2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学
考场：___________座位号：___________
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分
钟.
第I 卷（选择题共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合
()
U
A B 中的元素共有( )
(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）（2） 复数
3223i
i
+=-( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -
（3）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ ）
（A ）17-
（B ）17 （C ）1
6
- （D ）16
（4）已知tan a =4,cot β=1
3
,则tan(a+β)=( )
(A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713
-
（5）已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a （ ） A. 2 B.
26 C. 2
5
D. 1 （6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π
+
=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ )
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几
何体是（ ）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
（9）若0tan >α，则( )
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称，那么φ的最小值为( )
(A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π （11）设,x y 满足24,
1,22,x y x y x y +≥??
-≥??-≤?
则z x y =+ ( )
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
（12）已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。若3FA FB =,则AF =( )
(A) (B) 2
(C) (D) 3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. (13)若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________. (14)设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且1
2,cos ,4
a C ==-
3sin 2sin A B ,则c =________.
（15）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若972S =，则249a a a ++=_______________. (16)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆
M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和3S =9
2
. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .
(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =
，
2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=
（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。
(19)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
）
．．．．．．．．．
从可口可乐公司生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
）
（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．
已知函数42
=-+.
f x x x
()36
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程
(21)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知点)2,2(P ，圆C :082
2
=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，
线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；
（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形
ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE （Ⅰ）证明：∠D=∠E ；
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三
角形.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22
149
x y +
=，直线l ：222x t
y t =+??
=-?
（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与
最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且
11
a b
+=. （Ⅰ）求3
3
a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学 参考答案
（命题人：邢日昱）
考场：___________座位号：___________
I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分
钟.
第I 卷（选择题共60分）
12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合
()
U
A B ( A )
(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 ）（2） 复数
3223i
i
+=-( C ) （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -
）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ A ）
（A ）17-
（B ）17 （C ）1
6
- （D ）16
（4）已知tan a =4,cot β=1
3
,则tan(a+β)=( B )
(A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713
-
（5）已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a （ D ） A. 2 B.
26 C. 2
5
D. 1 （6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f ( C )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（8）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π
+
=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中，
最小正周期为π的所有函数为（ C)
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几
何体是（ B ）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
（9）若0tan >α，则(C )
B. 0sin >α B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α (10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称，那么φ的最小值为( A )
(A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π （11）设,x y 满足24,
1,22,x y x y x y +≥??
-≥??-≤?
则z x y =+ ( B )
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
（12）已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。若3FA FB =,则AF =( A )
(A) (B) 2 (C) (D) 3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. (13)若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________. 【解析】 250x y +-=
(15)设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且1
2,cos ,4
a C ==-
3sin 2sin A B ,则c =________.
【解析】 4
（15）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若972S =，则249a a a ++=_______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n 项和，基础题。 解:
{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =
∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==。
(16)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆
M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.
【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。
解：设球半径为R ，圆M 的半径为r ，则ππ32
=r ，即32
=r 由题得3)2
(
2
2
=-R R ，所以ππ16442
2
=?=R R 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和3S =9
2
. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得
11329
22,322
a d a d ?+=+
= 化简得11322,2
a d a d +=+=， 解得111,2
a d ==
， 故通项公式112n n a -=+，即1
2
n n a +=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1415151
1,82
b b a +====
设{}n b 的公比为q ，则3
4
1
8b q b =
=，从而2q =， 故{}n b 的前n 项和
1(1)1(12)21112
n n n n b q T q -?-===---
(18)(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =
，
2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=
（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；
（Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。（同理18） 解法一： （I ）
作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形
设ME x =，则SE x =，AE =
=
2MF AE FB x ===-
由tan 60,)MF FB x =?=-。 解得1x =
即1ME =，从而1
2
ME DC =
所以M 为侧棱SC 的中点
（Ⅱ）2MB =
=，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ?为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M 为SC 中点
2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=
取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角
连接BH ，在BGH ?中，
12222
BG AM GH SM BH =
=====
所以222cos 23
BG GH BH BGH BG GH +-∠==-??
二面角S AM B --的大小为arccos( 解法二:
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设A ，则2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=?,则
2222
(0,
,),,)1111M MB λλλλλ
-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =- 故||||cos 60MB AB MB AB ?=?
即
41λ=+解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点 （II ）
由(0,1,1),M A ，得AM 的中点11
,)222
G
又31
(
,),(0,1,1),(222
GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ?=?=
所以,GB AM MS AM ⊥⊥
因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角
cos ,3||||
GB MS GB MS GB MS ?=
=-?
所以二面角S AM B --的大小为arccos(3
-
(19)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
）
．．．．．．．．．
从可口可乐公司生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
18.解：
（1）
…………………………4分
（
2
）
质
量
指
标
值
的
样
本
平
均
数
为
806902610038110221208
100100
x ?+?+?+?+?=
=
质量指标值的样本方差为
所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.
（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数4
2
()36f x x x =-+.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程
【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解：（Ⅰ）366
'()464(22
f x x x x x x =-=+
-
令'()0f x >得026<<-
x 或2
6>x ； 令'()0f x <得26-
6 0< 和),26(+∞为增函数；在区间)2 6 ,(--∞和)2 6 , 0(为减函数。 （Ⅱ）设点))(,(00x f x P ，由l 过原点知，l 的方程为0'()y f x x =， 因此000()'()f x x f x =， 即0)64(6303 002040=--+-x x x x x ， 整理得0)2)(1(2 020=-+x x ， 解得20-=x 或20= x 因此切线l 的方程为x y 2-=或y = (21)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 已知点)2,2(P ，圆C :082 2 =-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点， 线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （3）求M 的轨迹方程； （4）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积 解： （1）方法一： 圆C 的方程可化为2 2 (4)16x y +-=，所以，圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4),(2,2)CM x y MP x y =-=--， 由题设知0CM MP ?=，故 (2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-= 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是2 2 (1)(3)2x y -+-= (6) 分 方法二： 圆C 的方程可化为2 2 (4)16x y +-=，所以，圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ， 设24 ,2AB CM y y k k x x --= = -， 则24 ,2AB CM y y k k x x --== - 所以24 12AB CM y y k k x x --==-- 化简得，2 2 2680x y x y +--+=，即2 2 (1)(3)2x y -+-= 所以M 的轨迹方程是2 2 (1)(3)2x y -+-= （2）方法一： 由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆 由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥ 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13 -， 所以l 的方程为1833 y x =- + 又||||OM OP ==，O 到l |PM =，所以POM ?的面积为 16 5 方法二： 依题意，||OP =||||OM OP == 所以，M 也在2 2 8x y +=上 所以222282680 x y x y x y ?+=??+--+=?? 两式相减，得26160x y --+=，即18 33 y x =- +，此方程也就是l 的方程 由（1）知，M 的轨迹方程是2 2 (1)(3)2x y -+-=， 设此方程的圆心为N ，则(1,3)N 所以10 d = 又22||(12)(32)2NP =-+-= 所以2410||225MP =- = O 到l 的距离10 h = 所以，14101625 10POM S ?= ??= 综上所述，l 的方程为1833 y x =-+，POM ?的面积为16 5 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE （Ⅰ）证明：∠D=∠E ； （Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三 角形. 解：（Ⅰ）证明：由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠ 由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠. （Ⅱ）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上 又AD 不是 O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥ 所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠ 又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（Ⅰ）知，D E ∠=∠，所以ADE ?为等边三角形 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22 149 x y + =，直线l ：222x t y t =+?? =-?（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与 最小值. 解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos , 3sin ,x y θθ=?? =? （θ为参数） 直线l 的普通方程为260x y +-= （Ⅱ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为 |4cos 3sin 6|d θθ= +- 则2|||5sin()6|sin 305d PA θα= =+-，其中α为锐角，且4 tan 3 α= 当sin()1θα+=时，||PA … 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且 11 a b +=. （Ⅰ）求3 3 a b +的最小值； （Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 11 a b = +≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立 故33a b +≥a b == 所以33 a b +的最小值为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，23a b +≥≥ 由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=.
相关主题
文本预览