八年级（上）期末数学试卷（含答案）
一、选择题
1．已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
2．已知一次函数y=kx +3（k≠0）的图象经过点A ，且函数值y 随x 的增大而增大，则点A 的坐标可能是（ ） A ．（﹣2，﹣4）
B ．（1，2）
C ．（﹣2，4）
D ．（2，﹣1）
3．下列四个图形中，不是轴对称图案的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（﹣5，3）
B ．（1，﹣3）
C ．（2，2）
D ．（5，﹣1）
5．正比例函数y kx =的图象经过第一、三象限，则一次函数y x k =+的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1），则不等式组
,
0mx n kx b mx n +≥+??
+≤?
的解集是（ ）
A ．3x ≤
B ．n
x m
≥-
C ．3n
x m
-
≤≤ D ．以上都不对
7．若2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围（ ） A ．x≥2 B ．x≤2 C ．x ＞2
D ．x ＜2
8．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，···，按这样的运动规律，
经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A ．()2020,1
B ．()2020,0
C ．()2020,2
D ．()2019,0 9．我们知道，平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．无数
10．关于等腰三角形，以下说法正确的是（ ） A ．有一个角为40°的等腰三角形一定是锐角三角形 B ．等腰三角形两边上的中线一定相等
C ．两个等腰三角形中，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等
D ．等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等
二、填空题
11．如图①的长方形ABCD 中， E 在AD 上，沿BE 将A 点往右折成如图②所示，再作AF ⊥CD 于点F ，如图③所示，若AB ＝2，BC ＝3，∠BEA ＝60°，则图③中AF 的长度为
_______．
12．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，AO=AB，∠OAB=90°，OB=12，
点C、D均在边OB上，且∠CAD=45°，若△ACO的面积等于△ABO面积的1
3
，则点D的坐
标为 _______ 。
13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，连接AC、BC，则△ABC周长的最小值是_____．
14．如图，在ABC中，∠A=60°，D是BC边上的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于ABC内一点P，连接PC，若∠ACP=m°，∠ABP=n°，则m、n之间的关系为
______．
15．若函数y=kx+3的图象经过点（3，6），则k=_____．
16．点()11,12A 与点()11,12B -关于_________对称.（填“x 轴”或“y 轴”） 17．一个正方形的边长增加2cm ，它的面积就增加24cm ，这个正方形的边长是______cm ．
18．已知以点C （a ，b ）为圆心，半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2.例如：以A （2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x －2）2＋（y －3）2＝4，则以原点为圆心，过点P （1，0）的圆的标准方程为____.
19．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD ＝4，AB ＝16，则△ABD 的面积等于_____．
20．一次函数y 1＝ax +3与y 2＝kx ﹣1的图象如图所示，则不等式kx ﹣1＜ax +3的解集是_____．
三、解答题
21．如图,在ABC ?中, AD BC ⊥,且AD BD =,点E 是线段AD 上一点,且BE AC =,连接BE.
(1)求证:ACD BED ??≌
(2)若78C ∠=?,求ABE ∠的度数.
22．先化简，再求值：2
2
21
111x x x x x ++??-÷ ?--??
，其中2x =. 23．如图1，已知直线y=2x+2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt △ABC ．
（1）求点C 的坐标，并求出直线AC 的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（5
2
，k）是线段BC上一点，
在线段BM上是否存在一点N，使△BPN的面积等于△BCM面积的1
4
？若存在，请求出点N
的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A（2，3）、B（﹣1，2），将△ABC平移得到△A′B′C′，使得点A的对应点A′，请解答下列问题：
（1）根据题意，在网格中建立平面直角坐标系；
（2）画出△A′B′C′，并写出点C′的坐标为．
25．已知甲，乙两名自行车骑手均从P地出发，骑车前往距P地60千米的Q地，当乙骑手出发了1.5小时，此时甲，乙两名骑手相距6千米，因甲骑手接到紧急任务，故甲到达Q地后立即又原路返回P地甲，乙两名骑手距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数图象如图所示．（其中折线O﹣A﹣B﹣C﹣D（实线）表示甲，折线O﹣E﹣F﹣G（虚线）表示乙）
（1）甲骑手在路上停留小时，甲从Q地返回P地时的骑车速度为千米/时；（2）求乙从P地到Q地骑车过程中（即线段EF）距P地的路程y（千米）与时间x（时）
的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）在乙骑手出发后，且在甲，乙两人相遇前，求时间x（时）的值为多少时，甲，乙两骑手相距8千米．
四、压轴题
26．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，=90=
，
∠?
ACB AC BC．
(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE AD
⊥于E，交AC于点F．求证：=
AD BF；
(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE AD
⊥，且=
AE AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点D在CB延长线上，=
AE AD且AE AD
⊥，连接BE、AC的延长线交BE 于点M，若=3
AC MC，请直接写出
DB
BC
的值．
27．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
28．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD DE DF
==．
（1）若30
AED
∠=?，则ADB=
∠______．
（2）求证：BED CDF
△≌△．
（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变
化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．
29．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．
（1）求OAB ∠的度数；
（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=?，求点D 的坐标．
30．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
（1）如图1，已知A （3，2），B （4，0），请在x 轴上找一个C ，使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形．你找到的C 点的坐标是______，直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______．
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠D+∠B=180°，问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗？请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AC 与BD 交于点P ，BD+AC=9，
∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC ＜90°，且点C 到直线BD 的距离是3，求△ABC 与△BCD 的面积之和．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
【详解】
∵点P（a，2a-1）在一、三象限的角平分线上，
∴a=2a-1，
解得a=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0.
A. ∵当x=-2，y=-4时，-2k+3=-4，解得k=3.5>0，∴此点符合题意，故本选项正确；
B. ∵当x=1，y=2时， k+3=2，解得k=-1<0，∴此点不符合题意，故本选项错误；
C. ∵当x=-2，y=4时，-2k+3=4，解得k=?0.5<0，∴此点不符合题意，故本选项错误；
D. ∵当x=2，y=?1时，2k+3=?1，解得k=-2<0，∴此点不符合题意，故本选项错误.
故答案选A.
.
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像上点的坐标特征.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】
A不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形.
故选A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．
【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣4
5
＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=3
2
＞0，符合题意；
D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，
故选C．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据正比例函数的图象及性质即可求出k 的取值范围,然后根据一次函数的图象及性质即可判断． 【详解】
解:∵正比例函数y kx =的图象经过第一、三象限， ∴0k >
∵一次函数y x k =+中,1＞0, 0k > ∴一次函数y x k =+经过一、二、三象限 故选A ． 【点睛】
此题考查的是正比例函数的图象及性质和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 首先根据交点得出3b n
m k
-=-，判定0,0m k ＜＞，然后即可解不等式组. 【详解】
∵直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1） ∴31,31m n k b +=-+=- ∴33m n k b +=+，即
3b n
m k
-=- 由图象，得0,0m k ＜＞ ∴mx n kx b +≥+，解得3x ≤
0mx n +≤，解得n x m ≥-
∴不等式组的解集为：3n
x m
-≤≤ 故选：C. 【点睛】
此题主要考查根据函数图象求不等式组的解集，利用交点是解题关键.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x 的取值范围． 【详解】
∴x?2≥0，解得x≥2. 故答案选A. 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
观察可得点P 的变化规律，
“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然
数)”，由此即可得出结论. 【详解】
观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，
， 发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自
然数) .
∵20204505=?
∴2020P 点的坐标为()2020,0. 故选: B. 【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
直接利用轴对称图形的性质画出对称轴即可． 【详解】
解：如图所示：平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为2条． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和判断即可．
【详解】
解：A：如果40?的角是底角，则顶角等于100?，故三角形是钝角三角形，此选项错误；
B、当两条中线为两腰上的中线时，可知两条中线相等，
当两条中线一条为腰上的中线，一条为底边上的中线时，则这两条中线不一定相等，
∴等腰三角形的两条中线不一定相等，此选项错误；
C、如图，△ABC和△ABD中，AB=AC=AD，CD∥AB，DG是△ABD 的AB边高，CH是是△ABC 的AB边高，则DG=CH，但△ABC和△ABD不全等；故此选项错误；
D、三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．内心到三边的距离相等．故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二、填空题
11．3－
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H．证明四边形AFCH是矩形，得出AF=CH，在Rt△ABH中，求得∠ABH=30°，则根据勾股定理可求出BH=，可求出HC的长度即为AF的长度. 【详解】
解析：33
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H．证明四边形AFCH是矩形，得出AF=CH，在Rt△ABH中，求得
∠ABH=30°，则根据勾股定理可求出BH=3，可求出HC 的长度即为AF 的长度. 【详解】
解：如下图，作AH ⊥BC 于H ．则∠AHC=90°，
∵四边形形ABCD 为长方形， ∴∠B=∠C=∠EAB=90°， ∵AF ⊥CD ， ∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCH 是矩形，,AF CH = ∵∠BEA ＝60°， ∴∠EAB=30°，
∴根据折叠的性质可知∠AEH=90°-2∠EAB=30°， ∵在Rt△ABH 中， AB=2, ∴1
12
AH AB =
=, 根据勾股定理2222213BH AB AH -=-=∵BC=3,
∴33AF HC BC BH ==-=- 故填：33 【点睛】
本题考查矩形的性质和判定，折叠变化，勾股定理，含30°角的直角三角形.能作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键.
12．（9，0） 【解析】 【分析】
将△AOC 绕点A 逆时针旋转，使得AO 和AB 重合，构造出直角三角形，利用旋转的性质证明全等，通过勾股定理设出未知数列方程求解. 【详解】
解：将△AOC 绕点A 逆时针旋转
解析：（9，0） 【解析】 【分析】
将△AOC 绕点A 逆时针旋转，使得AO 和AB 重合，构造出直角三角形，利用旋转的性质证明全等，通过勾股定理设出未知数列方程求解.
解：将△AOC绕点A逆时针旋转，使得AO和AB重合，旋转后点C到点C′的位置，连接C′D，
∵AO=AB，∠OAB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∵∠CAD=45°，
∴∠C′AD=45°，
又∵AC=AC′，AD=AD
∴△ACD≌△AC′D（SAS）
∴CO=CD′
∵若△ACO的面积等于△ABO面积的1
3
，OB=12，
∴OC= BC′=4，BC=8，
∵∠AOC=∠AB C′=45°，∠ABO=45°
∴∠C′BO=90°，
设CD=x，在Rt△DBC′中，
C′D2=BD2+BC′2，
解得：x=5，
即CD=5，
∵OC=4，
所以OD=9，
∴D（9，0）
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形，利用旋转构造直角三角形是本题的关键. 13．【解析】
【分析】
作AD⊥OB于D，则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，得出BD＝2，由勾股定理求出AB即可；由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，点C
解析：513
【分析】
作AD⊥OB于D，则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，得出BD＝2，由勾股定理求出AB即可；由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A'，连接A B'交y轴于点
'⊥轴于E，由勾股定理求出A B'，即可得出结C，点C即为使AC+BC最小的点，作A E x
果．
【详解】
解：作AD⊥OB于D，如图所示：
则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝3，OB＝3，
∴BD＝3﹣1＝2，
∴AB22
2+3=13
要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A'，连接A B'交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
'⊥轴于E，
作A E x
由对称的性质得：AC＝A C'，
则AC+BC＝A B'，A E'＝3，OE＝1，
∴BE＝4，
由勾股定理得：A B'22
345
+=，
∴△ABC13+5．
13+5．
【点睛】
本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．
14．m+3n=120
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关
【
解析：m+3n=120
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，结合角平分线的定义，可得
∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，从而得到m、n之间的关系．
【详解】
解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∠+∠+∠=?
180,
A ABC ACB
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°-m°，
∴3∠ABP=120°-m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质的运用，角平分线的定义，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形内角和等于180°．
15．1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
∴，解得：k=1.
故答案为：1.
解析：1
【解析】
∵函数y=kx+3的图象经过点（3，6），
k+=，解得：k=1.
∴336
故答案为：1.
16．轴
【解析】
【分析】
两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，那么过这两点的直线平行于x轴，两点
到y轴的距离均为11，由此即可得出答案.
【详解】
∵两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点A(11
解析：y轴
【解析】
【分析】
两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，那么过这两点的直线平行于x轴，两点到y轴的距离均为11，由此即可得出答案.
【详解】
∵两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点A(11，12)与点B(-11，12)关于y轴对称，
故答案为：y轴.
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知“横坐标相等，纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等的两点关于y轴对称”是解题的关键.
17．a=5
【解析】
【分析】
本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有（a+2）2-a2=24，先用平方差公式化简，再求解．
【详解】
解：设这个正方形的边长为a，依题意有
解析：a=5
【解析】
【分析】
本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有（a+2）2-
a2=24，先用平方差公式化简，再求解．
【详解】
解：设这个正方形的边长为a，依题意有
（a+2）2-a2=24，
（a+2）2-a2=（a+2+a）（a+2-a）=4a+4=24，
解得a=5．
【点睛】
本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．
18．x2＋y2＝1
【解析】
因为原点为圆心,过点P（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆,则标准方程
为: （x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案为: x2＋y2＝1.
解析：x2＋y2＝1
【解析】
因为原点为圆心,过点P（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆,则标准方程为:
（x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案为: x2＋y2＝1.
19．【解析】
【分析】
作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】
作DH⊥AB于H，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DH=DC=4，
解析：【解析】
【分析】
作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】
作DH⊥AB于H，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DH=DC=4，
∴△ABD的面积=1
2
×16×4=32．
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
20．x＜1．
【解析】
【分析】
结合图象，写出直线y1=ax+3在直线y2=kx﹣1上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵一次函数y1=ax+3与y2=kx ﹣1的图象的交点坐标为(1，2)， ∴
解析：x ＜1．
【解析】 【分析】
结合图象，写出直线y 1=ax +3在直线y 2=kx ﹣1上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】
∵一次函数y 1=ax +3与y 2=kx ﹣1的图象的交点坐标为(1，2)， ∴当x ＜1时，y 1＞y 2，
∴不等式kx ﹣1＜ax +3的解集为x ＜1． 故答案为：x ＜1． 【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
三、解答题
21．(1) 见详解 ； (2) 33° 【解析】 【分析】
(1) 根据题意可得Rt ACD ≌ Rt BED （HL ）;
(2) 根据Rt ABD △中 AD BD =得到ABD △为等腰直角三角形，得到
45ABD BAD ∠=∠=，根据Rt ACD ≌ Rt BED 得到12DBE ∠=，即可求出答案.
【详解】 (1) ∵ AD BC ⊥ ∴ ADC BDE ∠=∠=90° ∵ 在Rt ACD 和Rt BED 中
AD BD
BE AC =??
=?
∴Rt ACD ≌ Rt BED （HL ） (2)∵Rt ABD △中 AD BD = ∴45ABD BAD ∠=∠= ∵Rt ACD ≌ Rt BED ∴C BED ∠=∠ ∵78C ∠=?
Rt BED 中,90DBE BED ∠+∠=
∴12DBE ∠=
∵45ABD ABE DBE ∠=∠+∠= ∴
ABE ∠=33° .
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质和判定及三角形内角度数的计算，熟记概念是解题的关键. 22．
1
1x +，13
. 【解析】
【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可.
【详解】2
2
21
111x x x x x ++??-÷ ?--??
， ()()()2
11111x x x x x x +--+=?-+， 11
x =
+， 当2x =时，原式13
=
. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键. 23．（1）C （﹣3，1），直线AC ：y=13x+2；（2）证明见解析；（3）N （﹣8
3
，0）． 【解析】 【分析】
（1）作CQ ⊥x 轴，垂足为Q ，根据条件证明△ABO ≌△BCQ ，从而求出CQ=OB=1，可得C （﹣3，1），用待定系数法可求直线AC 的解析式y=
1
3
x+2； （2）作CH ⊥x 轴于H ，DF ⊥x 轴于F ，DG ⊥y 轴于G ，证明△BCH ≌△BDF ，△BOE ≌△DGE ，可得BE=DE ；
（3）先求出直线BC 的解析式，从而确定点P 的坐标，假设存在点N 使直线PN 平分△BCM 的面积，然后可求出BN 的长，比较BM,BN 的大小，判断点N 是否在线段BM 上即可． 【详解】
解：（1）如图1，作CQ ⊥x 轴，垂足为Q ， ∴∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC ，
又∵AB=BC ，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO ≌△BCQ ，
∵BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C （﹣3，1），