北师大版八年级数学下册教案
6. 1 平行四边形及其性质(一)
学习目标：
理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
1.由__ _条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有 _条边，_ __个角,四边形的内角和等于_____度；
2.如图AB与BC叫_ __边， AB与CD叫__ _边；
∠A与∠B叫_ __角，∠D与∠B叫_ __角;
1.多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有__ _条，
它们是___ ___
自学课本P83～P84，
1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______”
表示，平行四边形ABCD记作__________。
2.如图□ABCD中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。你能归纳ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。
二、合作解疑（25分钟）
如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长
为8m，其他三条边各长多少？
个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各
个内角的度数分别是：
（3） ABCD有一个内角等于40°，则另外三个内角分别为：
（4）平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为： 1.
ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（）
A.1︰2︰3︰4
B.3︰4︰4︰3
C.3︰3︰4︰4
D.3︰4︰3︰4
2. ABCD 的周长为40cm，△ABC的周长为27cm,AC的长为（）
A.13cm
B.3 cm
C.7 cm
D.11.5cm
综合应用拓展
1. 如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE.
三、限时检测（10分钟）
50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．1．填空：（1）在ABCD中，∠A=
1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。
2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；
两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．
4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，
则∠BCE＝______．
6题图
7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，
则∠BCE＝______．
7题图
8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．
二、选择题
9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不．一定成立
．．．．的是( )．
(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE
10．如图，下列推理不正确的是( )．
(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC
(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4 (D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD
11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离
为( )．(A)5 (B)6 (C)8 (D)12
1.□ABCD 中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________.
2.□ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长是__________.
3.如图，在□ABCD 中，M 、N 是对角线BD 上的两点，BN=DM ，请判断AM 与CN 有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？
N
M
D C B A
课 后 作 业
在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，∠C= 、∠D= .
证明：平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等. 已知：如图，ABCD ，求证：AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC ，
∵ AB ∥CD ，AD ∥ ，
∴ ∠1＝ ，∠2＝ ．
又 AC ＝CA ，
∴ △ ≌△ （ ）．
∴ AB ＝ ，CB ＝ ，∠B ＝ ．
又 ∠1＋∠4＝ ，
∴ ∠BAD ＝∠BCD ．
如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，
求证：AF=CE ．
已知：如图，□ABCD 中，E 、F 是直线AC 上
两点，且AE
＝CF ．
求证：(1)BE ＝DF ；(2)BE ∥DF ．
如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF =60°，
BE =2cm ，DF =3cm ，求□ABCD 的周长和面积. 若问题改为CF =2cm ，CE =3cm ，求□ABCD 的周长和面积.
F
E D
C
B A
5.□ABCD 中，E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，求CF 的长. F E
D
C B A
6.1平行四边形的性质（2）
学习目标：理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题
学习重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
学习难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
想一想：1.平行四边形是一个特殊的图形，它的边、角各有什么性质？
2.平行四边形除了边、角的性质外？还有没有其他的性质？
探一探
按课本85页的“探究”方法进行操作，并画出这两个平行四边形的对角线.实验后思考：
（1）从这个实验中你是否发现平行四边形的边、角之间的关系？这与前面的结论一致吗？（2）线段OA与OC，OB与OD有什么关系（如下图）？由此你能发现平行四边形的对角线有什么性质？
2.猜一猜
平行四边形的对角线有什么性质？
3.证一证
4.结论
平行四边形是中心对称图形.
二、合作解疑（25分钟）
1.在□ABCD中，AC、BD交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是_____________.
2.□ABCD的对角线交于点O，S△AOB=2cm2，则S□ABCD=__________.
3.□ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm.
4.□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________.
5.□ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：AE=CF.
D C
F
E
A
B
6.如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，画出图形，说明理由.
D C B
A
综合应用拓展
已知：如下图， ABCD 的对角AC ，BD 交与点O.E ，F 分别是OA 、OC 的中点。
求证：△OBE ≌△ODF. 三、限时检测（10分钟）
1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．
2．□A B C D 中，对角线A C 和B D 交于O ，若A C ＝8，B D ＝6，则边A B 长的取值范围是
____．
3．平行四边形周长是40cm ，则每条对角线长不能超过______cm ．
4．如图，在□ABCD 中，AE 、AF 分别垂直于BC 、CD ，垂足为E 、F ，若∠EAF ＝
30°，AB ＝6，AD ＝10，则CD ＝______；AB 与CD 的距离为______；AD 与BC 的距离为______；∠D ＝______．
5．□ABCD 的周长为60cm ，其对角线交于O 点，若△AOB 的周长比△BOC 的周长
多10cm ，则AB ＝______，BC ＝______．
6．在□ABCD 中，AC 与BD 交于O ，若OA ＝3x ，AC ＝4x ＋12，则OC 的长为______．
7．在□ABCD 中，CA ⊥AB ，∠BAD ＝120°，若BC ＝10cm ，则AC ＝______，AB
＝______．
8．在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若AB ＝10cm ，BC ＝15cm ，BE ＝6cm ，则□ABCD
的面积为______．
二、选择题
9．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )．
(A)①②④ (B)①③④ (C)①②③ (D)①②③④
10．平行四边形一边长12cm ，那么它的两条对角线的长度可能是( )．
(A)8cm 和16cm (B)10cm 和16cm (C)8cm 和14cm (D)8cm 和12cm
11．以不共线的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有( )个．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数
F E O D C A B
12．在□ABCD 中，点A 1、A 2、A 3、A 4和C 1、C 2、C 3、C 4分别是AB 和CD 的五等
分点，点B 1、B 2、和D 1、D 2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A 4B 2C 4D 2
的面积为1，则□ABCD 的面积为( )
(A)2 (B)53 (C)35 (D)15
13．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四
边形的个数是( )
……
(1) (2) (3)
(A)3n
(B)3n (n ＋1) (C)6n (D)6n (n ＋1
课 后 作 业 1．在平行四边形中，周长等于48，
① 已知一边长12，求各边的长
② 已知AB=2BC ，求各边的长
③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长
2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．
七、课后练习
1．判断对错（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）
2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修
几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，
求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．
如图，在 ABCD 中，AB=6cm ，BC=11cm ，对角线AC,BD 相交于点O ，求△BOC 与△AOB 的周长的差.
6.2平行四边形的判定（1）
学习目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
学习重点：平行四边形的判定方法及应用．
学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
【活动一】
提出问题：1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2.平行四边形具有哪些性质？
3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
【活动二】
★探究：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
（3）你能说出你的做法及其道理吗？
A B C
D
O
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
（5）你还能找出其他方法吗？
从探究中得到：
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、合作解疑（25分钟）
证一证
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
证明：（画出图形）
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证明：（画出图形）
例1（教材P87例3）已知：如图 ABCD的对角线AC、
BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方
法2来证明．
（你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单.）
综合应用拓展
已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，
求证：BE=CF
三、限时检测（10分钟）
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm
时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平
行四边形．
2．已知：如图， ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，
DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3．如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n 个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___ __．
②第8个图形中平行四边形的个数为___ __.
课 后 作 业
已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，
需要增加条件 .（只需填上一个你认为正确的即可）.
6.如图所示，ABCD 中，BE ⊥CD,BF ⊥AD,垂足分别为
E 、
F ，∠EBF=60°AF=3cm ，CE=4.5cm ，则∠C= ，
AB= cm ，BC= cm .
7.如图所示，在ABCD 中，E,F 分别是对角线BD 上的两点，
且BE=DF ，要证明四边形AECF 是平行四边形，最简单的方法 是根据 来证明.
8. 将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______.
三、解答题
9.已知：如图所示，在ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证四边形AECF 是平行四边形.
10. 如图所示，BD 是ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，求证：四边形AECF 为平行四边形.
1.已知，如图，平行四边形ABCD 的AC 和BD 相交于O 点，经过O 点的直线交BC 和AD 于E 、F ，求证：四边形BEDF 是平行四边形。（用两种方法）
2. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相
交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点，求证：BM ∥DN ，
且BM=DN.
N M O C B
D A 第
第10题图
第7题N M F E D C B A
6.2平行四边形的判定（2）
学习目标：1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．
学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
平行四边形的判定方法有那些？
取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？
1. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，在 中，AB=CD AB ∥CD,求证： .
证明：
2.几何语言表述：∵AB=CD,AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边
形. 二、合作解疑（25分钟） 已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：
BE=DF
已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，
且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．
综合应用拓展
如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，已知AE ＝CF ，M 、N 是DE
和FB 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形．
A B D C F
E A
B D C
三、限时检测（10分钟）
1.如图，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，DE ∥AC ，若△ABC 周长为8，则PD +PE +PF = 。
2.四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC 交AD 于E ， DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，求证：四边形BFDE 是平行四边形。
3.已知□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AF 与EB 交于G ，CE 与DF 交于H ，求证：四边形EGFH 为平行四边形。
4.如图，在四边形ABCD 中，AB =6，BC =8，∠A =120°，∠B =60°，∠BCD =150°，求AD 的长。 A B C D
课 后 作 业
6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．
(A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补
(C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补
7．能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是( )．
(A)AD ＝BC ，AB ∥CD (B)∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D
(C)AB ＝BC ，AD ＝DC (D)AB ∥CD ，CD ＝AB
8．能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是：∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值为
( )．
(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2
9．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 的中点，则图中平行四边形的个数共
有( )．
(A)2个 (B)3个
(C)4个 (D)5个
10．□ABCD 的对角线的交点在坐标原点，且AD 平行于x 轴，若A 点坐标为(－1，
2)，则C 点的坐标为( )．
(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)
11．如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，
则图中与OA 相等的其他线段有( )．
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
综合、运用、诊断
一、解答题
12．已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF ．请你以
F
为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．
(1)连结______；
(2)猜想：______＝______；
(3)证明：
13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)
证明：
如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．
11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长
线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求
证：四边形EQFP是平行四边形．
12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，
已知AE＝CF，F A与BE的延长线相交于点R，EC与DF
的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．
13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在
BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD 的中点．
14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A
作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.
6.2 平行四边形的判定（3）
学习目标：
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
学习重点：
掌握和运用三角形中位线的性质．
学习难点：
三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？图中有几个平行四边形？你是如何判断的？
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三
边的一半．
二、合作解疑（25分钟）
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
综合应用拓展
已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、
OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
三、限时检测（10分钟）
1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边
____________叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线
____________第三边，并且等于____________
2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为
_________．如果△ABC、△EFG、
△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方
法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC 的周长为______．
二、解答题
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
课后作业
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．
3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求
证：四边形EFGH是平行四边形．
6.3三角形的中位线
教学目标:
1．知识与技能
通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理,通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。
2．过程与方法
通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确。
3．通过变式练习，小组讨论、交流等活动，培养良好的学习态度以及自主意识和合作精神．
情感、态度与价值观：
培养学生的推理论证的能力和水平，并进一步培养学生的协作精神和创新思维能力。
教学重点、难点
1．重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。
2．难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。
教学过程
一．明确三角形中位线的概念，
1．你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
请同学们拿出自己准备好的三角形纸片试着分一下（先独立完成。然后交流）
学生回答：你是怎样做的？（连接每两边的中点）
提问：你认为这样做对吗？教师演示学生做的，把四个三角形折叠在一起，四个三角形完全重合。本节课我们来研究一下三角形中位线定理。（板书课题）出示学习目标（一）让学生齐读。
出示自学指导（一）学生默读完后自学。
提问：
三角形有几条中线？它们是什么点间的连线？
在图中，若D、E、F分别是AB、AC、BC中点，请同学们在图中，连结DE、DF、EF，（稍等片刻，让学生完成操作）
提问：这三条线段都是什么点间的连线？
这三条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？
（学生直接将定义写在练习纸上，然后交流、板书）
出示幻灯片5，我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（上图中的AF就是△ABC 的中线：D、E分别是边AB、AC的中点，则线段DE就是△ABC 的中位线；然后出示下一张幻灯片。
说说三角形的中线和三角形的中位线的异同？（都是线段，都有三条，一个是顶点与对边中点的连线，一个是两边中点的连线）
2．提出问题
如图，DE是△ABC的中位线，
（边口述，边板书）
那么请同学们观察一下，猜一猜：https://www.doczj.com/doc/4a3854812.html,
中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系？
3．猜想结论
为了猜想中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系，我们做一个拼图活动：出示(活动一):
我们把三角形沿中位线DE剪一刀．
试一试：你能不能把△ADE和四边形BDEC拼接成一个平行四边形呢？
你也可以与同桌合作，共同探索，一起来拼．（估计拼图不很困难，教师也不必指导；但教师应巡视，对完成的学生教师可提问：你拼成的
图形是平行四边形吗？为什么？要求同桌一起讨论）出示探索
的幻灯片：
我们把刚才拼接好的平行四边形画在练习纸上，请同学们
打开，然后小组讨论一下，请把你猜测得的结论写在纸上．（学
生独立观察并猜想结论，然后同桌交流，最后集体交流，并板
书结论）
二．推理、论证结论
1．刚才同学们交流了利用我们所提供的图形，得到了中位线DE与BC在位置和数量上的关系，你能否用语言叙述这一结论呢？
（学生尝试归纳结论，并互相补充完整后，板书）出示学习目标（二）学生朗读；出示自学指导（二）学生默读后自学。
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个命题吗？
（板书）
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．
求证：DE∥BC，DE=1/2 BC
（经过交流、分析后，学生独立写出证明过程）
通过了同学们的证明，可以知道你们猜想的结论是正确的．我们把这个结论称为三角形中位线定理，
（把命题改写成三角形中位线定理）
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．已知：如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC
求证：DE∥BC，
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF，∵AE=CE，∠AED=∠CEF（对顶角相等），ED=EF ∴△ADE≌△CFE（SAS）
AD=CF（全等三角形的对应边相等）
∠ADE=∠F（全等三角形的对应角相等）
∴AD∥CF（内错角相等，两直线平行）
∵AD=DB，∴CF=DB
A
B C
F D
E
所以四边形BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）新课标第一网
于是DF ∥BC ，DF=BC ，即DE ∥BC ，DE=1/2 BC 。
2．练习1（，三个小题逐一出现）
已知：如果，点D 、E 、F 分别是△ABC 的AB 、AC 、BC 边的中点．
（1）若AB=8cm ，求EF 的长；
（2）若DE=5cm ，求BC 的长．
（3）若增加M 、N 分别是BD 、BF 的中点，
问MN 与AC 有什么关系？为什么？
（学生口答，教师板书结论，并请学生说明理由）
三角形中位线定理不仅有三角形的中位线与第三边之间的
位置关系，而且还有它们之间的数量关系．另外，从第（3）题可知：当题设中出现中点时，要考虑应用三角形中位线定理来解决．
三、三角形中位线定理的应用
1、学生完成课本上的做一做。
[分析]考虑到E 、F 是AB 、BC 的中点，因此连结AC ，就得到EF 是△ABC 的中
位线，由三角形中位线定理得，EF ∥=
，同理GH ∥=，则EF ∥GH ，EF=GH,所以四边形EFGH 是平行四边形。 2、出示随堂练习的幻灯片：学生回答 四、课堂小结
说一说你学到了什么？学生回答，然后出示幻灯
片。
五、作业： 习题3.3第1、4题
六、板书设计
平行四边形（三）
---三角形的中位线
一． 定义
连接三角形两边中点的线段
二．定理 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半。
三．应用
A
B C D
E F H G
6.3多边形的内角和与外角和(1)
学习目标:
1.理解多边形及正多边形的定义以及多边形对角线的定义.
2.掌握多边形的内角和公式.
本节重难点:
教学重点：多边形的内角和. 难点：探索多边形的内角和公式过程.
一、情境创设
提出问题：什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？
二、自主导学
（一）、认识多边形
1、多边形的定义：在平面内，由的线段相连组成的平面图形叫做n 边形,又称为多边形．
在定义中应注意：①不在直线上；②相连，二者缺一不可.
以上两个多边形分别为边形、边形，应分别记为、
多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.
把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.
2、如果多边形的都相等、也都相等的多边形叫做正多边形。
3、认识多边形的边、内角、顶点、对角线
连结多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
（二）、探索多边形的内角和，小组合作。
活动1：①从多边形的一个顶点出发，可以引多少条对角线？他们将多边形分成多少个三角形？②总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？
三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）
边数从某顶点出发的对角线条数划分成的三角形个数多边形的内角和
3 0 1 1×180°
4 1 2 2×180°
5
6
…………
n
总结多边形的内角和公式
一般的，从n边形的一个顶点出发可以引____条对角线，他们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和＝（n≥3）
三、尝试反馈，巩固练习
1.P70页练习1、2
2.课时训练
3.作业，起航
6.3多边形的内角和与外角和(2)
学习目标:
1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.
本节重难点:
教学重点：多边形的外角和公式及其应用.
难点：多边形的外角和公式的应用.
一、情境创设
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？
它们的和叫什么呢？
我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和.
二、自主导学
（一）、认识多边形的外角
1.我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角. 另一边的_______所组成的角叫做这个多边形的外角。与多边形的每个内角相邻的外角有____个，它们是____角。
如图延长 AB 、CB 得四边形ABCD 的两个外角∠___和∠__ _，这两个外角是__ _。任何一个外角同于他相邻的内角有什系？
一个n 边形有_ _个内角，有__ _ 个外角。
2.从与每个内角相邻的两个外角中分别取____ 个相加，得到的和称为多边形的外角和。 如情境创设中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5就是 边形的外角和
（二）探索多边形的外角和，小组合作
1.由情境创设的探索，我们可知五边形的外角和为 。
思考：（1）五边形的五个外角加上与他们相邻的内角所得总和是多少？
（2）上述总和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
五边形的外角和=______________-五边形的内角和
2. 探究 如果将上例中五边形换成n 边（n ≥3）,可以得到同样的结果吗？
因为n 边形的一个内角与它的相邻的外角互为___ _，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去___ _，就可得到外角和。
多边形的边数 3 4 5
6 … n 多边形的内角与 外角的总和
3×180° =540° ___×180°
多边形的内角和 360°
多边形的外角和 360°
结论：多边形的外角和= ___________o注：多边形的外角和与____无关.
三、尝试反馈，巩固练习
1.P71页4题
2.课时训练
3.作业起航
6.3多边形内角和与外角和（3）
学习目标：1、经历探索多边形的外角和公式的过程；
2、进一步发展合情推理意识和主动探究的习惯，进一步体会数学与生活的紧密联系。
3、探索并了解多边形外角和公式，进一步发展说理和能力。
重点：多边形的内角和与外角和的理解
图8.3.2
第一章三角形的证明 【单元分析】 本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。 【单元目标】 1.知识与技能 （1）等腰三角形的性质和判定定理； （2）直角三角形的性质定理和判定定理； 2.过程与方法 （1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题； （2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题； 3.情感态度与价值观 （1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力； （2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。 【单元重点】 在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 【单元难点】 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 【教学思路】 1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。 2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。 3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。 4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 （导学模式） 学科：； 任课班级：； 任课教师：； 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立） 四、想一想 这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 五、巩固练习 1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +，题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程
1.1 不等关系 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来，到问题中去。 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。 （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ，圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l 。 （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π 42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ，
4＜5.1，此时圆的面积大。 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。 （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想， 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。 （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 410＜2 .0x 分析巩固练习： 用不等式表示： （1） a 的相反数是正数； （2） m 与2的差小于3 2； （3） x 的 3 1 与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0； （2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于 32”即是m-2＜3 2 ； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0； （4）“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
北师大版八年级上册数学教案 北师大版八年级上册数学教案分享，一起来看看吧。 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法，但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强． 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 为此本节课的教学目标是： 1．用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用． 2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思
想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习． 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理． 意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗！ 学生通过观察，归纳发现：
最新八年级下册北师大版数学全册教案 教学目的和要求： 理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点： 对不等式概念的理解 难点： 怎样建立量与量之间的不等关系. 从问题中来，到问题中去. 1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆. （1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2 2?? ? ??ππl . （1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4 (2 ≤l ，即25162≤l . （2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是 2 2?? ? ??ππl ＞100， 即 π42 l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682 2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π ， 4＜5.1，此时圆的面积大. 当l =12时，正方形的面积为)(916122 2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π ， 9＜11.5，此时还是圆的面积大. （4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l ㎝ 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 π42l ＞16 2 l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方 作为测量部位.某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240. （2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全： 4 10
北师大八年级数学教案 第一章勾股定理 2.一定是直角三角形吗 一、学生知识状况分析 二、学习任务分析 本节课是北师大版数学八年级(上)第一章《勾股定理》第2节。教学任务有：探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断 一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简单的实际问题;通过具体的数，增加对勾股数的直观体验。本节课的教学目标是： 1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念; 2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形; 教学重点 理解勾股定理逆定理的具体内容。 三、教法学法 (2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程; (3)利用探索,研究手段,通过思维深入,领悟教学过程。 2.课前准备 四、教学过程设计 本节课设计了七个环节。第一环节：情境引入;第二环节：合作 探究;第三环节：小试牛刀;第四环节：登高望远;第五环节：巩固提高;第六环节：交流小结;第七环节：布置作业。 第一环节：情境引入 内容：
情境：1.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系? 2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否 就是直角三角形呢? 意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。 效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。 第二环节：合作探究 内容1：探究 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,b,c，①5，12，13;②7，24，25;③8，15，17;并回答这样两个问题： 1.这三组数都满足吗? 2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。 意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长A B D，满足AFCBE，则 这个三角形是直角三角形”这一结论;在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。 效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足a2b2c2，可以构成直角三角形;②7，24，25满足a2b2c2，可以构成直角三角形;③8，15，17满足a2b2c2，可以构成直角三角形。 从上面的分组实验很容易得出如下结论：
第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2 2c + b a=
第一章三角形的证明
①等腰三角形的两底角相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。 （2）判定： ①有两边相等的三角形是等腰三角形. ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 考点2等边三角形的性质 1．边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 ________． 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且C G＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度． 【归纳总结】 （1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）性质： ①三个内角都等于60度，三条边都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 考点3 直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD 的长是() A．20 B．10 C．5 D. 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝_____．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是() A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【归纳总结】 （1）性质:直角三角形的两锐角互余。 (2)定理：直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (3)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半. （3）判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形 考点4 勾股定理及其逆定理 2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是() A．3，4，5 B．6，8，10 C.，2，D．5，12，13 【归纳总结】 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 考点5 角平分线的性质和判定 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD ＝4，则点D到AB的距离是________．
备 课 教 案 学校：调兵山市五中备课人：德刚 班级：八（3） 2012年9月
八年级数学上册教学计划 一、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，在我们班上，两极分化问题很是严重，对优等生来说他们能够理解知识形成技能具备一定的数学能力，而对后进生来说简单的基础知识还不能够掌握成绩不容乐观。为使学生学好进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新意识，作为教师，我将实行因材施教策略。 二、教材容分析 本学期数学容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，第四章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》, 第七章《二元一次方程组》，第八章《数据的代表》。 第一章《勾股定理》的主要容是勾股定理的探索和应用。 第二章《实数》主要容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。本章的容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。。 第三章《图形的平移与旋转》主要容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。 第四章《四边形性质探索》的主要容是四边形的有关概念、几种特殊的四边形（平行四边形、矩形、菱形、形、梯形）的性质和判定以及三角形、梯形的中位线。 第五章《位置的确定》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。 第六章《一次函数》的主要容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。 第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。 第八章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。 三、教学目标要求 上半学期完成第一章到第四章第四节，下半学期完成第四章第五节到本册教材结束。掌握平方根与立方根、实数、平面坐标系、一次函数、勾股定理、四边形性质等知识并形成相应数学技能。在情感与价值观上认识图形中的数量关系，培养学生的实事认真严肃的学习态度，在和谐合作的学习过程中养成独立探究勤与思考大胆创新，发展学生的非智力因素提高学生的数学素质与素养。 具体教学目标如下： 1. 正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。 2. 掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。掌握二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。 3. 理解四边形及有关概念，掌握几种特殊四边形的性质定理及判定。 4. 理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。 四、教材的重点和难点 重点：勾股定理探索、四边形性质的探索、实数的概念、一次函数图象及其应用、二元一次方程组及其应用。 难点：勾股定理探索、四边形性质的掌握一次函数图象及其应用的数形结合技能、二元一次方程组及其应用能力培养。 五、本学期提高教学质量的主要措施：
最新北师大版八年级下学期数学教案 北师大版八年级下学期数学教案1 教学目标 1.在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题 教学重点：平行四边形的判定方法及应用 教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用 一.引 小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗? 二.探 阅读教材P44至P45 利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨： (1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗? (2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形? (3)你能说出你的做法及其道理吗? (4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来吗? (5)你还能找出其他方法吗? 从探究中得到： 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证一证 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 证明：(画出图形) 平行四边形判定方法2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
证明：(画出图形) 三.结 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 四.用 【例题】 例、已知：如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形. 【练习】 1、已知：四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形， 需要增加条件 .(只需填上一个你认为正确的即可). 2、如图所示，在ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点， 且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法 是根据来证明. 作业P46练习1、2题 板书设计 平行四边形的性质 定理：平行四边形的性质例题练习 教学反思 北师大版八年级下学期数学教案2 一、教学目标： 1、加深对加权平均数的理解 2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题 3、会用计算器求加权平均数的值 二、重点、难点和难点的突破方法： 1、重点：根据频数分布表求加权平均数 2、难点：根据频数分布表求加权平均数 3、难点的突破方法： 首先应先复习组中值的定义，在七年级下教材P72中已经介绍过组中值定
北师大版八年级数学上册教案 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么
2016最新北师大版八年级数学（教案全） §6.1函数 教学目标： 【知识目标】： 1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。 【能力目标】 1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。【情感目标】 1、经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。 2、让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。 教学重难点： 掌握函数概念。 判断两个变量之间的关系是否可看作函数。 能把实际问题抽象概括为函数问题。 教学过程设计： 一创设问题情境，导入新课 摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系。请看
下图，反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。 大家从图上可以看出，每过6分钟摩天轮就转一圈。高度h完整地变化一次。而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h。下面根据图5－1进行填表： 二、新课学习 做一做 （1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表： 『师』：在这个问题中的变量有几个？分别师什么？ （2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S 米，一般 地有经验公式 3002 V S ,其中V 表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时） ①计算当fenbie 为50，60，100时，相应的滑行距离S 是多少？ ②给定一个V 值，你能求出相应的S 值吗？ 议一议 『师』：在上面我们研究了三个问题。下面大家探讨一下，在这三个问题中的共同点是什么？不同点又是什么？ 『生』：相同点是：这三个问题中都研究了两个变量。 不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以关系式来表示两个变量间的关系的。
纳雍县新房彝族苗族乡以角小学2018年春季学期八年级（1）班数学学科教学计划 一、学情分析 本学期我班共有学生51人，上学期有45人，转出4人，转入12人，辍学2人。学生流动性很大，将给教学带来诸多问题。八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。本班优生不多，思想不够活跃，有少数学生不上进，思维跟不上。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，充分发挥学生主体、教师的主导作用，注重方法，培养能力。 二、教材内容分析 本学期教学内容共计六章。 第一章《三角形的证明》 本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。 第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》 本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应。 第三章《图形的平移与旋转》 本章将在小学学习的基础上进一步认识平面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。 第四章《分解因式》 本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。 第五章《分式与分式方程》 本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。 第六章《平行四边形》 本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。
课题简单的图案设计 【学习目标】 1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计. 2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用,并灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计. 【学习重点】 利用旋转、轴对称或平移进行图案设计. 【学习难点】 会用旋转、轴对称或平移分析图案. 情景导入生成问题 旧知回顾 1.我们学过哪几种图形变换？ 答：轴对称变换、平移、旋转. 2.奥迪汽车车标是由圆形经过平移得到的,风神汽车车标是通过旋转得到的,大众汽车车标
是通过轴对称得到的. 自学互研生成能力知识模块一利用平移、轴对称或旋转分析图案 【自主探究】 阅读教材P85的内容,回答下列问题： 范例1：对下图的变化顺序描述正确的是(B) A.轴对称、旋转、平移 B.轴对称、平移、旋转 C.平移、轴对称、旋转 D.旋转、轴对称、平移 仿例1：
如图,将等腰三角板a向右翻滚,依次得到b、c、d,下列说法中,不正确的是(B) A.a到b是旋转 B.a到c是平移 C.a到d是平移 D.b到c是旋转 仿例2：如图,可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有①④；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有③；既可通过平移变换,又可通过旋转变换得到的图案有②. 变例：
数学课上,老师让同学们观察如图所示的图形,问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°,以上四位同学的回答中,错误的是(B) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 归纳：对于轴对称、平移、旋转这几种图形变换一般从定义区分,并观察图形、仔细分辨. 知识模块二利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案 范例2：用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形,使拼成的图案是一个轴对称图形.请你在图②、图③、图④中各画一种拼法.(要求三种拼法各不相同,且其中至少有一个既是轴对称图形,又是中心对称图形) 图略 仿例：如图所示的四个图形中,既可以通过翻折变换,又可以通过旋转变换得到的图形是(C)
纳雍县新房彝族苗族乡以角小学2017年秋季学期 八年级（1）班数学学科教学计划 一、学情分析 本学期我班共有学生45人，上学期有53人，转出12人，转入4人，学生流动性很大，将给教学带来诸多问题。上期期末考试有39个人及格，120分的分值，最高分117分，最低分36分，数学成绩参差不齐。从上期成绩来看，拔尖的学生较少，中等和中等偏下的学生较多。值得庆幸的是通过一年的努力，很多学生的学习习惯比以前好了很多。八年级是一个关键的过渡时期。学生年龄的增长、青春期心理的变化、对校园生活学习环境逐渐熟悉。针对学生的变化，管理班级的管理也需要相应的变化。为使学生学好进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新意识，作为教师，我将任重而道远。 二、教材内容分析 本学期数学内容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，第四章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》, 第七章《二元一次方程组》，第八章《数据的代表》。 第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。 第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。。 第三章《位置与坐标》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。 第四章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。 第五章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。 第六章《数据的分析》主要讲述平均数和中位数、众数、方差的概念，会求平均数、方差和能找出中位数及众数。 第七章《平行线的证明》的主要内容是“为什么要证明”“定义与命题”“平行线的判定”“平行线的性质”“三角形内角和定理” 三、教学目标
《认识无理数》精品教案 教学目标： 知识与技能目标： 1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数,并能说出理由. 过程与方法目标： 1.让学生亲自动手实践,感受无理数存在的必要性和合理性,培养学生的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力. 情感态度与价值观目标： 1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神重点： 1.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数或无理数 难点： 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数 教学过程： 一、 课前回顾 1.有理数如何分类？ 2.勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 有理数 整数(如-1，0，2，3，?- ). 分数(如 ， ， ?- ) 13－259 11