2009年清华大学自主招生数学试题(理科)
【考试时间】：2009年1月1日下午2：00-3：30 数学 100分
1.的整数部分为a ,小数部分为b .
(1)求,a b ；
(2)求222
ab a b ++； (3)求2lim()n n b b b →∞
+++ .
2.(1)已知,x y 为实数,且1x y +=,求证:对于任意正整数n 都有222112n n n x y -+≥
. (2)已知,,a b c 为正实数,求证:3a b c x y z
+
+≥,其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列.
3.请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.
4.已知椭圆22
221x y a b +=,过椭圆左顶点(,0)A a -的直线L 与椭圆交于Q ,与y 轴交于R ,过原
点与L 平行的直线与椭圆交于P ,求证:AQ ,AR 成等比数列.
5.已知sin cos 1t t +=,设cos sin s t i t =+,求2()1n f s s s s =+++ .
6.随机挑选一个三位数m ,
(1)求m 含有因子5的概率；
(2)求m 中恰有两个数码相等的概率.
7.四面体ABCD 中,AB CD =,AC BD =,AD BC =,
(1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形；
(2)设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ,求证:cos cos cos 1αβγ++=.
8.证明:当,p q 均为奇数时,曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数.
9.设1221,,,n a a a + 均为整数,性质P 为:对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n 个数,使得两组所有元素的和相等,求证:1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P .
2009年清华大学自主招生数学试卷（理综） 一、解答题（共7小题，满分0分） 1．求值：． 2．请写出一个整系数多项式f（x），使得是其一个根． 3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物．在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中．集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中．问在最坏情况下需要多少个集装箱． 5．A，B两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a1，a2，…a n出现在黑板上，则形如的数都不能写（其中x i（i＝1，2，…，n）是自然数），不得不写1的人算输．初始状态黑板上写着5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？ 6．从0，1，2，3，4，5，6，7七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数共有几个？ 7．A，B两人玩一个游戏，A提供若干硬币，B可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u．规则是：A可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点v，并选择一个与它相邻的顶点w，将v上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在w上．A若在有限步内根据规则在u上放上一个硬币则获胜．已知B不想让A赢且他很聪明，试问在这两种情况下A各需要至少几个硬币才能保证自己能赢．
2009年清华大学自主招生数学试卷（理综） 参考答案与试题解析 一、解答题（共7小题，满分0分） 1．求值：． 【解答】解：原式＝|2+2（cos+i sin）+| ＝ ＝ ＝ ＝ ∵＝ ∴ 所以，＝ 2．请写出一个整系数多项式f（x），使得是其一个根． 【解答】解：由f（x）＝（x2﹣2）3＝， 得整系数多项式f（x）＝x6﹣6x4+12x2﹣8， ∴f（）＝﹣6+12﹣8 3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 【解答】解：不能． 取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴， 根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖．如图：
A 0.90 B 0.95 C 0.95 D 0.94 E 0.94 2006清华大学自主招生数学试题 考试时间：2005.11.28 1．求最小正整数n ，使得n i I )3 212 1(+ =为纯虚数，并求出I ． 2．已知b a 、为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值． 3．已知sin sin cos θαθ、、为等差数列，sin sin cos θβθ、、为等比数列，求1 cos 2cos 22 αβ- 的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积． 5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6． 2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、，求 PQ PR ． 7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?，且1)(≤x f ，求证:)(x f 恒为零． (可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞ →)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =?∞ →x g x f x ) 8. 在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明。 2007 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营 数学笔试试题（2006年12月30日） 1.求()x e f x x =的单调区间及极值. 2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求 1 lim n k n k A →∞ =∑. 3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果. 求：（1） 能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=，1 2 y x = ，0y =所围成三角形上的整点个数；
2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
2019年清华大学自主招生数学（理科）试题 1551 -的整数部分为a ，小数部分为b 。 （1）求,a b ；（2）求222ab a b ++ ；（3）求()2lim n n b b b →∞++L L 。 2．（1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥ 。 （2）,,a b c 为正实数，求证： 3a b c x y z ++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列。 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。 4．已知椭圆22 221x y a b +=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ，求证：AQ 2OP ，AR 成等比数列。
5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++L L 。 6．随机挑选一个三位数I （1）求I 含有因子5的概率；（2）求I 中恰有两个数码相等的概率。 7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC = （1）求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形； （2）设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=。 8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数。 9．设1221,,,n a a a +L L 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +L L 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等。求证：1221,,,n a a a +L L 全部相等当且仅当1221,,,n a a a +L L 具有性质P 。
2019清华自主招生试题与答案 (2018清华自主招生)1、如图的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确是 C A．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗 C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小 (2018清华自主招生)2、如图，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 C A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大 解析：对过程定性分析。斜面倾斜角大于450 3、 (2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是BD A．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 4W a B．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 2W a C．物体到达底端的动能E ka= 2E kb= 2E kc
D ．物体到达底端的动能 E ka >2E kb >2E kc 解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底 则有 ::W 2:1:1c b a W W = 动能定理 k mgx mgx E -μ=高底 则有 E ka >2E kb >2E kc (2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程，若以月球为参考系，且只考虑月球对它的引力作用，下列说法中正确的是 AC A ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度小于经过Q 点时的速度 B ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的机械能小于经过Q 点时的机械能 C ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度 D ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度 1
2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
清华大学历年自主招生试题汇总 以下是2014年清华“领军计划”部分面试题： 1、怎么看待单独二孩政策？ 2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？ 3、怎么看待社会公平？ 以下是2014年清华“自强计划”部分面试题： 结构性参考题目： 提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同 学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公? 追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么? 自由提问参考题目： 请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。 你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业? 你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因是有哪些?应该如何解决? 你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的? 考察点： 主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服 困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。 以下是清华大学2013年自主招生复试考题： 1.近期上海、南京、杭州等地连续出现“H7N9禽流感”感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的 相关信息。假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息? 追问:假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办? 2.“人类一思考，上帝就发笑”。请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。
追问:基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么? 3.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。 4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围“2013‘感动中国’的一位人物”，并阐述理由。 2008年清华大学自主招生考试题目选 语文（此文与原考试选用的文章稍有出入）（语文试题应该算是完整版了）： 关于文学和它的寄主的故事 朱大可 关于文学死亡的话题，已经成为众人激烈争论的焦点。这场遍及全球的争论，映射了文学所面临的生 存危机。但文学终结并非危言耸听的预言，而是一种严酷的现实。本届诺贝尔文学奖，颁发给了多丽丝·莱辛，这位88岁高龄的英国女作家，代表了20世纪最后的文学精神。她是一枚被瑞典皇家委员会发现的化 石，她曾在20世纪中叶成为女权主义文学的激进代表，但其近15年来的作品，却遭到美国评论家哈罗德·布鲁姆的激烈抨击，认为它们只具有四流水准，完全不具备原创的能力。耐人寻味的是，在所有诺贝尔奖项 中，只有文学奖面临着二流化的指责，而造成这种状况的唯一原因，就是文学自身的全球性衰退。这种现 状，验证了20世纪60年代美国批评家关于“文学衰竭”的预言。 返观中国文学的狼藉现场，我们发现，汉语文学的衰退，主要基于以下三个方面的原因：第一，80年代以来活跃的前线作家，大多进入了衰退周期，而新生代作家还没有成熟，断裂变得不可避免。第二，重 商主义对文学的影响，市场占有率成为衡量作家成功与否的主要标准，这种普遍的金钱焦虑，严重腐蚀了 文学的灵魂和原创力，导致整个文坛垃圾丛生。第三，电影、电视、互联网、游戏等媒体的兴起，压缩了 传统文学的生长空间，迫使它走向死亡。 这是我关于文学衰败的基本看法。但我最近才意识到，这种看法其实是错误的。文学的衰败只有一个 主因，那就是文学自身的蜕变。建立在平面印刷和二维阅读上的传统文学，在经历了数千年的兴盛期之后，注定要在21世纪走向衰败。它是新媒体时代所要摧毁的主要对象。新媒体首先摧毁了文学的阅读者，把他们从文学那里推开，进而摧毁了作家的信念，把文学变成一堆无人问津的“废物”。 然而，尽管中国文坛充满了垃圾，但文学本身并不是垃圾，恰恰相反，文学是一个伟大的幽灵，飘荡 于人类的精神空间，寻找着安身立命的躯壳（寄主和媒体）。在可以追溯的历史框架里，文学幽灵至少两 度选择了人的身体作为自己的寄主。第一次，文学利用了人的舌头及其语音，由此诞生了所谓“口头文学” （听觉的文学）；而在第二次，文学握住了人手，由此展开平面书写、印刷及其阅读，并催生了所谓“书 面文学”（文字的文学）的问世。这两种文学都向我们提供了大量杰出的文本。在刻写术、纺织术、造纸 术和雕版印刷术的支持下，经历两千年左右的打磨，书面文学早已光华四射，支撑着人类的题写梦想。 文学还有两个值得关注的寄主，那就是歌曲和戏剧，它们跟传统文学并存，俨然是它的兄弟，照亮了 古代乡村社会的质朴生活。但就叙事和抒情的线性本质而言，它们都是口头和书面文学的变种而已。文学 的寄生形态，从来就是复杂多样的。它们制造了艺术多样性的幻觉。
2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试 数学 注意事项： 1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）设复数z 满足|z|<1且1 5 |z+|2 z = ，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 1 2 解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2 z =整理得22 22 1174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z | =1 2 = （2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切 .则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A 13 B 16 C 18 D 112 解析：设2AB =, 容易算出2PB =,以底面中心为 原点建立空间坐标系，1 111(1,1,0),(1,1,0),(,, (,,222222 D A M N ------，由1cos 6 |DM AN ||DM ||AN |θ?==?uuu u r uuu r uuu u r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3 2 21y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的 斜率是（ ） A 2 B 1 C 1- D 2- 解析：3 2 2 21(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ， ()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =- （4）若23 A B π+= ,则22 cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）
一、 选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z +-=（ ? ? ? ?） (A)0 (B)1 (C)12 (D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ? ? ? ?） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0,则有（ ? ?） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC 的面积为 3(D)△ABC 的外接圆半径为3 7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ? ? ? ?） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值
2017清华自招试题 1 下列函数中，有两个零点的是（ ） A ()2x f x e x =-- B ()1x f x e x =-- C ()3ln f x x x =- D 1()3ln f x x x =+ 2 设,A B 是抛物线2y x =上的两点，是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A ||||2OA O B ?≥ B ||||OA OB +≥ C 直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D O 到AB 的距离小于等于1 3 设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A ()f x 有极小值，但无最小值 B ()f x 有极大值，但无最大值 C 若方程()f x b =恰有一个实根，则3 6b e > D 若方程()f x b =恰有三个不同实根，则360b e << 4 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足 cos ()(sin 1)0b C a c b C a c ++-=???+=?? 则（ ） A B C 3B π = D 4B π = 5 过ABC 的重心作直线将ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） A 最小值为34 B 最小值为45 C 最大值为43 D 最大值为54 6 已知方程sin (0)kx x k =>在区间(3,3)ππ-内恰有5个实数解12345x x x x x <<<<，则
（ ） A 55tan x x = B 5295122x ππ<< C 245,,x x x 成等差数列 D 123450x x x x x ++++= 7 已知实数,x y 满足22545x y xy --=，则222x y +的最小值是（ ） A 5 3 B 5 6 C 59 D 2 8
2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划） 说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。 1、设复数22cos sin 33z i π π =+，则211 11z z +=--（ ） A.0 B.1 C.1 2 D.3 2 2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ?≥ B.||||OA OB +≥ C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x = 相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6、ABC ?的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π =∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（ ） A.2b a = B.ABC ?的周长为2+ C.ABC ? D.ABC ?7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值 C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36 b e > D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36 0b e <<
一、选 择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 2016年清华大学领军计划测试题（数学+物理） 特别说明： 1、2016年清华领军计划测试为机考，全卷共100分。 2、考试时间：数学+物理共180分钟。 3、所有考题为不定项选择题。以下内容为回忆版本，部分题改编成填空题。 4、物理测试共35题，回忆版中共26题，供大家参考。 A 、 数学部分 1、已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两 条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则 a b = （ ） A 、2 D 、4 2、已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程 1111 2 x y z ++=的解的组数为 ( ) A 、8 B 、10 C 、11 D 、12 3、将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。 4、已知O 为ABC ?内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ???=，AO AB AC λμ=+， 则λ=___________，μ=_________。 5、“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ?为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中， N 的最大值为 （ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知实数,,x y z 满足222 1 1 x y z x y z ++=?? ++=?，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4 ()27xyz =- C.min 23 z =- D.以上都不对 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23 π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC (D)△ABC 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 清华、北大2019-2019年自主招生面试真题汇总 2016年自主招生即将来临，考生和家长需要着手准备了。除了报名申请材料之外，自主招生最重要的环节就是笔试和面试部分。下面中国自主招生网小编汇总了清华大学、北京大学2019-2019年部分面试题，供报考2020自主招生的考生们参考。 清华大学 清华大学2019年自主招生面试部分真题 1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么? 2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训? 3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的“学雷锋”活动动员演讲。 4.“是休学创业，还是毕业后创业。” 5.要不要休学当老板? 清华大学2019年自主招生面试部分真题 一、领军计划： 1、怎么看待单独二孩政策? 2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议? 3、怎么看待社会公平? 二、自强计划： 1、请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。 2、你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业? 3、你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因有哪些?应该如何解决? 4、你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的? 5、谈谈“如何看待春运一票难求的现象，怎么解决这个问题? 6、如何看待社会公平? 7、结合考生的申请材料，提出一些与考生自身经历有关的问题，如问考生家乡的特产是什么。 清华大学2018年自主招生面试部分真题 【综合面试】 分上午与下午两场进行：每场考生都有三道相同的必答题目，面试时间为10分钟左右，三位考官对一位考生。另根据面试时间的剩余情况，考官也会根据考生的特点增加其他题目。据考生回忆，必答题有： 1.“人类一思考，上帝就发笑。请在90秒内作答?基于你的评价，你打算在当下、在未来做些什么?” 清华大学等五校2020年自主招生联考试题语文： 语文题量很大，包括两篇现代文阅读、古诗词鉴赏、古文翻译、古文断句等。两篇现代文阅读，一篇为“科学与人文”摘自杨叔子《融则利而育全人》一书，所选段落涉及DNA知识、《红楼梦》、《老子》、《大学》等诸多内容。另一篇是俄国作家蒲宁的文章《山口》。此外有一篇古代诗文阅读《寻陆鸿渐不遇》。 两篇文言文阅读，断句，以及将《论语·泰伯》、《世说新语·汰侈》部分段落译为现代汉语。 作文是材料作文，有五十分，题目为“网瘾”。卫生部日前发出通知称：“电击治疗网瘾”技术的安全性尚不确切，暂不宜应用于临床。《中国青年报》：在过去三年里，已有近3000名网瘾少年在某网瘾戒治中心接受过电击治疗。《亚太经济时报》：从电击疗法寿终正寝推及其他对青少年的教育方法，问题的根本在于教育已到了革故鼎新的时刻。《东方早报》：当孩子网络成瘾后，学校除了把孩子当作“差生”、“问题生”推给家长之外，并没有针对这些孩子开展相应的教育。《新民晚报》：治疗网瘾已成为迫切需要解决的时代课题，有效的治疗手段，一定会带来巨大的利润。新浪网：一旦网瘾确实能被电击治愈，那么如烟瘾、酒瘾等好多棘手问题都将成为科学实验室的目标。 请联系社会实际，选择一个角度进行探讨，发表你的见解。写一篇不少于800字的论述文。 文科综合特色测试 有关国庆阅兵的军事知识，还考了经济学、心理学知识、蝴蝶效应、东盟自由贸易区、有关澳门回归的《七子之歌》等，此外，还有《哈姆雷特》、《双城记》等英文原著的经典语句以及国际组织的英文缩写等。其中写作题还出自一位境外学者之手，要求考生以梁漱溟的一段话，结合自己的实际生活，撰写短文阐述中国人是权利本位还是责任本位。 另外考察了“猪肉价格下降的原因”、“三农问题含义”等与农村考生联系密切的知识点。 清华大学2020自主招生真题 清华大学自主招生一般考什么？出国留学高考网为大家提供清华大学2017自主招生真题，更多高考资讯请关注我们网站的更新! 清华大学2017自主招生真题 2017年自主招生测试主要分为笔试和面试，笔试依然采用机考的模式来进行。 2017年清华笔试在全国44个城市设有61考点，相比去年增加25个考点，其中，每个城市还设有多个考点。 【笔试真题】 文科综合(文史)类： 考题有明清时的自然经济瓦解、抗日战争、诗词等内容，不是考知识点记忆，主要考查阅读面、逻辑思维深度等，数学与逻辑难度较大。 今年的语文试题对语文基础知识与运用能力提出了更高要求，材料多出自社会热点或经典著作，注重对知识联系实际、学以致用能力的考查;注重考查对经典或常识的精准理解，注重对独立思考与批判思维的考查。 材料阅读：过去一年你关注的清华热点新闻。 材料中提供了“清华大学博士生、国际学生实行申请审核 制”“杨振宁、姚期智先生放弃美国国籍加入中国国籍”“会游泳才能从清华毕业”等备受社会关注的热点新闻，要求学生针对不限于提供材料的热点新闻展开阐述，包括判断社会各界的舆论看法、如何向亲友介绍等多个层面。 点评：通过对阅读材料海量信息中有用信息的抓取，注重对学生思维公正性、思维勇气、甄辨能力以及价值观的考察，希望他们胸怀家国。 化学： 新增化学试题注重对学科基础内容的考查、综合多模块内容、加强化学学科的应用性、创新试题的设问模式，充分体现化学学科的学术价值，考查了考生的基础知识、综合能力、科学素养和创新精神，关注环境问题，讨论产生酸雨的原因及危害、食品中的增塑剂与人体健康等社会焦点问题。 物理： 注重基本概念的准确理解和灵活运用。通过采用单选和多选题随机编排的方式，来考查学生构建正确、合理的物理模型，综合运用物理知识分析、解决实际问题的能力，同时增加了能力考查的区分度。 除了定量的分析和计算外，试题还设置了部分内容来考查学生运用物理学基本原理来定性和半定量分析问题的能力。 【面试真题】 按照不同学科划分。 建筑系： 7位考官面试一个学生，不仅考查学生的综合素质，还考查他们对于城市、空间、建筑的理解和表达。 数学系： 给出4道题目让考生现场在黑板上作答，考官根据考生的解答思路或提问或追问。 2016年清华大学自主招生暨领军计划试题 1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C 【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ． 2． 已知ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ?的形状唯一确定的有（ ） A ．Z c b a ∈==,2,1 B ．B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．0 60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===A b a 【答案】AD ． 3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2 =-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线 B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行 C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点 D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点 【答案】BD 【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ． 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ） A ．以线段A B 为直径的圆与直线2 3 -=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2 D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB 【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为 ||21 |)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2 a a A ，则)1,41(2a a B -， 于是2414||2 2 ++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||2 1 BM 不一定相等，因此命题错误． 5．已知21,F F 是椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有 （ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2> 时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个 C ．21F PF ?的周长小于a 4 D ．21F PF ?的面积小于等于 2 2 a 2018清华自主招生试题与答案 (2018清华自主招生)1、如图所示的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确的是 C A．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗 C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小 (2018清华自主招生)2、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环， 圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 C A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大 3、 (2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、 2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是 BD A．物体克服摩擦力做的功W c = 2W b = 4W a B．物体克服摩擦力做的功W c = 2W b = 2W a C．物体到达底端的动能E ka = 2E kb = 2E kc D．物体到达底端的动能E ka >2E kb >2E kc 解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底 则有 ::W 2:1:1c b a W W = 动能定理 k mgx mgx E -μ=高底 则有 E ka >2E kb >2E kc (2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程，若以月球为参考系，且只考虑月球对它的引力作用，下列说法中正确的是 AC A ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度小于经过Q 点时的速度 B ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的机械能小于经过Q 点时的机械能 C ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度 D ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度 拓展：一质量为m 的空间站沿半径为R 的圆周绕月球运动。为使空间站能在月球上登陆，12016年清华大学领军计划自招(数学+物理)试题
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