代数几何综合题
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、（北京丰台）如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）
()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,
∴∠+∠=?∠+∠=?∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO
9090, A （2，0）
，C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=?BOP PAC 90
∴??BOP PAC ~
∴
=PO AC BO PA ，∴=+||||||x y x 2
2
， x y x y x
<<∴
=
-0022，，∴=-+y x x 1
2
2
（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,
当x =-1时，y =-32，∴=CA 3
2
BO a BOQ CAQ OQ AQ BO
CA
//~,，∴∴
=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2
∴
-=∴=m m m 2232
8
7
，
Q 点坐标为()8
7
0，
说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习
1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.
(1)求证：CD ∥AO ；（3分）
(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分）
B
2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0 (1)求m的取值范围； (2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值； (3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式. 3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。 ① 如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标； ② 在①中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P ，B 在抛物线2y x bx c =++上，求b ，c 的值； ③ 若将纸片沿直线l 对折，点B 落在坐标轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ， 若点Q 在②的抛物线上，求l 的解析式。 4、一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。 ①求直线AC 的解析式； ②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线2 85 y x kx =- +上，求k 的值； ③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。 5．已知：在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 边上的一点，沿直线DE 将矩形折叠，使C 点落在AB 边上的C 点处。过C ′作C ′H ⊥DC ，C ′H 分别交DE 、DC 于点G 、H ，连结CG 、CC ′，CC ′交GE 于点F 。 （1） 求证：四边形CGC ′’E 为菱形； （2） 设x CDE =∠sin ，并设DE DG E C y +='，试将y 表示成x 的函数； （3） 当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC 的长 能力训练 1、已知抛物线)0(22>--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ．注：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为??? ? ? ?--a b a c a b 44,22． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． 3、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x ，点P 到AB 的距离为y 。 （1）求y 与x 的函数关系式； （2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。 4、如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点(点E与点A，D不重合)．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N． (1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式； (2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大?最大值是多少? 5、如图，在直角坐标系中，点M在y轴的正半轴上，⊙M与x轴交于A，B两点，AD是⊙M的直径，过点D作⊙M的切线，交x轴于点C. 已知点A的坐标为（－3，0），点C的坐标为（5，0）. （1）求点B的坐标和CD的长； （2）过点D作DE∥BA，交⊙M于点E，连结AE，求AE的长. 6．如图，已知：AB是定圆的直径，O是圆心，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，交AB于C，PC=5。PT是⊙O的切线(T为切点)。 (1)当CE正好是⊙O的半径时，PT=3，求⊙O的半径； (2)当C点与A点重合时，求CT的长； (3)设PT2=y，AC=x，写出y关于x的函数关系式，并确定x的取值范围。 答案： 练习 1、（1）连结BC 交OA 于点E 略 （2）∵CD ∥AO ，∴∠3＝∠4. ∵AB 是⊙O 的切线，DB 是直径， ∴∠BCD ＝∠ABO ＝90°∴△BDC ∽△AOB. ∴ BD DC AO OB ＝ ∴6x y 3 ＝ ∴18y x ＝ ∴0＜x ＜6 （3）由已知和（2）知 x y 11xy 18??? ＋＝ ＝ 解这个方程组得：1212x 2x 9 y 9 y 2 ??? ???＝＝（舍去）＝＝ ∴AB 2．解：(1)由题意，得 22-4(m-3)=16-m>0① x 1x 2=m-3 所以m 的取值范围是m<3． (2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°. 所以BC=2BO ，AB=2BC=4BO ． 所以A0=3BO(4分) 从而得 x 1=-3x2． ③ 又因为 x 1+x 2=-2． ④ 联合③、④解得x 1=-3，x 2=1． 代入x 1·x 2=m-3，得m=O ． (3)过D 作DF ⊥轴于F ． 从(2)可得到A 、B 两点坐标为A(-3，O)、B(1，O)． 所以BC=2，AB=4，OC=3 因为△DAB ≌△CBA ， 所以DF=CO=3，AF=B0=1，OF=A0-AF=2． 所以点D的坐标为(-2，3)． 直线AD的函数解析式为y=3x=33 3． 4、 5．（1）根据题意，C 、C ′两点关于直线DE 成轴对称，DE 是线段CC ′的垂直平分线，故DC ＝DC ′，GC ＝EC ′，∠C ′EG ＝∠CEG 由C ′H ⊥DC ，BC ⊥DC 得：C ′G ∥CE ， ∴∠C ′GE ＝∠GEC ，∵∠C ′EG ＝∠CEG ， ∴∠C ′GE ＝∠C ′EG ，∴C ′G ＝C ′E ， ∴C ′G ＝C ′E ＝EC ＝GC ， ∴四边形CGCE 为菱形 （2）解法一：由题意知：在△RtDCE 中， sin ∠CDE ＝ DE CE ＝x 由（1）得：CC ′⊥CE ，又DC ⊥CE ， ∴Rt △C ′EF ∽Rt △DEC ′， ∴ ' 'EC EF DE E C =， 即EF DE E C ?=2 ' ∴222222121,)('x DE EF DE GE DE DE DG x DE CE DE E C DE EF -=-=-==== ∴ 221''x x DE DG DE E C DE DG E C -+=+=+，即122++-=x x y 解法二：设DE ＝a ，由sin ∠CDE=DE CE =x ，则CE=ax ，又DC ⊥CE ，CF ⊥DE ， ∴△DCE ∽△CFE ∴ 2)(2 2 CE EF ,ax DE CE DE FE CE ax ===∴= DG ＝DE -2EF ＝a-2ax 2 ， ∴ 22 212'x x a ax a ax DE DG CE DE DG E C -+=-+=+=+∴y=-2x 2+x+1 （3）由（2）得：y=-2x 2 +x+1＝8 9)4 1 (22 + --x 可见，当x= 41时，此函数的图象达到最高点，此时 87 811212=-=-=x DE DG ∵GH ∥CE ，∴87==DE DG DC DH ，由DH ＝2，得DG ＝4 7 在Rt △DHC ′中4 15 16494''22= - =-= DH DC H C ∴BC ＝ 4 15 能力训练 1、（1）所求对称轴为直线x ＝1 C （0，-m ） C ′（2，-m ） （2）满足条件的P 、Q 坐标为P （-1，3-m ），Q （1，3-m ）；P ′（3，3-m ）。 Q （1，3—m ）；P ″（1，-1-m ），Q ′（1,1-m ）。 （3）所求平行四边形周长为1024+或24。 2、解：（1）322++-=x x y （2）由（1）可知4)1(2+--=x y ∴顶点坐标为D （1,4），设其对称轴与x 轴的交点为E ∵OC AO S AOC ?= ?213121??=2 3 = ()OE DE DC S OEDC ?+=21 梯形 ()1432 1?+=27= DE EB S DEB ?=?21422 1 ??=4= D E B O E D C A O C A B D C S S S S ??++=梯形四边形42 7 23++=9= （3）△DCB 与△AOC 相似 证明：过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ∵D （1,4），∴Rt △DFC 中，DC ＝2，且∠DCF ＝45° 在Rt △BOC 中，∠OCB ＝45°，BC ＝23 ∴∠AOC ＝∠DCB ＝90° 1 2 ==CO BC AO DC ∴△DCB ∽△AOC 3、（1）过P 作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ=y ， 312 (04) 55 y x x =-+<< （2）令x ≤y ，得：31255x x ≤- +，解得：3 2 x ≤ ∴当3 02 x <<时，圆P 与AB 所在直线相离； 3 2 x = 时，圆P 与AB 所在直线相切； 3 42 x <<时，圆P 与AB 所在直线相交 4．解：(1)连接ME ，设MN 交BE 于P ，根据题意，得 MB=ME ，MN ⊥BE ．过N 作AB 的垂线交AB 于F ， 在Rt △MBP 和Rt △MNF 中， ∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°， ∴∠MBP=∠MNF ． 又AB=FN ，∴RT △EBA ≌Rt △MNF ，故MF=AE=x 在Rt △AME 中，AE=x ，ME=MB=2-AM ，∴(2-AM)2=x 2+AM 2 ． 解得AM=2 4 11x - 所以四边形ADNM 的面积 22122212241 2 2AM DN AM AF S AD AM AE x x x x ++?? = ?=?=+=-+ ???=-++ 即所求关系式为22 12 ++- =x x s . (2) ()()2 2211515221122222 S x x x x x =-++=--++=--+ ∴当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积s 的值最大。最大值是2 5 5．解：（1）∵ MO ⊥AB ，∴ OA ＝OB. ∵ A 点坐标为（－3，0），∴ B 点坐标为（3，0）. ∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD 2 ＝CB ·CA ＝2×8＝16. ∴ CD ＝4. （3）∵ AD 是直径，∴ DB ⊥AB ， ∴ BD ＝DC 2 －BC 2 ＝42 －22 ＝2 3. ∵ DE ∥BA ，∴ AE ⌒＝DB ⌒. ∴ AD ＝DB, ∴ AE ＝2 3. 6．
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