5.23 解：
（a ）
（b ）设如图示。
为实偶序列，为实偶信号。或。
而：，
或
（c ），
（d ）
（e ），
根据实偶虚实关系，可得：（f ）（i ），
（ii ），
，
2.18解：方程两边取FT ，得
，
，
2.19 解：
对S 1系统：；对S 2系统：
又由差分方程可得：，可得：
，。
由
6
][][)(0
==
=
∑∑+∞
-∞
==+∞
-∞
=-n n n
j j n x e
n x e X ωω][1n x )
(1111)()(][ωω
ω
j e X j j j FT
e
e
X e
X n x ∠=??→← ][1n x ∴)(1ω
j e X ∴0)(1=∠e X =∠)(1e X ]2[][1-=n x n x ∴
)
(]
2)([1)
2(1)()()()(1ω
ωωωω
ωω
ωj j e
X j j e X j j j j j e e X e
e X e e X e X ∠-∠-==?=∴ωω2)(-=∠j e X ωπω
2)(-=∠j e X ?-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21][∴ππωππω4]0[2)(=?=?-x d e X j 2
][)
1(][)(=-=
=
∑∑+∞
-∞
==+∞
-∞
=-n n
n n
j j n x e
n x e X π
ωωπ
)}(Im{)}(Re{)(][][][][ωωωj j j FT
o e e X j e X e X n x n x n x n x +=?→←+==*)}(Re{][ωj FT e e X n x ?→←2]
[][][n x n x n x e -+= ?∑
-
+∞
-∞
==
π
π
ωω
π
d e X n x j n 2
2
)(21
][π
πωπ
π
ω28][2)(2
2
=?
=∑
?+∞
-∞
=-
n j n x d e X
∑+∞
-∞
=-=
n n
j j e
n x e X ωω
][)(∑+∞
-∞=-?-=n n
j j e n x jn d e dX ωωω][)()
(∴?∑-∞
+-∞==-ππωωωπd d e dX n x jn j n 22
)(21][)(ππωωππω316][2)(2
2
==∑?∞+-∞=-n j n nx d d e dX )()(41
)(ωωωωj j j j e X e Y e e Y +=-ω
ωδj j FT e e X n n x -=?→←-=)(]1[][ω
ωωωω
j j j j j e e e X e e Y ----=-=∴41411)(11)(∴]1[)41(][1
-=-n u n y n ωωj j e e H --=21111)(ωωαβj j e e H --=1)(2∴)1)(1()()()(2121ωω
ωωωαβ
j j j j j e e e H e H e H ----=?=)11
)(28143ω
ωωj j j e e e H --+-=∴
41
=
α1=βω
ωωωωj j j j j e
e e e e H ------+-=+-=
41212814311
1211)(∴
][])()(2[][4121n u n h n
n ?-=
6.23 解：
，
（a ），， （b ）
（c ），，
6.27解：
（a ）方程两边取FT ，得
，
作图：，
???<=other j H C
,0,1)(ωωω)
()()(ωωωj H j e j H j H ∠?= 0)(=∠ωj H ∴
???<==other j H j H C
,0,1)()(ωωωω∴t t t h c πωsin )(=
T j H ωω=∠)(∴
T
j e
j H j H ωωω?=)()(∴
)()(T t t h c +=
π )sgn(20,0,)(2
2
ωπωωωππ=???<->=∠j H ∴??
?<=other j j H c ,0,sgn )(ωωωω∴
???+∞∞-+∞∞-+∞∞-=?==
ωωπωωπωωπωωd t d e j d e j H t h t
j t j )sin(1)sgn(21)(21)(t t t t c
c ππωω)(sin 21)cos(22-=
-=)(2)(2)()(ωωωωj X j Y j Y j =+21
)()()(+=
=
ωωωωj j X j Y j H ωωω102
1010log ~)4(log )(log 20+-=j H ω
ω
ω10log ~)2()(arctg j H -=∠w=0.05:0.05:10000;
x=log10(w);
y=-10*log10(w.^2+4); plot(x,y);
xlabel('log10W');
ylabel('20log|H(jw)|');
（b ）， （c ）
（d ）， （e ）
（i ）
，
（ii ）
，
（ii ）
，
7.21 解：
，
。根据采样定理，要保证可完全从中恢复，要求信号的
最高频率满足：
（a ），，能恢复。 （b ），
，不能恢复。 （c ）虽然
，然而，由于其虚部未知，所以不能确定满足
)2()(ωωarctg j H -=∠∴4
)(2
+=∠-=ωωωτd H d 11)()()(+=
?→←=-ωωj j X t u e t x FT
t ∴
)2)(1(1
2111)()()(++=
+?+=?=ωωωωωωωj j j j j H j X j Y 21
11)(+-++=ωωωj j j Y ∴)()[)(2t u e e t y t
t ---=ωω
ωj j j X ++=
21)(22)2(1
)2(1)2(1)()()(+-+
+=++=
?=ωωωωωωωj j j j j H j X j Y ∴)()()(22t u te e t y t
t ---=ωω
ωj j j X ++=
12)(11
)()()(+=
?=ωωωωj j H j X j Y ∴)()(t u e t y t
-=)1)(2(1
)(ωωωj j j X ++=
22
12
)2(1211)2)(1(1)()()(+-+
+++=++=?=ωωωωωωωωj j j j j j H j X j Y ∴)()()(2221t u te e e t y t t
t ----+=)()(ωj X t x FT
?→←)()(ωj X t x p FT
p ?→← ∑∑+∞
-∞
=+∞
-∞
=-=
-=?=n n T p nT t nT x nT t t x t t x t x )
()()().()()()(δδδ∴
ππωωωπ
200002,)]([1)(2==-=
∑+∞
-∞=T n j X T j X s n T
p )(t x )(t x p )(t x π
ωω100002
=<
s
M ???>=other j X j X ),(5000,0)(ωπωω25000s M ωπω<= ???>=other j X j X ),(15000,0)(ωπωω215000s M ωπω>=??
?>=other j X j X )},(Re{5000,0)}(Re{ωπ
ωω)}(Im{)}(Re{)(ωωωj X j j X j X +=M ωx p (t)
。故，不能恢复。
（d ），
。 又，
，
，能恢复。 （e ），
。 又，则
，，不能恢复。 （f ）
，能恢复。
（g ） 不能确定，不能恢复。
7.22解：
，
，
。根据采样定理，要保证可完全从中恢复，采样频率满足：。秒。
7.27解：
（a ）
令
、如图中标注。
，
其中：
而2s
M ωω<
)()()()(ωωj X j X t x t x FT -=?→
←=**∴)()(ωωj X j X *
=- πωω5000,0)(>=j X ∴πωω5000,0)(-<=j X ∴???>=other j X j X ),(5000,0)(ωπωω25000s M ωπω<= )()()()(ωωj X j X t x t x FT -=?→←=**∴)()(ωωj X j X *
=- πωω15000,0)(-<=j X πωω15000,0)(*-<=j X ∴πωω15000,0)(>=j X ∴???>=other j X j X ),(15000,0)(ωπωω215000s M ωπω>= ??
?>*=*????>=1
12,0),()()()(,0),()(ωωωωωωωωωωother
j X j X j X j X other j X j X ∴
??
?>=????>*=*πωωωπωωωωω7500,0),()(15000,0),()()()(other
j X j X other j X j X j X j X ∴
27500s
M ωπω<
=
??
?>=????>=πωωωπ
ωωω5000,0),()(5000,0,)()(other
j X j X other j X j X 2s
M ωω<
???>=?→←πωωω1000,0),()()(111other j X j X t x FT ??
?>=?→←πωωω2000,0),()()(222other j X j X t x FT
∴
??
?>==?→←=πωωωωω1000,0),()().()()(*)()(2121other j Y j X j X j Y t x t x t y FT
πω1000=∴M )()(ωj Y t y FT
?→←)()(ωj Y t y p FT
p ?→← ∑∑+∞
-∞
=+∞
-∞
=-=
-=?=n n T p nT t nT y nT t t y t t y t y )
()()().()()()(δδδ∴
T n j Y T j Y s n T
p πωωωπ
2,)]([1)(2=-=
∑+∞
-∞=)(t y )(t y p πωωπ200022=>=
M T
s ∴001.0 ([)()()(0110ωωωω+=?→←?=-j X j X e t x t x FT t j )(21210ωωω+=()(12210102ωωωωωω-=--=-)()()(112ωωωj H j X j X ?=x p (t) y p (t) （b ）要使可完全从 中恢复，由（a ）的 图中可得到： ，即： （c ）构建如下图所示系统： ， 8.22 解： 8.28 解： ∑+∞ -=?→←?=?=T p FT T p n j X j X t t x t p t x t x )] ([1)()()()()()(2222πωωδ)(t x )(t x p p 01202ωωωωπ-+<-T 122ωωπ-< T ()()(213ωωωj TH j X j X p ?=)]([)()()(0 34340ωωωω-=?→←?=j X j X e t x t x FT t j ) (21210ωω+=)()()()()()(44441 t x t x t x j X j X j X FT -+=??→←-+=-ωωω )}({2)(4t x Ev t x =∴)]5([)]5([)()5cos()()(02 1 02 11ωωωωωω++-= ?→←?=j X j X j X t t x t x ()(112ωωj X j X =)]3([)]3([)()3cos()()(21 2123ωωωωωω++-=?→←?=j X j X j X t t x t x FT ) ().()(23ωωj H j X j Y =x(t) （a ） ； （b ） 9.21 解： （a ） ， 零点： ；极点：，。零极点+ROC 图为： )] ([)]([)()cos()()(21 211c FT c j X j X j Y t t x t y ωωωωωω-++=?→←?=) ()()(ωωωj H j X j X p ?=)]([)]([)()sin()()(21222c p c p j FT c p j X j X j Y t t x t y ωωωωωω--+=?→←?=)()()()()()(21ωωωj Y j Y j Y t y t y t y FT +=?→←+=)] ([)]([)()cos()()(21211FT c j X j X j Y t t x t y ωωωωωω-++=?→←?=) ()()(ωωωj H j X j X p ?=)]([)]([)()sin()()(2 12 22c p c p j FT c p j X j X j Y t t x t y ωωωωωω--+=?→←?=)()()()()()(21ωωωj Y j Y j Y t y t y t y FT +=?→←+=)3)(2()(23121)()()()(2532+++= +++=?→←+=--s s s s s s X t u e t u e t x LT t t 2}Re{:->s ROC 251- =z s 21-=p s 32-=p s （c ） ， 零点： ；极点：，9.22 解： （a ） （d ） 9.28 解： （a ）由零极点图可得，可能的ROC 为： （1）；（2）；（3）；（4） （b ）在（a ）中： （1）当ROC 为时，系统不稳定、反因果。 （2）当ROC 为时，系统不稳定、非因果。 （3）当ROC 为时，系统稳定、非因果。 （4）当ROC 为时，系统不稳定、因果。 9.31 解： （a ）方程两边取LT 变换，得： ， 零点：；极点： ， （b ） （i ）若系统稳定，则ROC 包含轴，则ROC 为： （ii ）若系统因果，则ROC 为： （iii ）若系统既不因果又不稳定，则ROC 为： 9.32 解： )3)(2()(231 21)()()()(2 532----= --+--= ?→←-+-=s s s s s s X t u e t u e t x LT t t 2}Re{: 1= z s 21=p s 32=p s 0 }Re{,9391 )(231 2>+?=+=s s s s X ∴) ()3sin(31 )(t u t t x ?= 3 }Re{4,42 311272)(2-<<-+++-=+++=s s s s s s s X ∴ )(2)()(43t u e t u e t x t t --+-=2}Re{- 21)()()(2-+= --== s s s s s X s Y s H ∞=s 1 1-=p s 2 2=p s 21)2)(1(1 )(3 13 1-+ +-=-+= s s s s s H ωj s =2}Re{1<<-s ∴) (31 )(31)(2t u e t u e t h t t ---=-2}Re{>s ∴) (31 )(31)(2t u e t u e t h t t +-=-1}Re{- (31 )(31)(2t u e t u e t h t t ---=- 由（a ）可得， ，即： 对（b ）方程两边取LT 变换，得： ， 代 入上式，可得： 又因系统因果，ROC 为：。 9.33 解： 又系统因果， ， 即： 10.21 解： （a ）， 零点：为5阶零点；极点：；收敛域ROC 为整个z 平面，不含无穷远点。 收敛域ROC 包含单位园，其傅里叶变换存在，。 61)(2= =s s H 61 )2(= H )4(4)1(41)(2)(+++=++=+s s b s b s b s s H s sH )4)(2(4)1()(++++= s s s b s b s H 61 )2(= H 1=b ∴ )4(2 )4)(2(42)(+= +++=s s s s s s s H ∴0}Re{>s 1}Re{1,12 )(,)(2 <<---= ?→←+∞<<-∞=-s s s X t e t x LT t ∴1}Re{,1)1(1 221)(2 2->+++=+++= s s s s s s s H ∴ 1)1(1 121)1(112)()()(222++? --=+++?--=?=s s s s s s H s X s Y 1}Re{1<<-s 1)1(1)1()1(1)(2 5 425252+++++++--=s s s s s Y ∴)(sin )(cos )()(545252t u t e t u t e t u e t y t t t ?+?+-=--5)(]5[][z z X n n x ZT =?→ ←+=δ0=z ∞=z 1=z ∴ωω5)(j j e e X = （c ）， 零点：；极点：；收敛域ROC ：。 收敛域ROC 不包含单位圆，其傅里叶变换不存在。 10.22 解： （a ）， 为有限长序列，ROC 为整个z 平面，但不含点。 令： 零点：；极点：为4阶极点。 收敛域ROC 包含单位圆，其傅里叶变换存在。 （d ） 零点：，；极点：，。 收敛域ROC 包含单位圆，其傅里叶变换存在。 10.28 解： （a ） ，ROC 为整个z 平面，不包含原点。 1,1)1(11)(][)1(][1 1>+=--=?→ ←-=--z z z z X n u n x ZT n 0=z 1-=z 1>z 1=z ∴]}5[]4[{)(][21--+=n u n u n x n ) ()2(161221)()()( ][)(21 4991215544121512141214 4 2 1--=--=--== = ---------=-+∞ -∞ =-∑∑z z z z z z z z z z z n x z X n n n n n ][n x ∴0=z 8,,1,0,02 92 2 1 9 9 ==?=--k e z z k j k π ∴8,,2,1,922 1 ==k e z k j k π 0=z 1=z ∴ω ω ωω j j j j e e e e X ----= 2 1 53214116)(]1[)4(]1[)4(]1[)cos(4 ][3 4 3 421 21462--+--=--+=- - n u e e n u e e n u n n x n j j n j j n ππππππ4,411 411 )(1 2 11 2 13 4 3 4 <--+--=----z z e e z e e z X j j j j π π ππ) 4)(4()]cos(24)[cos()41)(41()cos(4)cos(3333124111124πππππ πππj j j j e z e z z z z e z e z -------?--=--?+-=∴01=z z 122cos 24π =z z 3 41π j p e z =3 42π j p e z -= 1=z ∴) 4)(4()]cos(24)[cos()(3 3 124π πω ω ωπ ωπω j j j j j j j e e e e e e e X ---?--= ]6[95.0][][--=n n n x δδ695.01)(--=z z X 0=z （b ） 令：。 零点：；极点：为6阶极点。 ROC 为整个z 平面，不包含 （c ） ， 在处取得最小值，且以为周期。 10.31 解： 由事实2与事实3，可得的表达式形如：。 由事实1，可得：，且收敛域ROC ：。 由事实4，可得：，。则：，。 由事实5，，得。 ，ROC ：。 10.32 解： （a ），而： ，，则 当时： 当时： （b ）对、分别求ZT 变换，得： ，ROC ：整个z 平面； 6 695 .0)(z z z X -=5,.1,0,95.0095.06 2616 =?=?=-k e z z k j k π∴5,.1,0,95.06 26 1 =?=k e z k j k π0=z 0=z 6 5 6 6 ) 95.0(95 .0)(3 61 z e z z z z X k j k ∏=?-=-= π∴ω πω ω 65 ) 95.0()(3 6 1 j k j j j e e e e X k ∏=?-= ∏?-=5 3 61 95.0)(j j j k e e e X πω ω ππωπππ π2,, , ,, ,03 53 43 23=3 π=)(z X ) )(()(212 p p z z z z z K z X --?=*21)(p p z z =21p p z z z =>3/121πj p e z =3/221πj p e z -=))(()(3/2 13/212ππj j e z e z z K z X ---?=21>z 3 8 34cos 1)1)(1()1(4 1 33/2 13/21== +-= --= -K K e e K X j j πππ2=K ∴) )((2)(3/213/212ππj j e z e z z z X ---=21> z ∑+∞ -∞ =-= =k k n h k x n h n x n y ][][][*][][?? ?-≤≤=other N k k x ,01 0,1][][0,00,][k n u a k n k n a k n h k n k n -=???<-≥-=---1≠a ][11][111,110,10,0][][1][111 10 1 101010N n u a a n u a a N n a a a a a N n a a a a a n k n u a a k n u a n y N n n N n n N k k n n n k k n N k k n N k k n ---+--=?????? ??? ->--=-≤≤--=<=-=-?=------=---=--=--=-∑∑∑∑1=a ] [)1(][)1(1,11 0,110,0][][11][1 1 010N n u N n n u n N n N N n n n k n u k n u n y N k n k N k N k k n -+--+=?????? ??? ->=-≤≤+=<=-=-?=∑∑∑∑-==-=-=-][n x ][n h )1(111111)(][][][1 11N N ZT z z z z z z X N n u n u n x -------=---=?→←--= 。 。 当时： ，。可得 当时： ，。可得 注：部分分式展开过程。 ，可得， 10.34 解： （a ）方程两边取ZT 变换，可得 。 零点：，；极点：，。 又系统因果，收敛域ROC 为：。 （b ），， 。 （c ）系统函数的收敛域不包含单位圆，该系统不稳定。 要满足系统稳定，则的收敛域必须包含单位圆，此时为： ，，则 。 10.37 解： （a ）由系统方框图，可得 ，则系统描述的差分方程为： （b ）， 又系统因果，则的收敛域为，包含单位圆，系统稳定。 注：本题扩展问题（扩展问题非常重要，请大家仔细思考并完成）。 a z az z H n u a n h ZT n >-= ?→←=-,11 )(][][1a z az z z z H z X z Y N >-?--=?=∴---,11)1(11)()()(1 11≠a N N N N z az a a z z a az a a z a z az a a z a az z z z Y ---------------+--+---+--=----+--=-?--=11111 1111)1(1)1/(11)1(1)1/(1)1](1)1(1)1/(1[11)1(11)(a z >][11][11] [1][11][1][11][11N n u a a n u a a N n u a a a N n u a n u a a a n u a n y N n n N n n ---+--=---+--+--+-=----1=a ()()() N N z z z z z z Y --------=--=2 121211111)1(11)(1>z ]1[)(][)1(][+---+=N n u N n n u n n y )1)(1()()(1111111111111---------+-+=-+-=-?-az z z B aA B A az B z A az z ? ??==????=+=+---a a a B A B aA B A 111 01∴ 1 1111) 1(1)1/(11111-------+--=-?-az a a z a az z )()()()(121z X z z Y z z Y z z Y ---++=∴) )((11)()()(25 12512211-+-----=--=--==z z z z z z z z z z X z Y z H 01=z z ∞=2z z 2511+=p z 2512-=p z ∴251+>z 1 251125125125115/115/1))(()(---+-+--+-=--= z z z z z z H 25 1+>z ∴][)251()251( 51][)251(51][)251(51][n u n u n u n h n n n n ?? ? ???--+=--+= )(z H 251+>z ∴)(z H )(z H 1251125125125115/115/1))(()(---+-+--+-=--=z z z z z z H 2512 5 1++ -< 1][)251(51][---++= n u n u n h n n 2 9213118911)() ()(----+-==z z z z X z Y z H ]1[][]2[]1[][8992 31--=---+n x n x n y n y n y ) )(()()1)(1(1)(323189 1 32131189+--=+--=---z z z z z z z z H )(z H 3 2>z ∴ （c ）求系统的零极点，并画出零极点+ROC 图。 （d ）求系统单位冲激响应。 （e ）问系统频率响应函数存在吗？若存在，请给出表达式，并大致画出频率响应的模和相位特性图；若不存在， 请说明理由。 （f ）分别画出实现系统的级联型、并联型的方框图。 （g ）分别画出实现系统的直接型、级联型、并联型的信号流程图。 （h ）当有以下各系统输入时，分别求取对应的系统输出。 ① ； ② ； ③ ； ④ 。 ][n h )(ωj e H )(ωj e H ][n x ][n y ()] [][21n u n x n =][2][n u n x n =+∞<<∞-=n n x n ,2][+∞<<∞-=n n n x ),cos(][πs 2}Re{-s )()(2)()(2s X s Y s sY s Y s =--)2)(1(1
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