内心、外心、重心、垂心
1、内心
（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（2）三角形的内心的性质
①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
③s=(r是内切圆半径)
④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2
2、外心
（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（2）三角形的外心的性质
①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R
⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
⑥S△ABC=abc/4R
3、重心
（1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心
（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2）三角形的垂心的性质
①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
⑥△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
⑨设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半
径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ? =++0OC OB OA ?? ?=-+-+-=-+-+-0 )()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ??? ?++=++=?3 3321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为A B C ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为A B C ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为A B C ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB + 平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a b c ++= λ O A B C D E O A B C D E
三角形的各个心总结 与归纳
三角形的心 三角形只有五种心 重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 1三角形重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，C O延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X 2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 重心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 2三角形垂心的性质 设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s= (r是内切圆半径) 2 ④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 . ⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2 2、外心 (1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R ⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA ⑥S A ABC二abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上
三角形内心、外心专项训练 内心相关知识 一、判断题 1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个 2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个 3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 二、填空题 6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF. 7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________. 8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF. 9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N. 求证：A、M、N在一条直线上. 证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC ∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC ∴NF__________NH，NH__________NK ∴NF__________NK ∴N在∠A的平分线上 又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB ∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M在∠A的__________上 ∴M、N都在∠A的__________上 ∴A、M、N在一条直线上 三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.
三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
三角形垂心的性质总结 山西省原平市第一中学任所怀 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。 证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD BC即可。 因为CF AB，BE 所以四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD BC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 三角形垂心的性质定理1： 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。求证：H为三角形DFE的内心。 证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。 同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。 由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角） 所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。 同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE 所以H为三角形DFE的内心。 点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。 三角形垂心的向量表示： 在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。 证明：由得，所以。 同理OB，，则点O为垂心。 三角形垂心性质定理2： 若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得 因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设， 因为，所以
三角形各种心的性质归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
三角形各种心的性质研究 一、基础知识 三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G 是ABC ?的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(， （ 2）3:2:=AD AG ； （3）4222222 BC AC AB AD -+=，（4）3 ABC GBC S S ??=． 2.外心：设⊙O （R ）是ABC ?的外接圆，BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ，则 （1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20A ∠-； （3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R abc S ABC sin sin sin 24==?（正弦定理） 3.内心：设ABC ?的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则 （1） A BIC ∠+?=∠2190; (2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(21 221cot ；(3)DC DI DB ==； (4)2 ) (c b a r S ABC ++=?; 4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ?的外心，重心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ； 5．旁心：设ABC ?在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1） A C BI ∠-=∠2 1 9001； （2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）2 1 C B AI ∠=∠；（5）2) (1a c b r S ABC -+=? 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系 在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,， C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,，)(2 1 c b a p ++= ，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为?S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2） a p rp r a -= ；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1 c p b p r r a --=；（5）c b a r r r r 1111--=；（6）2 tan 2 tan γ β ?= r r a M
一、三角形内心 （一）定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, （二）三角形内心的性质： 设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+A/2． 3、如图在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、（内角平分线定理） △ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. （三）三角形内接圆半径 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c 3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长） 二、三角形外心 （一）定义 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心． 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上 （二）三角形外心的性质： 设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。 在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。 主要特点 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
1、定义 2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 2、性质 1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。 2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3、判定 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：
三角形内心、外心专项 训练 -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1
内心相关知识 三角形内心、外心专项训练 一、判断题 在同一平面内， 在同一平面内， 三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 1 、 2 、 3> 4 、 5 、 到三角形三边距离相等的点只有一个到三角形三 边所在直线距离相等的点只有一个 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 二、填空题 6、如图（1）,点P为△A8C三条角平分线交点，PD丄AB, PE丄BC, PF丄AC,则 PD __________ PE __________ PF. 7、如图（2） , P是ZAOB平分线上任意一点，II PD=2cm,若使P&2cm,则PE与 0B的关系是___________ . 8、如图（3） , CD为RtAAfiC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、CB于点￡, F, FG 丄AB,垂足为G,则CF _________________ F G, Z1+Z 3= ____________ 度，Z 2+Z 4= FG. Z 1+ Z 3= CF. 度，Z3Z4, CE 9.如右图，￡、D分别是&& BED、ZEDC的角平分线交于M 求证；A、M、W在 一条直线上. 证明：过点W作WF丄AB, NH丄ED, NKLAC 过 点M 作MJ丄BC, MPMQ丄AC V￡/V￥分Z8￡6 DN 平分ZEDC :.NF _________ NH, NH NK :.NF _________ NK 代W在ZA的平分线上 乂TBM 半分ZABC, CM 半分ZACB AC匕的一点, ZffiC. /BCD的角平分线交于点Z AM在ZA的_____________ 上 AM. W都在ZA的 _____________ 上 ：4、W在一条直线上 三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点 C
. A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100， 由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°， 则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .
. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=． 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．
序号72 设计者： 设计时间 ：2015、11、17 课题 三角形内心与外心 课型 习题课 教 学 目 标 知识目标 掌握基本图形的常用辅助线做法，会运用相关知识解决问题 能力目标 会从已知条件下找到问题解决思路。 一、目标导学，引入新课 1、学会内心的应用，以加深对三角形内切圆的理解。 2、复习三角形的内心、外心的定义、性质。 二、自主学习，合作交流 1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ， 那么∠EDF 等于 2、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE= 3、如图，△ABC 中，∠BOC=140°，I 是内心，O 是外心，则∠BIC= 。 4、如图．在△ABC 中，AC=b ，AB=c ，BC=a 它的内切圆与AB 、BC 、AC 分别相切与E 、D 、F ，则AE=AF= ，BE=BD= ，CD=CF= 三、疑难点拨，因势利导 例题：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心， 求证：①BD=CD=ID ； ②∠AIB =90°+2 1 ∠ACB ; I O B C F E D O A B C 图1E O I C B A
图4 E I D C O B A 变式1：如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC. 变式2：如图3，若∠BAC =90°，AB=8，AC=6，求DI 、OI 的长。 变式3、如图3，若∠BAC =90°，DI=24，求⊙O 的半径。 变式4、如图4，若∠BAC =90°，IE ⊥AC 于E ，OB=R ，IE=r ， 求证：AD r R 2 2 =+ 四、练习检测，自我反思 1、如图3，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F 。 求证：EF=AE+BF A B C D I O E 图2 图3I D C O B A 图3 I D C O B A
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
三角形的心 三角形只有五种心 重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 1三角形重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC= S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+ X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y 1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 重心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
2三角形垂心的性质 设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、 B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·H D=BH·HE=CH·HF。 5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB /AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。 3三角形内心 定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, 三角形内心的性质 设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1 D D B A B B 习题课：三角形的内心与外心 【方法技巧】借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题的关键． 一、直角三角形的内心与外心 1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，AC ＝8，BC ＝6． （1）如图1，求IC 的长； （2）如图2，若? AD ＝?BD ，求ID 的长； （3）如图3，求OI 的长． 图1 图2 图3 2．如图，△ABC 是圆的内接三角形，点E 为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，AE 的延长线交圆于点D ． （1）求证：?BD ＝?CD ； （2）判断B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，DE 长为半径的⊙D 上？并说明理由； （3）若∠BEC ＝110°，则∠BDC __________(直接写出结果)． 二、等腰三角形的内心与外心 3．如图，△ABC 中， AB ＝AC ＝13，BC ＝10，⊙O 为△ABC 的外接圆，I 为△ABC 的内心． （1）求BO 的长；（2）求BI 的长． 作业： 1已知点I 是△ABC 的内心，∠ BIC=130°，则∠BAC 的度数是__________. 2.在等边三角形ABC 中，AD= 1 2 E 是△ABC 的内心，以点C 为圆心，CE 长为半径作圆C ，点G 是圆C 上一动点，连接AG,若P 是AG 的中点，则DP 的最大值（ ） A. 2 B. 1 2 1 第2题 第3题 3.O 是△ ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB,与AC,BC 分别交于点，E,F,则（ ） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+ 4.如图，已知E 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆相交于点D ． 求证：∠DBE=∠DEB ； 6. 如图，△ABC 中，E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D ，求证：DE=DB ．
三角形知识点全面总结 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （R t △≌R t △） 2、等腰三角形的判定及性质 性质：①两腰相等 ②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”） ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） 判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 【即：DE+DF=CP ，（D 为BC 上的任意一点）】 3、等边三角形的性质及判定定理 性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度 ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） ④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 结论总结：① 高= 23边【即： AB AD 23=】 ② 面积= 243边【即：24 3 AB S ABC =?】 4、直角三角形的性质及判定 性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。④斜边中线等于斜边一半 判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”） ③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形 结论总结：直角三角形斜边上的高= 斜边 直角边的乘积 【即：AB BC AC CD ?=】 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：①定义法②在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 A B C D A B D A B C D O E P D A B A B C D E P F B
滚动小专题(八) 三角形的外心与内心 类型1三角形外心 1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D) A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点 2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B) A．D点B．E点C．F点D．G点 3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C) A．O是△CEF的外心B．O是△CFG的外心 C．O是△OAC的外心D．O是△CDE的外心 4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C) A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE 5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C) A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处 C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处 6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．
8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝70°，AB ＝AC ，O 为△ABC 的外心，△OCP 为等边三角形，OP 与AC 相交于点D ，连接OA. (1)求∠OAC 的度数； (2)求∠AOP 的度数． 解：(1)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO 垂直平分BC. ∵AB＝AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∴∠OAC＝1 2 ∠BAC＝35°. (2)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO＝CO. ∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP 为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°. 类型2 三角形内心 9．如图为5×5的网格图，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是(B ) A ．△ACD 的外心 B ．△AB C 的外心 C ．△AC D 的内心 D ．△ABC 的内心 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点D ，E 在BC 上，△ADE 是等边三角形．若点O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C ) A ．点O 是△ADE 的内心 B ．点O 是△ADE 的外心 C ．点O 不是△ABE 的内心 D ．点O 是△ABC 的外心
三角形的内心和外心 一、提出问题 问题1（2013元调，10）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB与∠AOB的关系为（） A．∠AIB=∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB C. 2∠AIB?1 2 ∠AOB=180° D. 2∠AOB?1 2 ∠AIB=180° 二、分析与解决问题 三、小结：四、拓展（同一三角形内心与外心→关联三角形内心与外心） 问题2（2014元调，10）如图扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，P为 ⌒ AD上任意一点（不与A、D重合）.PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ内心，过O、I、D三点的圆的半径为r，则当P在 ⌒ AD上运动时，r的值满足（） A. 0 五、巩固练习（线段关系运用） 1. BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点（不与B、C重合），I为△ABC的内心，BI、CI延长线分别交⊙O于E、F，IK⊥BC于K. 连EF交AB、AC于M、N，则下列结论： ①△AMN是等腰直角三角形；②E为△AIC外心； ③AB+AC=BC+√；④AB?AC=2BK?CK. 正确的是2．△ABC内接于⊙O，D为 ⌒ AB中点，AB=9，AC=6，且I为CD 上一点且DI=DA ①求证：I为△ABC内心. ②若IK⊥BC于K，求BK—CK的值. 3．⊙O中，AB是直径，D为半圆中点，C为 ⌒ BD上一 点. ①求证：AC?BC=√2CD. ②若I为△ABC内心，IP⊥AC于P，当CD=√2，IP=1 时，求S△ABC. C B A 三角形的内心和外心第2页，共2页 《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? ， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+-- =-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． F E D C B A E A B C D相似三角形知识点归纳(全)
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