初中数学培优教材
第一讲 一元二次方程
【学习目标】
1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】
1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】
例1、下列方程中，是一元二次方程的是
①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③31
2=x
； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧03
32=-+x
x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax
例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？
例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 (2)－5x2+1=6x (3)(x+1)2=2x (4)8
-x
x
-
=
4
32-
例4、（1）某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）
A.5(1+x)=9
B.5(1+x)2=9
C.5(1+x)+5(1+x)2=9
D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9
（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.
例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，那么花边有多宽?（列出方程并估算解得值）
例6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?
【经典练习】 一、选择题
1、下列关于x 的方程：①1.5x 2+1=0；②2.3x 2+x 1
+1=0；③3.4x 2=ax(其中a 为常数)；④2x 2+3x=0；
⑤5
132+x =2x ；⑥22)(x x + =2x 中，一元二次方程的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 2、方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是 A.x 2－5x+5=0
B.x 2+5x+5=0
C.x 2+5x －5=0
D.x 2+5=0
3、一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是 A.7x 2,2x,0 B.7x 2,－2x ，无常数项 C.7x 2,0,2x
D.7x 2,－2x,0
4、若x=1是方程ax 2+bx+c=0的解，则
A.a+b+c=1
B.a －b+c=0
C.a+b+c=0
D.a －b －c=0 二、填空题
1、将13)34(+=+x x x 化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是. __________，一次项系数是__________，常数项是__________。
2、如果(a+2)x 2+4x+3=0是一元二次方程，那么a 所满足的条件为___________.
3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.
4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x ，则方程为___________.
5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为_____________. 三、解答题
1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
【课后作业】 一、填空题
1、方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.
2、若关于x 的方程053)1(2=+--ax x a 是一元二次方程，这时a 的取值范围是________
3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________. 二、选择题
1、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( )
A.2x 2+7=0
B.2x 2+23x+1=0
C.5x 2+x
1
+4=0 D.3x 2+(1+x) 2+1=0
2、方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是 ( ) A.x 2－5x+5=0
B.x 2+5x+5=0
C.x 2+5x －5=0
D.x 2+5=0
3、一元二次方程51272=+-x x 的二次项、一次项、常数项依次是 ( ) A.7x 2,2x,1 B.7x 2,－2x ，无常数项 C.7x 2,0,2x
D.7x 2,－2x,-4
4、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( ) A.2
B.－2
C.32-
D.3221-+
5、若关于x 的方程（ax+b ）(d －cx)=m(ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为 ( ) A.m
B.－bd
C.bd －m
D.－(bd －m)
6、若关于x 的方程a(x －1)2
=2x 2
－2是一元二次方程，则a 的值是 ( ) A.2
B.－2
C.0
D.不等于2
7、若x=-1是方程ax 2+bx+c=0的解，则 ( ) A.a+b+c=1 B.a －b+c=0 C.-a+b+c=0 D.a －b －c=0
第二讲 一元二次方程（配方法）
【学习目标】
1、会用开平方法解形如
)0()(2
≥=+n n m x 的方程。 2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。 【知识要点】
1、直接开平方法解一元二次方程：
（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成
)0()(2≥=±a a b x 的形式
（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,
2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用直接开平方法求出方程的根。 【经典例题】 例1、解下列方程： （1）x 2=4
（2）(x+3)2=9
例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+
=(x+6)2 （2）x 2+8x+ =(x+ )2（3）x 2―12x+ =(x ― )2 例3、用配方法解方程 （1）3x 2+8x ―3=0
（2）01262=--x x
（3）04
5
25212=-+-x x （4）022=--x x
例4、请你尝试证明关于x 的方程012)208(22=+++-mx x m m ，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程。
例5、 一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系： h=15 t ―5t 2，小球何时能达到10m 高？
【经典练习】 一、填空题
1、若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________.
2、若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________.
3、填写适当的数使下式成立.
①x 2+6x+______=(x+3)2 ②x 2－______x+1=(x －1)2 ③x 2+4x+______=(x+______)2
4、为了利用配方法解方程x 2－6x －6=0，我们可移项得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得x 1=_________，x 2=_________.
5、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x 的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小矩形的宽x 为_________.
6、如图1，在正方形ABCD 中，AB 是4 cm ，△BCE 的面积是△DEF 面积的4倍，则DE 的长为_________.
7、如图2，梯形的上底AD=3 cm ，下底BC=6 cm ，对角线AC=9 cm ，设OA=x ，则x=_________ cm.
图1
图2
二、选择题
1、方程5x 2+75=0的根是 （ ）
A.5
B.－5 C .±5 D.无实根 2、方程3x 2－1=0的解是 （ ）
A.x=±3
1
B.x=±3
C.x=±
3
3
D.x=±3 3、一元二次方程x 2－2x －m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ） A.(x －1)2=m 2+1 B.(x －1)2=m －1 C.(x －1)2=1－m
D.(x －1)2=m+1
4、用配方法解方程x 2+x=2，应把方程的两边同时（ ）
A.加4
1
B.加2
1
C.减4
1
D.减2
1
5、已知xy=9，x －y=－3，则x 2+3xy+y 2的值为（ ） A.27
B.9
C.54
D.18
三、计算题（用配方法解下列方程）
（1）162=x （2）4)2(2=-x
(3)x 2+5x －1=0 (4)2x 2－4x －1=0
(5) 4
1
x 2－6x+3=0 (6)x 2－x+6=0
（7）0342=--x x （8）025122=++x x
（9）x x 6132=- （10）012222=+-x x
四、解答题
两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.
【课后作业】
1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2
=n 的形式
（1）2x 2+3x －2=0 (2)4
1
x 2+x －2=0
2、用配方法解下列方程
(1)x 2+5x －5=0 (2)2x 2－4x －3=0
(3) x 2
－3x-3=0 （4）014722=++x x
第三讲 一元二次方程（公式法）
【学习目标】
1、学会一元二次方程求根公式的推导。
2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。
【知识要点】
1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程
02
=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有2
2244)2(a
ac
b a b x -=+。 （1）当042
≥-ac b 时，得a
ac
b b x 242-±-=；
（2）当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：
（1）必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； （2）再计算ac b 42-的值：
①当042
≥-ac b 时，方程有实数解，其解为：a
ac
b b x 242-±-=；
②当042<-ac b 时，方程无实数解。 【经典例题】
例1、推导求根公式：02=++c bx ax （0≠a ）
例2、利用公式解方程：
（1） 0222=--x x （2） 4722=+x x
（3）0142=+--x x （4）010342=+-x x
例3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程02=++c bx ax
例4、你能找到适当的x 的值使得多项式A=4x 2+2x －1与B=3x 2－2相等吗？
例5、一元二次方程(m －1)x 2＋3m 2x ＋(m 2＋3m －4)＝0有一根为零，求m 的值及另一根．
【经典练习】
1、用公式法解方程3x 2
+4=12x ，下列代入公式正确的是 （ ）
A.x 1、2=24312122?-±
B.x 1、2=2
4
312122?-±-
C.x 1、2=2
4
312122?+± D.x 1、2=32434)12()12(2???--±--
2、方程x 2+3x=14的解是 （ ） A.x=
2
65
3± B.x=
2653±- C.x=2233± D.x=2
23
3±- 3、下列各数中，是方程x 2－(1+5)x+5=0的解的有 ( ) ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( ) A ．1或5
B ．7或－1
C ．－1或－5
D ．－7或1
6、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2
B ．－2
1
C ．－2
D ．2
1
7、当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?
9、用公式法解下列各方程
（1）x 2
+6x+9=7 （2）017122=++x x
（3）08242=+-x x （4）05322=--x x
（5）012=--x x （6）01532=+-x x
（7）4)3)(12(=--x x （8）02)82(42=++-y y
（9）02322=--x x （10）()()()0112=-++-y y y y
（11） 1852-=-x x （12）02332222=+---+n mn m nx mx x
【课后作业】
1、方程(x －5)2＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6
B ．x 1＝x 2＝－5＋6
C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6
D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6
2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c 的值代入公式，x 1，2=____________求得方程的解.
3、当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2－19的值互为相反数?
4、用公式法解下列方程：
（1）0172=+-x x （2）0)8(=+x x
（3）22=-x x （4）3.08.02=+x x
（5）2132=+x （6）x x 72=
第四讲 一元二次方程（分解因式法）
【学习目标】
1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。 【知识要点】
1、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若0=?b a ，则0=a 或0=b
3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。 【典型例题】
例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程
（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-
（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x
（5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x
（7）062
5
412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0．
例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________.
例4、已知a 2－5ab+6b 2=0，则a
b
b a +等于 （ ）
2
1331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或
例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2． 例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x
【经典练习】 一、填空题.
1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；
(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。 2、（1）方程t(t ＋3)＝28的解为_______．
(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．
3、（1）用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 和 求解。
（2）方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x 1=__________,x 2=__________.
4、如果方程x 2
-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x -1）（x ）=0
5、已知x 2－7xy+12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________.
6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3倍。”小英说：“如果将我的苹果数平方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小华分得的苹果个数分别是 。 二、选择题
1、方程3x 2=1的解为（ ）
A.±3
1
B.±3
C.3
1
D.±
3
3 2、2x(5x －4)=0的解是（ ）
A.x 1=2，x 2=5
4
B.x 1=0，x 2=45
C.x 1=0，x 2=54
D.x 1=21，x 2=5
4
3、下列方程中适合用因式分解法解的是（ ） A.x 2+x+1=0
B.2x 2－3x+5=0
C.x 2
+(1+2)x+2=0
D.x 2
+6x+7=0
4、若代数式x 2+5x+6与－x+1的值相等，则x 的值为（ ） A.x 1=－1，x 2=－5 B.x 1=－6，x 2=1 C.x 1=－2，x 2=－3
D.x=－1
5、已知y=6x 2－5x+1，若y ≠0，则x 的取值情况是（ ）
A.x ≠6
1
且x ≠1
B.x ≠2
1
C.x ≠31
D.x ≠2
1
且x ≠31
6、方程2x(x+3)=5(x+3)的根是（ ）
A.x=2
5
B.x=－3或x=25
C.x=－3
D.x=－2
5
或x=3
7、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x=0或3x －4=0 B.(x+3)(x －1)=1 ∴x+3=0或x －1=1 C.(x －2)(x －3)=233 ∴x －2=2或x －3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0
8、方程ax(x －b)+(b －x)=0的根是 A.x 1=b,x 2=a
B.x 1=b,x 2=a 1
C.x 1=a,x 2=b
1
D.x 1=a 2,x 2=b 2
9、若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x+m 2－4=0的常数项是0，则m 为（ ） A.2
B.±2
C.－2
D.－10
三、解下列关于x 的方程 (1)x 2＋12x ＝0； （2)4x 2－1＝0；
(3)(x －1)(x ＋3)＝12； (4)x 2－4x －21＝0；
(5)3x 2＋2x －1＝0； (6)10x 2－x －3＝0；
(7)4(3x+1)2-9=0 (8) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)
【课后作业】 一、选择题
1、已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
A.只有一个根x=43
B.只有一个根x=0
C.有两个根x 1=0,x 2=4
3 D.有两个根x 1=0,x 2=-43
2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ） A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2
3、若方程(x-2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（ ）
A. 7
B. 2
C. 0
D. 7 或0 4、方程5x(x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )
A ．x 1＝5
3
，x 2＝3 B ．x ＝5
3 C ．x 1＝－5
3，x 2＝－3 D ．x 1＝5
3，x 2＝－3 5、方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2
B ．y ＝5
C ．y ＝－2
D ．以上答案都不对
二、用因式分解法解下列方程：
(1)t(2t －1)＝3(2t －1)； (2)y 2
＋7y ＋6＝0；
(3)y 2－15＝2y (4)(2x －1)(x －1)＝1．
第五讲 判别式和根与系数的关系
【学习目标】
1、 使学生会运用根与系数关系解题。
2、 对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。 【知识要点】
1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=?
（1）当042
>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，a
ac
b b x 242-±-=。
（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，a
b x x 221-==。 （3）当042<-a
c b 时，方程无实数解。 2、一元二次方程根与系数关系的推导：
对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式
a ac
b b x x 24221-±-=
=，有a b x x -=+21，a
c x x =?21
3、常见的形式：
（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213
231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=- 【典型例题】
例1、当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.
例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2
22
1x x + + 21x x （2）1
2
21x x x x +
例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且3112
1=+x x ，求 ①m 的值；②求x 12+x 22
的值.
例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）
01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解？
【经典练习】
一、选择题
1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的实数根
B 、有两个相等的实数根
C 、 没有实数根
D 、 与k 的取值有关
2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ). A 、2± B 、2 C 、 2- D 、0
3、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-
B 、-2
C 、91
D 、9
2
-
4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1
5、已知ab ≠0，方程02
=++c bx ax 的系数满足ac b =??
?
??2
2，则方程的两根之比为（ ）
A 、0∶1
B 、1∶1
C 、1∶2
D 、2∶3 二、填空题
1、已知方程0432
=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x = _____
2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b
3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=
4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；
5、以数21,21+-
为根构造一个一元二次方程 三、简答题
1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。（1）两实数根互为倒数；（2）两实数根中有一根为1。
2、求证：不论k 取什么实数，方程0)3(4)6(2=-++k x k x 一定有两个下相等的实数根？
3、已知方程032=+-c x x 的一个根是2，求另一个根及c 的值。
4、已知方程20542=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）（x 1+2）（x 2+2） （2）2
2212
1x x x x +-
5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.
【课后作业】
1、如果-5是方程5x 2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b 的值.
2、设关于x 的方程02)12(22=-+++k x k x 的两实数根的平方和是11 ，求k 的值。
3、设x 1,x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
(1)(X 1-1)(X 2-1) (2)12x x +2
1
x x
第六讲 列方程解应用题
【学习目标】
1、学会分析具体问题中的数量关系，建立数学模型并解决实际问题
2、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养 【知识要点】
1、 一元二次方程的解法：①配方法；②公式法；③十字相乘法。
2、 列方程解应用题的一般步骤：
（1）要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算；
（2）用字母x 表示未知数，并准确的用含有x 的代数式表示题目中涉及的量； （3）努力找出相等关系，列出方程并求出其根； （4）结合实际情况选择恰当的根。 【典型例题】
例1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下所示），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？
?甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
答：本方案的道路宽为 米．
?乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
3220
图1
32
20
图2
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R
问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）
八年级数学讲义目录
专题01 整式的乘除 阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =， (0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1 (0)p p a a a -= ≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题与求解 【例1】（1）若n 为不等式200 3006n >的解，则n 的最小正整数的值为 ． （“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （2）已知21x x +=，那么432 222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题） （3）把26 (1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则 121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）若5 4 3 2 37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题） 解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆内等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)
每天进步一点点！ 坚持就是胜利！ 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏析 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） A.
初中数学培优教材 第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
1、从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ） A . B. C. D. 2、已知：如图，AD ∥EF ，∠1＝∠2．求证：AB ∥DG ． 3、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
1、计算：0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：( ) （1） 他们都行驶了18千米； （2） 甲在途中停留了0.5小时； （3） 乙比甲晚出发了0.5小时； （4） 相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5） 甲、乙两人同时到达目的地。 其中，符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中，P 为AB 上一点，连接CP ，过B 作BE ⊥CP 于E 。 （1）如图1，连接DE ，过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ，求证：BP=BF 。 （2）如图2，连接AE ，分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ，连接DF ，求证：AG ⊥DF 图1 图2 P
初中数学勾股定理培优教材 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT△中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边 长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成 立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则 该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆 的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。 （6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正 方形A的面积为。 （7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是 x=,y=。 （8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8， 则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放 置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。 【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。 （等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的 表达式---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边 为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b， 斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定理： 2 2 2c b a= + 3、运用勾股定理进行 计算（重难点） （12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶 部落在离旗杆底部12米 处,旗杆折断前有多高？
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人
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专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理容：在RT △中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。 （6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。 （8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定理：
专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）
图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1
2017年秋期七 (6)班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学新课标”要求数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生入人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发 展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次： 第一层必做题”建础题，第二层： 选做题”彳等题，第三层思、考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。
三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、xxxx、xx、xx、xx、xx 四、补差对象： xx、xx、xx 航、xx、xx、 xx 彤、xx、xxxx、xx、xx 淼
初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。
有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。
等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
初中数学培优补差计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐
心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。
2016年初二升初三 暑 期 培 优 教 材 （数学）
第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、 c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数 是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二 次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①04 2 =-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】
专题27 数形结合 阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题； 3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步． 例题与求解 【例l 】设1342222+-+++= x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题） 解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++= x x y ＝ ()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两 点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小. 【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( ) A ．不存在 B ．至多1个 C ．有4个 D ．有2个 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．
初二数学辅导（1） 一.选择题： 1. 2x =-，那么（ ） A.2