高考大题专项五
突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.(2018江西上饶一模,20)已知椭圆M:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
,点P1,3
2
在椭圆M上.
(1)求椭圆M的方程;
(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C,D两点,A,B分别为椭圆M的左、右顶点,记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值范围.
2.(2018宁夏银川一中四模,20)已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆
上,有|MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为e=1
2
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知N(4,0),过点N作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆交于A,B不同两点,线段AB的中垂线为l',记l'的纵截距为m,求m的取值范围.
3.(2018北京海淀区二模,20)已知椭圆C:x2+2y2=1的左右顶点分别为A1,A2.
(1)求椭圆C的长轴长与离心率;
(2)若不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点M,直线A1Q与A2P 交于点N.求证:直线MN垂直于x轴.
4.(2018广东珠海质检,20)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.
(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;
(2)设F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范围.
5.(2018重庆巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆x 2a 2
+
y 2b
2=1(a>b>0)与直线
y=√2
2
x-2√2相切,设椭圆的
上顶点为M,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,且△MF 1F 2为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程; (2)直线l 过点N 0,-23
交椭圆于A,B 两点,直线MA 、MB 分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S,T 两
点,求证:O,S,T 三点共线.
6.(2018河北衡水联考,20)已知椭圆x 2
a
2
+
y 2b
2=1(a>b>0)的离心率
e=√3
3
,左、右焦点分别为F 1,F 2,且F 2与
抛物线y 2=4x
的焦点重合. (1)求椭圆的标准方程;
(2)若过F 1的直线交椭圆于B,D 两点,过F 2的直线交椭圆于A,C 两点,且AC ⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.
突破2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
1.(2018福建厦门质检一,20)设O 为坐标原点,椭圆C:x 2
a
2
+
y 2b
2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
2√5
5
.直线l:y=kx+m(m>0)与C 交于A,B 两点,AF 的中点为M,|OM|+|MF|=5. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点P(0,1),PA
????? ·PB ????? =-4,求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.
2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆C:
x 2
a 2
+y 2b
2=1(a>b>0)的离心率为
√2
2
,F 1(-c,0),F 2(c,0)为椭圆C 的左、右焦点,M 为椭圆C 上的任意一点,△MF 1F 2
的面积的最大值为1,A 、B 为椭圆C 上任意两个关于x 轴对称的点,直线x=a 2c
与x 轴的交点为P,直线PB 交椭圆C 于另一点E. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求证:直线AE 过定点.
3.(2018广东一模,20)已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√3
2
,且C过点1,√3
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线l的斜率为定值.
4.已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
5.(2018江西六校联考,20)已知F1,F2分别是椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,其中右焦点为抛物
线y2=4x的焦点,点M-1,√2
2
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A,B两点,过点M-1,√2
2
且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线l是否存在?若存在,请求出l的斜率;若不存在,请说明理由.
6.(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知M√3,1
2是椭圆C:x
2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)上的一
点,F1,F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2√3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.
高考大题专项五 突破1 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.解 (1)因为e=c a
=12
,椭圆M 过点P 1,
32
,所以c=1,a=2,
所以椭圆
M 的方程为x 2
4+y 2
3=1.
(2)当直线l 无斜率时,直线方程为x=1,
此时C 1,-3
2,D 1,3
2,△ABD,△ABC 面积相等,|S 1-S 2|=0; 当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时,设直线方程为y=k(x-1), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2).
由{x 24
+
y 23
=1,
y =k (x -1),
消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0, 显然Δ>0,方程有根,且x 1+x 2=
8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2
,
此时|S 1-S 2|=2||y 2|-|y 1||=2|y 2+y 1|=12|k |
3+4k 2
,
因为k ≠0,上式=123
|k |
+4|k |
≤
122√3
|k |·4|k |
=122√12
=√3k=±√3
2
时等号成立,
所以|S 1-S 2|的最大值为√3,
所以0≤|S 1-S 2|≤√3.
2.解 (1)因为|MF 1|+|MF 2|=4,所以2a=4,所以a=2.
因为e=12
,所以c=1,
所以b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x 24
+
y 2
3
=1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在,设l:y=k(x-4),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{y =k (x -4),x 24+y 23
=1,消去y 得
(4k 2+3)x 2-32k 2x+64k 2-12=0, x 1+x 2=
32k 24k 2+3,x 1x 2=
64k 2-124k 2+3
,
又Δ=(-32k 2)2
-4(4k 2+3)(64k 2-12)>0,解得-1
2 2, 故0 2. 设A,B 的中点为P(x 0,y 0),则 x 0=x 1+x 2 2= 16k 2 4k 2+3, y 0=k(x 0-4)=-12k 4k 2+3, 所以l':y-y 0=-1 (x-x 0), 即 y+12k 4k 2+3=-1 k x-16k 2 4k 2+3 , 化简得y=-1 k x+4k 4k 2 +3 ,令x=0,得m= 4k 4k 2 +3 ,k ∈0,1 2, m'= -16k 2+12(4k 2+3) 2,当k ∈0,1 2时,m'>0恒成立,所以m=4k 4k 2+3 在k ∈0,12上为增函数,所以0 2. 3.(1)解 椭圆C 的方程可化为x 2 2+y 2=1,所以a=√2,b=1,c=1. 所以长轴长为2a=2√2,离心率e=c a = √2 2 . (2)证明 显然直线A 1P,A 2Q,A 1Q,A 2P 的斜率都存在,且互不相等,分别设为k 1,k 2,k 3,k 4. 设直线A 1P 的方程为y=k 1(x+√2),A 2Q 的方程为y=k 2(x-√2), 联立直线A 1P 与直线A 2Q 方程得x M =√2(k 2+k 1) k 2-k 1 . 同理可得x N = √2(k 4+k 3) k 4-k 3. 下面证明 k 1k 4=-1 . 设P(x 0,y 0),则x 02+2y 02 =2. 所以k 1k 4=0 x +√20 x = y 0 2x 02-2 =y 0 2 -2y 0 2=-1 2. 同理 k 2k 3=-1 . 所以x N =√2(-1 2k 1+-1 2k 2) -12k 1--12k 2= √2(k 2+k 1) k 2-k 1 =x M . 所以直线MN 垂直于x 轴. 4.解 (1)由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l 与C 2相切知,C 2(0,0)到l 的距离d=b √2 =2,得b=2√2,所以l:x-y+2√2=0.将l 与C 1的方程联立消x 得y 2-2py+4p √2=0, 其Δ=4p 2-16√2p=0得p=4√2,∴C 1:y 2=8√2x. 综上所述,l:x-y+2√2=0,C 1:y 2=8√2x. (2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同. 此时b>0,又知p>0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 由{y =kx +b ,y 2=2px , 消去y 得k 2x 2+2(kb-p)x+b 2=0, 由Δ=4(kb-p)2-4k 2b 2=0, 得p=2kb,M p 2k 2,p k , 由l 与C 2切于点N 知C 2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d= √1+k =2,得b=2√1+k 2,则p=4k √1+k 2, 故M 2√1+k 2 k ,4√1+k 2. 由{y =kx +b ,x 2+y 2 =4,得N -2k √1+k 2,2√1+k 2, 故|MN|=√1+k 2|x M -x N |=√1+ k 2 2√1+k 2 k +2k √1+k =4k 2+2 k . F p 2 ,0到l:kx-y+b=0的距离d 0= pk 2 +b √1+k =2k 2+2, 所以S 1=S △FMN =12|MN|d 0=2(2k 2+1)(k 2+1) k , 又因为S 2=S △FON =1 2|OF|·|y N |=2k, 所以λ=S 1S 2 = (2k 2+1)(k 2+1) k 2 = 1k 2 +2(k 2+1)=2k 2+1k 2+3≥2√2+3,当且仅当2k 2=1k 2即k=1 √2 4时取等号, 与上同理可得,k<0时亦是同上结论. 综上所述,λ的取值范围是[3+2√2,+∞). 5.(1)解 ∵△MF 1F 2为等腰直角三角形, ∴b=c,a=√2b, ∴椭圆的方程为x 2+2y 2=2b 2. 由{x 2+2y 2=2b 2,x =√2y +4,消去x 整理得:4y 2+8√2y+16-2b 2=0, ∵椭圆与直线相切, ∴Δ=128-16(16-2b 2)=0, 解得b 2=4. ∴椭圆的标准方程为 x 2+2y 2=8,即 x 2 8 +y 2 4=1. (2)证明 由题意得直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx-2 3, 由{y =kx -2 3, x 2+2y 2 =8, 消去y 整理得:(1+2k 2)x 2-8kx-64 =0, ∵直线AB 与椭圆交于两点, ∴Δ=(8 3k)2+4×64 9(2k 2+1)=64 9(9k 2+4)>0. 设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2= 83 k 1+2k 2 ,x 1x 2= -64 9 1+2k 2 , 又M(0,2), ∴MA ?????? ·MB ?????? =x 1x 2+(y 1-2)(y 2-2) =x 1x 2+kx 1-8 3 kx 2-8 3 =(1+k 2)x 1x 2-83k(x 1+x 2)+649 =-649· 1+k 21+2k 2?649· k 21+2k 2 + 649 =649 - 1+k 2+k 21+2k 2 +1=0. ∴MA ⊥MB, ∴∠SMT=π . ∵圆的直径为椭圆的短轴,∴圆心为原点O, ∴点O,S,T 三点共线. 6.解 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=c a =1a = √3 3 ,所以a=√3, 所以 b 2=2,所以椭圆的标准方程为 x 2 3 +y 2 2=1. (2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时, 直线BD 的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x 2 3+y 2 2 =1, 化简得(3k 2+2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0. 设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=-6k 23k 2+2 ,x 1x 2= 3k 2-6 3k 2+2 , |BD|=√1+k ·|x 1-x 2| =√(1+k 2)·[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] = 4√3(k 2+1)3k 2+2 . 易知直线AC 的斜率为-1k , 所以|AC|= 4√3(1 k 2+1) 3×1k 2+2= 4√3(k 2+1)2k 2+3, |AC|+|BD|=4√3(k 2+1)13k 2+2 +12k 2+3 = 20√3(k 2 +1) 2 (3k 2+2)(2k 2+3) ≥20√3(k 2+1) 2[ (3k 2 +2)+(2k 2 +3) 2 ]2 = 20√3(k 2+1) 2 25(k 2 +1) 24 = 16√3 5 , 当k 2=1,即k=±1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为 16√3 5. ②当直线BD 的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=10√33>16√3 5. 综上所述,|AC|+|BD|的最小值为16√3 5. 突破2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1.解 (1)设椭圆的右焦点为F 1,则OM 为△AFF 1的中位线. ∴OM=12AF 1,MF=1 2AF, ∴|OM|+|MF|=|AF |+|AF 1| 2 =a=5, ∵e=c a = 2√5 5 , ∴c=2√5, ∴b=√5, ∴椭圆 C 的方程为x 225+y 2 5=1. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 联立{y =kx +m ,x 225+y 25 =1, 消去y 整理得 (1+5k 2)x 2+10mkx+5m 2-25=0. ∴Δ>0,x 1+x 2=-10km 1+5k 2,x 1x 2= 5m 2-25 1+5k 2 , ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m= 2m 1+5k 2 ,y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2= 5k 2 m 2-25k 2-10k 2m 2+m 2+5k 2m 2 1+5k 2 = -25k 2+m 2 1+5k 2 , ∵P(0,1),PA ????? ·x B ?????? =-4, ∴(x 1,y 1-1)·(x 2,y 2-1)=x 1x 2+y 1y 2-(y 1+y 2)+1=-4, ∴ 5m 2-251+5k 2 + -25k 2+m 21+5k 2 ? 2m 1+5k 2 +5=0,整理得3m 2-m-10=0, 解得m=2或m=-5 3(舍去). ∴直线l 过定点(0,2). 2.(1)解 ∵当M 为椭圆C 的短轴端点时,△MF 1F 2的面积的最大值为1, ∴12×2c×b=1,∴bc=1,∵e=c a = √22 ,a 2=b 2+c 2 ,∴a= √2,b=1,∴椭圆 C 的标准方程为x 22+y 2 =1. (2)证明 设B(x 1,y 1),E(x 2,y 2),A(x 1,-y 1),且x 1≠x 2, ∵x=a 2 c =2,∴P(2,0),由题意知BP 的斜率必存在,设 BP:y=k(x-2),代入x 22 +y 2 =1得(2k 2+1)x 2-8k 2x+8k 2-2=0,由Δ>0得k 2<12,x 1+x 2=8k 22k 2+1,x 1·x 2=8k 2-22k 2+1 . ∵x 1≠x 2∴AE 斜率必存在,AE:y+y 1=y 1+y 2 x 2-x 1 (x-x 1), 由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上,则当y=0时,得x= y 1(x 2-x 1)y 1+y 2 +x 1= y 1x 2+y 2x 1y 1+y 2 = k (x 1-2)x 2+k (x 2-2)x 1 k (x 1+x 2)-4k = 2x 1x 2-2(x 1+x 2) x 1+x 2-4 = 2·8k 2-22k 2+1-2·8k 2 2k 2 +1 8k 2 2k 2+1 -4=1,即在k 2<1 2的条件下,直线AE 过定点(1,0). 3.(1)解 由题意可得{ c a =√32, 1a 2+34b 2 =1,a 2=b 2+c 2, 解得{a =2,b =1. 故椭圆C 的方程为x 24+y 2 =1. (2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为y=kx+m(m ≠0), 由{y =kx +m ,x 24 +y 2 =1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0, ∵直线l 与椭圆交于两点, ∴Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0. 设点P,Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1+x 2= -8km 1+4k 2,x 1x 2= 4(m 2-1)1+4k 2 , ∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2. ∵直线OP,l,OQ 的斜率成等比数列, ∴k 2=y 2 x 2 ·y 1 x 1 = k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 x 1x 2 , 整理得km(x 1+x 2)+m 2=0, ∴ -8k 2m 21+4k 2 +m 2=0, 又m ≠0,所以k 2=1 4 , 结合图象(图略)可知,k=-1 2,故直线l 的斜率为定值. 4.解 (1)设椭圆C 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n), 椭圆C 过点A,所以4m+n=1. ① 将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x 2+6nx+9n-1=0. 因为直线l 与椭圆C 相切, 所以Δ=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0, ② 解①②可得m=1 6,n=1 3. 所以椭圆的标准方程为x 2 6 +y 2 3=1. (2)设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 则有M x 1+22 ,y 1+1 2,N x 2+22 ,y 2+1 2. 由题意可知PQ ∥MN,所以k PQ =k MN =1. 设直线PQ 的方程为y=x+t(-3 当t ≠0时,代入椭圆方程并化简得3x 2+4tx+2t 2-6=0, Δ=(4t)2-4×3(2t 2-6)=-8t 2+72>0, 所以{x 1+x 2=-4t 3 , x 1x 2=2t 2-6 3 , ③ k OM +k ON =y 1+1 x 1+2 +y 2+1 x 2 +2=x 1+t+1x 1+2+x 2+t+1 x 2+2, 通分后可变形得到k OM +k ON =2x 1x 2+(t+3)(x 1+x 2)+4t+4 x 1x 2+2(x 1+x 2)+4 , 将③式代入得 k OM +k ON = 2(2t 2-6)+(t+3)(-4t )+12t+12-4t+2(2t 2-6)+12 = 4t 2-4t =0. 当t=0时,直线PQ 的方程为y=x,易得P(√2,√2),Q(-√2,-√2),则M 2+√22 ,1+√2 2,N 2-√22 ,1-√2 2,所 以k OM +k ON = 1+√22+√2+1-√2 2-√2 =0. 所以OM,ON 斜率之和为定值0. 5.解 (1)由y 2=4x 的焦点为(1,0)可知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0), 又点M -1, √2 2 在椭圆上,所以{1a 2 + 12b 2 =1, a 2= b 2+ c 2,c =1, 解得{a 2=2,b 2=1, 所以椭圆 C 的标准方程为x 22+y 2 =1. (2)由题意可设直线l 的方程为y=k(x-1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x 22 +y 2=1, y =k (x -1), 消去y,得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,所以 x 1+x 2= 4k 2 1+2k 2 ,x 1x 2= 2k 2-21+2k 2 . 所以|AB|=√1+ k 2√(x 1 +x 2)2 -4x 1x 2= 2√2(1+k 2)1+2k 2 . 设直线MN 的方程为y-√2 2=k(x+1),M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),由{x 22 +y 2=1, y -√2 2=k (x +1), 消去y,得(1+2k 2)x 2+(4k 2+2√2k)x+(2k 2+2√2k-1)=0,因为x 3=-1,所以x 4=-2k 2+2√2k -11+2k 2 ,|MN|=√1+k 2|x 3-x 4|=√1+k 2 |2√2k -2|1+2k 2 . 因为四边形MNBA 为平行四边形,所以|AB|=|MN|,即 2√2(1+k 2)1+2k 2 =√1+k 2 |2√2k -2|1+2k 2,k=-√2 4, 但是,直线l 的方程y=-√2 4(x-1),即x+2√2y-1=0过点M -1,√2 2,即直线AB 与直线MN 重合,不符合题意,所以直线l 不存在. 6.解 (1)由题意,知F 1(-√3,0),F 2(√3,0),根据椭圆定义得|MF 1|+|MF 2|=2a, 所以2a=√(√3+√3)2 +(1 2-0)2+√(√3-√3)2 +(1 2-0)2=4, 所以a 2=4,b 2=a 2-c 2=1, 所以椭圆 C 的方程为x 24+y 2 =1. (2)|OA|2+|OB|2为定值.设直线AB:y=kx+m(km ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由 {y =kx +m ,x 24 +y 2 =1,消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 则Δ=(8km)2-16(m 2-1)(4k 2+1)>0, x 1+x 2=-8km 1+4k 2 ,x 1x 2= 4m 2-4 1+4k 2 , 因为k1k2=k2,所以kx1+m x1·kx2+m x2 =k2, 即km(x1+x2)+m2=0(m≠0),解得k2=1 4 , 所以|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=3 4[(x1+x2)2-2x1x2]+2=5, 所以|OA|2+|OB|2=5. 《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1 8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为（） D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大. 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A. B ．11+ i 2 - C ． D ． 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1 1+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为 13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) C 的渐近线方程 为( )． A ． B ． C ．1 2 y x =± D ． 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵2e = 2c a =，即2254 c a =. I单元统计 I1随机抽样 17．I1，I2[2013·安徽卷] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下： (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)； (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1， x 2，估计x 1－x 2的值． 17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由题意知，30 n ＝0.05，即n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′，根据样本茎叶图可知， 30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′ ＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15. 因此x 1′－x 2′＝0.5，故x 1－x 2的估计值为0.5分． 3．I1[2013·湖南卷] 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 3．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n 120＋80＋60，解得n ＝13， 选D. 2016全国2卷高考文科数学试卷及答案 2016年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合{}3,2,1=A ，{}9 2 <=x x B ，则=B A I （A ）{}3,2,1,0,1,2-- （B ）{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,1 （D ）{}2,1 （2） 设复数z 满足i i z -=+3，则=z （A ）i 21+- （B ）i 21- （C ）i 23+ （D ）i 23- （3） 函数)sin(?ω+=x A y 的部分图像如图所 示，则 （A ）)6 2sin(2π -=x y （B ）) 3 2sin(2π -=x y （C ）)6 2sin(2π+=x y （D ）) 3 2sin(2π +=x y （4） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 面的表面积为 y x π3 -π6 O -2 2 （A ）π12 （B ）π3 32 （C ）π8 （D ）π 4 （5） 设F 为抛物线C ：x y 42 =的焦点，曲线)0(>=k x k y 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （A ）2 1 （B ）1 （C ）2 3 （D ）2 （6） 圆0 138222 =+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为 1 ，则=a （A ）3 （B ）4 3- （C ）3 （D ）2 （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成 的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿 灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的 否 是 0 ,0==s k n k > 输入 开 始 输入 1 +=+?=k k a x s s 44 4 23 2014年高考数学文科分类------集合与简易逻辑 （安徽）2命题“0||,2 ≥+∈?x x R x ”的否定是（ ） A.0||,2<+∈?x x R x B. 0||,2≤+∈?x x R x C. 0||,2000<+∈?x x R x D. 0||,2000≥+∈?x x R x 北京1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 （福建卷）1若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P I 等于（ ） A ．}43|{<≤x x B ．}43|{< 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型 题型一 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴 的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标． [解] (1)由题意得，c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋ c 2， ∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立，得? ???? y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4 4k 2＋1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→ ＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2 ＝0， ∴(k 2＋1) 4m 2－44k 2 ＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1 ＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－3 5 或m ＝1(舍去)． 高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3 概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只 兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰 好选中2名女生的概率为 ． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个 数x ，则x D ∈ 的概率是 ． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 全国高考文科数学近三年试题分类汇编 大题分类之选做题 （1）坐标系与参数方程 1.（2015卷1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ= ∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ?的面积. 2.（2015卷2）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα =??=?（t 为参数，且0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ= （1）求23,C C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于A ，1C 与3C 相交于B ，求AB 的最大值. 3.（2016卷1）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程cos 1sin x a t y a t =??=+? （t 为参数，且0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ= （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求0α. 4.（2016年卷2）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++= （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα =?? =?（t 为参数），l 与C 相交于,A B 两点，AB =l 的斜率. 5.（2017年卷1）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程3cos sin x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t =+??=-?（t 为参数）， （1）若1a =-，求C 与l 交点的坐标；（2）若C 上的点到l ，求a . 6.（2017年卷2）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ= （1）M 为曲线1C 的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2, )3π，点B 在曲线2C 上，求OAB V 的面积的最大值. 2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1 （12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 < 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页，满分150分。 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B ．A I B =? C ．A U B 3|2x x ? ?= 2012年高考试题分类汇编：导数 1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 【答案】C 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12 为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12 x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A）（-1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞） 【答案】B 5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C． 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8【答案】C 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3ln x+1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】3 4- =x y 8.【2012高考上海文13】已知函数() y f x =的图像是折线段ABC，其 中(0,0) A、 1 (,1) 2 B、(1,0) C，函数() y xf x =（01 x ≤≤）的图像及x轴围成 的图形的面积为【答案】 4 1。 2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=, 所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=. 高考文科数学数列高考 题 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知 为等差数列， ， 则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列 {}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等 比中项, 832S =,则10S 等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前 n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等 于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 5.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且 7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ ( ) （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等 比中项，则数列的前10项之和是 ( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大 整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则 {215+}，[215+],215+ ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古 希腊人常用小石 子在沙滩上摆成 图 2 1俯视图 侧视图 正视图2 11.（北京8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点， 则 P 到各顶点的距离的不同取值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2.（广东卷6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．1 6 B ．1 3 C ．2 3 D ．1 3. （广东卷8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4. （湖南卷7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 A ． 3 B.1 C. 21 + D.2 5. 江西卷8）.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 6. （辽宁卷10）已知三棱柱 1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A ． 317 B ．210 C ．13 2 D ．310 B ．. （全国卷11）已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （A ） 23 （B ）3 （C ）23 （D ）1 3 8. （四川卷2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
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