4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标1．知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（二）过程与方法
设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22
D E
--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离；（2）当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切；（3）当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交；3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.（三）教学过程设想..
种方法吗？
.
分析：方法一：由直
l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方
.
的距离 = 1.
1.
的步骤吗？
.
即圆心到所求直线l的距离为
因为直线l过点M (–
所以可设所求直线l的方程为
+ 3 = k (x + 3)，
备选例题
例1 已知圆的方程x 2 + y 2 = 2，直线y = x + b ，当b 为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.
解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b 的距离为
d =
r
（1）当d ＜r ，即–2＜b ＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； （2）当d = r ，即b = 2±时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当d ＞r ，即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.
解法2：联立两个方程得方程组222
x y y x b
?+=?=+?.消去y 2得
2x 2 + 2bx + b 2 – 2 = 0，?=16 – 4b 2.
（1）当?＞0，即–2 ＜b ＜2时，直线与圆有两个公共点； （2）当?＝0，即2b =±时，直线与圆有一个公共点； （3）当?＜0即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆无公共点.
例2 直线m 经过点P (5，5)且和圆C ：x 2 + y 2 = 25相交，截得弦长l 为m 的方程.
【解析】设圆心到直线m 的距离为 d ，由于圆的半径r = 5，弦长的一半2
l
=，
所以由勾股定理，得：d 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.
=，得1
2
k =
或k = 2. 所以直线m 的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
例3 已知圆C ：x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l ， 使l 被圆C 截得弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点.
【解析】假设存在且设l 为：y = x + m ，圆C 化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2). 解方程组2(1)y x m y x =+??
+=--?
得AB 的中点N 的坐标11
(,)22m m N +--，
由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN | = |ON |.
又||AN ==，
||ON =所以22
(3)(1)19()222
m m m ++--=+
解得m = 1或m = –4.
所以存在直线l，方程为x–y + 1 = 0和x–y– 4 = 0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.