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实际问题与二次函数—知识讲解(提高)

实际问题与二次函数—知识讲解(提高)
实际问题与二次函数—知识讲解(提高)

实际问题与二次函数—知识讲解(提高)

【学习目标】

1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题,培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识.

2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程,深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模

型.

【要点梳理】

要点一、列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤:

(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系).

(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.

(3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.

(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案.

(6)写出答案.

要点诠释:

常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.

要点二、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.

要点诠释:

(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题:

①首先必须了解二次函数的基本性质;

②学会从实际问题中建立二次函数的模型;

③借助二次函数的性质来解决实际问题.

【典型例题】

类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值

1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖

情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y 1(元)与销售月份x (月)满足关系式

13

368

y x =-+,而其每千克成本2y (元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.

(1)试确定b ,c 的值;

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;(不要求指出x 的取

值范围)

(3)“五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】

(1)把(3,25),(4,24)代入2

218

y x bx c =

++中,得 19325,8116424.8

b c b c ??++=???

??++=?? 解方程组得15,8

59.

2b c ?

=-????=?? (2)根据题意,得21231

15593688

82y y y x x x ????=-=-

+--+ ? ?????

2311559

368882x x x =-+-+-

21313822

x x =-++.

所以y 与x 的函数关系式为21313

822

y x x =-++.

(3)由(2)得,2

1(6)118y x =--+,因为108

a =-<,所以当x <6时,y 随x 的增大而增大,所

以“五一”之前,四月份出售这种水产品每千克的利润最大,最大利润为10.5元.

【点评】在用二次函数知识解决实际问题时,有的同学易忽略自变量的取值范围,有的题目结果中的值

看上去有意义,但不一定符合题意,有的题目本身就隐含着对自变量的限制,常常考虑不周而造成错解. 举一反三:

【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不

高于每件70元,试销中销售量y (件)与销售单价x (元)的关系可以近似的看作一次函数(如

图).

(1)求y 与x 之间的函数关系式;

(2)设公司获得的总利润为P 元,求P 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;根据题意判断:当x 取何值时,P 的值最大?最大值是多少?(总利润=总销售额-总成本)

【答案】(1)设y 与x 的函数关系式为:y kx b =+(k≠0),

∵函数图象经过点(60,400)和(70,300)

∴???+=+=b

k b

k 7030060400 解得???=-=100010b k

∴100010+-=x y

(2))1000

10)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P (50≤x ≤70)

∵7520

15002=--=-a b ,10-=a <0

∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下, 对称轴是直线x=75

∵50≤x ≤70,此时y 随x 的增大而增大, ∴当x =70时,6000=最大值P .

类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽为4m ,顶部距离地面的高度为4.4m ,现有一辆满载货物的汽车欲通大门,其装货宽度为2.4m ,该车要想过此门,装货后 的最大高度应是多少m ?

【思路点拨】

因为校门是抛物线形,不妨将这一问题转化为二次函数进行研究,建立适当的直角坐标系,将

已知数据转化为点的坐标,从而确定函数关系式,再根据关系式求高.

【答案与解析】

解:建立如图平面直角坐标系:

设抛物线的解析式为y=ax 2

由题意得:点A 的坐标为(2,﹣4.4),

∴﹣4.4=4a,

解得:a=﹣1.1,

∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2,

当x=1.2时,

y=﹣1.1×1.44=﹣1.584,

∴线段OB的长为1.584米,

∴BC=4.4﹣1.584=2.816米,

∴装货后的最大高度为2.816米,

故答案为:2.816米.

【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;

(5)利用关系式求解问题.

类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

3. 如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐,已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m,若该运动员身高1.8 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?

【答案与解析】

如图所示,在直角坐标系中,点A(1.5,3.05)表示篮筐,点B(0,3.5)表示球运行的最大高度,点C表示球员篮球出手处,其横坐标为-2.5,

设C 点的纵坐标为n ,过点C 、B 、A 所在的抛物线的解析式为2()y a x h k =-+,由于抛物线开口向下,则点B(0,3.5)为顶点坐标,∴ 2 3.5y ax =+. ∵ 抛物线2 3.5y ax =+经过点A(1.5,3.05), ∴ 3.05=a ·1.52

+3.5, ∴ 15

a =-

. ∴ 抛物线解析式为2

1 3.55

y x =-

+. ∴ 2

1

( 2.5) 3.55

n =-?-+,

∴ n =2.25.

∴ 球出手时,球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)=0.20(米).

【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系,构造函数模型,将已知数据转化为点的坐标,然后利用待

定系数法求出函数解析式,再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标,结合已知条件,得到实际问题的解.

类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题

4. 一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ,下部是一个矩形ABCD .

(1)当AD =4米时,求隧道截面上部半圆O 的面积;

(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米,半圆O 的半径为r 米.

①求隧道截面的面积S(m)2

关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围);

②若2米≤CD ≤3米,利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.(π取3.14,结果精确到0.1米) 【思路点拨】

①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式;

②利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内确定面积的最大值. 【答案与解析】

(1)2S π=半圆(米2

);

(2)①∵ AD =2r ,AD+CD =8,∴ CD =8-AD =8-2r , ∴ 2221112(82)416222S r AD CD r r r r r πππ??

=

+=+-=-+ ???

. ②由①知,CD =8-2r ,又∵ 1.2米≤CD≤3米,

∴ 2≤8-2r≤3,∴ 2.5≤r≤3.

由①知,214162S r r π??=-+ ???2

28642.4316 2.434 2.43 2.43r r ?

?-+=--+ ?

?

?≈. ∵ -2.43<0,∴ 函数图象为开口向下的抛物线,函数图象对称轴8

3.32.43

r =

≈, 又2.5≤r≤3,由函数图象知,在对称轴左侧S 随r 的增大而增大,故当r =3时,S 有最大值.

21431632S π??=-?+? ???最大1 3.14494826.12??

?-?+ ???

≈≈(米2).

【点评】解此类问题,一般先应用几何图形的面积公式,写出图形的面积与边长之间的关系,再用配方法或公式法求顶点坐标,结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积.

举一反三:

【变式】如图,矩形纸片ABCD ,AD=8,AB=10,点F 在AB 上,分别以AF 、FB 为边裁出的两个小正方形纸片面积和S 的取值范围是 .

【答案】50≤S ≤68.

【解析】解:设AF=x ,则BF=10﹣x ,由题意,得

S=x 2

+(10﹣x )2

S=2x 2

﹣20x+100,

S=2(x ﹣5)2

+50. ∴a=2>0,

∴x=5时,S 最小=50. ∵2≤x ≤8,

当x=2时,S=68, 当x=8时,S=68. ∴50≤S ≤68.

故答案为:50≤S≤68.

二次函数知识点大全

二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0

二次函数知识点详解和巧记口诀

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点P(x,y)在y 轴上0=?x ,y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上?x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y)到原点的距离等于22y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法

二次函数知识点总结及中考题型总结

二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 (一)二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数, 叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质:

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为 2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当 2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时, y 有最大值2 44ac b a -.

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0

二次函数考点和题型归纳

二次函数考点和题型归纳 一、基础知识 1.二次函数解析式的三种形式 一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0); 顶点式:f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0); 两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2.二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中,系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小; (2)- b 2a 的值决定图象对称轴的位置; (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点; (4)b 2-4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数. 解析式 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) f (x )=ax 2+bx +c (a <0) 图象 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 ??? ?4ac -b 24a ,+∞ ? ???-∞,4ac -b 24a 单调性 在??? ?-b 2a ,+∞上单调递增;在????-∞,-b 2a 上单调递减 在? ???-∞,-b 2a 上单调递增;在??? ?-b 2a ,+∞上单调递减 奇偶性 当b =0时为偶函数,当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????-b 2a ,4ac -b 24a 对称性 图象关于直线x =-b 2a 成轴对称图形

二、常用结论 1.一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0,且Δ<0”. (2)“ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0,且Δ<0”. 2.二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),闭区间为[m ,n ]. (1)当-b 2a ≤m 时,最小值为f (m ),最大值为f (n ); (2)当m <-b 2a ≤m +n 2时,最小值为f ????-b 2a ,最大值为f (n ); (3)当 m +n 2<-b 2a ≤n 时,最小值为f ????-b 2a ,最大值为f (m ); (4)当-b 2a >n 时,最小值为f (n ),最大值为f (m ). 考点一 求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常利用待定系数法,但由于条件不同,则所选用的解析式不同,其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. [解] 法一:利用二次函数的一般式 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由题意得?? ? 4a +2b +c =-1, a - b + c =-1, 4ac -b 2 4a =8, 解得????? a =-4, b =4, c =7. 故所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7. 法二:利用二次函数的顶点式 设f (x )=a (x -m )2+n .

(完整版)二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减)

3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.

方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

二次函数知识点汇总

二次函数知识点汇总 一、二次函数概念: 1 .二次函数的概念 : 一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数。 这里需要 强调 :和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是 2 . ⑵ 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 . 向下 轴 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 .

2. 的性质: (上加下减) 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 . 向下 轴 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 . 3. 的性质: (左加右减) 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .

向下 X=h 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 . 4. 的性质: 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 . 向下 X=h 时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 . 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:

二次函数知识点总结题型分类总结

二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ; ②2 2x y =; ③x x y 422 +=; ④x y 3-=; ⑤12--=x y ; ⑥p nx mx y ++=2 ; ⑦()x y ,4=; ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为t t s 252 +=,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数,则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数,求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆:如果解析式为顶点式:()k h x a y +-=2 ,则对称轴为: _ , 最值 为: ; 如果解析式为一般式:c bx ax y ++=2 ,则对称轴为: __ ,最值为: ; 如果解析式为交点式:()()21x x x x a y --=, 则对称轴为: ,最值为: 。 1.抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点,则m 的值为 。 2.抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = . 3.抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线x ax y 62-=经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5.若直线b ax y +=不经过二、四象限,则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6.已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2,则m 的值是 . 7.抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8.若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x =1,则m = 。 9.当n =______,m =______时,函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线,

二次函数知识点汇总及详细剖析

二次函数知识点汇总及详细剖析 函数中,有一种多项式函数形如y= ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),最高次数是2,这种函数,我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多,初高中都会出现,在初中,刚刚出现在一次函数数形结合学习之后,因此,二次函知识点离不开数形结合思想。二次函数主要知识点: 一、定义与定义表达式: 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二、二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h) 2;+k[抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x- x1)(x- x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac- b2)/4a x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a 三、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 四、抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。 对称轴为直线:x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为P[-b/2a,(4ac-b2;)/4a]。 当-b/2a=0时,P在y轴上; 当Δ=b2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c)。 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一:二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-2x-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y <0;③ y>0

知识点二:二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2) 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 (3)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例1】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A (1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则: (1)abc 0 (>或<或=) (2)a 的取值范围是 ? 【例3】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( ) A.y = (x ? 2)2 + 1 B .y = (x + 2)2 + 1 C .y = (x ? 2)2 ? 3 D.y = (x + 2)2 – 3

二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, (3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 三、二次函数的性质

二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

① 二次函数 考点一 一般地,如果y =ax 2+bx +c(a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的二次函数. 1.结构特征:①等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式;②x 的最高次数是2;③二次项系数a ≠0. 2.二次函数的三种基本形式 一般形式:y =ax 2+bx +c(a 、b 、c 是常数,且a ≠0); 顶点式:y =a(x -h)2+k(a ≠0),它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ,k); 交点式:y =a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标. 考 点二 二次函数的图象和性质

考点三 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 考点四 任意抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2经过平移得到,具体平移方法如下: 考点五 1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 若已知条件是图象上三个点的坐标.则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a、b、c的值.2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式 考点六 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系. ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题),用二次函数的性质求解,同时注意自变量的取值范围. (1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是() A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2)D.(1,-4) (2)将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为() A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4 C.y=(x+1)2+2 D.y=(x-1)2+2 (3)函数y=x2-2x-2的图象如下图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ②

二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式:2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠;其中,(,)m n 为抛物线顶点坐标,x m =为对称轴方程. (3)零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠,其中,12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2.二次函数的图像 二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2b x a =- ,顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. (1) 单调性与最值 ①当0a >时,如图2-8所示,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时, 2min 4()4ac b f x a -=;②当0a <时,如图2-9所示,抛物线开口向下,函数在(,] 2b a -∞-上递增,在[,) b -+∞上递减,当 b x =- 时,;24()4ac b f x a -=. (2) 当2 40b ac ?=->时,二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ,1212|||||| M M x x a =-== . 二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ,最小值是m , 图2-9

二次函数知识点梳理

初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质:上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质:左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得 到前者,即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、 与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -.

初中二次函数知识点详解及助记口诀

二次函数知识点详解(最新原创助记口诀) 知识点一、平面直角坐标系 1,平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上,x为任意实数 点P(x,y)在y轴上,y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x轴的距离等于 (2)点P(x,y)到y轴的距离等于 (3)点P(x,y)到原点的距离等于 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四,正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。 特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线

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