13数学分析(三)复习范围
一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题
2. 求隐函数(组)的一阶偏导数
3. 求抽象函数的二阶偏导数
4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程
5. 求函数的极值
6. 计算第一型曲面积分
7. 计算第二型曲面积分
8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算
10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题
13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示
14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)
15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ
p sin ，计算?+∞+01n x dx 类积分值
二、解答与证明题(第小题10分，共30分)
1. 用定义证明多元函数的极限
2. 证明多元函数的连续性
3. 研究含参量积分的一致收敛性
4. 证明含参量非正常积分的连续性
5. 三重积分的证明题
6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题
7. 证明二重极限不存在
8. 多元函数的可微性证明
例题
一、计算题
1. 全微分计算题
公式：du=u x ??dx+u y ??dy+u
z
??dz 。
例1：求函数u=22
22
z x x y -+的全微分；
例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数
例3：设z
y e z
x +=，求y x z ???2。
例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx
dy ，dx dz
。 3. 求抽象函数的二阶偏导数
例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ???2，22u
y
??其中f 具有二阶连续的偏导数；
例6：设u=f(x 2-y 2，xy
e
)，求y
x u
???2，其中f 具有二阶连续偏导数。
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线
例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。
例8：求曲线??
???=-+-=-++045320
3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。
例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值
例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。
例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。
6. 计算第一型曲面积分
例12：计算??++S
dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。
例13：计算：xyzdS ∑
??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。
7. 计算第二型曲面积分
例14：求I=??-++S
dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。
例15：计算??∑
+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表
面的外侧。
8. 计算第二型曲线积分(格林公式)
例16：计算曲线积分[][]
?
-'+-AmB
x x
dy m e y dx my e
y )()(??，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1)
和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。
例17：求曲线积分?---C
x x dy y y e dx y e )sin ()cos 1(，其中C 为0 9. 二重积分的计算 例18：计算：??D xydxdy ，其中D 由x 2+y 2≥1，x-y+1≥0，0≤x ≤1围成。 例19：计算I=?? D dxdy y x 2 2 ，其中D 由x=2，y=x ，xy=1所围成。 10. 高斯公式与斯托克斯公式 例20：计算I=?-+-+-L dz y x dy x z dx z y )3()2()(222222，其中L 是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。 例21：计算??∑ +-++-+++dxdy y x dzdx x z dydz z y x )1()1()(2222222，其中∑是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组 成的按片光滑曲面，取外侧。 11. 求多元函数的方向导数 例22：求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y 2=4x 上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。 例23：在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 12. 曲线积分与路径无关问题 例24：确定λ的值，使曲线积分I=?-++-l dy y y x dx xy x )56()4(4214λλ与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0) 的I 值。 例25：定常数a ，使得任何不经过y=0的区域上曲线积分? +-+C a a dy y x y x dx y x y x )()(222222与路径无关，并求 ? +-+=) ,() 1,1(222222)()(),(y x a a dy y x y x dx y x y x y x u 。 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 例26：将三次积分I=? ? ?+---++) (30 2221 222 2 )(y x y y y y dz z y x f dx dy 分别表示为柱坐标及球坐标的形式。 例27：设Ω是由x 2 +y 2 =2z ，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f 是Ω上连续。利用柱面坐标将三重积分I=???Ω dxdydz z y x f ),,(化为三次积分。 14. 应用：求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 例28：有一铁丝成半圆形x=acost ，y=asint ，0≤t ≤π，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。 例29：?L zds ，其中L 为圆锥螺线x=tcost ，y=tsint ，z=t ，t ∈[0,t 0]； 例30：求球面x 2+y 2+z 2=a 2为平面z=4a ，z=2 a 所夹部分的曲面面积S 。 15. 利用余元公式B(p,1-p)= π π p sin ，计算? +∞+0 1n x dx 类积分值 例31：利用余元公式B(p,1-p)=π π p sin 计算积分?+∞+041x dx 。 例32：利用余元公式B(p,1-p)= π π p sin 计算积分? +∞ +0 6 1x dx 。 (注意B 函数的另一形式：B(p,q)=?+∞ +-+0 1 )1(dx x x q p p ) 二、解答与证明题： 1. 用定义证明多元函数的极限 例33：用极限定义证明211 lim(23)5x y x y →→--=。 例34：用极限定义证明2202 lim(3)4x y x xy y →→++=。 2. 证明多元函数的连续性 例35：若函数f(x,y)在区域D 内关于每一个变量都有有界偏导数，则f 在D 内连续。 例36：设f(x,y)在{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(上连续，函数列{})(x n φ在[a,b]上一致收敛，且c ≤φn (x)≤d ，证明：))(,()(x x f x g n n φ=在[a,b]上一致收敛。 3. 研究含参量积分的一致收敛性 例37：研究：220sin () xy dx xy x y +∞ +?在[a,+∞]，a>0的一致收敛性。 例38：研究：1 cos x dx x α +∞ ? 在α∈[21,1]内一致收敛性。 4. 证明含参量非正常积分的连续性 例39：证明：F(α)=2 arctan 1()xdx x α+∞ ++?在(-∞,+∞)内连续。 例40：证明：F(x)=0 2x ydy y +∞ +?在(2,+∞)内连续。 5. 三重积分的证明题 例41：设一元函数f(t)在(0,+∞)内具有一阶连续导数，令{} 2222 (,,)t x y z x y z t Ω=++≤， F(t)=()222t f x y z dxdydz Ω++???。 (1)证明F(t)在(0,+∞)内具有二阶连续导数； (2)求出F /(t)的表达式。 例42：设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)=0，试求??? Ω →++dv z y x f t t )(1 lim 2224 π，其中Ω：x 2+y 2+z 2≤t 2。 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 例43：设f(x,y)是定义在R 2上的连续函数，求证：对任意实数c ，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)≥c}是闭集。 例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{P n }?E ，P n ≠P 0，+∞ →n lim P n =P 0时，P 0是E 的聚点。 7. 证明二重极限不存在 例45：证明：20 0)(lim y x xy xy y x -+→→不存在。 例46：讨论极限2 420 0lim y x y x y x +→→的存在性。 8. 多元函数的可微性证明 例47：设f(x,y)=?????=+≠++0 ,00 ,2 2222 22y x y x y x y x ，证明f(x,y)在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。 例48：设f(x,y)=? ?? ??=≠+) 0,0(),( 0)0,0(),( 223 y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。 9. 曲线积分的证明题 例49：证明：若C 为平面上的封闭曲线，则cos(,)C C n y ds dx =-??，n 为C 的外法线向量。 例50：求积分值I=?+L ds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n 为L 的外法线方向。 例题选讲 一、计算题 1. 全微分计算题 例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分； 解：du=() () 222 2 22x z y x y +- +dx () () 222 2 22y z x x y -- +dy+ 2 2 2z x y +dz 。 例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 解：dz=z x ??dx+z y ??dy=322x z -dx-z y dy 。 2. 求隐函数(组)的偏导数 例3：设z y e z x +=，求y x z ???2。 解：令F=z z y e +-x=0，则)1(+=??z x z x z ，y x z ???2=3 )1(+-z x z 。 例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 解： dx dy =-21，dx dz =-21。 3. 求抽象函数的二阶偏导数 例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ???2，22u y ??其中f 具有二阶连续的偏导数； 解：u x ??=a(f 1/+f 3/)，z x u ???2=ac(f 12//+f 13//+f 23//+f 33//)。 u y ??=b(f 1/+f 2/)，22u y ??=b 2(f 11//+2f 12//+f 22// )。 例6：设u=f(x 2-y 2，xy e )，求y x u ???2，其中f 具有二阶连续偏导数。 解：x u ??=2xf 1/+y xy e f 2/，y x u ???2=2x(-2yf 11//+x xy e f 12//)+(1+xy)xy e f 2/+y xy e (-2yf 21//+x xy e f 22//) =-4xyf 11//+2(x 2-y 2)xy e f 12//+xy xy e 2f 22//+(1+xy)xy e f 2/。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线方程 例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。 解：令F(x,y,z)=x 2+y 2+z 2-6=0，G(x,y,z)=x+y+z=0，则 61122) ,(),() 1,2,1() 1,2,1(-== ??--z y z y G F ， 01122) ,(),()1,2,1() 1,2,1(== ??--x z x z G F ， 61122) ,() ,() 1,2,1() 1,2,1(== ??--y x y x G F ， ∴(z-1)-(x-1)=0，即x-z=0为所求。 例8：求曲线?? ???=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 解： 1 1 91161--= -=-z y x ，16x+9y-z-24=0。 例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 解：设F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-21=0，则(F x ,F y ,F z )=(2x,4y,6z)，取其法向量n =(x,2y,3z)，由于切平面与平面 x+4y+6z=0平行，∴t z y x ===63421，得?? ???===t z t y t x 22，将其代入曲面方程得：t 2+8t 2+12t 2 =21，?t=±1， ∴曲面x 2+2y 2+3z 2 =21在点(1,2,2)和点(-1,-2,-2)处的切平面分别为： (x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0，(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0，即x+4y+6z-21=0，x+4y+6z+21=0。 5. 求函数的极值或条件极值 例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。 解：f(0,-21)=-2 1 为极小值。 例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 解：作拉格朗日函数L(x,y,λ)=21(x-y-2)2+λ(y-x 2 )，解方程组?????=-=+---=---00)2(0222 x y y x x y x λλ得：??? ????==4121y x ， ∴d= 2 24 1 21--= 8 2 7。 6. 计算第一型曲面积分 例12：计算??++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。 解：设S 在xOy 平面上的投影区域为D xy ，则D xy 为平面上由圆ax y x 222=+所围成的区域。22 1y x z z ++=2， 所以 ??++S dS zx yz xy )(=2 ?? +++xy D dxdy y x y x xy ])([2 2 θθθθθθπ πd a )cos cos sin cos (sin 245422 5 4 ++=?-。 sin θcos 5θ+sin θcos 4θ为奇函数，而cos 5θ为偶函数， ∴?-=+22 450)cos sin cos (sin π πθθθθθd , ? ?-= -=22 20 225 15 16sin )sin 1(2cos πππ θθθθd d . 于是??++S dS zx yz xy )(= 4215 64 a 。 例13：计算：xyzdS ∑ ??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 解：∑的投影是D ：0≤x ≤1，0≤y ≤1-x ，原式(1)D xy x y dxdy --?? 7. 计算第二型曲面积分 例14：求I=??-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。 解：曲面S 不封闭，补上平面S 1：y+z=1，和平面S 2：z=0，使S+S 1+S 2成闭曲面，围成的空间区域记为Ω。再用高斯公式。求得I=- 4 π 。 例15：计算??∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表 面的外侧。 解：由高斯公式可得：原式= 2 3。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ? -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(??，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1) 和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。 解：原式=mS+2x e ?(y 2)-1x e ?(y 1)-m(y 2-y 1)-2 m (x 2-x 1)(y 2+y 1)。 例17：求曲线积分?---C x x dy y y e dx y e )sin ()cos 1(，其中C 为0 解：利用格林公式可求得：原式=-5 1 (πe -1)。 9. 二重积分的计算 例18：计算：??D xydxdy ，其中D 由x 2+y 2≥1，x-y+1≥0，0≤x ≤1围成。 解：原式=12 7 1110 2 = ? ?+-x x ydy xdx 。 例19：计算I=?? D dxdy y x 22 ，其中D 由x=2，y=x ，xy=1所围成。 解：I=22221 21119()4x x dy x dx x x dx x y =-=???。 10. 高斯公式与斯托克斯公式 例20：计算I=?-+-+-L dz y x dy x z dx z y )3()2()(222222，其中L 是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。 解：由斯托克斯公式：I=??∑ --+--+--dxdy y x dzdx x z dydz z y )22()62()42(，其中∑是平面x+y+z=2被柱面|x|+|y|=1 所截部分上侧，其单位法向量为( 33,33,3 3)。所以 I= 3 3 ??∑ ---dS z y x )648(=-2??≤+--++1||||)]2(324[y x dxdy y x y x =-12??≤+1 ||||y x dxdy =-24。 例21：计算??∑ +-++-+++dxdy y x dzdx x z dydz z y x )1()1()(2222222，其中∑是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组 成的按片光滑曲面，取外侧。 解：原式=224 1 2210 210 1 0= =? ? ????---y x x V dz dy xdx xdxdydz 。 11. 求多元函数的方向导数 例22：求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y 2=4x 上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。 解：)2,1(x z ??=31，) 2,1(y z ??=31，又tg α=(2x )/|x=1=1， ∴α= 4π或45π，cos α=22或-22，cos β=22或-2 2， ∴方向导数= 32或-3 2。 例23：在椭球面2x 2 +2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 解：设椭球面上点(a,b,c)为所求，则gradf(a,b,c)=(2a,2b,2c)，由题设(a,b,c)=λAB =λ(1,-1,0)，其中λ>0， ∴a=λ，b=-λ，c=0，代入椭球面方程得：4λ2 =1，?λ= 21，∴点(21,-21,0)为所求，且函数f 在点(21,-2 1,0)沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值|gradf(21,-2 1 ,0)|=2。 12. 曲线积分与路径无关问题 例24：确定λ的值，使曲线积分I=?-++-l dy y y x dx xy x )56()4(4214λλ与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0) 的I 值。 解：由 1224)1(6--=??=-=??λλλλxy y P y x x Q ，?6(λ-1)=4λ，λ-2=1，λ-1=2。 解得：λ=3。即当λ=3时，原曲线积分与路径无关。于是 I=??-++024014)5()32(dy y dx x x =-51-16+5?51?32=16-5 1 =1554。 例25：定常数a ，使得任何不经过y=0的区域上曲线积分? +-+C a a dy y x y x dx y x y x )()(222222与路径无关，并求 ? +-+=) ,() 1,1(222222)()(),(y x a a dy y x y x dx y x y x y x u 。 解：欲使曲线积分与路径无关，必须……，解得a=-2 1 ，于是 ? +- +=) ,() 1,1(2 22 2 2 2 ),(y x dy y x y x dx y x y x y x u =212 21 1 2 22 22 -+= +- +? ?y y x dy y x y x dx x x x y 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 例26：将三次积分I=? ? ?+---++) (30 2221 0222 2 )(y x y y y y dz z y x f dx dy 分别表示为柱坐标及球坐标的形式。 解：如图所示，作柱坐标变换??? ??===z z r y r x θθ sin cos ，得I=???+r dz z r f rdr d 30 22sin 0 0)(θπθ； 作球坐标变换?? ? ??===?θ?θ ?cos sin sin cos sin r z r y r x ，得I=? ???θππ π??θ sin sin 0 226 )(sin dr r r f d d 。 例27：设Ω是由x 2 +y 2 =2z ，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f 是Ω上连续。利用柱面坐标将 三重积分I=???Ω dxdydz z y x f ),,(化为三次积分。 解：I=?? ??? ?+?????2 1 2022 22 20 ),sin ,cos (),sin ,cos (2dz z r r f rdr dz z r r f rdr d r θθθθθπ 14. 应用(求质量，第一型曲线积分 ) 例28：有一铁丝成半圆形x=acost ，y=asint ，0≤t ≤π，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。 解： 密度ρ(x,y)=y ，∴M=20 20 222sin sin a tdt a dt y x t a yds t t C ==+?=???π π。 例29：?L zds ，其中L 为圆锥螺线x=tcost ，y=tsint ，z=t ，t ∈[0,t 0]； 解：?L zds =?+++-0 2 21)cos (sin )sin (cos t dt t t t t t t t =? +0 2 2t dt t t =3 1[23 2 0)2(+t -22]。 例30：求球面x 2+y 2+z 2=a 2为平面z= 4a ，z=2 a 所夹部分的曲面面积S 。 解：z=222y x a --，曲面在xy 平面投影为D ：43a 2≤x 2+y 2≤16 15a 2 。 S=? ??? ??-=--=++a a D D y x r a rdr d a y x a dxdy a dxdy z z 4152 32 220 2 2222 1π θ= 2 1 πa 2。 15. 利用余元公式B(p,1-p)= π π p sin ，计算? +∞ +0 1n x dx 类积分值 例31：利用余元公式B(p,1-p)= π π p sin 计算积分? +∞+0 4 1x dx 。 解：令t=x 4，则dx= 4 14 3-t dt ，∴? +∞ +0 41x dx =?∞+-+014 1141dt t t =41B(41,43)=414sin ππ=422 2 4π π= ?。 例32：利用余元公式B(p,1-p)= π π p sin 计算积分? +∞ +0 6 1x dx 。 解：令t=x 6，则dx= 6 16 5-t dt ，∴? +∞ +0 61x dx =?∞+-+016 1161dt t t =61B(61,65)=616 sin π=3 π。 (注意B 函数的另一形式：B(p,q)=?+∞ +-+0 1 )1(dx x x q p p ) 二、解答与证明题： 1. 用定义证明多元函数的极限 例33：用极限定义证明211 lim(23)5x y x y →→--=。 证：?ε>0，设|x-1|<1，则0 要使|2x 2-3y-5|=|2x 2-2-3y-3|≤2|x 2-1|+3|y+1|≤2|x+1||x-1|+3|y+1|≤6|x-1|+3|y+1|<ε。 只要取δ=min{1, 9 1 ε}，当|x-1|<δ，|y+1|<δ且(x,y)≠(1,-1)时，恒有|2x 2-3y-5|<ε成立。 故211 lim(23)5x y x y →→--=。 例34：用极限定义证明2202 lim(3)4x y x xy y →→++=。 证：?ε>0，设|x|<1，|y-2|<1，则-1 要使|x 2+3xy+y 2-4|≤|x||x+3y|+|y+2||y-2|≤10|x|+5|y-2|<ε， 只要取δ=min{1， 15 ε}，当|x|<δ，|y-2|<δ且(x,y)≠(0,2)时，恒有|x 2+3xy+y 2-4|<ε成立。 故2202 lim(3)4x y x xy y →→++=。 2. 证明多元函数的连续性 例35：若函数f(x,y)在区域D 内关于每一个变量都有有界偏导数，则f 在D 内连续。 证：任取A(0x ,0y )∈D ，必存在A 的邻域U(A,δ)?D ，?(x,y)∈U(A,δ), |f(x,y)-f(0x ,0y )| =|f x (0x +θ1(x-0x ),y)(x-0x )+f y (0x ,0y +θ2(y-0y ))(y-0y ) ≤M|x-0x |+M|y-0y |→0,ρ→0 ∴f 在A 连续，由A 的任意性，f 在D 内连续。 例36：设f(x,y)在{}d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,),(上连续，函数列{})(x n φ在[a,b]上一致收敛，且c ≤φn (x)≤d ，证明：))(,()(x x f x g n n φ=在[a,b]上一致收敛。 证： f(x,y)在闭区域D={(x,y)|a ≤x ≤b,c ≤y ≤d}上连续，∴f(x,y)在D 上一致连续。即?ε>0,?δ>0，当ρ(P 1,P 2)<δ(P 1、P 2∈D)时，总有|f(P 1)-f(P 2)|<ε。又{)(x n φ}在[a,b]上一致收敛。∴?N>0，当n 、m>N 时，对一切x ∈[a,b]有|)(x n φ-)(x m φ|<δ，于是εφφ<-=-))(,())(,()()(x x f x x f x g x g m n m n 。∴{)(x g n }在[a,b]上一致收敛。 3. 研究含参量积分的一致收敛性 例37：研究：220sin () xy dx xy x y +∞ +?在[a,+∞]，a>0的一致收敛性。 解： 2222 sin ()xy M xy x y a x ≤++（y ∈[a,+∞）)，其中sin xy xy ≤M ，而 ?+∞ +0 2 2x a dx 收敛，故原积分一致收敛。 例38：研究：1 cos x dx x α +∞? 在α∈[21,1]内一致收敛性。 解：由狄利克雷判别法易知其一致收敛性。 4. 证明含参量非正常积分的连续性 例39：证明：F(α)=2 arctan 1()xdx x α+∞ ++?在(-∞,+∞)内连续。 证：?α0∈(-∞,+∞)，设α0>0，则存在r 1，r 2使0 2 21arctan 1 21()1()x x x r πα≤?++++成立，而?+∞ ++0 2 1)(1r x dx 收敛，故原积分在[r 1,r 2]上一致收敛，∴在α0点连续，同理可证α0≤0的情况。 故F(α)在(-∞,+∞)内连续。 例40：证明：F(x)=0 2x ydy y +∞ +?在(2,+∞)内连续。 证：?x 0∈(2,+∞)，必?a,b 使x 0∈[a,b]，a>2，在[a,b]上有：22x a y y y y ≤++～11 a y -。由于a>2，∴a-1>1，故0 2a ydy y +∞ +?收敛，∴原积分在[a,b]上一致收敛，从而在x 0点连续，即F(x)在(2,+∞)内连续。 5. 三重积分的证明题 例41：设一元函数f(t)在(0,+∞)内具有一阶连续导数，令{} 2222 (,,)t x y z x y z t Ω=++≤， F(t)=()222t f x y z dxdydz Ω++???。 (1)证明F(t)在(0,+∞)内具有二阶连续导数； (2)求出F /(t)的表达式。 解：(1)利用球坐标变换cos sin sin sin cos x r y r z r θ?θ??=?? =??=? 可得： F(t)=()222t f x y z dxdydz Ω++???=???t dr r r f d d 0 22020)(sin ππ??θ=4π ?t dr r r f 0 22)(， 其中被积函数f(r 2)r 2 在(0,+∞)内具有一阶连续导数。 ∴F(t)=4π ?t dr r r f 022 )(在(0,+∞)内具有二阶连续导数。 (2)F /(t)=4πt 2f(t 2)，t ∈(0,+∞)。 例42：设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)=0，试求??? Ω →++dv z y x f t t )(1 lim 2224 π，其中Ω：x 2+y 2+z 2≤t 2 。 解：原式=???→t t dr r r f d t 0 20 204 0)(sin 1 lim π π ? θπ=)0() 0()(lim )(lim )(4 lim 00 24 0f t f t f t t f dr r r f t t t t t '=-==→→→?。 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 例43：设f(x,y)是定义在R 2上的连续函数，求证：对任意实数c ，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)≥c}是闭集。 证：?P 0(x 0,y 0)∈E ，则f(x 0,y 0)>c ， f ∈C(R 2 )， 由连续函数的保号性定理可知：?δ>0，使得当(x,y)∈U(P 0,δ)时，f(x,y)>c 。即U(P 0,δ)?E ，由P 0∈E 的任意性，∴E 是开集。 设Q 是F 的聚点，则存在点列{Q n }?F ，使∞ →n lim Q n =Q ， f ∈C(R 2)，∴∞ →n lim f(Q n )=f(Q)，又f(Q n )≤c ，由极限保不 等式可得f(Q)≤c ，∴Q ∈F ，即F 的聚点仍属于F ，故F 是闭集。 例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{P n }?E ，P n ≠P 0，+∞ →n lim P n =P 0时，P 0是E 的聚点。 证：当存在各点互异的点列{P n }?E ，P n ≠P 0，+∞ →n lim P n =P 0时，?ε>0，?N>0，当n>N 时，恒有ρ(P n ，P 0)<ε成 立，即当n>N 时，P n ∈U 0(P 0,ε)，由定义，故P 0是E 的聚点。 反之，若P 0是E 的聚点，则?ε>0，?P ∈E ，使P ∈U 0(P 0,ε)。特别，取εn =min{ n 1 ，ρ(P n-1，P 0)}>0，(n=2,3,…)，?P n ∈E ，且P n ≠P 0，使P n ∈U 0 (P 0,εn )，于是点{P n }中各点互异，且{P n }?E ，P n ≠P 0，+∞ →n lim P n =P 0。 7. 证明二重极限不存在 例45：证明：20 0)(lim y x xy xy y x -+→→不存在。 证：取路径y=kx(k ≠1)，得1 )1(lim 222220+-=-+=→k k k x k kx kx kx y x ，k 不同其极限值也不同。故原二重极限不存在。 例46：讨论极限2 420 0lim y x y x y x +→→的存在性。 解：令y=kx 2 ，则24202 lim y x y x kx y x +→→=21k k +，当k 取不同值时，原极限值不同，∴原极限不存在。 8. 多元函数的可微性证明 例47：设f(x,y)=?????=+≠++0 ,00 ,2 2222 22y x y x y x y x ，证明f(x,y)在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。 证： )0,0(0sin cos lim sin cos lim lim 2 02302) 0,0(),(f r r r y x y x r r y x ====+→→→θθθθ，∴f(x,y)在原点连续。 又f x (0,0)=f y (0,0)=0存在，且取路径?y=k ?x 时易知 2 3 222) 0,0(),(2 2 ) 0,0(),(] )()[()(lim ) ()()0,0()0,0()0,0(),(lim y x y x y x y f x f f y x f y x y x y x ?+???= ?+??-?--??→??→??不存在。 故f(x,y)在原点不可微。 例48：设f(x,y)=? ?? ??=≠+) 0,0(),( 0)0,0(),( 223 y x y x y x x 。证明f(x,y)在(0,0)不可微。 解： f x (0,0)=1，f y (0,0)=0， 232222 2 2 23 ] )()[()() ()()()()(y x y x y x x y x x y B x A f ?+ ???-= ?+??-?+??= ?-?-?ρ ， 取?y=k ?x ，并令?x →0，可得ρ y B x A f ?-?-?→- 2322) 1(k k + ，∴ ) 0,0(),(lim →??y x ρ y B x A f ?-?-?不存在， 故f(x,y)在(0,0)不可微。 9. 曲线积分的证明题 例49：证明：若C 为平面上的封闭曲线，则cos(,)C C n y ds dx =-??，n 为C 的外法线向量。 证：设t 为曲线C 的切向量， cos(n ,y)=-cos(t ,x)，∴ cos(,)cos(,)C C C n y ds t x ds dx =-=-???。 例50：求积分值I=?+L ds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n 为L 的外法线方向。 解： (n ,x)=(t ,x)- 2 π ，故cos(n ,x)=sin(t ,x)，cos(n ,x)ds=sin(t ,x)ds=dy ； cos(,y)ds=sin(,x)ds=-cos(t ,x)ds=-dx ，∴I=D ydx xdy L ?=-?2。其中?D 表示区域D 的面积。 重积分复习题 一、计算题 1．设f 在(-∞,+∞)上连续，化重积分I= ??≤≤+1 ||||22)( x y dxdy y x f 为定积分。 2. 计算???Ω -++dxdydz z y x |1|222，其中Ω是由z=22y x +与z=1所围成的立体。 3. 求I=? ? ++-AnB x x dy x y e dx y e x )3sin ()cos (2 ，其中? AnB 是由A(0,2)沿右半圆周到B(0,0)的路径。 4. 求I=??++S dS z y x )(，S ：x 2+y 2+z 2=R 2（z ≥0）。 5．求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。 6. 计算??+ S xyzdxdy ，其中S ＋ 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧，在x ≥0，y ≥0的部分。 7. ??∑ ++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧。 8. 化以下第二型曲线积分为定积分（不计算定积分）：I=? +C xydy dx y 2 ，C 为曲线：14 )2(9)1(2 2=-+-y x 上从点(1,4)到(4,2)的一段。 9. 计算??++S dxdy z dxdz y dydz x 333，其中S 为球x 2+y 2+z 2=a 2的外表面。 10. 试用格林公式计算I=?-++C y dy ye x dx x xy )()sin 3(2之值，其中C 是曲线y=x 2-2x 上以O(0,0)为始点，A(4,8) 为终点的曲线段。 11. 求????? ? ??+-D dxdy y x y x cos ，D 是由x+y=1，x 轴及y 轴围成的平面区域。 12．求由曲面z=22y x +，x 2-2x+y 2=0及平面z=0围成的立体之体积。 13. 2 ) ()2(y x ydy dx y x +++是否为某个函数u 的全微分？若是求u(x,y)。 14. 计算：??+-D dxdy y x y x )cos()(，其中D 由0≤x-y ≤ 2π，0≤x+y ≤2 π 所围成。 15. 计算??∑ +++++dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([，其中f(x,y,z)为连续函数，∑为平面 x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。 16. 计算二重积分??D ydxdy x 2，其中D 为由y 2=x ，y=x+2，x=0及x=2所围成的平面区域。 17. 求积分值I=?+L ds y n y x n x )],cos(),cos([ ，其中L 为包围有界区域D 的闭曲线，n 为L 的外法线方向。 18．求曲线积分?=+--+2 22 22 )2sin 2(cos ) (R y x y x xydy xydx e ，其中闭曲线取正向。 19. 求：I=???++V dv z y x )(222，其中V ：x 2+y 2+z 2≤2z 。 z 数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ） 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系 上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。 2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。 2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n ∞= 1n n ∞=1sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数021n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. (){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. ()()du x v y dx D. ()() u x v y x y ??+ ?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ??????=???? ； 20 ．若arctan y x =，则 dy dx =______________________。 （一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； 数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<< 二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分） 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； 一、 判断题（每小题2分，共20分） 1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ） 4. xy y x f =),(在原点不可微． （ ） 5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ） 6. dy y x xy y ) 1(sin 2 1 +? +∞ 在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度 T 不能用}{max 1i n i σ?≤≤来代替． （ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dz ． 2.设 3 2),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度= )(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线 22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则?=+L ydx xdy ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ． 5.曲面2732 22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限 xy y x y x )(lim 22) 0,0(),(+→． 2． 设),(y x z z =是由方程z e z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设 ]1,0[]1,0[?=A ，求??++=A y x ydxdy I 2 322)1( . 4．计算抛物线) 0()(2 >=+a ax y x 与x 轴所围的面积. 数学分析期末考试题 一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、 叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为 什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu 参考答案 一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、 、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、 解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 13数学分析(三)复习范围 一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ，计算?+∞+01n x dx 类积分值 二、解答与证明题(第小题10分，共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明 例题 一、计算题 1. 全微分计算题 公式：du=u x ??dx+u y ??dy+u z ??dz 。 例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分； 例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数 例3：设z y e z x +=，求y x z ???2。 例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数 例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ???2，22u y ??其中f 具有二阶连续的偏导数； 例6：设u=f(x 2-y 2，xy e )，求y x u ???2，其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线 例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。 例8：求曲线?? ???=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值 例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。 例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分 例12：计算??++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。 例13：计算：xyzdS ∑ ??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分 例14：求I=??-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。 例15：计算??∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表 面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ? -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(??，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1) 和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 数学分析(三)复习题 一、计算题 1．求二重极限y x x a y x x +→∞→? ?? ?? +2 11lim ； 2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。 9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求 =t dt du 。 10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C =(2,-2,1)的方向导数。 12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。 14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z y ，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单 位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。 16． 求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21 ,2 3)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α 的范围为：0≤α<π）。 17. 设数量场u= 2 2 2 z y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1 数学分析下册期末模拟试卷及参考答案 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已 知u =则u x ?=? ，u y ?=? ，du = 。 2、设22L y a +=2：x ，则L xdy ydx -=? 。 3、设L ???x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ?22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分32dy f dx ??3 y （x ，y ）的次序为 。 5、设1D x y +≤： ，则1)D dxdy ??= 。 二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ） 在点p 00（x ，y ）连续。 ( ) 3、若函数f （x ，y ） 在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)x y y x f x y f x y =。 ( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =??。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。( ) 三、计算题 （ 每小题9分，共45分） 1、用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =-+-? ， 其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。 、计算三重积分 22()V x y dxdydz +???， 是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。 、计算第一型曲面积分13数学分析期末复习题02
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