实际问题与二次函数—知识讲解(提高)
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题,培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识.
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程,深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模
型.
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤:
(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系).
(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.
(3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.
(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案.
(6)写出答案.
要点诠释:
常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.
要点诠释:
(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题:
①首先必须了解二次函数的基本性质;
②学会从实际问题中建立二次函数的模型;
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值
1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖
情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y 1(元)与销售月份x (月)满足关系式
13
368
y x =-+,而其每千克成本2y (元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.
(1)试确定b ,c 的值;
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;(不要求指出x 的取
值范围)
(3)“五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 【答案与解析】
(1)把(3,25),(4,24)代入2
218
y x bx c =
++中,得 19325,8116424.8
b c b c ??++=???
??++=?? 解方程组得15,8
59.
2b c ?
=-????=?? (2)根据题意,得21231
15593688
82y y y x x x ????=-=-
+--+ ? ?????
2311559
368882x x x =-+-+-
21313822
x x =-++.
所以y 与x 的函数关系式为21313
822
y x x =-++.
(3)由(2)得,2
1(6)118y x =--+,因为108
a =-<,所以当x <6时,y 随x 的增大而增大,所
以“五一”之前,四月份出售这种水产品每千克的利润最大,最大利润为10.5元.
【点评】在用二次函数知识解决实际问题时,有的同学易忽略自变量的取值范围,有的题目结果中的值
看上去有意义,但不一定符合题意,有的题目本身就隐含着对自变量的限制,常常考虑不周而造成错解. 举一反三:
【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不
高于每件70元,试销中销售量y (件)与销售单价x (元)的关系可以近似的看作一次函数(如
图).
(1)求y 与x 之间的函数关系式;
(2)设公司获得的总利润为P 元,求P 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;根据题意判断:当x 取何值时,P 的值最大?最大值是多少?(总利润=总销售额-总成本)
【答案】(1)设y 与x 的函数关系式为:y kx b =+(k≠0),
∵函数图象经过点(60,400)和(70,300)
∴???+=+=b
k b
k 7030060400 解得???=-=100010b k
∴100010+-=x y
(2))1000
10)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P (50≤x ≤70)
∵7520
15002=--=-a b ,10-=a <0
∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下, 对称轴是直线x=75
∵50≤x ≤70,此时y 随x 的增大而增大, ∴当x =70时,6000=最大值P .
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽为4m ,顶部距离地面的高度为4.4m ,现有一辆满载货物的汽车欲通大门,其装货宽度为2.4m ,该车要想过此门,装货后 的最大高度应是多少m ?
【思路点拨】
因为校门是抛物线形,不妨将这一问题转化为二次函数进行研究,建立适当的直角坐标系,将
已知数据转化为点的坐标,从而确定函数关系式,再根据关系式求高.
【答案与解析】
解:建立如图平面直角坐标系:
设抛物线的解析式为y=ax 2
,
由题意得:点A 的坐标为(2,﹣4.4),
∴﹣4.4=4a,
解得:a=﹣1.1,
∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2,
当x=1.2时,
y=﹣1.1×1.44=﹣1.584,
∴线段OB的长为1.584米,
∴BC=4.4﹣1.584=2.816米,
∴装货后的最大高度为2.816米,
故答案为:2.816米.
【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;
(5)利用关系式求解问题.
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3. 如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐,已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m,若该运动员身高1.8 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
【答案与解析】
如图所示,在直角坐标系中,点A(1.5,3.05)表示篮筐,点B(0,3.5)表示球运行的最大高度,点C表示球员篮球出手处,其横坐标为-2.5,
设C 点的纵坐标为n ,过点C 、B 、A 所在的抛物线的解析式为2()y a x h k =-+,由于抛物线开口向下,则点B(0,3.5)为顶点坐标,∴ 2 3.5y ax =+. ∵ 抛物线2 3.5y ax =+经过点A(1.5,3.05), ∴ 3.05=a ·1.52
+3.5, ∴ 15
a =-
. ∴ 抛物线解析式为2
1 3.55
y x =-
+. ∴ 2
1
( 2.5) 3.55
n =-?-+,
∴ n =2.25.
∴ 球出手时,球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)=0.20(米).
【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系,构造函数模型,将已知数据转化为点的坐标,然后利用待
定系数法求出函数解析式,再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标,结合已知条件,得到实际问题的解.
类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题
4. 一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ,下部是一个矩形ABCD .
(1)当AD =4米时,求隧道截面上部半圆O 的面积;
(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米,半圆O 的半径为r 米.
①求隧道截面的面积S(m)2
关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围);
②若2米≤CD ≤3米,利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.(π取3.14,结果精确到0.1米) 【思路点拨】
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式;
②利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内确定面积的最大值. 【答案与解析】
(1)2S π=半圆(米2
);
(2)①∵ AD =2r ,AD+CD =8,∴ CD =8-AD =8-2r , ∴ 2221112(82)416222S r AD CD r r r r r πππ??
=
+=+-=-+ ???
. ②由①知,CD =8-2r ,又∵ 1.2米≤CD≤3米,
∴ 2≤8-2r≤3,∴ 2.5≤r≤3.
由①知,214162S r r π??=-+ ???2
28642.4316 2.434 2.43 2.43r r ?
?-+=--+ ?
?
?≈. ∵ -2.43<0,∴ 函数图象为开口向下的抛物线,函数图象对称轴8
3.32.43
r =
≈, 又2.5≤r≤3,由函数图象知,在对称轴左侧S 随r 的增大而增大,故当r =3时,S 有最大值.
21431632S π??=-?+? ???最大1 3.14494826.12??
?-?+ ???
≈≈(米2).
【点评】解此类问题,一般先应用几何图形的面积公式,写出图形的面积与边长之间的关系,再用配方法或公式法求顶点坐标,结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积.
举一反三:
【变式】如图,矩形纸片ABCD ,AD=8,AB=10,点F 在AB 上,分别以AF 、FB 为边裁出的两个小正方形纸片面积和S 的取值范围是 .
【答案】50≤S ≤68.
【解析】解:设AF=x ,则BF=10﹣x ,由题意,得
S=x 2
+(10﹣x )2
,
S=2x 2
﹣20x+100,
S=2(x ﹣5)2
+50. ∴a=2>0,
∴x=5时,S 最小=50. ∵2≤x ≤8,
当x=2时,S=68, 当x=8时,S=68. ∴50≤S ≤68.
故答案为:50≤S≤68.
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二 二次函数知识点详解(最新原创助记口诀) 内含 <全文看完后 再决定下不下载> 十二个知识点 最新原创助记口诀 用心背后就知好 二次函数疑难问题一扫光 简洁实用 直指中考高分 知识点一、平面直角坐标系 1,平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O (即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a ,b )表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当b a ≠时,(a ,b )和(b ,a )是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ,x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ,y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上,又在y 轴上?x ,y 同时为零,即点P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x 轴的距离等于y (2)点P(x,y)到y 轴的距离等于x (3)点P(x,y)到原点的距离等于22y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 (一)二次函数知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数, 叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位, c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为 2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当 2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时, y 有最大值2 44ac b a -. 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质二次函数知识点详解和巧记口诀
二次函数知识点总结及中考题型总结
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点总结及典型题目