理科选做部分 专题3 极坐标与参数方程
【三年高考全收录】
1. 【2017高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t
y =-+??
?=??(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2
222x s
y s
?=??
=??(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 2．【2016高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为11,232x t y t ?
=+??
??=??（t 为参数），
椭圆C 的参数方程为cos ,
2sin x y θθ=??=?
（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的
长.
3．【2015江苏高考，21】已知圆C 的极坐标方程为2
22sin()404
π
ρρθ+-
-=，求圆C 的半径.
4．【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106
ρθπ
-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.
5.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0）， 则|AP |的最小值为___________.
6.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=??=?
（θ为参数），直线l 的
参数方程为
4,
1,
x a t t y t =+??
=-?（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a.
7．【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
8．【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =??=?
（t 为参数），直线l 2的参
数方程为2,
,x m m m
y k =-+??
?=??
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
9．【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.
10．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t
y a t
=??
=+?错误！未找到引用源。（t 为参数,a ＞0）．
在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 11．【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α=??
=?
（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．
12．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y α
αα?=??=??
为参数，以坐
标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224
ρθπ
+=．
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 13．【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=??
=?（t 为参数，0t ≠），其中
0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线
3:23cos C ρθ=．
（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．
14.【2015高考福建，理21】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x t
y t ì=+?í=-+??
为参数.
在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2sin()m,(m R).4
p
r q -
=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
15.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232
x t y t ?=+??
??=??（t 为参数）．以原点
为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=． （I ）写出C 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思
想、方程思想等思想方法的应用．该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下.预测2018年高考仍然考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归能力．《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容．坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；球坐标系和柱坐标系只做简单的了解，不宜拓宽、拔高要求．参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能进行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题．参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点．预测题型主要为解答题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化.复习建议：复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.
【2018年高考考点定位】
高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.
【考点1】极坐标
【备考知识梳理】
1．极坐标系与极坐标
(1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．
(2)极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox
∠叫做点M的极角，记为θ.有序数对(),ρθ称为点M的极坐标，记作为始边，射线OM为终边的xOM
(),
Mρθ．
一般地，不做特殊说明时，我们认为0ρ≥，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(),x y 和(),ρθ（0ρ≥），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ
互化公式
cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=? ()222tan 0x y y
x x ρθ?=+?
?=≠??
3．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r 的圆
()02r ρθπ=≤< 圆心为(),0r ，半径为r 的圆
2cos 2
2r ρθ
π
πθ=??-≤≤ ?
??
圆心为,
2r π??
???
，半径为r 的圆
()
2sin 0r ρθ
θπ=≤<
过极点，倾斜角为α的直线
(1)θα=(R ρ∈)
或θπα=+(R ρ∈)
(2) θα= (0ρ≥)和
θπα=+ (0ρ≥)
过点(),0a ，与极轴垂直的直线
cos a ρθ=2
2π
πθ??-<< ???
过点,
2a π?
?
??
?
，与极轴平行的直线
sin a ρθ=()0θπ<<
若圆心为()00,M ρθ，半径为r 的圆方程为
()2220002cos 0r ρρρθθρ--+-=.
4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． （2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标(),ρθ ，()(),2k k Z ρθπ+∈，
()(),2k k Z ρπθπ-++∈表示同一点的坐标．
[来源:学科网]
【规律方法技巧】
1. 确定极坐标方程的四要素
极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，进行整体代换．
(3)直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤
①运用()222
tan 0x y y
x x ρθ?=+??=≠??
②在[)0,2π内由()tan 0y
x x
θ=
≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 3.求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设(),P ρθ是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【考点针对训练】
1. 在极坐标系中，已知圆=2cos ρθ与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值.
2. 在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为
4sin ,cos 2 2.4
πρθρθ??=-= ??
?
.12C C 求与交点的极坐标； 【考点2】参数方程
【备考知识梳理】 1．参数方程的意义
在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标,x y 都是某个变量的函数()()x f t y g t =???=??
并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M
(),x y 都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数,x y 的变
数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
2．常见曲线的参数方程的一般形式
(1)经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+??=+?
(t 为参数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段0P P
的数量．
(2)圆的参数方程cos sin x r y r θ
θ
=??
=? (θ为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的参数方程为cos sin x a y b θθ=??=? (θ为参数)．
双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的参数方程为sec tan x a y b ??=??=?
(?为参数)．
抛物线px y 22
=的参数方程为2
22x pt y pt
?=?=? (t 为参数)．
3.参数方程和普通方程的互化
[来源:Z 。xx 。https://www.doczj.com/doc/453083533.html,]
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么，()()
x f t y g t =???=??就是曲线的参数方程． 【规律方法技巧】
1.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角
公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意,x y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 2.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； (2)定点0M 是弦12M M 的中点?120t t +=； (3)设弦12M M 中点为M ，则点M 对应的参数值12
2
M t t t +=(由此可求12M M 及中点坐标)． 3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．
4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．
5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+? (t 为参数)．若,A B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=
；(2) 1202
t t
PM t +==；(3) 21AB t t =-；(4) 12PA PB t t ?=?. 【考点针对训练】
1. 已知圆方程为08cos 7cos 8sin 6222=++-+-θθθx x y y ． （Ⅰ）圆心轨迹的参数方程C ；
（Ⅱ点),(y x P 是（1）中曲线C 上的动点，求2x y +的取值范围．[来源:学.科.网]
2. 在直角坐标系xOy 中, 过点)2
3
,23(
P 作倾斜角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,．
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；
（Ⅱ）求
PN
PM 11+ 的取值范围．
【两年模拟详解析】
1．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且
两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是12332
x t y t ?
=??
??=+??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程
是2cos 4sin ρθθ=．
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为(43,)3
π
，求||PM 的值．
2. 【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】在极坐标系中，已知点)3
,1(),2,2(π
π
-B A ，圆O 的极坐标方程为θρsin 4=.
（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程； （Ⅱ）求圆O 的直角坐标方程.
3. 【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
cos 1sin x y α
α=??=+?
（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
，
试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.
4. 【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线23
2222x l y l ?=-+???=?，
（l 为参数）
与曲线218x t y t
?=???=?，
（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
5. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】在极坐标系中，已知点
，
点
在直线：
上，当线段
最短时，求点
的极坐标.
6. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为32cos ,32sin x y αα
?=+??
=+??（[]0,2απ∈，α为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin 3a πρθ?
?
+= ??
?
（R a ∈）.若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.
7. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35
:(45x t l t y t ?=???
?=??
为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为
2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.
8. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为π3
sin(),32ρθ-=直线l 与曲线2cos :()2sin x t C t y t
=??=?为参数相交
于不同的两点,A B ．求||AB 的值．
[来源:学+科+网]
9. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为2sin(),42
ρθπ-=直线l 与曲线2
:sin 8cos C ρθθ=相交于不
同的两点,A B ，求||AB 的值．
10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】直角坐标系xoy 内，直线l 的参数方程
22(14x t t y t
=+??
=+?为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22sin()4π
ρθ=+,确定直线l 和圆C 的位置关系.
11．【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线5
1,52515x t y t ?=-+
???
?=-+??
（t 为参数）与曲线sin ,
cos 2x y θθ
=??
=?（θ为参数）相交于,A B 两点，求线段AB 的长．
12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为3sin(),32π
ρθ-=椭圆C 的参数方程为2cos 3sin x t
y t
=???=??
(t 为参数) ．
（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B 分别在曲线C 1：32cos 42sin x y θ
θ=+??=+?
（θ为参数）和曲
线C 2：ρ＝1上，求AB 的最大值 ．
14．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴
的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ
=??=?（θ为参数），点M 的极坐标为(1，2π
)．若P 是椭圆
C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．
15．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，
，倾斜角为3
π
﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求M A M B ?的值．
16．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，
以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y α
α=??=-?
（α为参
数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标.
17．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程
为2cos 3
2sin x y αα
?=+??=??（α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6
π
θ=
.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.
18．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知直线l 的参数方程为12t x y t
?
=+
???=?，曲线C 的极坐标方程
为4sin ρθ=，试判断直线l 与曲线C 的位置关系.
【一年原创真预测】
1.已知直线l 的参数方程为12 2322
x t y t ?
=??
??=+??（t 为参数）
，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos() 4
π
ρθ=-．
（Ⅰ）求直线l 的倾斜角；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|.
[来源:https://www.doczj.com/doc/453083533.html,]
2. 已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2
222+2
x t y t ?=????=-?? (t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为
221
cos sin 22
a ap a ρρθθ--=+，[0,2]a ∈．
（Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；
（Ⅱ）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，定点P(0,-2)，求PA PB ?的最大值．
3. 已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, P 点的极坐标为
23,6π?
? ???,曲线C 的参数方程为2cos 32sin x y θθ
=???
=-+??（θ为参数） （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程;
（2）若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 7l ρθρθ+=距离的最小值.
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
高考真题专题训练——参数方程专题（参考答案1-5） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α=?? =+? （α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??????==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3 π
（1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D 的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ? ??=?? =?为参数 2 2 2 2 224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]?=+∈ 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将45cos , 55sin x t y t =+??=+?消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ =??=?代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222 810160,20x y x y x y y ?+--+=?+-=? 解得1,1x y =??=?或0,2.x y =??=? 所以C 1与C 2 交点的极坐标分别为π4???，π2,2?? ???
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程 题型160 极坐标方程化直角坐标方程 1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）. A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ= B. ()π 2 θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π 2 θρ= ∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3 ?? ??? ,则 CP = . 3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2 3 x t y t ?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16） 在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ? ?=?? =? (?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为 sin 4 π ρθ+ = （m 为非零数） 与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21） 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 知点A 的极坐标为π4???,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ? ?-= ???,且点A 在直 线l 上．
（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin , cos 1为参数a a y a x ? ? ?=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系. 6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________. 7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________. 8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6?? ???到直线 πsin 16ρθ? ?-= ?? ?的距离是 . 9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是??? ??= =33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1 3x t y t =+??=-?（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）. A. B. C. D.
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结） 一、最近6年极坐标与参数方程题型归纳 （2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB = 求l 的斜率. (2015）【极坐标方程求长度】 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos , :sin , x t C y t αα=?? =? （t 为参数,且0t ≠ ）, 其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 23:2sin ,:. C C ρθρθ== （I ）求 2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3 C 相交于点B ,求AB 最大值. （2014）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程 为2cos ρθ=， 0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确 定D 的坐标. （2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =?? =?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． （2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数?? ? ?? ?==，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1 C 上任意一点，求 2222 PA PB PC PD +++的取值范围。
近三年高考数学真题坐标系与参数方程专练 2020全国理科一 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t ?=?=?(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？ （2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 2020全国卷二 .已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ?=?=?，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ?=+????=-?? （t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.
2019全国理科一 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 2019江苏 在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ? ?? ?????，直线l 的方程为sin 34ρθπ??+= ??? . （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 2018全国卷 2 221141t x t t y t ?-=??+??=?+? ，2cos sin 110ρθθ+=
极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ
极坐标与参数方程高 考真题
极坐标与参数方程高考真题 1、（2007）坐标系与参数方程：1O e 和2O e 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把 1O e 和2O e 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O e ，2O e 交点的直线的直角坐标方程． 2、（2008）坐标系与参数方程： 已知曲线 C 1：cos ()sin x y θθθ =?? =?为参数，曲线C 2 ：() x t y ?=????=?? 为参数 。 （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； （2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出1'C ，2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。 3、（2009） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos , 3sin , x y θθ=??=?（θ为参数）． （Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2 t π = ，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332, :2x t C y t =+?? =-+? （t 为参数）距离的最小值．
4、（2010）坐标系与参数方程：已知直线C 1：????? x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：? ???? x ＝cos θ y ＝sin θ，(θ为参数)． (1)当α＝π 3 时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 5、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为 参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于极点的交点为 A ，与C 2的异于极点的交点为 B ，求AB . 6、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=?? =? ， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参 数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系 中,曲线的方程为,以坐标原点为 极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程 （2）若 与有且仅有三个公共点,求 的方程 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． xOy C 2cos 4sin x θy θ=?? =? ， θl 1cos 2sin x t αy t α=+??=+? ， t C l C l (1,2) l
解：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?，∴O e 的普通方程为22 1x y +=，当90α=?时， 直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠?时，设直线l 的方程为tan y x α=-直线l 与O e 1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴ 4590α?<
2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数 方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程： 直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程： 圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径
比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
极坐标与参数方程 一、基础知识点梳理 （一）极坐标 极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再 选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径 为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径 为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤< 过极点,倾斜角为 α的直线 (1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
近五年高考真题（极坐标系和参数方程） 1、【2016新课标I （23）】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =?? =+?（t 为参数，a ＞0） ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．
2、【2016II 文数,23】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? （t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点， ||AB =，求l 的斜率． 3、【2016III 文数,23】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θ θθ ?=?? =??为参数，以坐标原点为极 点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4 ρθπ += . （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 4、【2015新课标I （23）】 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。在以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ. （I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? （θ为参数），直线l的参数方 程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. （1）若a=1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l17a. 23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C1：x ＝－2，圆C2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
2018年高考数学真题专题汇编---- 极坐标与参数方程 一、填空题 1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切， 则a =__________． 2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,232 ?=-+????=-?? x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题 1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2 2cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为 （为参数）． xOy C 2cos 4sin x θy θ=??=?，θl 1cos 2sin x t αy t α =+??=+?，t
（1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程． 4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26 ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题 1.21+ 2.2 1 二、解答题 1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆． C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=? ， θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P