第十三章习题解答
13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r 1，r 2。已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。
分析：当导线中电流I 随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律d d i t
Φ
ε=-
计算感应电动势，其中磁通量s B d S Φ=?，B 为两导线产生
的磁场的叠加。
解：无限长直电流激发的磁感应强度为02I
B r
μ=
π。取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在
矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的
叠加原理可得x 处的磁感应强度大小
00122()
2()
I
I
B r x r x μμ=
+
π+π+， 垂直纸面向里
通过微分面积dS adx =的磁通量为
00122()2()I I d B dS B dS adx r x r x μμππ??
Φ===+??++??
通过矩形线圈的磁通量为
000122()2()b
I I adx r x r x μμΦ??=+??π+π+??
? 012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω?
?
++=
+ ?π??
感生电动势
012012012012d ln ln cos d 2()()ln cos 2i a r b r b I t t r r a
r b r b I t r r μωΦ
εωμωω??++=-
=-+
?π????
++=
-
??π??
0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方
向为逆时针。
13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场
题图13-1 题图13-2
B 中（B =0.5T ）
。圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速n =600rev/min 。求圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，
(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R =100Ω，不计自感）； (2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 分析：应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 解：(1) 圆形线圈转动的角速度2=
2060
n
πωπ= rad/s 设t =0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t 时刻通过该回路的全磁通
2cos cos NB S NBS t NB r t ψωπω===
电动势 2d sin d i NB r t t
ψ
επωω=-
= 感应电流 2sin i
i NB r t I R R
επωω== 将圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，2
t πω=
代入已知数值 得： 0.99i I A =
(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为
40 6.2210T 2i
i I B N
r
μ-==?
i B 的方向与均匀外磁场B 的方向垂直。
13-3 均匀磁场B 被限制在半径R =10cm 的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。设磁场以
d 1T/s d B t =的匀速率增加，已知6cm Oa Ob ==，3
π
θ=，求等腰梯形回路abcd 感生电动势的大小和方向。
分析：求整个回路中的电动势，采用法拉第电磁感应定律，本题的关键是确定回路的磁通量。
解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t 时刻通过该回路的磁通量
B S BS Φ==
题图13-3 题图13-4
其中S 为等腰梯形abcd 中存在磁场部分的面积，其值为
2211
()sin 22
S R oa θθ=
- 电动势
d d d d i B S
t t Φε=-
=-2211d ()sin 22d B
R oa t θθ??=--????
代入已知数值 3
3.6810V i ε-=-?
“–”说明，电动势的实际方向为逆时针，即沿adcba 绕向。用楞次定律也可直接判断电动势的方向为逆时针绕向。
13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v 沿垂直于导线的方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置,求：
(1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量m Φ； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i ε。
分析：线圈运动，穿过线圈的磁通量改变，线圈中有感应电动势产生，求出t 时刻穿过线圈的磁通量，再由法拉第电磁感应定律求感应电动势。
解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布，
02I
B x
μπ=
。因此，必须由积分求得t 时刻通过回路的磁通量。 取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量为
00d d ln
22b vt
S
a vt
I Il b vt
l x x a vt
μμΦππ+++===+??
B S （2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势
00
()
d d 2i t Ilv b a t
ab
μΦ
επ=-=-
=
电动势的方向沿顺时针绕向。
13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L M '',其间距离为l ,其左端与电动势为0ε的电源连接.匀强磁场B 垂直于图面向里，一段直裸导线ab 横嵌在平行导线间（并可保持在导线上做无摩擦地滑动）,电路接通，由于磁场力的作用，ab 从静止开始向右运动起来。求:
(1) ab 达到的最大速度;
(2) ab 到最大速度时通过电源的电流I 。
分析：本题是包含电磁感应、磁场对电流的作用和全电路欧姆定律的综合性问题。当接通电源后，ab 中产生电流。该通电导线受安培力的作用而向右加速运动，由于ab 向右运动使穿过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中电流减小，当回路中电流为零时，直导线ab 不受安培力作用，此时ab 达到最大速度。 解：（1）电路接通，由于磁场力的作用,ab 从静止开始向右运动起来。设ab 运动的速度为
v ,则此时直导线ab 所产生的动生电动势i Blv ε=，方向由b 指向a .由全电路欧姆定理可得
此时电路中的电流为
0Blv
i R
ε-=
ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时0i =。所以ab 达到的最大速
度为
max v Bl
ε=
（2）ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流i =0。所以通过电源的电流也等于零。
13-6 如题图13-6所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω
在水平面内旋转，O 1O 2在离细杆a 端L /5处。若已知均匀磁场B 平行于O 1O 2轴。求ab 两端间的电势差U a -U b . 分析：由动生电动势表达式先求出每段的电动势，再将ab 的电动势看成是oa 和ob 二者电动势的代数和，ab 两端的电势差大小即为ab 间的动生电动势大小。求每段的电动势时，由于各处的运动速度不同，因此要将各段微分成线元dl ，先由动生电动势公式计算线元dl 的两端的动生电动势i d ε，再积分计算整段的动生电动势。
解：设金属细杆ab 与竖直轴O 1O 2交于点O ,将ab 两端间的动生电动势看成ao 与ob 两段动生电动势的串联。取ob 方向为导线的正方向，在铜棒上取极小的一段线元dl ，方向为ob 方向。线元运动的速度大小为v l ω=。由于,,v B dl 互相垂直。所以dl 两端的动生电动势
()i d v B dl vBdl B ldl εω=?=-=-
ob 的动生电动势为
2
4250
1416d d 2550L
ob i ab
L Bl l B B L εεωωω??
==-=-=- ???
??
动生电动势ob ε的方向由b 指向O 。同理oa 的动生电动势为
题图13-5 题图13-6
2
250
11d d 2550L oa i ba
L Bl l B B L εεωωω??
==-=-=- ???
??
动生电动势oa ε的方向由a 指向O 。所以ab 两端间的的动生电动势为
23
10
ab ao ob oa ob B L εεεεεω=+=-+=-
动生电动势ab ε的方向由a 指向了b ；a 端带负电，b 端带正电。
ab 两端间的电势差
23
10
a b ab U U B L εω-==-
b 端电势高于a 端。
13-7 如题图13-7所示，导线L 以角速度ω绕其端点O 旋转，导线L 与电流I 在共同的平面内，O 点到长直电流I 的距离为a ,且a >L ,求导线L 在与水平方向成θ角时的动生电动势的大小和方向。
分析：载流长直导线产生磁场，导线
L 绕O 旋转切割磁力线。由于切割是不均匀的磁场，而
且导体各处的运动速度不同，所以要微分运动导线，先由动生电动势公式计算线元dl 的两端的动生电动势i d ε，再积分计算整段的总动生电动势。
解：取OP 方向为导线的正方向，在导线OP 上某处取极小的一段线元dl
,方向为OP 方向。线元运动的速度大小为v l ω=。由于,,v B dl 互相垂直。所以dl 两端的动生电动势
()d v B dl vBdl B ldl εω=?=-=-
将载流长直导线在该处激发磁场02(cos )
I
B a l μπθ=
+代入，积分得导线L 在与水平方向线成
θ角时的动生电动势为：()
00d 2cos L i OP i I ldl
a l ωμεεπθ=
=-
+?? 020
(cos )(cos )2cos (cos )
L
I
a l a
d l a l ωμθθπθ
θ+-=
+?
题图13-7 题图13-8
02
+cos cos In 2cos I a L L a a ωμθθπθ??
=-
-? ?
? 动生电动势的方向由P 指向O 。
13-8 如题图13-8所示半径为r 的长直密绕空心螺线管，单位长度的绕线匝数为n ,所加交变电流为I =I 0sin ωt 。今在管的垂直平面上放置一半径为2r ,电阻为R 的导线环，其圆心恰好在螺线管轴线上。
（1）计算导线环上涡旋电场E 的值且说明其方向； (2)计算导线上的感应电流i I ；
(3)计算导线环与螺线管间的互感系数M 。
分析：电流变化，螺线管内部磁场也变化，由磁场的柱对称性可知，由变化磁场所激发的感生电场也具有相应的对称性，感生电场线是一系列的同心圆。根据感生电场的环路定理，可求出感生电场强度。由法拉第电磁感应定律及欧姆定律求感应电流，由互感系数定义式求互感系数。 解：（1）以半径为2r 的导线环为闭合回路L ，取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，自上向下看为逆时针方向。由于长直螺线管只在管内产生均匀磁场0B nI μ=，导线环上某点涡旋电场E 的方向沿导线环的切向。 所以由规律
L
S B
E dl dS t
?=-??
?
可得 2
2(2)dB E r r dt
ππ=-
导线环上涡旋电场E 的值为
00cos 44
n r r dB
E I t dt μωω=-
=- 若cos ωt >0,E 电场线的实际走向与回路L 的绕行正方向相反，自上向下看为顺时针方向；
若cos ωt <0,E 电场线的实际走向与回路L 的绕行正方向相同，自上向下看为逆时针方向。 (2) 导线上的感应电流i I
22
001cos i
i d r dB r I nI t R R dt R dt R
εππμωωΦ==-=-=
(3)导线环与螺线管间的互感系数为
2
20B r M n r I I
πμπΦ===
13-9 电子感应加速器中的磁场在直径为0.50m 的圆柱形区域内是匀强的，若磁场的变化率
为1.0×10-2
T/S 。试计算离开中心距离为0.10m 、0.50m 、1.0m 处各点的感生电场。
分析：由磁场的柱对称性可知，变化磁场所激发的感生电场分布也具有相应的对称性，即感生电场的电场线是一系列以圆柱体中心为轴的同心圆。根据
L
S B
E dl dS t
?=-??
?
可求出感
生电场强度。
解：以圆柱形的区域的中心到各点的距离为半径，作闭合回路L 。取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，为顺时针方向。由于回路上各点处的感生电场E 沿L 的切线方向。所以由规律
L
S B
E dl dS t
?=-??
?
可得 22()
2()
L
dB r r R dt
E dl E r dB R r R dt
πππ?-???
得 2
d ()
2d d ()
2d r B
r R t
E R B r R r t
?-??
式中“-”说明：若
d 0d B
t
>，E 的实际方向与假定方向相反，否则为一致。 r =0.10m 时,r E t -==? r =0.50m 时, r >R , 24d || 6.2510V/m 2d R B E r t -= =? r =1.10m 时,r >R , 24d || 3.1310V/m 2d R B E r t -= =? 13-10 如题图13-10所示，一个限定在半径为R 的圆柱体内的均匀磁场B 以10-2 T/s 的恒定变化率减小。电子在磁场中A 、O 、C 各点处时，它所获得的瞬时加速度（大小、方向）各为若干？设r =5.0cm 。 分析：根据对称性，由感生电场的环路定理求出感生电场强度，由感生电场力及牛顿第二定 律求出瞬时加速度。 解：以圆柱形区域的中心到各点的距离为半径，作闭合回路L 。取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，由于回路上各点处的感生电场E 沿L 的切线方向。所以由规律 题图13-10 题图13-11 d d L l t ?=-?? ? S B E S 可得 2 d d 2d L B E r r t =π=- π? E l (r E t =- 由于圆柱体内的均匀磁场B 以10-2 T/s 的恒定变化率减小.所以d 0d B t <，E 的实际方向与假定方向一致，为顺时针方向的切线方向。 电子受到的电场力为e F eE =-,其方向为逆时针的切线方向。 瞬时加速度的大小为：d 2d eE e r B a m m t = = 由于r A =0.05m,所以A 处的瞬时加速度的大小为：72 4.410/A a m s =?，方向为水平向右； 由于r C =0.05m,所以C 处的瞬时加速度的大小为：72 4.410/C a m s =?，方向为水平向左； 由于r O =0,所以O 处的瞬时加速度：0O a = 13-11 真空中的矩形截面的螺线环的总匝数为N ，其它尺寸如题图13-11所示，求它的自感系数。 分析：自感系数一般可由LI ψ=计算，可见计算自感系数关键是确定穿过自感线圈的磁通量。假设螺线管通有电流，求出磁感应强度，再求出磁通量、磁通链，即可求出自感系数。 解：设螺绕管通有电流I ，由安培环路定理可得管内距轴线r 处的磁场强度为 2NI H r = π, 2NI B H r μμ==π 通过某一截面的磁通量 2 1 002 1 d d ln 22R S R NI NIh R B S h r r R μμΦ=== ππ ??? 螺绕管的磁通链202 1 ln 2N N Ih R N R μψΦ== π 自感系数：202 1 ln 2N N h R L I R ψμ= = π 13-12 设一同轴电缆由半径分别为1r 1和2r 的两个同轴薄壁长直圆筒组成，电流由内筒流入，由外筒流出，如题图13-12所示。两筒间介质的相对磁导率r 1μ=，求同轴电缆 (1) 单位长度的自感系数；（2）单位长度内所储存的磁能。 分析：先求磁场、磁通量，由自感系数定义式求自感系数，再由自感磁能表达式求磁能。 解：（1）电流由内筒流入，由外筒流出时，在内外筒之间产生的磁场为B=02I r μπ（见11-19） 。 通过内外筒之间单位长度截面的磁通量为 2 1 2 1 2 1 d 1d ln ln r S r I I r x x r r L r μμΦμ ΦI 000=== 2π2π ∴==2π?? S B （2）单位长度内所储存的磁能 2202 1 1ln 24m I r W LI r μπ== 13-13 一无限长直导线通以电流I =I 0sin ωt ，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短 边与直导线平行，线框的尺寸及位置如题图13-13所示，且b /c =3。求： (1) 直导线和线框的互感系数； (2) 线框中的互感电动势。 分析：互感系数由MI =φ计算，计算互感系数关键是确定穿过互感线圈的磁通量。 解：(1) 无限长直导线产生的磁场02I B r μπ=。取矩形线框的正法线方向为垂直纸面向里，通过矩形线框的磁通量为 d d d ln ln 3b c S I I a x a x x x Ia Ia b c μμΦμμ0000==-2π2π==2π2π ?? ? S B ∴ 0ln 32a M I μΦ = = π （2）线框中的互感电动势 00ln 3d cos d 2i a I I M t t μωεω=-=-π i ε为正时，电动势的方向沿顺时针绕向；i ε为负时，电动势的方向沿逆时针绕向。 13-14 一圆环，环管横截面的半径为a ，中心线的半径为R (R a )。有两个彼此绝缘的 题图13-12 题图13-13 导线圈都均匀地密绕在环上，一个N 1匝，另一个N 2匝，求： （1）两线圈的自感L 1和L 2； （2）两线圈的互感M ； （3）M 与L 1和L 2的关系。 分析：由于R a ，环中的磁感应强度可视为均匀。设两个线圈通有电流1I 、2I ，求出穿 过螺线管线圈的磁通链数，进而求出自感、互感系数。 解：（1）设N 1匝螺绕管线圈中通有电流I 1，由于中心线的半径R 环管横截面的半径a ， 所以螺绕管内的磁场011 12N I B R μ= π，通过螺绕管线圈的磁通链数为 22 2 011 011111 122N I N a N B S N a I R R μμψ==π= π N 1匝螺绕管线圈自感系数： 22 011 11 2N a L I R μψ= = 同理，N 2匝螺绕管线圈自感系数： 22 022 22 2N a L I R μψ= = （2）N 1匝螺绕管线圈产生的磁场B 1，通过N 2匝螺绕管线圈的磁通链数为 2 2 011 01221212 122N I N N a N B S N a I R R μμψ==π= π 两线圈的互感 2 01221 1 2N N a M I R μψ= = （3）M 与L 1和L 2的关系 2 0120222N N a M R R μ= = =13-15 一圆柱体长直导线，均匀地通有电流I ，证明导线内部单位长度储存的磁场能量为 2m 0/(16)W I μ=π（设导体的相对磁导率r 1μ≈）。 分析：均匀通有电流的长直导线，其内部和外部均存在磁场，且磁场分布呈轴对称性。据题 意，只需求得单位长度导线内所储存的磁能，因此根据磁能密度公式，求得体元内的磁能，然后对圆柱内部的磁能进行积分即可。 解：设圆柱形导体的半径为R .由安培环路定律可得长直导线内的磁场 02 ,2r B I R μ= π r 导线内的磁能密度 2 22200m 2 240012228r I r B w I R R μμμμ?? === ?ππ?? 在导线内取单位长度的同轴薄圆柱筒体元d 2d V r r =π 其磁能为 2 30m m 4 d d d 4I W w V r r R μ== π 单位长度导体柱内储存的磁场能量为 2 2 3 00m m 4 d d 416R I I W W r r R μμ== = ππ ?? 13-16 平行板电容器的电容为C=20.0μF ，两板上的电压变化率为dU/dt =1.50×105 V/s ， 则该平行板电容器中的位移电流为多少。 分析：根据平行板电容器的性质，平行板间为均匀电场，电位移D 均匀分布，由平行板电容器场强与电压关系式，求出电位移通量ψ与电压U 的关系，并求出位移电流。 解：设平行板电容器的极板面积S 、间距d ，其间电位移通量为 00 U DS ES S d ψεε=== 对平行板电容器，其电容为0S C d ε=，代入上式得CU ψ= 位移电流为 65d d d 2010 1.5103A d d U I C t t ψ--= ==???= 13-17 一平行板电容器，极板是半径为R 的两圆形金属板，极板间为空气，此电容器与交 变电源相接，极板上电量随时间变化的关系为q =q 0sin ωt (ω为常量)，忽略边缘效应，求： （1）电容器极板间位移电流及位移电流密度； （2）极板间离中心轴线距离为r (r （3）当/4t ω=π时，b 点的电磁场能量密度（即电场能量密度与磁场能量密度之和）。 分析：根据电流的连续性，电容器极板间位移电流等于传导电流求解位移电流。忽略边缘效应，极板间位移电流均匀分布求解位移电流密度。根据全电流安培环路定理求出磁场强度极板间的磁场强度。由极板间电场强度、磁场强度可求得电磁场能量密度。 解：（1）电容器极板间位移电流 d 00d cos cos d U I C CU t q t t ωωωω=== 或由电流连续性得： 0cos d dq I q t dt ωω= = 位移电流密度 02 cos d d I q t S R ωωδπ= = （2）以中心轴线为圆心，过b 点作一半径为r (r 'd L H dl I =? ，有 22 02 cos 2d q t H r r r R ωωπδπππ== 解得 02 cos 2q r t H R ωωπ= (3) t ω=π/4时，0022 cos 24q r r H R R ωπωππ/4= = 0022 000 sin /4 12q E R R πσεεππε= == b 点的电磁场能量密度 2 2 2 22000 024012 2 44e m w w w E H q r R εμμωπε=+??= + =+ ??? 13-18 由一个电容C =4.0μF 的电容器和一个自感为L =10mH 的线圈组成的LC 电路，当电容器上电荷的最大值Q=6.0×10－5 C 时开始作无阻尼自由振荡。试求 （1）电场能量和磁场能量的最大值； （2）当电场能量和磁场能量相等时，电容器上的电荷量。 分析：由电容器储能，自感磁能，求电场能量，磁场能量。 解：（1）由初始条件可知，电磁振荡的初相位0?=.所以电容器上的电量振荡表达式为 0cos q Q t ω= 自感线圈上的电流振荡表达式为 0sin dq I Q t dt ωω= =- 系统固有振动角频率ω= 由于电场能量为2 220cos 22e Q Q W t C C ω= =，所以电场能量的最大值为 240 4.510J 2eMAX Q W C -==? 由于磁场能量为2 220sin 22 m LI LI W t ω==，所以磁场能量最大值为 22 400 4.510J 22mMAX LI Q W C -===? 电场能量和磁场能量的最大值相同，都与系统总能量相等。 (2) 电场能量和磁场能量相等时，e m W W = 解得 cos 2 t ω=± 所以电容器上的电荷量为 50 4.310C 2 q -=± =±? 13-19 一个沿负z 方向传播的平面电磁波，其电场强度沿x 方向，传播速度为c 。在空间某点的电场强度为 300cos 2V /m 3x E vt ππ? ?=+ ?? ? 试求在同一点的磁场强度表达式，并用图表示电场强度和传播速度之间相互关系。 分析：根据电场强度与磁场强度的定量关系可得该点的磁场强度。 解：由于平面电磁波沿负z 方向传播，某点电场强度E 的振动方向沿x 轴正方向，根据电场强度、磁场强度和传播方向三者满足右旋关系，则该点磁场强度的振动方向沿负y 轴方向。由此，根据电场强度与磁场强度的定量关系式可得该点的磁场强度表示式为 0.8cos 2A/m 3y x H vt ππ? ?==-+ ?? ? 用坡印廷矢量S 的方向表示电磁波的传播方向。电 场强度、磁场强度和电磁波的传播方向（坡印廷矢量）三者满足关系S E H =?。 题13-19解图 习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的 关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得 第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律 介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量： 第一章 1.3 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 1.11 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ad s Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有 1.18 （1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 1.21 (1) 由梯度公式 (2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 1.26 证明 00u A ???=??= 书上p10 1.25 第二章 2.1 3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?= 2.3 '' 2 2' 3 222 , 40 = l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z P ez z ea a E d z a ea π ρρα? ρα? πε = ==- - == - = + ? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元 可以视为点电荷，其到场点的距离矢量 得 所以点的电场强度为 （） 2 ''' 3 222 cos sin0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ??? ρα ε +∴= ∴= + ? （） 2.8 《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ； ) 第一章 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ads Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有 ? （1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 。 (1) 由梯度公式 (2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 证明 00u A ???=??= 书上p10 ， 第二章 3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?= ''222 2' 30 222 ,40 =l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z z a P ez z ea a E d z a ea π ρρα?ρα?πε===--= = +-=+? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元可以视为点电荷，其到场点的距离矢量得所以点的电场强度为（）2' ' '0 3222 cos sin 0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ???ραε+∴=∴=+?（） 。 - 《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答 第一章 引言——波与矢量分析 1．1 .,,/)102102cos(1026300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 --?+?==ππ 解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0x --?π+?π==++= ∴ 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向； 波的幅度 m /V 10E E 3y -== 。s /m 10102102k V ;102k ;MHZ 1HZ 1021022f 82 6P 266 =?π?π=ω=?π===π?π=πω=-- 1．2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话） )6sin()3sin()()6(cos 1)()5()2120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2() 4cos(6)()1(πωπωωππωωωπ ω++ =-=- =-=-=+=t t t U t t D t t C t t t A t t I t t V （1）解： 4/)z (v π=? j 23234 sin j 64cos 6e 6V 4j +=π+π==π∴ （2）解：)2t cos(8)t (I π-ω-= 2 )z (v π-=? j 8e 8I j 2=-= π-∴ （3）解：） t cos 132 t sin 133 (13)t (A ω-ω= j 32e 13A 2)z ()2t cos(13)t (A 133cos )2(j v --==π-θ=?∴π-θ+ω== θπ-θ则则令 （4）解：)2 t 120cos(6)t (C π-π= j 6e 6C 2j -==∴π (5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示 1．3由以下复数写出相应的时谐变量] )8.0exp(4)2 exp(3)3() 8.0exp(4)2(1)1(j j C j C j C +==+=π （1）解： t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j ω-ω+ω+ω=ω+ω+=+ω t sin t cos )Ce (RE )t (C t j ω-ω==∴ω （2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE )t (C t j 8.0j t j +ω===ωω （3）解：)8.0t (j )2t (j t j 8.0j j t j e 4e 3e )e 4e 3(Ce 2+ωπ+ωωω+=+=π 得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2 t cos(3)Ce (RE )t (C t j ω-+ω=+ω+π+ω==ω 1．4 ] Re[,)21(,)21(000000**????++--=+++=B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定 解：1B A B A B A B A z z y y x x -=++=? 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 麦克斯韦方程 摘要：本文对麦克斯韦方程组作了全面的分析和阐述，主要包括：麦克斯韦方程组的建立与推导，麦克斯韦方程组的表现形式及其意义，麦克斯韦方程组的应用等三个方面的内容。 关键词：麦克斯韦方程组 库仑定律 毕奥—萨伐尔定律 法拉第定律 引言：麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在1865年英国皇家学会上发表的《电磁场的动力学理论》中提出来的。麦克斯韦在全面深入的审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，经过长达十年的研究后才得到的成果。可以说，麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本性质和规律，构成完整的经典电磁场理论体系。它与洛伦磁力方程共同组成经典电磁学的基础方程，其重要性不言而喻。 一 、麦克斯韦方程组的建立与推导 1、麦克斯韦方程组的建立 麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，因此麦克斯韦方程组的建立过程实际上就是经典电磁学理论的建立过程。 到1845年，关于电磁现象的三个基本实验定律：库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来，这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。此外，19世纪30年代，法拉第创造性的提出了场和场线的概念，结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。随后，场的思想逐渐完善，科学家们建立了较为成熟的电磁场概念，这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。 1855年，麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。在随后的十年里，他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步：第一步，麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果，提出感生电场的概念；第二步，他设计了电磁作用的力学模型，对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。第三步，他把近距作用理论引向深入，明确地提出了电磁场的概念，并且全面阐述了电磁场的含义，建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。【1】 2、麦克斯韦方程组的推导 我们先来考察一下库仑定律： r e F 2 00 14r q q πε= 因为q F E =，所以E = r e 2 004r q πε。 （1）电场高斯定律推导 (a) 对于真空中静止的单个点电荷，作任意的高斯面，电荷位于面内。则有： 电磁场与电磁波易考简答题归纳 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ →→ → H k H E k E ，式中μεω22 =k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????????? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ →→ρ εμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→ → -=??-?J t A A μμε222 ，ερμε-=?Φ?-Φ?→ →222t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答：0 222=??-?→ → t H H με，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1= p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：??? ++?? =?-→ →τττστεμd E d E H t S d S S 222)2 1 21(，其中，→ →→?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ???????????=??=????-=????+=??→→ →→→ →→ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ????? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1( 麦克斯韦方程组▽-----乐天10518 关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。 麦克斯韦方程组Maxwell's equations 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基 本方程。 方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。在方程组中，电场和磁场已经成 为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了 电磁波的存在。 麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场， 变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激 发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立 了完整的体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组在中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方 程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的的完美 统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统 一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。 [] 历史背景 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。 概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。 1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 [] 积分形式 麦克斯韦方程组的积分形式： 麦克斯韦方程组的积分形式: 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 （1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 （2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 （3）描述了变化的磁场激发电场的规律。 （4）描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系： 当 时， 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程： 第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为42004 9 U d x ρε--=- ，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。 解 （1） 4323 000 4 d ()d 9 d Q U d x S x τ ρτε--==-=?? 11004 4.7210C 3U S d ε--=-? （2） 432002 4d ()d 9d d Q U d x S x τρτε--' '= = -=? ?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由 2 1 mv qU = 得 61.3710v ==? m 故 0.318J v ρ== 2A m 26(2)10I J d π-== A 2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径 旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin r φωθ=?=v r e ω 球内的电荷体密度为 3 43 Q a ρπ= 故 33 3sin sin 434Q Q r r a a φ φω ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表 面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin a φωθ=?=v r e ω 球面的上电荷面密度为 2 4Q a σπ= 故 2 sin sin 44S Q Q a a a φφω σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处 的电场强度。 第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场 xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1） 处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必 须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程 （结构方程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：b 7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β 为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(?00βz ωt E ωe y -ε （d ） )cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：c 8. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度 )(?)(?)(?y x e z x e z y e z y x +++++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=?? 静电 例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A=? 解：由已知q1所受静电力 例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。证明：空间任一点电势 整理可得： 上式为球面方程： 球心坐标 球面半径 例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。 A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量1?Φ，求:通过其余部分的电场通量2?Φ。 解：由高斯定理 ?∑=?=ΦS i i e q S d E 0 ε ，00=Φ∴=∑e i i q ，12120?Φ-=Φ∴=?Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两 棒间的静电力。 q 2 x o d n n 1 (22 - 、 0、0） 04)2(42 0322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε =q nq U U U -+=2 220 2220)(44z y d x q z y x nq ++--+ ++=πεπε0 =令 222222)(z y d x q z y x nq ++-=++∴[] 2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 1 2-= n nd R S ?S ? 深入浅出讲解麦克斯韦方程组 前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》，排在第一位的是麦克斯韦方程，它是电磁学理论的基础，也是相对论假定光速不变的依据，可见排在十大公式之首，理所应当！为了让大家更好地理解该方程，我们找到了一篇由孙研发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解，呈现个大家。在文章的最后，我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频，如果你英文比较好，不妨看一下。以下是正文： 有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组？感觉到基本不太可能啊，你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。 1. 力、能、场、势 经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=m a这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。 在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。 一张图表明关系： 积分 力－－－＞能 ｜｜ 场＜－－－势 微分 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 一 填空题 1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。 2. 静电场的基本方程为： 、 。 3. 恒定电场的基本方程为： 、 。 4. 恒定磁场的基本方程为： 、 。 5. 理 想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场边界条件为： 、 、 和 。 6. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。 7. 电流连续性方程的微分形式为： 。 8. 引入电位函数?是根据静电场的 特性。 9. 引入矢量磁位A ? 是根据磁场的 特性。 10. 在两种不同电介质的分界面上，用电位函数?表示的边界条件为： 、 。 11. 电场强度E ?的单位是 ，电位移D ?的单位是 ；磁感应强度B ? 的单位是 ，磁场强 度H ? 的单位是 。 12. 静场问题中，E ?与?的微分关系为： ，E ? 与?的积分关系为： 。 13. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 比。 14. XOY 平面是两种电介质的分界面，分界面上方电位移矢量为z y x e e e D ????0001255025εεε++= C/m 2 ，相对介电 常数为2，分界面下方相对介电常数为5，则分界面下方z 方向电场强度为__________，分界面下方z 方向的电位移矢量为_______________。 15. 静电场中电场强度z y x e e e E ? ??? 432++=，则电位?沿122333 x y z l e e e = ++v v v v 的方向导数为_______________，点A （1，2，3）和B （2，2，3）之间的电位差AB U =__________________。 16. 两个电容器1C 和2C 各充以电荷1Q 和2Q ，且两电容器电压不相等，移去电源后将两电容器并联，总的电容 器储存能量为 ，并联前后能量是否变化 。 17. 一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U 的无限长圆柱导体，如图所示。由于对称性，矩 形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界1Γ、2Γ、3Γ、4Γ和5Γ所围区域Ω内的电场计算。则在边界_____________上满足第一类边界条件，在边界_____________上满足第二类边界条件。 18. 导体球壳内半径为a ，外半径为b ，球壳外距球心d 处有一点电荷q ，若导体球壳接地，则球壳内表面的感 应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。 麦克斯韦方程组的积分形式： 麦克斯韦方程组的积分形式: (in matter) 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 （2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 （3）描述了变化的磁场激发电场的规律。 （4）描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系： 当 变化场与稳恒场的关系 时， 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程： (in matter) 在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式： (in matter) 麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。 编辑本段 微分形式 麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得： (in matter) 注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系： 在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。 编辑本段 科学意义 (一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：错误！未找到引用源。矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。A ·B 和A ?B 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：错误！未找到引用源。A a =A A = 149A ++ =（x a +2y a -3z a ）/14 错误！未找到引用源。cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o 错误！未找到引用源。A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2 x +2 y =c 1.6求数量场ψ=ln （2 x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2 x +2y +2 z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62 x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3 y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) 错误！未找到引用源。验证散度定理。 解：错误！未找到引用源。??s d A = A d S ?? 曲 + A dS ?? xoz + A d S ?? yoz +A d S ?? 上 +A d S ?? 下 A d S ?? 曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz = (3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =- 23x dydz ? yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 错误！未找到引用源。dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2 y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2 L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2 y r r V S r e r a E r a E a r E a r e r E r E r r E a r dV S d r D r e r r 20302030302000302 003334433344)(:1ερερπρπεε ρερπρπερεε=?=??=?>=?=??=?≤=?=??时，当时，当得，，根据高斯定理可和电常数分别为设真空中及导体球的介，即为中某一场点的位置矢量若采用球坐标，设空间、解 0 )(2)()(2)()(2222222:22222122221222212222 12122121=>--=?--=?---=≤≤=?=?=<<=?=?=≤=??B c e b c c I B b c c I B I b c b I B c b e I B I B I B b a e a I B a I B I a B a I l d H C 时，当时，当时，当时，当得，，根据安培环路定理可和为常数分别，设导体及介质的介电心轴线的距离为截面中某一场点的与中横 ，若采用圆柱坐标，设内部的磁场具有对称性根据题意可知，同轴线、解ρπρρμπρρμρμπρρπρ μπρμμπρρπρμπρμρμπρρεερφφφ)()cos 21(sin 75.12.0)cos 21(sin 35.0)cos 21(sin 35.0) cos 1(cos 35.0)]cos 1(35.07.0[cos x) -(0.72.0cos 5:2.24mA t t t t R i t t dt d t t t t t cd ab e B e S d B abcda in in z z ωωωωωωεωωωψεωωωωωψ+-=+-=-=+=- =-=--=?=???=?=系，那么 与磁场符合右手螺旋关设感应电动势参考方向的磁通为穿过导体回路解电磁场理论习题及答案7.
电磁场与电磁波第二章课后答案
最新电磁场与微波技术(第2版)黄玉兰-习题答案资料
电磁场复习题
电磁场与微波技术(第2版)黄玉兰-习题答案
《电磁场与电磁波》(陈抗生)习题解答选
《电磁场与电磁波》经典例题
麦克斯韦方程组浅析
(川理工)电磁场与电磁波重要例题习题解读
关于麦克斯韦方程组
电磁场二章习题解答(精品文档)
电磁场理论复习题(题库+答案)
电磁场习题解读
深入浅出讲解麦克斯韦方程组
最新电磁学第二章习题答案
工程电磁场复习题
麦克斯韦方程组的理解
电磁场与电磁波课后答案_郭辉萍版1-6章
电磁场与电磁波第二章习题参考答案
相关主题
文本预览