2011年江苏省南通市高三第一次调研测试数学试
卷
? 2011 菁优网
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1、已知集合M={﹣1，1}，N={x|1≤2x≤4}，则M∩N=_________．
2、已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为_________．
3、设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=_________．
4、根据如图的算法，输出的结果是_________．
5、某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是_________人．
6、若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_________．
7、设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是_________．
8、双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是_________．
9、函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，则正数ω的值为_________．
10、若圆C：（x﹣h）2+（y﹣1）2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为_________．
11、在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|=，则点C的坐标是_________．
12、已知函数，若f′（x）=0在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为_________．
13、已知，若对?x1∈[﹣1，3]，?x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是_________．
14、已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是_________．
二、解答题（共9小题，满分130分）
15、已知向量a，b满足||=2，||=1，|﹣|=2．
（1）求?的值；
（2）求|+|的值．
16、如图，已知?ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．
17、如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数
（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中
间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
18、如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为
l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
19、设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx﹣ax2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．
20、已知数列{a n}为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q=时，在数列{a n}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{a n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．21、A．选修4﹣1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4﹣2：矩阵与变换
曲线C1=x2+2y2=1在矩阵M=[]的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．
C．选修4﹣4：坐标系与参数方程
P为曲线C1：（θ为参数）上一点，求它到直线C2：（t为参数）距离的最小值．D．选修4﹣5：不等式选讲
设n∈N*，求证：++L+≤．
22、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．用数学归纳法证明：
．
23、某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00，8：20，8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为，8：20发出的概率为，8：40发出的概率为；第二班客车在9：00，9：20，9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为，9：20发出的概率为，9：40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位
旅客预计8：10到站．求：
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．
答案与评分标准
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1、已知集合M={﹣1，1}，N={x|1≤2x≤4}，则M∩N={1}．
考点：交集及其运算。
专题：计算题。
分析：先通过解指数不等式化简集合N，利用集合交集的定义求出M∩．
解答：解：∵N={x|1≤2x≤4}={x|0≤x≤2}
又∵M={﹣1，1}，
∴M∩N={1}
故答案为：{1}
点评：在解决集合的运算时，先化简各个集合，再利用交、并、补的定义求出结果．
2、已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为0.2．
考点：互斥事件的概率加法公式。
专题：计算题。
分析：利用互斥事件的概率公式求出“命中9环以上（含9环）”，“命中8环”，“命中7环”三个事件的和事件的概率；利用对立事件的概率公式求出命中环以下（含6环）”的概率．
解答：解：设“命中9环以上（含9环）”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“，命中6环以下（含6环）”为事件D则D与（A+B+C）对立，则P（A）=0.5；P（B）=0.2；P（C）=0.1
∵A，B，C三事件互斥
∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.8
∴P（D）=1﹣0，.8=0.2
故答案为：0.2
点评：本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式．
3、设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．
考点：复数求模。
专题：计算题。
分析：复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．
解答：解：因为（1+2i）z=3﹣4i，所以|1+2i||z|=|3﹣4i|=5，
即，所以|z|=
故答案为：
点评：本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．
4、根据如图的算法，输出的结果是55．
考点：伪代码。
专题：阅读型。
分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个for循环结构，循环执行10此，依其特
点求解即可．
解答：解：程序是一个循环结构，步长是1，每循环一次就加进i，初始i=1，可循环十次，
故S=0+1+2+3+…+10=55
故答案为：55．
点评：本题主要考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值，属于基础题．
5、某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是690人．
考点：分层抽样方法。
专题：计算题。
分析：设该校的男生数为x，求出每个个体被抽到的概率，由=，解出x 的值．
解答：解：设该校的男生数为x，由题意得每个个体被抽到的概率等于=，
由=，x=690，故该校的男生数应是690，
故答案为：690．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．6、若“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．
考点：集合关系中的参数取值问题。
专题：计算题。
分析：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2﹣2x ﹣3＞0”，反之不成立，由此可求出a的最大值．
解答：解：因x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，又“x2﹣2x﹣3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，
知“x＜a”可以推出“x2﹣2x﹣3＞0”，
反之不成立．
则a的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．
7、设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是（2）（4）．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：（1）用几何体模型来说明；（2）用垂直同一平面的两直线平行判断；（3）用几何体模型判断；（4）用垂直于同一直线的两平面平行判断．
解答：解：（1）若a∥α且b∥α，则a∥b或相交或异面，不正确；
（2）若a⊥α且b⊥α，则a∥b，由垂直同一平面的两直线平行知正确；
（3）若a∥α且a∥β，则α∥β或相交；
（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β，由垂直于同一直线的两平面平行．
故填（2）（4）．
点评：本题主要考查空间中线与线、线与面、面与面的位置关系，要注意常见结论和定理的应用．
8、双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是．
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：由双曲线的标准方程求出a、b、c的值，由双曲线的定义得到=e，求得m 值即为所求．
解答：解：设点M的横坐标是m，由双曲线的标准方程得a=2，b=2，c=4，=1，
再由双曲线的定义得=e，∴=2，m=，
故答案为．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的定义得到=e 是解题的关键．
9、函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，则正数ω的值为1．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。
专题：计算题。
分析：化简函数的表达式，根据f（α）=﹣2，f（β）=0以及|α﹣β|的最小值等于，求出函数的周期，然后求出ω的值．
解答：解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），因为f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，所以，T=2π，所以T==2π，所以ω=1
故答案为：1
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法，正确分析题意找出函数满足是解题的重点关键，考查逻辑推理能力，计算能力．
10、若圆C：（x﹣h）2+（y﹣1）2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为．
考点：直线与圆的位置关系；二元一次不等式（组）与平面区域；点到直线的距离公式。
专题：计算题。
分析：要使圆C在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，即圆C在直线x+y+1=0的上方，当直线x+y+1=0与圆C相切时，h最小，所以找出圆C的圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y+1=0的距离d，让d等于圆C的半径列出关于h的方程，求出方程的解即可得到h的值即为最小值．
解答：解：由圆的方程（x﹣h）2+（y﹣1）2=1，得到圆心C的坐标为（h，1），半径r=1，
当直线x+y+1=0与圆C相切且圆在直线的上方时，圆心C到直线x+y+1=0的距离d==r=1，
解得：h=﹣2或h=﹣﹣2（不合题意，舍去），
则h的最小值为：﹣2．
故答案为：﹣2
点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．学生在求出h的两个值后，根据圆要在直线的上方应舍去不合题意的解．
11、在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|=，
则点C的坐标是（﹣1，﹣3）．
考点：平面向量的综合题。
专题：综合题；转化思想；综合法。
分析：求出方向上的单位向量，则有点C在∠AOB的平分线上，故存在实数λ使得=λ（+），如此可以得到坐标的参数表达式，再由|=，建立方程求出参数的值，即可得出点C的坐标．
解答：解：由题意=（0，﹣1），是一个单位向量，
由于=（﹣3，﹣4），故方向上的单位向量=（﹣，﹣），
∵点C在∠AOB的平分线上，∴存在实数λ使得=λ（+）=λ（﹣，﹣1﹣）=λ（﹣，﹣），
∵|=，
∴λ2×（+）=10，解得λ=
代入得得=（﹣1，﹣3）
故答案为：（﹣1，﹣3）
点评：本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，综合性较强，解决本题关键是认识到角平分线与向量的关系，
求出方向上的单位向量，用待定系数法将向量表示出来．
12、已知函数，若f′（x）=0在（1，3]上有
解，则实数a的取值范围为﹣7≤a＜﹣1．
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题；转化思想。
分析：对函数求导，根据f′（x）=0在（1，3]上有解，即2a﹣1=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1在（1，3]上有解，转化为求函数y=﹣（x+1）2+1在（1，3]上的值域，进而解不等式﹣15≤2a﹣1＜﹣3即可求得数a的取值范围．
解答：解：f′（x）=x2+2x+（2a﹣1），
∵f′（x）=0在（1，3]上有解，
∴2a﹣1=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1在（1，3]上有解，
而y=﹣（x+1）2+1在（1，3]上的y＜﹣3，最小值为﹣15，
∴﹣15≤2a﹣1＜﹣3，解得﹣7≤a＜﹣1，
故答案为：﹣7≤a＜﹣1．
点评：此题是中档题．考查函数零点与方程根的关系，以及导数的运算和基本初等函数的导数，体现了转化的思想，考查学生分析解决问题的能力和计算能力．
13、已知，若对?x1∈[﹣1，3]，?x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），
则实数m的取值范围是．
考点：函数恒成立问题。
专题：计算题。
分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．
解答：解：因为x1∈[﹣1，3]时，f（x1）∈[0，9]；
x2∈[0，2]时，g（x2）∈[﹣m，1﹣m]．
故只需0≥﹣m?m≥．
故答案为m≥．
点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于基本题．14、已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是2．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：根据题意画出图形，如图所示，设出等腰三角形的腰长为2a，根据D为AB中点，得到AD等于a，在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cosA，解出a2，然后根据三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，并设面积为S，对表示出的面积两边求导数，令导函数等于0求出cosA的值，由cosA的值讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值，且函数取得最大值时cosA的值，由cosA的值和A的范围，利用
同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，代入S中即可求出三角形ADC面积的最大值，又因为CD为三角形ABC 的中线，所以由三角形ADC面积的最大值得到三角形ABC面积的最大值．
解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根据余弦定理得：cosA==，解得a2=，
设△ADC的面积为S，
则S=a?2a?sinA=a2sinA=①，
．下研究求面积的最值
法一：求导得：S′==，令S′=0，解得cosA=，
当cosA＜时，S′＞0，S单调递增；当cosA＞时，S′＜0，S单调递减，
所以S在cosA=处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=，
所以S的最大值为=1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2．
法二：①式变形为5S﹣4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=sin（A+θ），其中tanθ=
故有5S≤解得S≤1，则△ABC的面积的最大值是2S=2
故答案为：2．
点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握等腰三角形的性质，是一道中档题．
二、解答题（共9小题，满分130分）
15、已知向量a，b满足||=2，||=1，|﹣|=2．
（1）求?的值；
（2）求|+|的值．
考点：平面向量数量积的运算；向量的模。
专题：计算题。
分析：（1）由||2==4﹣2+1=4，求出的值．
（2）利用||=，求出||的值．
解答：解：（1）由||=2，得||2===4﹣2+1=4，∴=．
（2）||====．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义和求法．
16、如图，已知?ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。
专题：证明题。
分析：（1）欲证AE∥平面BFD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BFD内一直线平行，设AC∩BD=G，连接FG，
根据中位线定理可知FG∥AE，而AE?平面BFD，FG?平面BFD，满足定理所需条件；
（2）欲证平面DBF⊥平面BCE，根据面面垂直的判定定理可知在平面DBF内一直线与平面BCE垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线AE⊥平面BCE，而FG∥AE，则直线FG⊥平面BCE，而直线FG?平面DBF，满足定理条件．
解答：证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG．
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．（3分）
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，∴AE∥平面BFD；（6分）
（2）∵，∴AE⊥BE．
又∵直线BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．
又BC∩BE=B，∴直线AE⊥平面BCE．（8分）
由（1）知，FG∥AE，∴直线FG⊥平面BCE．（10分）
又直线FG?平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．（14分）
点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．
17、如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数
（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中
间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
考点：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（1）依题意，得A=2，．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE 的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．
解答：解：（1）由条件，得A=2，．（2分）
∵，∴．（4分）
∴曲线段FBC的解析式为．
当x=0时，．又CD=，∴．（7分）
（2）由（1），可知．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．（8分）
设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为
=．（13分）
∵，故取得最大值．（15分）
点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．
18、如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为
l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：计算题。
分析：（1）根据统一可知直线l的方程，设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，），由M在椭圆上，得
t=6．可求出点M的坐标，求出向量，然后利用向量的夹角公式进行求解即可；
（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，即可求出圆的方程，令x=0，得
，最后根据线段PQ的中点坐标为（0，9），求出t，从而求出圆的方程．
解答：解：（1）由已知，A（﹣4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8．
设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（2，3）．（4分）
所以，
．．（7分）（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，
得
∵圆方程为，令x=0，得．（11分）
设P（0，y1），Q（0，y2），则．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得y1+y2=18，．
此时所求圆的方程为x2+y2+2x﹣18y﹣8=0．（15分）
点评：本题主要考查了椭圆的性质以及利用向量法求夹角，同时考查了圆的方程，分析问题解决问题的能力，属于中档题．
19、设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx﹣ax2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）先利用函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称得：f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上；然后再利用x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）求出一段解析式，再利用定义域内有0，可得f（0）=0；最后利用其为奇函数可求x∈（0，1]时对应的解析式，综合即可求函数f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的导函数，利用其导函数求出其在（0，1]上的单调性，进而求出其最大值，只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）=ln（﹣x）﹣ax2．（2分）
∵f（x）为[﹣1，1]上的奇函数，则f（0）=0．（4分）
当x∈（0，1]时，﹣x∈[﹣1，0），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lnx+ax2．（6分）
∴f（x）=（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=﹣+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则﹣0?a．
此时，a，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②当a时，令f'（x）=﹣?x=∈（0，1]，
∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（）=﹣ln+a=ln2a+．
由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1?．（15分）
综上所述，实数a的取值范围为a．（16分）
点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数解析式的求解及常用方法和奇偶函数图象的对称性，是对函数知识的综合考查，属于中档题．
20、已知数列{a n}为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q=时，在数列{a n}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{a n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．
考点：数列与不等式的综合；等比数列的性质。
专题：综合题。
分析：（1）①不妨设a1≥1，设数列a n有n项在1和100之间，由题意得：≤100．两边同取对数可得
n≤12.37．从而得出n的最大值为12即得；
②不妨设1≤a1＜＜＜…＜≤100，其中a1，，，，
均为整数，利用指数不等式3n﹣1≤100，得出n≤5从而得出当q=时，最多有5项是1和100之间的整数；
（2）设等比数列aq n﹣1满足100≤a＜aq＜＜aq n﹣1≤1000，再设q=，t＞s≥1，t与s互质，根据题意得到a是s n﹣1的
倍数，令t=s+1，于是数列满足不等关系：100≤a＜a?＜＜a?≤100．下面就s进行分类讨论：如果s≥3，如果s=1，如果s=2，即可得出最多有几项是100～1000之间的整数．
（1）①不妨设a1≥1，设数列a n有n项在1和100之间，则≤100．所以，≤100．解答：解：
两边同取对数，得（n﹣1）（lg3﹣lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值为12，即数列a n中，最多有12项在1和100之间．（5分）
②不妨设1≤a1＜＜＜＜≤100，其中a1，，，，
均为整数，所以a1为2n﹣1的倍数．所以3n﹣1≤100，所以n≤5．（8分）
又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．
所以，当q=时，最多有5项是1和100之间的整数．（10分）
（2）设等比数列aq n﹣1满足100≤a＜aq＜＜aq n﹣1≤1000，
其中a，aq，，aq n﹣1均为整数，n∈N*，q＞1，显然，q必为有理数．（11分）
设q=，t＞s≥1，t与s互质，
因为aq n﹣1=为整数，所以a是s n﹣1的倍数．（12分）
令t=s+1，于是数列满足100≤a＜a?＜＜a?≤100．
如果s≥3，则1000≥a?≥（q+1）n﹣1≥4n﹣1，所以n≤5．
如果s=1，则1000≥a?2n﹣1≥100?2n﹣1，所以，n≤4．
如果s=2，则1000≥a?≥100?，所以n≤6．（13分）
另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，
所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．（16分）
点评：本小题主要考查等比数列的性质、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．
21、A．选修4﹣1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4﹣2：矩阵与变换
曲线C1=x2+2y2=1在矩阵M=[]的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．
C．选修4﹣4：坐标系与参数方程
P为曲线C1：（θ为参数）上一点，求它到直线C2：（t为参数）距离的最小值．D．选修4﹣5：不等式选讲
设n∈N*，求证：++L+≤．
考点：几种特殊的矩阵变换；圆的参数方程；不等式的证明。
专题：计算题；证明题。
分析：A．先连OC．由∠ABC=60°，∠BAC=40°，得出∠ACB=80°从而和的度数均为80°．故有∠EOC=80°+80°=160°
最后得出：∠OEC的大小即可；
B．设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x2+4xy+2y2=1上与P对应的点，根据矩阵变换得出
结合P′是曲线C1上的点，求得C2的方程即可；
C．将曲线C1化成普通方程（x﹣1）2+y2=1，圆心是（1，0），直线C2化成普通方程最后求出曲线C1上点到直线的距离即可；
D．由柯西不等式，得：（++…+）2≤（1+1+…+1）（C n1+C n2+…C n2+）=n（2n﹣1）即可得到证明．
解答：A．选修4﹣1：几何证明选讲
解：连OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．（4分）
∵OE⊥AB，∴E为的中点，∴和的度数均为80°．
∴∠EOC=80°+80°=160°．（8分）
∴∠OEC=10°．（10分）
B．选修4﹣2：矩阵与变换
解：设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线x2+4xy+2y2=1上与P对应的点，
，∴（5分）
∵P′是曲线C1上的点，∴C2的方程（x﹣2y）2+y2=1．（10分）
C．选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：将曲线C1化成普通方程（x﹣1）2+y2=1，圆心是（1，0），
直线C2化成普通方程是y﹣2=0，则圆心到直线的距离为2．（5分）
∴曲线C1上点到直线的距离为1，该点为（1，1）．（10分）
D．选修4﹣5：不等式选讲
证明：由柯西不等式，得：
（++…+）2≤（1+1+…+1）（C n1+C n2+…C n2+）=n（2n﹣1）
∴++…+≤．
点评：本题考查柯西不等式，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，几种特殊的矩阵变换，体现了数形结合的数学思想．
22、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．用数学归纳法证明：
．
考点：数学归纳法。
专题：证明题。
分析：利用数学归纳法的证明的步骤，（1）验证n=1时等式成立；（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，证明n=k+1时，等式也成立，即可．
解答：证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边==左边，
∴等式成立．（2分）
（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，
即
．
（4分）
则当n=k+1时，左边=1×2×3+2×3×4++k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
∴n=k+1时，等式也成立．（8分）
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．（10分）
点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤和方法，注意n=k+1时，与n=k时等式的结构形式必须一致．23、某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00，8：20，8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的
概率为，8：20发出的概率为，8：40发出的概率为；第二班客车在9：00，9：20，9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为，9：20发出的概率为，9：40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位
旅客预计8：10到站．求：
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差。
专题：计算题。
分析：（1）第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到其概率．
（2）由题意知候车时间X的可能取值是10，30，50，70，90，根据条件中所给的各个事件的概率，和两班客车发出时刻是相互独立的，得到各个变量对应的概率，写出分布列．
（3）根据上一问做出的分布列，代入求概率的公式，求出随机变量的期望值，得到旅客候车时间的数学期望．
解答：解：（1）∵在8：00发出的概率为，8：20发出的概率为，
第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，这两个事件是互斥的，
根据互斥事件的概率公式得到其概率为P=+=．
（2）由题意知候车时间X的可能取值是10，30，50，70，90
根据条件中所给的各个事件的概率，得到
P（X=10）=，P（X=30）=，P（X=50）=，
P（X=70）=，P（X=90）=，
10×+30×+50×+70×+90×
=5++++=30．
即这旅客候车时间的数学期望是30分钟．
点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查相互独立事件同时发生的概率，本题是一个概率与统计的综合题目，是一个可以出现在高考卷中的题目．
南通市高三第一次调研测试 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则U (M ∪N ) = ▲ ． 2．复数 2 1i (1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 3．设向量a ，b 满足：3||1,2 =?= a a b ，22+=a b ，则||=b ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是 m = ． 5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ． 6．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有 1 n k k a =∑＝2n －1，则 21 n k k a =∑= ▲ ． 7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则 x y 为整数的概率是 ▲ ． 8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根 据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ． 9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ． 10．关于直线, m n 和平面,αβ，有以下四个命题： ∈若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；∈若//,,m n m n αβ?⊥，则αβ⊥； ∈若,//m m n α β=，则//n α且//n β；∈若,m n m αβ⊥=，则n α⊥或n β⊥. 其中假命题的序号是 ▲ ． （第8题字数/分 频率 组距 0.005 0.0070.0100.0120.015 50 70 90 110 130 150 k ≥-3 开始 k 1 S S S – 2k k k -1 结束 输出S Y N （第9题图）
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
2020届山东省高三数学模拟测试（五）数学试题 一、单选题 1．已知集合{ } 2 |20A x x x =--≤，{|21}B x x =-<≤，则A B =U （ ） A ．{|12}x x -剟 B ．{|22}x x -
A ． 12π B ． 3π C ． 2π D ． 1π 【答案】D 【解析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】 7041 2212π ≈. 故选:D. 【点睛】 本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 4．函数1 ()f x ax x =+ 在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4??+∞ ??? B ．1 ,4??+∞???? C ．[1,)+∞ D ．1,4 ??-∞ ?? ? 【答案】B 【解析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】 当0a ≤时，函数1 ()f x ax x =+ 在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1 ()f x ax x =+ 的递增区间是?+∞?? ， 所以2 ≥1 4 a ≥. 故选:B. 【点睛】 本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5．已知1 5 455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 【答案】A 【解析】根据指数函数的单调性，可得1 551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与
2018届河南省天一大联考高三阶段性测试（五）(2018.04) 数学（文科） 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。 1.已知集合A={3<1|≤-x x x},B={x y x ln |=}，则=?B A A. {0<1|x x ≤-x} B. {3x <0|≤x x} C. {0x <1|≤-x x} D. {3x 0|≤≤x x} 2.复数i i z -= 1（i 为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知变量x 和y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归直线方程25.0-=bx y ，据此可以预测当8=x 时，y = A. 6.4 B.6.25 C. 6.55 D.6.45 4.设R ∈θ，则“2 2 cos = θ”是“1tan =θ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a >b >0,则下列不等式中成立的是
A.b a 1＞1 B. b l l 22og a ＜og C. b a )31(＜)31( D. 2 121b ＞--a 6.已知抛物线C: px y 22= (p>0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且2 3 |MF ||MO |== (0为坐标原点)，则△M0F 的面积为 A. 22 B. 21 C. 41 D. 2 7.执行如图所示的程序框图，如果输出结果为4 21 4，则输入的正整数N 为 A.3 B.4 C.5 D.6 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.π3 B. π38 C. π310 D. π 311 9.函数)0＞(cos sin 3)(ωωωx x x f +=图象的相邻对称轴之间的距离为 2 π ,则下列结论正确的是 A. ）（x f 的最大值为1 B. ）（x f 的图象关于直线 125π =x 对称 C. ）（2π+x f 的一个零点为3π -=x D. ）（x f 在区间[3π，2π ]上单调递减 10.在非等腰△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos 2sin()cos 2(sin b A a B A -=-，
2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
天一大联考 高中毕业班阶段性测试 数学（理科） 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A= {022 ≥-x x },B={1>|-y y }，则 A.( -1,0] B. ( -1，0]U[+∞,2 1 ) c.( -1, 21] D.[ +∞,2 1 ) 2.设复数)(231R m i mi z ∈+-=，若z z =，则=m A. 32- B. 32 C. 23 D. 2 3- 3.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如下的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20,30)的概率为 A. 207 B. 103 C. 53 D. 2 1 4.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若17S = 272,则=++1593a a a A. 24 B.36 C. 48 D. 64 5.《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题;“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七 寸.瓤生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为 “今有墙高9
尺。瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺。问需要多少 日两蔓相遇。”其中1尺=10寸。为了解决这一问题，设计程序框图如右所示，则输出的A 的值为 A. 5 B. 6 C.7 D. 8 6.设双曲线C: 18 2 2=-m y x 的左、右焦点分别为，过F1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，N 在右支上。若NM F MN F 22∠=∠乙，则=||MN A. 8 B. 4 C. 28 D. 24 7.为了得到函数)3 cos(2)(π +=x x g 的图象，只需将函数x x x f 4cos 4sin 3)(-=的图象 A.横坐标压缩为原来的 41，再向右平移2π 个单位 B.横坐标压缩为原来的4 1 ，再向左平移π个单位 C.横坐标拉伸为原来的4倍，再向右平移2 π 个单位 D.横坐标拉伸为原来的4倍，再向左平移π个单位 8.如图，小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为 A. 68 B.72 C. 84 D. 106 9.若函数1 31 )(-- =x m x f 的图象关于原点对称，则函数)(x f 在（+∞，0)上的值域为 A.（21，+∞) B.（21-，+∞) C.（1，+∞) D.（3 2 ，+∞) 10.已知抛物线C: px y 22 = (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA'丄l ，垂足为A',若四边形的面积为14,且5 3 'cos = ∠FAA ，则抛物线C 的方程为 A. x y =2 B. x y 22 = C. x y 42 = D. x y 82 = 11.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B 作A1M1C1N 垂直于平面ACD ， 垂足分别为M ，N ，P ，则六边形D1MAPCN 的面积为 A. 212 B. 12 C. 64 D. 34 12.已知函数x e x f e x ln )(= ，若函数a x f x g +=)()(无零点,则实数a 的取值范围为
山东省实验中学 2019-2020年高三第一次诊断性测试 数学（理）试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟． 第1卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果命题“(p 或q)”为假命题，则 （ ）A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题 C ．p ，q 中至少有一个为真命题 D ．p, q 中至多有一个为真命题 2．下列函数图象中，正确的是 （）3．不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是 （ ）A ．（一∞，-2)U(7,+co) B ．【1,4】 C ．[-2,1】U 【4,7】 D ．(-2,l 】U 【4,7) 4．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k 若与垂直则（）A ．—3 B ．—2 C ．l D ．－l 5．一已知倾斜角为的直线与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2a 的值为（）A ． B ． C ． D ．6．在各项均为正数的等比数列中，则（）A ．4 B ．6 C ．8 D ．7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形8．设x 、y 满足则（）A ．有最小值2，最大值 3 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最大值3，无最大值 D ．既无最小值，也无最大值9．已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．
历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则
高三数学模拟试卷 选择题（每小题5分，共40分） 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(eU N )＝（ ） A. {1,2} B.｛4,5｝ C.｛3｝ D.｛1,2,3,4,5｝ 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. - i 3．正项数列{a n }成等比，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是（ ） A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A. 23 B. 43 π C. 23+ 43 π D. 5434327π+ 5．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ） A. 22 B. 2+1 C. 2 D. 1 6．在四边形ABCD 中，“AB u u u r =2DC u u u r ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．设P 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2+px +1=0有实根的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ） A ．f (x )=5sin( 6πx +6π) Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π) Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ．f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9.直线y =kx +1与A （1,0），B （1,1）对应线段有公 共点，则k 的取值范围是_______. 10．记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________. 11．设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，则 1234()f x x x x =+++ ； 12、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 11.2 1 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中 x －5 y O 5 2 5
高三数学试卷（文） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合，0，1，2，，则集合为 A. 0，1， B. 0，1， C. 0，1，2， D. 0，1，2， 2.若复数z满足，则z的虚部为 A. B. C. i D. 1 3.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是 A. B. C. D. 4.设为等差数列的前n项和，若，则的值为 A. 14 B. 28 C. 36 D. 48 5.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均 值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的单位：的日均值，则下列说法正确的是 A. 10天中日均值最低的是1月3日 B. 从1日到6日日均值逐渐 升高
C. 这10天中恰有5天空气质量不超标 D. 这10天中日均值的中位 数是43 6.已知抛物线上点在第一象限到焦点F距离为5，则点B坐标为 A. B. C. D. 7.设，是非零向量，则“”是“的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 8.如图是函数的部 分图象，则，的值分别为 A. 1， B. C. D. 9.设数列的前n项和为若，，，则值为 A. 363 B. 121 C. 80 D. 40 10.已知，，，则的最小值为 A. B. C. 2 D. 4 11.已知a，b是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是
A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 12.某人5次上班途中所花的时间单位：分钟分别为x，y，10，11，已知这组数据的平 均数为10，方差为2，则的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知x，y满足约束条件则的最大值为______． 14.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ______． 15.定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有 成立；当时，则的值是______． 16.已知矩形ABCD中，点，，沿对角线BD折叠成空间四边形ABCD，则 空间四边形ABCD的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.设函数 Ⅰ求的单调递增区间； Ⅱ在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求b．
2018学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（理） 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．=+-+∞→2 21 lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，? ?? ???∈≤-+=R x x x x B ,011， 则=B A I __________． 3．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________． 4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）． 6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________． 7．已知 3 1 cos 75sin sin 75cos = ? -?α α，则=+?)230cos(α_________． 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________． 9．过点)2,1(P 的直线与圆42 2 =+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值 为___________． 10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传 给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________． 11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，?=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB 上的动点，则||PD PC +的最小值为__________． 12．已知* N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C Λ，则=n ________． 13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若
参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科） 第1卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1] 2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（） A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D． 4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（） A．B．2 C．D．1 6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n} 的前8项和为（） A．B．C．D． 8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（） A．45 B．180 C．﹣180 D．720
2021-2022年高三数学1月阶段性测试试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={y|y=2x,x>0}，集合B={x∈Z|x2-3x-10≤0}，则AB（）. A.x|1 8.在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，则下列命题是真命题的个数为（）. ①BC平面PAC；②平面PAB平面PBC；③平面PAC与平面PBC不可能垂直；④三棱锥P-ABC 的外接球的球心一定是棱PC的中点. A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，若，则点A的横坐标为（）. A.1 B. C.2 D.3 10.已知数列{a n }满足a 1 =2, ，则 = （）. A.2 B.-6 C.3 D.1 11.已知某四棱锥的三视图及尺寸如图所示，则该棱锥的表面积为（）. A.4+2+2 B.6+2 C.6+2 D.6+2+2 12.已知函数f(x)= ，若函数g(x)= f2(x)+m f(x)有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）. 达州市2017届高三上学期第一次诊断测试 数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合{1,1,2}A =-，集合{10}B x x =->，集合A B 为（ ） A ．φ B ．{1,2} C ．{1,1,2}- D ．{2} 2.已知i 是虚数单位，复数21i i =+（ ） A ．1i - B ．i C ．1i + D ．i - 3.将函数sin()3y x π=+的图象向x 轴正方向平移 6 π个单位后，得到的图象解析式是（ ） A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．2sin()3y x π=- D ．2sin()3y x π=+ 4.已知AB 是直角ABC ?的斜边，(2,4)CA =，(6,)CB x =-，则x 的值是（ ） A ．3 B ．-12 C ．12 D ．-3 5.已知,x y 都是实数，命题:0p x =；命题22:0q x y +=，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件 6.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．(1,0) D ．(0,1) 7.已知直线l ?平面α，直线m ?平面α，下面四个结论：①若l α⊥，则l m ⊥；②若//l α，则//l m ；③若l m ⊥，则l α⊥；④若//l m ，则//l α，其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．③④ C ．②③ D ．①④ 8.已知344π πα<<，4sin()45 πα-=，则cos α=（ ） A 2 B ．272 D ．2 9.一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O 上，球O 的表面积为（ ） 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = -南昌市高三测试卷数学（五） 命题人：南昌三中 张金生 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合{}{} M x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1，则N M 是 （ ） A ．{}1,0,1- B. { }1 C. {}1,0 D.{}0 2．（文）在数列{n a }中，若12a =-，且对任意的n N *∈有1221n n a a +-=，则数列{}n a 前15项的和为（ ） A ． 105 4 B ．30 C ．5 D ． 452 (理) 若复数i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ) A. 13 B.13 C. 3 2 D. -6 3．若0< B ．||||b a > C ．a b a 1 1>- D ．22b a > 4.设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的 （ ） A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既不充分也不必要条件； 5.设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) A 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B 当α?b 时，若b β⊥，则βα⊥ C 当α?b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥ D 当α?b ，且α?c 时，若//c α，则//b c 6．设n x x )5(3 12 1-的展开式的各项系数之和为M ，而二项式系数之和为N ，且M －N=992。则展开式中x 2项的系数为（ ） A ．150 B ．－150 C ．250 D ．－250 7．将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A 、B 两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ） A ．15 B ．18 C ．30 D ．36 8．（文）已知=（2cos α，2sin α）， =（3cos β，3sin β），与的夹角为60°，则直线 x cos α－ysin α+2 1 =0与圆(x －cos β)2+(y+sin β)2=1的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 (理)统计表明，某省某年的高考数学成绩2(75,30)N ξ，现随机抽查100名考生的数学试卷，则 成绩超过120分的人数的期望是（ ） （已知(1.17)0.8790,(1.5)0.9332,(1.83)0.9664φφφ===） A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人 9．设}10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称 该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 10.已知12 1(0,0)m n m n +=>>,则当m+n 取得最小值时，椭圆22221x y m n +=的离心率为（ ） A. 1 2 B. C. D. 11.关于函数()cos(2)cos(2)36 f x x x ππ =- ++有下列命题： ①()y f x = ；②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =在区间13[,]2424 ππ 上是减函数； ④将函数2y x = 的图象向左平移 24 π 个单位后，与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③④ D ．①②③④ 12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ） A ．367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18 385高三数学上学期第一次诊断测试试题文
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