习题，学生快速回答。 【过渡】根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。 课本例6。 【过渡】从例6中，我们可以发现，如果在最初的化简之后，得不到最简二次根式，那么我们就需要想办法去满足。这个在做题的过程中，需要大家慢慢体会。
教学设计：二次根式的乘法 乃东中学 高八民 一、教学目标 探索二次根式的乘法法则，并能够运用“乘法法则”进行运算； 逆向思考，能够利用“乘法法则”化简二次根式； 体验二次根式乘法法则的探究和运用过程，感受数学的灵活性。 二、教学重、难点 教学重点：二次根式乘法法则的运用 教学难点：发现规律，导出·＝（a ≥0，b ≥ ）． 三、教学准备 导学案、多媒体课件 四、教学流程 1、复习——温故知新 什么是二次根式？二次根式有哪些性质？ 【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质 学生自由举手作答，教师引领统一复习。 教师：把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。 二次根式的性质： 2、引入——探究学习1 学生活动——请同学们完成下列各题． （1）×=_______，=______； （2）×=_______，=________． a b ab a 4949?16251625?
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． ×_=_，×_=__。 3、归纳——发现规律 引导学生用文字表述：各被开方数算术平方根的积等于积的算术平方根。 二次根式的乘法法则： a ? b = ab a ≥0，b ≥0 。 【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地进行归纳得出二次根式的乘法法则．要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识． 4、巩固——理解记忆 简单的根式运算，学生动手计算，教师进行检验。 例1 计算： （1） 3× 5； （2） 1 3× 27. 5、思考——探究学习2 在计算过程中我们会发现 a ? b = ab a ≥0，b ≥0 的运用并不能使得所有的运算更加简单，当被开方数比较大的时候我们可能会遇到一些困惑。 师生活动：探讨下面例子中的计算，发现解题技巧——简便运算。 例2 化简 16×81 给学生1分钟时间让其尝试进行运算后，教师给予指导，提出对于法则逆向思考运用的方法。即： ab = a ? b a ≥0，b ≥0 。 总结：当被开方数中有开的尽方的因数或者因式的时候，可以采用逆向法则和二次根式性质把可以开的尽的数先开方后移到根号外。 4949?16251625?
二次根式的乘除 教案总序号：4 时间： 教学内容 a · b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）． 关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b ，如(2)(3)-?-=(2)(3)--?--或(2)(3)-?-=23?=2×3． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1）4×9=_______，49?=______； （2）16×25=_______，1625?=________． （3）100×36=________，10036?=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49?，16×25_____1625?，100×36________10036? 2．利用计算器计算填空 （1）2×3______6，（2）2×5______10， （3）5×6______30，（4）4×5______20，
（5）7×10______70． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 例1．计算 （1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）13×9=1 93?=3 （3）9×27=292793?=?=93 （4）12×6=1 62?=3 例2 化简 （1）916? （2）1681? （3）81100? （4）229x y （5）54 分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可． 解：（1）916?=9×16=3×4=12 （2）1681?=16×81=4×9=36 （3）81100?=81×100=9×10=90 （4）229x y =23×22x y =23×2x ×2y =3xy
16.2二次根式的乘除法 二次根式的乘法 一、学习目标 1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。 二、学习重点、难点 重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算： （1）4×9=______ 9 4?=_______ （2）16×25 =_______ 25 16?=_______ （3）100×36 =_______ 36 100?=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）4×9_____9 4? （2）16×25____25 16? （3）100×36__36 100? （二）提出问题 1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？
3、积的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习 自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空： （1）2×3____6 （2）5×6____30 （3）2×5____10 （4）4×5____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？ 3、二次根式的乘法法则是： （四）合作交流 1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算： （1）9×27 （2）25×32 （3）a 5· ab 51 （4）5·a 3·b 3 1 2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质：
3.2二次根式的乘除法(1)教案设计【教学目标】 1?运用法则.a -ab(a_O,b_O)进行二次根式的乘除运算; 2?会用公式,a ,b =一ab(a_O,b_O)化简二次根式。 【教学重点】 运用..a ?.一b — ab(a _0,b _0)进行化简或计算 【教学难点】 经历二次根式的乘除法则的探究过程 【教学过程】 一、情境创设： 1?复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？ 2?计算： （1）J4 汉V25J4 x 25 (2)寸1?79J16 x 9 (3) ◎2 a—| V6壮5丿认3丿2丿 二、探索活动： 1?学生计算； 2?观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？ 3.概括：、a .b 二、ab(a _0,b_0)。 得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。 将上面的公式逆向运用可得：_____________________________________________ 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 三、例题讲解： 1?计算：
小结：如何化简二次根式? 1. （关键）将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式” 2. P62结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。 四、课堂练习： (一) .P62 练习 1、2 其中2中(5262 -102 注意：262 -102不是积的形式，要因数分解为36 X 16=242. (二) .P67 3 计算(2) (4) 补充练习： 2 —— 3 —2 1. . xy x y 3 .. x ( x > 0, y > 0) y 2 3 1— 1 /— 2. f 20 ( -15) — <48 2 3 拓展与提高： 1. 化简：1) . -8a 2b 3 (a >0, b >0) 2). (x y)2(x — y)2 (y v x < 0) 2. 若? m 3 ? 3m 2二-m m 3，求m 的取值范围。 ☆ 3.已知：x=2 - 10,求 x 2「4x 「6 的值。 1) . ：. 2 ： ： ■ 3 4).上江屈 \2 2.化简: 1) .、12 4) . , 口6厂(二144) 2) . , 3 , 6 5) . :f 2a ，： 8a (a _ 0) 2) . a 3 5) .、72 -32 3) . 2 ： .1 32 2 1— 6) .3.15 (- ^5) 3 3) . , 4a 2b 3 6) .，22 42
二次根式的乘法教案 教学目的 知识与技能： 1 0,0)a b =≥≥ 1、使学生掌握积的算术平方根的性质：b a ab ?=（a ≥0，b ≥0） 。 2、使学生会用积的算术平方根的性质对式子进行化简。 3、使学生掌握2a =a （a ≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式。 过程与方法：通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则 情感态度价值观：培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦 重点：会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简。 难点：二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用。 教学方法： 运用类比的方法，学习二次根式的乘法与积的算术平方根公式，并采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解。 教学过程： 一、创设情境 一块正方形的木板面积为200 ，已知 你能不用计算器以最 快的速度求出正方形木板的边长吗？ 二、质疑猜想 让学生计算，由学生总结（1）（ 2）两式均相等。 教师提出问题： 三、体验（操作、探究） 组织学生计算，验证猜想：（分组尝试，讨论交流） 小提示：知识是有联系的，我们学过什么相关知识？老师经常告诉你遇到不会的问题怎么办？ 四、归纳总结 老师引导学生进行总结，得出公式： a ? b =ab （α≥0；b ≥0） 2m 1.414≈试一试:并观察结果, 你能发现什么规律?猜想? 2222:25250=?=?=?= 方法二22225 0, =?=??= 方法一:事实上,根据积的乘方法则,有并且25的算术平方根,即
用语言该怎样叙述？（算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根） 五、实践应用 教师示范板演 针对练习： 学生根据公式试着进行计算，教师巡视检查，个别辅导。 归纳总结： 师述：我们知道等式有互逆性，把上面的公式反过来，就得到： ab =a ?b （α≥0；b ≥0） （积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根.） 教师示范讲解，规范板演 针对练习： 学以致用（解决情境问题） 知识拓展： 注意分析字母a 的取值范围。（不要求所有学生掌握） 针对练习： 例1:计算: 解 4== = 例 2.化简,使被开方数不含完全平方的因式( 或因数) : == = 解 2 == = a == =: 化简 计算: :2 3 == === =解 : 5=== 解10 1.41414.14 := ?=解答 正方形木板的边长是 14.14m. 化简2-解
21．2 二次根式的乘除 第二课时 教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算 和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空 （1=____；（2=_____； （3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: （1，（2，（3，（4=_____． ；。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评） 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定： 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案． 合探2．化简： （1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值． 分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6
八年级数学下册《二次根式的乘除（第2课时）》 教学设计 八年级数学下册《二次根式的乘除（第2课时）》教学设计 八年级数学下册《二次根式的乘除（第2课时）》教学设计 一、内容和内容解析1．内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。2．内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.二、目标和目标解析1．教学目标（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；（2）会进行简单的二次根式的除法运算;(3)理解最简二次根式的概念.2．目标解析（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.三、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.四、教学过程设计1．复习
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）